考虑风险态度的多期可信性投资组合研究

A Study of Multi-Period Plausible Portfolios Considering Risk Attitudes

摘要: 以一致模糊数来刻画资产收益和投资者风险态度，并用可信性下半绝对偏差和条件风险值作为风险度量，考虑偏度约束、不允许卖空约束以及交易成本等因素，建立多期多目标模糊投资组合模型，并将理想点法与遗传算法结合对模型进行求解。文章针对投资者不同风险态度，对所提出的多期均值-LAD-CVaR-偏度投资组合模型进行了三次数值求解，通过上海证券交易所真实股票数据验证其可行性和实用性，实证表明投资者采取正确的态度是十分必要的。

Abstract: The consistent fuzzy numbers are used to characterize asset returns and investors’ risk attitudes, and the lower half absolute deviation of plausibility and conditional risk values are used as risk measures. The multi-period multi-objective fuzzy portfolio model is developed by considering the skewness constraint, the no-short-selling constraint and the transaction cost, and the model is solved by combining the ideal point method with the genetic algorithm. The proposed multi-period mean-LAD-CVaR-skewness portfolio model is solved numerically three times for different risk attitudes of investors, and its feasibility and practicality are verified by real stock data from Shanghai Stock Exchange, and the empirical evidence shows that it is necessary for investors to adopt the right attitude.

1. 引言

投资组合理论是近年来金融与风险管理领域的热点问题之一。投资者根据自己对资产收益的风险偏好，基于一定的准则选择可供选择用的策略组合。Markowitz [1] 于1952年提出的均值–方差投资组合优化模型，是现代投资组合理论的开始，随后学者们对其不断深化和拓展，见综述性文章Kolm等 [2] 及近期的研究Heaton等 [3] 、赵磊和朱道立 [4] 、王舞宇等 [5] 等。一般情况下，资产收益被视为随机变量，收益率也由历史数据计算。

然而，由于投资环境的复杂性，资产收益的随机变量可能无法准确估计，学者们考虑使用历史信息和主观信念，基于模糊变量来估计资产收益，于是模糊集理论 [6] 被广泛应用于投资组合领域。模糊投资组合研究中，测度理论分为可能性和可信性两种情况。可能性理论 [7] 用于模拟资产回报中固有的不确定性，比如：León等 [8] 、Huang [9] 、Zhang和Xiao [10] 、Li等 [11] 、Yue和Wang [12] 均基于可能性理论讨论模糊投资组合问题。然而，可能性理论缺乏自对偶性，由Liu和Liu [13] 提出的可信性理论，可以克服此限制。由此，姚绍文和张出兰 [14] 、张鹏和龚荷珊 [15] 、王灿杰和邓雪 [16] 均在可信性理论下对不同目标的投资组合决策模型进行研究。

但是，上述研究均只涉及一个投资周期，即资产分配比例与投资期限无关。在现实中，投资者会根据市场环境变化适时调整权重，使投资组合获取更大的收益，因此多期投资得到学者关注，但是求解难度也更大。Li和Ng [17] 、Mehlawat和Kumar [18] 、玄海燕等 [19] 、Bo等 [20] 、曾永泉和张鹏 [21] 构建了多种多期模糊投资组合优化模型，在不同约束条件下展开分析。但是这些研究均没有考虑投资者的风险态度。

股票市场的一个核心特征是投资者之间的风险态度存在差异，这也是交易(即资产的买卖)的主要原因，所以投资者的风险态度需要纳入投资策略选择过程中。学者们采用了不同形式的参数化模糊数刻画资产的收益，以模拟模糊组合选择中投资者的不同预期。比如：Tsaur [22] 使用片断线性模糊数来涵盖投资者的风险偏好；Liu和Zhang [23] 、Jalota等 [24] 使用具有功率参考函数的L-R模糊数来刻画投资者态度。然而，这些参数化模糊数在表现投资者的预期时会产生一些混乱。因此，Li和Yi [25] 提出了一致模糊数的概念，将资产收益视为一致模糊数，并使用自适应指数来刻画投资者态度；Gupta等 [26] 利用一致模糊数同时模拟资产收益和投资者对股票市场的看法(悲观、乐观或中立)。除了投资者的风险态度之外，实际投资过程中还受到诸多摩擦因素影响，如交易成本、交易量上下界限制等市场因素，所以投资决策应该考虑这些现实约束。Mei等 [27] 发现忽视交易成本会导致无效投资，Najafi和Pourahmadi [28] 的实证研究也得出了同样的结论。

综上，在模糊环境下，已有学者研究了考虑风险态度的投资组合问题，但大部分文献主要是针对单期的情况，如刘家和等 [29] 、Liu和Zhang [30] 等，且其中所采用的模糊数在表现风险态度偏好时存在逻辑上的混乱。虽然Li和Yi [25] 提出的一致模糊数能解决这一问题，但未能克服可能性理论的缺陷。目前仅知Gupta等 [26] 在可信性理论下建立考虑风险态度的多期均值-MASD-偏度和均值-CVaR-偏度模型，但其研究采用e-约束法，即在多个目标中选择一个作为研究问题的目标，而其余的目标则被视为约束，其实际的目标函数仅为均值最大化。基于可信性理论的多期多目标模糊投资组合问题还有很大探索空间。本文将在考虑交易成本、不允许卖空以及投资比例上下界限的基础上，从可信性理论出发，在Li和Yi [25] 及Gupta等 [26] 基础上，将资产收益率视为一致三角模糊变量，同时，以可信性LAD、CVaR和偏度等来度量风险，建立多期多目标模糊投资组合模型，并通过理想点法进行实证分析。

2. 模型和方法

(一) 模糊集与可信性理论

设U为论域，则U上的一个模糊集合A可以由一个实值函数

$\begin{array}{c}{\mu }_A:U\to \left[0,1\right]\\ u\mapsto {\mu }_A\left(u\right)\in \left[0,1\right],\forall u\in U\end{array}$ (1)

来表示。对于u Î U，函数值 ${\mu }_A\left(u\right)$ 称为实数u对于模糊集A的隶属度，而函数µ_A称为A的隶属函数。与传统集合不同，模糊集中的每个元素都有对应的隶属度(membership degree)。隶属度是指一个元素属于这个集合的确定度(或不确定度)。

定义1 [13] ：设ξ为一个模糊变量，µ为其隶属函数，而u是一个实数，则ξ的可能性、必要性和可信性测度分别定义如下：

$Pos\left\{\xi \le u\right\}={\sup }_{x\le u}\mu \left(x\right)$ , (2)

$Nec\left\{\xi \le u\right\}=1-Pos\left\{\xi >u\right\}=1-{\sup }_{x>u}\mu \left(x\right)$ (3)

$Cr\left\{\xi \le u\right\}=\frac{1}{2}\left(Pos\left\{\xi \le u\right\}+Nec\left\{\xi \le u\right\}\right)=1-Pos\left\{\xi >u\right\}$ (4)

这里， $Pos\left\{\xi \le u\right\}$ 和 $Nec\left\{\xi \le u\right\}$ 为一对对偶模糊测度， $Cr\left\{\xi \le u\right\}$ 为自对偶，即

$Cr\left\{\xi \le u\right\}+Cr\left\{\xi >u\right\}=1$ (5)

定义2 [31] ：模糊变量ξ是从可信性空间 $\left(\Theta ,P,Cr\right)$ 到实数集R的映射，其可信性函数 ${\mu }_A\left(x\right)$ 定义如下：

${\mu }_A\left(x\right)=Cr\left(\xi =x\right),\forall x\in R$ (6)

对于任意的 $x\in R$ ，若 ${\mu }_A\left(x\right)$ 满足如下形式

${\mu }_A\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\frac{x-a+\alpha }{2\alpha },a-\alpha \le x\le a\\ \frac{a+\beta -x}{2\beta },a\le x\le a+\beta \\ 0,\text{else}\end{array}$ (7)

则称 $\xi =\left(a-\alpha ,a,a+b\right)$ 为可信性空间中的三角模糊数。其中a为模糊数中心值，α > 0，b > 0分别为左右宽度。

特别的，Li和Yi [27] 提出一致性梯形模糊数的概念，通过引入自适应指数k来表现投资者风险态度。借鉴Li和Yi [25] ，Gupta等 [26] 提出了一种新的三角模糊数的可信性函数，并验证了的可信性理论下的一致三角模糊数能够更加准确的反映投资者的态度。Gupta等 [26] 将资产收益率视为一致三角模糊变量 ${\xi }_k={\left(a-\alpha ,a,a+b\right)}_k$ 定义如下：

定义3 [27] ：设ξ_k为可信性空间上的一致三角模糊变量，其隶属函数为：

${\mu }_k\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{\left(\frac{x-a+\alpha }{\alpha }\right)}^{\frac{1}{k}},a-\alpha \le x\le a\\ \frac{1}{2}{\left(\frac{a+\beta -x}{\beta }\right)}^k,a\le x\le a+\beta \\ 0,\text{else}\end{array}$ (8)

其中k Î R，且k > 0。如果k = 1，则一致三角模糊数就变化为通常的三角模糊数，此时投资者的风险态度为中立。K > 1可以看作是投资者悲观预期的标志。k(>1)越大，意味着投资者越悲观。反之，k < 1则表明投资者的乐观。

(二) 模糊变量的可信性测度

引理1 [31] ：设ξ和h是一对相互独立的三角模糊数，其中 $\xi =\left(a_1,a_2,a_3\right)$ ， $\eta =\left(b_1,b_2,b_3\right)$ ，其和ξ + h也是一个三角模糊数，l是一个实数，有：

$\xi +\eta =\left(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3\right)$ (9)

$\lambda \cdot \xi =\{\begin{array}{l}\left(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3\right)，若\lambda \ge 0\\ \left(\lambda a_3,\lambda a_2,\lambda a_1\right)，若\lambda <0\end{array}$ (10)

设ξ为一个模糊变量，并存在有限期望，其均值 [11] 、偏度 [11] 以及可信性条件在险值CVaR [32] 可以定义如下：

$E\left[\xi \right]={\displaystyle {\int }_0^{\infty }Cr\left\{\xi \ge r\right\}\text{d}r}-{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{0}Cr\left\{\xi \le r\right\}\text{d}r}$ (11)

期望存在的条件是等式右边两个积分中至少有一个是有限的。

$Skew\left[\xi \right]=E\left[{\left(\xi -E\left[\xi \right]\right)}^3\right]={\displaystyle {\int }_0^{\infty }Cr\left\{{\left(\xi -E\left[\xi \right]\right)}^3\ge r\right\}\text{d}r}$ (12)

$CVa{R}_p\left[\xi \right]=\underset{x}{\min }\left\{x+\frac{1}{1-p}E{\left(\xi -x\right)}^{+}\right\}$ (13)

其中置信水平0 < p < 1， ${\left(\xi -x\right)}^{+}=\max \left\{\xi -x,0\right\}$ ；

引理2 [31] ：设ξ、h是一个模糊变量，a、b为实数，则

$E\left[a\xi +b\eta \right]=aE\left[\xi \right]+bE\left[\eta \right]$ (14)

引理3 [11] ：设ξ是一个模糊变量，l是一个实数，则

$Skew\left[\lambda +\xi \right]=Skew\left[\xi \right]$ (15)

特别的，根据Gupta等 [26] ，对于一致三角模糊变量 ${\xi }_k={\left(a-\alpha ,a,a+b\right)}_k$ ，有可信性均值、条件在险值(CVaR)以及偏度如下：

$E\left[{\xi }_k\right]=a+\frac{\beta -k\alpha }{2\left(k+1\right)}$ (16)

$CVa{R}_p\left[{\xi }_k\right]=\{\begin{array}{l}a+\frac{2p\alpha \left(1-{\left(2p\right)}^k\right)+k\alpha \left(2p-1\right)+\beta }{2\left(1+k\right)\left(1-p\right)}，若0<p<0.5\\ a+\beta -\frac{k\beta {\left(2\left(1-p\right)\right)}^{\frac{1}{k}}}{k+1}，若0.5\le p\le 1\end{array}$ (17)

$\begin{array}{c}Skew\left[{\xi }_k\right]=\frac{k\left[-5k^5{\alpha }^3+5{\beta }^3+k^4\alpha A_1+k^3{B}_1+k^2{C}_1+k\beta D_1\right]}{4{\left(1+k\right)}^3\left(2+k\right)\left(3+k\right)\left(1+2k\right)\left(1+3k\right)}\\ 其中，A_1=-32{\alpha }^2-9\alpha \beta +18{\beta }^2，B_1=-65{\alpha }^3-48{\alpha }^2\beta +69\alpha {\beta }^2+42{\beta }^3，\\ C_1=-42{\alpha }^3-69{\alpha }^2\beta +48\alpha {\beta }^2+65\beta ，D_1=-18{\alpha }^2+9\alpha \beta +32{\beta }^2\end{array}$ (18)

当k = 1时，有

$E\left[\xi \right]=a+\frac{\beta -\alpha }{4}$ (19)

$CVa{R}_p\left[\xi \right]=\{\begin{array}{l}a+\frac{\beta -\alpha {\left(1-2p\right)}^2}{4\left(1-p\right)}，若0<p<0.5\\ a+p\beta ，若0.5\le p\le 1\end{array}$ (20)

$Skew\left[\xi \right]=\frac{{\left(\alpha +\beta \right)}^2\left(\beta -\alpha \right)}{32}$ (21)

(三) 可信性下半绝对偏差

根据Liu等 [30] 对于下半绝对偏差(LAD)的定义，有：

$LAD\left[\xi \right]=E\left[\left|{\left(\xi -E\left[\xi \right]\right)}^{-}\right|\right]={\displaystyle {\int }_{\text{0}}^{\infty }Cr\left\{{\left(\xi -E\left[\xi \right]\right)}^{-}\ge r\right\}\text{d}r}$ (22)

其中 ${\left(\xi -E\left[\xi \right]\right)}^{-}=\{\begin{array}{l}\xi -E\left[\xi \right],\xi \le E\left[\xi \right]\\ 0,\xi >E\left[\xi \right]\end{array}$ 。

参考张鹏和龚荷珊 [15] 对半方差的推导方法，一致模糊变量 ${\xi }_k={\left(a-\alpha ,a,a+b\right)}_k$ 的可信性下半绝对偏差(LAD)为：

$LAD\left[{\xi }_k\right]=\{\begin{array}{l}\frac{k\alpha }{2\left(k+1\right)}{\left(1+\frac{\beta -k\alpha }{2\alpha \left(k+1\right)}\right)}^{\frac{k+1}{k}}，若k\alpha \ge \beta \\ \frac{\beta }{2\left(k+1\right)}{\left(1+\frac{k\alpha -\beta }{2\beta \left(k+1\right)}\right)}^{k+1}，若k\alpha <\beta \end{array}$ (23)

证明：

$LAD\left[{\xi }_k\right]=E\left[\left|{\left({\xi }_k-E\left[{\xi }_k\right]\right)}^{-}\right|\right]={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }Cr\left\{\left|{\left({\xi }_k-E\left[{\xi }_k\right]\right)}^{-}\right|\ge r\right\}\text{d}r}={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }Cr\left\{E\left[{\xi }_k\right]-{\xi }_k\ge r\right\}\text{d}r}={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }Cr\left\{{\xi }_k\le e-r\right\}\text{d}r}$

其中， $e=a+\frac{\beta -k\alpha }{2\left(k+1\right)}$ 。

此时

$Cr\left\{{\xi }_k\le e-x\right\}=\{\begin{array}{l}0,x>\frac{\beta +k\alpha +2\alpha }{2\left(k+1\right)}\\ \frac{1}{2}{\left(\frac{\beta +k\alpha +2\alpha }{2\alpha \left(k+1\right)}-\frac{x}{\alpha }\right)}^{\frac{1}{k}},\frac{-k\alpha +\beta }{2\left(k+1\right)}\le x\le \frac{\beta +k\alpha +2\alpha }{2\left(k+1\right)}\\ 1-\frac{1}{2}{\left(\frac{x}{\beta }+\frac{2k\beta +\beta +k\alpha }{2\beta \left(k+1\right)}\right)}^k,0\le x\le \frac{-k\alpha +\beta }{2\left(k+1\right)}\\ 1,x\le 0\end{array}$

则当kα>b时，有

$\begin{array}{c}LAD\left[{\xi }_k\right]={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\beta +k\alpha +2\alpha }{2(k+1)}}\frac{1}{2}{\left(\frac{\beta +k\alpha +2\alpha }{2\alpha \left(k+1\right)}-\frac{r}{\alpha }\right)}^{\frac{1}{k}}\text{d}r}+0\\ =\frac{k\alpha }{2\left(k+1\right)}{\left(\frac{\beta +k\alpha +2\alpha }{2\alpha \left(k+1\right)}\right)}^{\frac{1}{k}+1}\end{array}$

当kα < b时，有

$\begin{array}{c}LAD\left[{\xi }_k\right]={\displaystyle {\int }_{\frac{-k\alpha +\beta }{2\left(k+1\right)}}^{\frac{\beta +k\alpha +2\alpha }{2\left(k+1\right)}}\frac{1}{2}{\left(\frac{\beta +k\alpha +2\alpha }{2\alpha \left(k+1\right)}-\frac{r}{\alpha }\right)}^{\frac{1}{k}}dr}\\ +{\displaystyle {\int }_0^{\frac{-k\alpha +\beta }{2\left(k+1\right)}}1-\frac{1}{2}{\left(\frac{r}{\beta }+\frac{2k\beta +\beta +k\alpha }{2\beta \left(k+1\right)}\right)}^{k}dr}\\ =\frac{k\alpha }{2\left(k+1\right)}+\frac{\beta -k\alpha }{2\left(k+1\right)}-\frac{\beta }{2\left(k+1\right)}\\ +\frac{\beta }{2\left(k+1\right)}{\left(\frac{2k\beta +\beta +k\alpha }{2\beta \left(k+1\right)}\right)}^{k+1}\\ =\frac{\beta }{2\left(k+1\right)}{\left(1+\frac{k\alpha -\beta }{2\beta \left(k+1\right)}\right)}^{k+1}\end{array}$

即：

$LAD\left[{\xi }_k\right]=\{\begin{array}{l}\frac{k\alpha }{2\left(k+1\right)}{\left(1+\frac{\beta -k\alpha }{2\alpha \left(k+1\right)}\right)}^{\frac{k+1}{k}}，若k\alpha \ge \beta \\ \frac{\beta }{2\left(k+1\right)}{\left(1+\frac{k\alpha -\beta }{2\beta \left(k+1\right)}\right)}^{k+1}，若k\alpha <\beta \end{array}$

证明完毕。

当k = 1时，有：

$LAD\left[\xi \right]=\{\begin{array}{l}\frac{{\left(\beta +3\alpha \right)}^3}{64\alpha }，若\alpha \ge \beta \\ \frac{{\left(3\beta +\alpha \right)}^3}{64\beta }，若\alpha <\beta \end{array}$ (24)

该结果与Liu等 [30] 一致。

3. 可信性理论下多期多目标模糊投资组合模型构建与求解

(一) 模型构建

假设投资者希望在n个资产中分配可用的资本，投资范围包括T个时期。投资者在每期结束时，根据可获得的资本等更新信息来调整下一期的投资组合(投资组合再平衡)。第 $i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 个资产在 $t\left(t=1,2,\cdots ,T\right)$ 时期的收益率用一个连贯的三角模糊数 ${\xi }_{it,k}={\left(a_{it}-{\alpha }_{it},a_{it},a_{it}+b_{it}\right)}_k$ 表示。一致三角模糊数的适应性指数k用来模拟投资者对股票市场的看法(其中k < 1表示乐观，k > 1表示悲观，k = 1为中性)。

如果x_it是在t时期对资产i的投资比例，可以得到多期资产投资组合收益率为 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\xi }_{it,k}}={\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{a}_{it}}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\alpha }_{it}},{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{a}_{it}},{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{a}_{it}}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\beta }_{it}}\right)}_k$ 。

1) 总交易成本

在多期投资过程中，不同投资之间资产的买卖会产生交易费用c_it，假设总交易成本为：

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_{it}\left|x_{it}-x_{i,t-1}\right|}$ (25)

其中， $x_{i0}=0,\forall i=1,2,\cdots ,n,t=1,2,\cdots ,T$ 。

2) 终期财富值

假定W_t表示t时期末的财富值，则有：

$W_t=W_{t-1}\left(1+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left[\frac{a_{it}+\left({\beta }_{it}-{\alpha }_{it}\right)}{4}\right]x_{it}}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_{it}\left|x_{it}-x_{i,t-1}\right|}\right)$ (26)

基于此，本文研究的目标之一是最大化终期财富值W，即：

$\max W\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\xi }_{it}}\right]=W_0{\displaystyle \underset{t=1}{\overset{T}{\prod }}\left(1+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left[\frac{a_{it}+\left({\beta }_{it}-{\alpha }_{it}\right)}{4}\right]x_{it}}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_{it}\left|x_{it}-x_{i,t-1}\right|}\right)}$ (27)

特别的，在考虑投资者的风险态度时，含指数k的最大化终期财富值目标函数如下：

$\max W\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\xi }_{it,k}}\right]=W_0{\displaystyle \underset{t=1}{\overset{T}{\prod }}\left(1+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{it}{x}_{it}}+\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\beta }_{it}{x}_{it}}-k{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\alpha }_{it}{x}_{it}}}{2\left(k+1\right)}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_{it}\left|x_{it}-x_{i,t-1}\right|}\right)}$ (28)

其中， $x_{i0}=0,\forall i=1,2,\cdots ,n,t=1,2,\cdots ,T$ 。

3) 多期多目标优化模型

假设所有资产全部用于投资，考虑可信性均值和终期财富值最大化、可信性LAD和CVaR最小化这四个目标函数，在约束条件中引入偏度约束以增加正收益概率，同时加入投资比例上下界约束来达到不允许卖空和分散风险的目的，构建优化模型如下：

$\begin{array}{c}\max E\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\xi }_{it,k}}\right]\\ \min LAD\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\xi }_{it,k}}\right]\\ \min \left|CVaR\left[-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\xi }_{it,k}}\right]\right|\\ \max W\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\xi }_{it,k}}\right]\end{array}$ (29)

$s.t.\{\begin{array}{l}Skew\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\xi }_{it,k}}\right]>0\\ {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}=1}\\ l_{it}\le x_{it}\le u_{it}\\ \forall i=1,2,\cdots ,n,t=1,2,\cdots ,T\end{array}$

其中多期可信性均值、LAD、CVaR以及偏度的具体表达式见附录1。与Gupta等 [26] 相比，本文直接将偏度作为约束条件，并将可信性下半绝对偏差LAD作为风险测度，由此建立均值-LAD-CVaR-偏度模型。

(二) 模型求解

多目标优化问题求解的主要方法是利用线性加权法将其转化为单目标优化问题。考虑到线性加权法可能存在权重约束失效，本文利用理想点法 [33] 的方法进行转换，理想点法的基本思想是对于多目标规划问题：

$\begin{array}{l}\max f_1=E\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\xi }_{it,k}}\right]\\ \min f_2=LAD\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\xi }_{it,k}}\right]\\ \min f_3=\left|CVaR\left[-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\xi }_{it,k}}\right]\right|\\ \max f_4=W\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\xi }_{it,k}}\right]\\ s.t.x\in X\end{array}$ (30)

先分别求出各个分目标函数的最优值，将这些最优值构成的点称为理想点，然后根据实际点与理想点之间的距离构造评价函数和单目标优化问题：

$\{\begin{array}{l}\min {\left(\frac{f_1-f_{1,\max }}{f_{1,\max }}\right)}^2+{\left(\frac{f_2-f_{2,\min }}{f_{2,\min }}\right)}^2+{\left(\frac{f_3-f_{3,\min }}{f_{3,\min }}\right)}^2+{\left(\frac{f_4-f_{4,\max }}{f_{4,\max }}\right)}^2\\ s.t.Skew\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\xi }_{it,k}}\right]>0,{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}=1},l_{it}\le x_{it}\le u_{it},\forall i=1,2,\cdots ,n,t=1,2,\cdots ,T\end{array}$ (31)

即在多目标规划的可行域内，尽可能的“逼近”理想点。

进一步的，针对动态单目标规划问题(31)，我们将采用遗传算法 [34] 求解。

4. 实证研究

(一) 数据来源

从上海证券交易所选取10支股票作为研究样本，分别是平安银行(000001)，世纪星源(000005)，中国宝安(000009)，美丽生态(000010)，南玻A (000012)，深科技(000021)，深圳能源(000027)，华联控股(000036)，华侨城A (000069)，美的集团(000333)。数据选取的时间区间为2016-01-01至2021-12-31期间内所有正常开盘时间的日交易数据(数据收集自同花顺软件)，获得各股票1472个收盘价数据。

(二) 股票模糊收益率测算

假设投资者打算在连续3个投资周期的时间范围内，在10个资产中分配他的财富，依据前文假设，所选取的10支股票的收益率是三角模糊数，记为 ${\xi }_{it,k}={\left(a_i{}_t-a_{it},a_{it},a_{it}+b_{it}\right)}_k$ ，a_it代表模糊数的左宽度，b_it代表右宽度，a_it代表三角模糊数量化后的中心值。通过搜集到的日收盘价数据计算对数收益率，以2年为一个计算周期，使用Gupta等 [28] 采用的频数统计法对数据进行量化处理，得到每支股票的三角模糊收益率中的a_it，b_it和a_it，其中 $i=1,2,\cdots ,10$ ， $t=1,2,3$ ，各支股票的模糊收益率(%)如表1所示。

Table 1. Fuzzy return rate of stock (%)

表1. 股票模糊收益率(%)

(三) 总交易成本及终值财富

假设投资者初始投资资金为10,000元，即W₀ = 10,000，单位交易成本c_it = 0.03%，则多期模糊投资组合的交易成本为 $C_{it}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{10}{\sum }}0.0003\left|x_{it}-x_{i,t-1}\right|},t=1,2,3$ 。

于是，终期财富值如下：

$W=W_0{\displaystyle \underset{t=1}{\overset{3}{\prod }}\left(1+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{10}{\sum }}{a}_{it}{x}_{it}}+\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\beta }_{it}{x}_{it}}-k{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\alpha }_{it}{x}_{it}}}{2\left(k+1\right)}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{10}{\sum }}0.0003\left|x_{it}-x_{i,t-1}\right|}\right)}$ (32)

(四) 其他参数设置

由于我国金融市场不允许卖空行为存在，故投资比例下限取为0。同时，投资的资产数越多，投资者面临的风险更低，因此，本文将考虑不同资产投资比例上限的情况，对资产投资比例上限u_it取0.3、0.5、0.8以及1这四种情况进行对比分析，同时，假设CVaR的置信水平p为0.95。

进一步的，针对本文研究目的，对投资者风险态度的参数k分别取值0.5 (风险追求)、1 (风险中性)以及1.5 (风险规避)。在求解模型所采用的遗传算法中，具体参数设置为：目标值为9，种群规模为1000，交叉概率为0.7，变异概率为0.3。从线性代数的角度来说，采用这样的处理方式，会使得在程序上更容易得到运行。交叉概率设置为70%，即一边是70%，另一边是30%，两边的基因都得到了较好的保留。

(五) 多期多目标投资组合策略

基于可信性理论构造多期均值-LAD-CVaR-偏度模糊投资组合模型，运用Python编程计算风险追求型、风险规避型和风险中性型3类投资者在投资期末的风险值(LAD, CVaR)以及收益值(E, W)，见表2。在投资比例上界约束分别取0.3、0.5、0.8以及1时，所得到的不同态度下多期投资权重见附录2。

通过对模型(32)进行实证分析，可以发现：

1) 增加投资比例上限(u_it)约束可以达到分散风险的目标。分析附录2中附表1~4可以看出：随着投资比例上界u_it的递增，投资者所采用的投资策略不同。在每个投资周期，不仅投资者实际投资的资产数量会递减，其比例大小值也会逐渐失衡。参考表2，当k = 1，即投资者态度为风险中性时，无论是收益(E和W)还是风险(LAD、CVaR)，其数值大小均随着投资比例上界u_it的增大而增大，这就意味着在追求

Table 2. Comparison of multi-period investment results under different attitudes (upper bound constraints of different investment ratios)

表2. 不同态度下多期投资结果的对比(不同投资比例上界约束)

收益最大化的同时，投资者的投资范围也会更加集中，所面临的风险也将增大。

2) 投资者的风险态度会影响其收益和风险。在投资比例上限约束相同的情况下，不同风险态度的投资者可能获得的收益和面临的风险也不同。当k值分别取0.5、1和1.5时，在投资比例上限约束u_it = 0.3的情况下，期望值E在每一个投资周期均随k值的增大而减小，3种风险态度下所获得的终期财富值分别为10362.4 > 10121.9 > 9939.7 (元)，风险测度LAD值为0.0127 > 0.0126 > 0.0085，CVaR值分别为0.0554、0.0555、0.0475。也就是说，风险偏好型投资者渴望进行具有挑战性的投资，这就意味着高风险高回报并存；风险规避型投资者倾向于低风险，其收益最低；风险中性型投资者倾向于客观看待，既不悲观，也不乐观。

在以上实证分析中，模型(32)的最优解分布符合常规投资组合结果的情况，所建模型在不同时期之间都在追求期末财富值比上一期要高的目标。同时，对于不同风险态度的投资者，若投资者对风险的容忍度越大，即承受最大的风险，其所获得的终期财富值越大；而风险规避者虽然获得的终期财富值最小，但是其稳定性最佳，风险最小，这与现实的投资环境中风险与收益不能同时兼备的事实相符。从上述实证结果可以表明该模型在中国证券市场下具有实用性和有效性。

5. 结论

本文在可信性理论下，基于下半绝对偏差(LAD)和条件在险值(CVaR)进行风险的度量，引入偏度约束来增加正收益概率，同时考虑交易成本和投资比例上下界约束，研究考虑投资者风险态度的多期多目标模糊投资组合问题，利用上海证券交易所股票市场数据进行实证分析。与已有文献相比，本文创新点在于：对一致性三角模糊变量的可信性下半绝对偏差(LAD)进行推导计算，在可信性理论下，建立考虑投资者风险态度的多期均值-LAD-CVaR-偏度模糊投资组合模型，并通过理想点法进行模型求解。实证结果表明：持有不同风险态度的投资者在投资周期结束之后所获得投资权重、收益和风险值均不同，对风险容忍度越高的投资者获得的终期收益越大，同时也兼具最大的不稳定性。

附录1

第三章第(一)节多期多目标模糊投资组合模型构建中，基于一致三角模糊数构建的可信性测度的表达式如下：

1) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\xi }_{it,k}}$ 的可信性期望收益(E)为：

$E\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\xi }_{it,k}}\right]={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{it}{x}_{it}}+\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\beta }_{it}{x}_{it}}-k{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\alpha }_{it}{x}_{it}}}{2\left(k+1\right)}$

2) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\xi }_{it,k}}$ 的可信性下半绝对偏差(LAD)为：

$LAD\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\xi }_{it,k}}\right]=\{\begin{array}{l}\frac{k{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\alpha }_{it}}}{2\left(k+1\right)}{\left(1+\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\beta }_{it}}-k{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\alpha }_{it}}}{2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\alpha }_{it}}\left(k+1\right)}\right)}^{\frac{k+1}{k}}，若k{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\alpha }_{it}}\ge {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\beta }_{it}}\\ \frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\beta }_{it}}}{2\left(k+1\right)}{\left(1+\frac{k{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\alpha }_{it}}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\beta }_{it}}}{2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\beta }_{it}}\left(k+1\right)}\right)}^{k+1},若k{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\alpha }_{it}}<{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\beta }_{it}}\end{array}$

3) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\xi }_{it,k}}$ 的可信性偏度(Skew)的表达式分别为：

$\begin{array}{c}Skew\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\xi }_{it,k}}\right]=\frac{k\left[-5k^5{\varphi }^3+5{\phi }^3+k^4\varphi A_{\text{2}}+k^3{B}_{\text{2}}+k^2{C}_{\text{2}}+k\phi D_{\text{2}}\right]}{4{\left(1+k\right)}^3\left(2+k\right)\left(3+k\right)\left(1+2k\right)\left(1+3k\right)}\\ 其中,A_2\text{=}-32{\varphi }^2-9\varphi \phi +18{\phi }^2\\ B_{\text{2}}=-65{\varphi }^3-48{\varphi }^2\phi +69\varphi {\phi }^2+42{\phi }^3\\ C_{\text{2}}=-42{\varphi }^3-69{\varphi }^2\phi +48\varphi {\phi }^2+65\phi \\ D_{\text{2}}=-18{\varphi }^2+9\varphi \phi +32{\phi }^2\\ \varphi ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\alpha }_{it}},\phi ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\beta }_{it}}\end{array}$

4) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\xi }_{it,k}}$ 的可信性条件在险值(CVaR)的表达式为：

$CVaR\left[-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\xi }_{it,k}}\right]=\{\begin{array}{l}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\alpha }_{it}}-\frac{2p{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\alpha }_{it}}\left(1-{\left(2p\right)}^k\right)+k{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\alpha }_{it}}\left(2p-1\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\beta }_{it}}}{2\left(1+k\right)\left(1-p\right)},若0<p<0.5\\ -{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\alpha }_{it}}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\beta }_{it}}-\frac{k{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{it}{\beta }_{it}}{\left(2\left(1-p\right)\right)}^{\frac{1}{k}}}{k+1}，若0.5\le p\le 1\end{array}$

附录2

第四章第(五)节多期多目标投资组合策略中，对资产投资比例上限u_it取0.3、0.5、0.8以及1时，可得不同态度下多期投资权重如下：

Table S1. Multi-period investment weight under different attitudes (upper limit of investment ratio uit = 0.3)

附表1. 不同态度下多期投资权重(投资比例上限u_it = 0.3)

Table S2. Multi-period investment weight under different attitudes (upper limit of investment ratio uit = 0.5)

附表2. 不同态度下多期投资权重(投资比例上限u_it = 0.5)

Table S3. Multi-period investment weight under different attitudes (upper limit of investment ratio uit = 0.8)

附表3. 不同态度下多期投资权重(投资比例上限u_it = 0.8)

Table S4. Multi-period investment weight under different attitudes (upper limit of investment ratio uit = 1)

附表4. 不同态度下多期投资权重(投资比例上限u_it = 1)