更高分数阶p-Laplacian方程的特征值问题

Eigenvalue Problems of Higher Fractional Order p-Laplacian Equation

摘要: 特征值、特征向量一直都是谱理论的重要组成部分。为了得到更高分数阶p-Laplacian算子相关的结果，我们将通过变分法、约束变分法证明方程对应的泛函满足Palais-Smale条件，并借助相关定理将求解特征值转化为求解泛函的临界值，最终得到了在所定义空间中算子的特征值、特征向量。

Abstract: Eigenvalues and eigenvectors are always important components of spectral theory. In order to obtain the results related to higher fractional order p-Laplacian operators, we will prove that the functional corresponding to the equation satisfies the Palais-Salale condition by using the varia-tional method and constrained variational method, and transform the solution of eigenvalue into the critical value of the solution of functional by using the relevant theorem, and finally obtain the eigenvalue and eigenvector of the operator in the defined space.

1. 引言

近些年来，随着对分数阶Sobolev空间的不断研究，Sobolev空间和相应的线性、非线性方程被应用到各个领域，例如优化问题 [1]，金融问题 [2]，分层材料 [3] [4] [5]。一方面，相应的分数阶拉普拉斯算子更深层次的性质被广泛研究，例如 [6] - [12]。另一方面，通过分数阶Laplacian算子 ${\left(-\Delta \right)}^{s}u$ ( $0<s<\text{1}$ )去研究其他方程，也获得了很多的结果。例如 [13] 通过分数导数算子与分数阶Laplacian算子研究了Casimir效应， [14] 通过引入分数Sturm-Liouville算子，并以分数阶Laplacian算子为例，考虑了包含线性分数阶Laplacian算子的分布阶时空分数扩散方程， [15] 证明了在有界的Lipschitz区域中涉及s阶积分分数阶Laplacian算子的Dirichlet问题的解的Besov正则性估计。应运而生的关于更高分数阶的Laplacian算子 ${\left(-\Delta \right)}^{s}u$ ( $s=1+\sigma$ ， $0<\sigma <1$ )问题通过借助变分法 [16] [17]，Fourier变换 [18] 也得到了很好的结果。

由 [9]，我们指出，对于光滑函数 $u\in S\left(R^N\right)$ ，

${\left(-\Delta \right)}^{s}u\left(x\right):=C_{N,s}P.V.{\displaystyle \underset{R^N}{\int }\frac{u\left(x\right)-u\left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}y},$ (1)

其中 $S$ 表示施瓦茨空间，P.V.表示的是柯西主值，

$C_{N,s}:={\left({\displaystyle \underset{R^N}{\int }\frac{1-\text{cos}\left({\xi }_{\text{1}}\right)}{{\left|\xi \right|}^{N+2s}}\text{d}\xi }\right)}^{-1}=2^{2s-1}{\pi }^{-\frac{N}{2}}\frac{\Gamma \left(\frac{N+2s}{2}\right)}{\left|\Gamma \left(-s\right)\right|},$ (2)

是一个常数。在 $S\left(R^N\right)$ 中，通过Fourier变换找到算子的等价形式，简述为，对于 $s>1$ ，有

${\left(-\hat{\Delta }\right)}^{s}u\left(\xi \right)={\left|\xi \right|}^{2s}\hat{u}\left(\xi \right),\xi \in R^N,s>0.$ (3)

通过( [19]，命题2.2)可得， $u\in S\left(R^N\right)$ ， $s=1+\sigma$ 时，

${\left(-\Delta \right)}^{s}u=-div{\left(-\Delta \right)}^{\sigma }\nabla u.$

由 [19]，通过定义希尔伯特空间，作者借助Riesz表示定理，Fredholm二择一定理，Hilbert投影定理得到了问题

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}^s{u}_i={\lambda }_i{u}_i,x\in \Omega ,\\ N_{\sigma }^1{u}_i=0,x\in R^N\backslash \bar{\Omega },\\ N_{\sigma }^2{u}_i=0,x\in \partial \Omega ,\end{array}$

的特征值、特征向量。由于非齐次项的存在， [20] 通过变分法证明了在光滑有界域上分数阶p-Laplacian，

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}_p^{s}u=\lambda {\left|u\right|}^{p-2}u,x\in \Omega ,\\ u=0,x\in R^N\backslash \Omega ,\end{array}$

特征值问题，其中 $0<s<1,\Omega \subset R^N$ 为具有Lipschitz边界条件的有界区域，

${\left(-\Delta \right)}_p^{s}u=2\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \underset{R^N\backslash B_{\epsilon }\left(x\right)}{\int }\frac{{\left|u\left(x\right)-u\left(y\right)\right|}^{p-2}\left(u\left(x\right)-u\left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+sp}}\text{d}y},x\in R^N.$

在本文中，将致力于研究更高分数阶p-Laplacian方程的特征值问题。同时由于非齐次项的存在以及Hilbert投影定理的缺失，本文将借鉴 [11] [20] 的方法，研究问题

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}_p^{s}u=\lambda {\left|u\right|}^{p-2}u,x\in \Omega ,\\ N_{\sigma }^{1}u=0,x\in R^N\backslash \bar{\Omega },\\ N_{\sigma }^{2}u=0,x\in \partial \Omega ,\end{array}$

的特征值以及对应的特征向量。其中 $\Omega \subset R^N$ 为有界区域且为 $C^{1,1}$ 的，

${\left(-\Delta \right)}_p^{s}u\left(x\right):=-div\left(P.V.{\displaystyle \underset{R^N}{\int }\frac{{\left|\nabla u\left(x\right)-\nabla u\left(y\right)\right|}^{p-2}\left(\nabla u\left(x\right)-\nabla u\left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+\sigma p}}\text{d}y}\right),x\in R^N.$

无特别说明外，在这篇文章中， $p>2,1<s<2$ ， $\Omega \subset R^N$ 为有界区域且为 $C^{1,1}$ 。

本文的结构安排如下：在第二节中我们将给出本文所需要的空间以及所需要的定义，第三部分将通过变分法、约束条件获得方程的泛函满足PS条件，并通过相关定理推得求泛函的临界值与方程的特征值的等价性，进而得到本文要求的方程的特征值。

2. 空间的建立

本由 [16] 中关于弱导数的定义以及 [19] 中的定义1.2，定义3.1，我们先给本文中所需要的空间。

定义 2.1定义空间

$X_{\left(0,0\right)}^s\left(\Omega \right)=\left\{u:R^N\to R:u弱可导并且{\Vert u\Vert }_{X_{\left(0,0\right)}^s\left(\Omega \right)}<\infty \right\},$

其中，

${\Vert u\Vert }_{X_{\left(0,0\right)}^s\left(\Omega \right)}={\left({\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|u\right|}^p\text{d}x}+{\displaystyle \underset{Q\left(\Omega \right)}{\iint }\frac{{\left|\nabla u\left(x\right)-\nabla u\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{N+\sigma p}}\text{d}x\text{d}y}\right)}^{\frac{1}{p}}.$

出于简洁性，将 $X_{\left(0,0\right)}^s$ 记为X。

定理 2.2 $X_{\left(0,0\right)}^s\left(\Omega \right)$ 是自反的Banach空间。

定义2.3 ( [21] ) $W,W^{\prime }$ 是Banach空间，算子 $q:W\to W^{\prime }$ 是s-齐次且为奇的当且仅当

$q\left(\alpha u\right)={\left|\alpha \right|}^{s-1}\alpha q\left(u\right),\text{}\forall u\in W,\alpha \in R.$

3. 求解特征值、特征向量

考虑非线性特征值问题

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}_p^{s}u=\lambda {\left|u\right|}^{p-2}u,x\in \Omega ,\\ N_{\sigma }^{1}u=0,x\in R^N\backslash \bar{\Omega },\\ N_{\sigma }^{2}u=0,x\in \partial \Omega ,\end{array}$ (4)

其中 $\lambda \in R$ 。如果(4)有一个弱解，也就是有

$\frac{C_{N,\sigma }}{2}{\displaystyle \underset{Q\left(\Omega \right)}{\int }\frac{{\left|\nabla u\left(x\right)-\nabla u\left(y\right)\right|}^{p-2}\left(\nabla u\left(x\right)-\nabla u\left(y\right)\right)\left(\nabla v\left(x\right)-\nabla v\left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+\sigma p}}\text{d}x\text{d}y}=\lambda {\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|u\right|}^{p-2}uv\text{d}x}.$ (5)

对于所有的 $v\in X$ ，称 $\lambda$ 是具有齐次Neumann边界条件的特征值，称u为对应于特征值 $\lambda$ 的特征函数。

如果 $\lambda =0$ ，通过(5)可得

${\displaystyle \underset{Q\left(\Omega \right)}{\int }\frac{{\left|\nabla u\left(x\right)-\nabla u\left(y\right)\right|}^{p-2}\left(\nabla u\left(x\right)-\nabla u\left(y\right)\right)\left(\nabla v\left(x\right)-\nabla v\left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+\sigma p}}\text{d}x\text{d}y}=0.$

因此 $u\in K_1\left(R^N\right)$ 。反过来，如果特征函数 $u\in K_1\left(R^N\right)$ ，则得到 $\lambda =0$ 。因此，出于方便性考虑，现对空间X进行直和划分，即 $X=K_1\left(R^N\right)\oplus X^{s,0}$ 。

${\Vert u\Vert }_{X^{s,0}}^p={\displaystyle \underset{R^{2N}\backslash {\left(C\Omega \right)}^2}{\int }\frac{{\left|\nabla u\left(x\right)-\nabla u\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{N+\sigma p}}\text{d}x\text{d}y}<\infty .$

先回顾一下Alexander-Spanier上同调理论以及上同调指标，更多性质可参考 [21] [22]。

$A\left(X\right)$ 表示Banach空间X的所有非空、闭的且对称的子集。对于所有的 $A\in A\left(X\right)$ ， $B\in A\left(X^{\prime }\right)$ ， $C_2\left(A,B\right)$ 表示所有奇且连续的映射 $f:A\to B$ 。对于所有 $A\in A$ ，定义商空间 $\bar{A}=A/Z_2$ 以及分类映射 $\varphi :\bar{A}\to R{P}^{\infty }$ ，其中 $R{P}^{\infty }$ 表示无限维射影空间，这导致了上同调环的同态 ${\varphi }^{*}:H^{*}\left(R{P}^{\infty }\right)\to H\left(\bar{A}\right)$ 。我们可以在单个生成元 $\omega$ 上识别 ${\varphi }^{*}:H^{*}\left(R{P}^{\infty }\right)$ 和上同调环 $Z_2\left(\omega \right)$ 。最后给出A的正整数指标

$i\left(A\right)=\sup \left\{k\in N:{\varphi }^{*}\left({\omega }^{k-1}\right)\ne 0\right\}.$

在本文中需要用到的指标理论为：

1) 对所有的 $k\in N$ ，

$i\left(S^{k-1}\right)=k,$

其中 $S^{k-1}$ 表示 $R^k$ 中的单位球。

2) 如果 $A\in A\left(X\right)$ ， $B\in A\left(X^{\prime }\right)$ ， $f\in C_2\left(A,B\right)$ ，则

$i\left(A\right)\le i\left(B\right).$

对于 $u,v\in X^{s,0}\left(\Omega \right)$ ， $A:X^{s,0}\left(\Omega \right)\to {\left(X^{s,0}\right)}^{\prime }\left(\Omega \right)$ 被设为

$\langle A\left(u\right),v\rangle ={\displaystyle \underset{R^{2N}}{\int }\frac{{\left|\nabla u\left(x\right)-\nabla u\left(y\right)\right|}^{p-2}\left(\nabla u\left(x\right)-\nabla u\left(y\right)\right)\left(\nabla v\left(x\right)-\nabla v\left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+\sigma p}}\text{d}x\text{d}y}.$

其中 ${\left(X^{s,0}\right)}^{\prime }$ 代表 $X^{s,0}$ 的对偶空间，显然A是奇的且为 $\left(p-1\right)$ -齐次的，即满足对所有的 $u,v\in X^{s,0}(\; \Omega \; )$

$\langle A\left(u\right),u\rangle ={\displaystyle \underset{R^{2N}}{\int }\frac{{\left|\nabla u\left(x\right)-\nabla u\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{N+\sigma p}}\text{d}x\text{d}y}={\Vert u\Vert }_{X^{s,0}}^p,$

$\left|\langle A\left(u\right),v\rangle \right|=\left|{\displaystyle \underset{R^{2N}}{\int }\frac{{\left|\nabla u\left(x\right)-\nabla u\left(y\right)\right|}^{p-2}\left(\nabla u\left(x\right)-\nabla u\left(y\right)\right)\left(\nabla v\left(x\right)-\nabla v\left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+\sigma p}}\text{d}x\text{d}y}\right|\le {\Vert u\Vert }_{X^{s,0}}^{p-1}{\Vert v\Vert }_{X^{s,0}}.$

由 $X\left(\Omega \right)$ 的一致凸性以及( [23]，命题1.3])得到当 $\left(u_n\right)$ 是 $X^{s,0}\left(\Omega \right)$ 中能够使得 $u_n\rightharpoonup u$ 在 $X^{s,0}\left(\Omega \right)$ 以及 $\langle A\left(u_n\right),u_n-u\rangle \to 0$ 成立的序列时，则在 $X\left(\Omega \right)$ 中有 $u_n\to u$ 成立。

F是

$S=\left\{u\in X^{s,0},{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|u\right|}^p\text{d}x}=1\right\},$

所有非空闭的对称的子集合。

对所有的 $k\in N$ ，设

$F_k=\left\{A\in F:i\left(A\right)\ge k\right\}.$

下面给出特征值 ${\lambda }_k\left({\lambda }_k\ne 0\right)$ 的定义，

${\lambda }_k=\underset{A\in F_k}{\inf }\underset{u\in A}{\sup }\phi \left(u\right)$ (6)

$\phi \left(u\right)={\displaystyle \underset{R^{2N}\backslash {\left(C\Omega \right)}^2}{\int }\frac{{\left|\nabla u\left(x\right)-\nabla u\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{N+\sigma p}}\text{d}x\text{d}y},I\left(u\right)={\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|u\right|}^p\text{d}x}.$

容易看出 $I\in C^1\left(X^{s，0}\right)$ ，因此S是一个 $C^1$ -Finsler流形。除此之外， $\phi \in C^1\left(X^{s,0}\left(\Omega \right)\right)$ ，对每一个 $u,v\in X^{s,0}(\; \Omega \; )$

$\langle {\phi }^{\prime }\left(u\right),v\rangle =p\langle A\left(u\right),v\rangle .$

命题3.1泛函 $\bar{\phi }$ 在 $c\in R$ 处满足Palais-Smale条件，其中 $\bar{\phi }$ 是 $\phi$ 在S上的限制。

证明：令 ${\left(u_n\right)}_n\subset S$ 以及 ${\left({\mu }_n\right)}_n\subset R^N$ 能够使得 $\phi \left(u_n\right)\to c$ 在 $n\to \infty$ 时和在 $X^{\prime }$ 中 ${\phi }^{\prime }\left(u_n\right)-{\mu }_n{I}^{\prime }\left(u_n\right)\to 0$

成立。

通过

${\Vert u\Vert }_X^p={\displaystyle \underset{R^{2N}\backslash {\left(C\Omega \right)}^2}{\int }\frac{{\left|\nabla u\left(x\right)-\nabla u\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{N+\sigma p}}\text{d}x\text{d}y}<\infty ,$

由( [9]，定理7.1)，可得在 $L^p\left(\Omega \right)$ 中

$\nabla u_n\left(x\right)\to \nabla u\left(x\right).$

所以，

${\phi }^{\prime }\left(u\right)=p{\displaystyle \underset{R^{2N}\backslash {\left(C\Omega \right)}^2}{\int }\frac{{\left|\nabla u\left(x\right)-\nabla u\left(y\right)\right|}^{p-2}\left(\nabla u\left(x\right)-\nabla u\left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+\sigma p}}\text{d}x\text{d}y},$

$\begin{array}{c}\langle A\left(u_n\right),u_n-u\rangle ={\displaystyle \underset{R^{2N}}{\int }\frac{{\left|\nabla u_n\left(x\right)-\nabla u_n\left(y\right)\right|}^{p-2}\left(\nabla u_n\left(x\right)-\nabla u_n\left(y\right)\right)\left(\nabla \left(u_n-u\right)\left(x\right)-\nabla \left(u_n-u\right)\left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+\sigma p}}\text{d}x\text{d}y}\\ \le \left|{\mu }_n\langle I^{\prime }\left(u\right),u_n-u\rangle +o\left(1\right)\right|\le {\mu }_n{\Vert u_n-u\Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}^p\to 0.\end{array}$

得到在X中 $u_n\to u$ 。

命题3.2 对于所有的 $k\in N$ ， ${\lambda }_k\ne 0$ 是(3.1)的特征值，而且 ${\lambda }_k\to \infty$ 。

证明：证明命题3.2将等价于证明 ${\lambda }_k$ 是 $\phi$ 的临界值。事实上，通过命题3.1的证明过程，存在 $u\in S$ 和 $\mu \in R$ 使得 $\phi \left(u\right)=\lambda$ 和 ${\phi }^{\prime }\left(u\right)-\mu I^{\prime }\left(u\right)=0$ 在 ${\left(X^{s,0}\left(\Omega \right)\right)}^{\prime }$ 成立，则对于所有的 $v\in X^{s,0}\left(\Omega \right)$ ，有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{R^{2N}}{\int }\frac{{\left|\nabla u_n\left(x\right)-\nabla u_n\left(y\right)\right|}^{p-2}\left(\nabla u_n\left(x\right)-\nabla u_n\left(y\right)\right)\left(\nabla \left(u_n-u\right)\left(x\right)-\nabla \left(u_n-u\right)\left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+\sigma p}}\text{d}x\text{d}y}\\ =\mu {\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|u\left(x\right)\right|}^{p-2}u\left(x\right)v\left(x\right)\text{d}x}.\end{array}$

因此，(取 $v=u$ ) $\mu =\lambda \cdot \frac{2}{C_{N,\sigma }}$ 。所以， $u\ne 0$ 满足(5)。反过来，如果 $\lambda$ 是(4)的特征值，那么就可以找到一个 $\lambda$ 的特征函数 $u\in X^{s,0}\left(\Omega \right)$ 且 $I\left(u\right)=1$ 。所以， $u\in S$ 是 $\bar{\phi }$ 在 $\lambda$ 处的临界点。为此将采用反证法证明。假设 ${\lambda }_k$ 是J的正则值，则通过命题3.1， $\phi$ 满足Palais-Smale条件。由( [23]，定理2.5)知，存在实数 $\epsilon >0$ 和一个奇同胚 $\eta :S\to S$ 使得 $\phi \left(\eta \left(u\right)\right)\le {\lambda }_k-\epsilon$ 对所有 $u\in S$ 在 $\phi \left(u\right)\le {\lambda }_k+\epsilon$ 下成立。因为 $A\in F_k$ ，可使得 $\underset{A}{\sup }\phi \le {\lambda }_k+\epsilon$ 。设 $B=\eta \left(A\right)$ ，则 $B\in F$ 以及 $i\left(B\right)\ge i\left(A\right)$ ，所以 $B\in F_k$ ，则可以得到 $\underset{B}{\sup }\phi \le {\lambda }_k-\epsilon$ ，这与(6)矛盾。