带状域无浮力扩散的二维Boussinesq方程的稳定性

Stability of the 2D Boussinesq Equations without Buoyancy Diffusion in Strip Domain

摘要: 我们证明了带状域R×(0,1)中不含浮力扩散具有Navier型滑移边界条件的二维Boussinesq方程在平衡状态(0,x₂)附近的全局适定性。值得一提的是，本文仅利用能量估计，方程自身结构以及∂₁u利普希茨范数的衰减率即可获得低正则性结果。

Abstract: We prove the global well-posedness for the 2D Boussinesq equations without buoyancy diffusion around the equilibrium state (0,x₂) in the strip domain R×(0,1) with Navier-type slip boundary condition. It is worth mentioning that the results of low regularity are obtained using only the en-ergy estimate, the structure of the equations and the decay rate of Lip norm of ∂₁u .

1. 引言

在本文中，我们研究了以下具有速度阻尼项的二维Boussinesq方程：

$\{\begin{array}{l}{\partial }_{t}u+u\cdot \nabla u+u+\nabla P-\Theta e_2=0x\in \Omega ,t>0,\\ {\partial }_t\Theta +u\cdot \nabla \Theta =0,\\ \text{div}u=0,\end{array}$ (1)

其中 $\Omega \subseteq {ℝ}^2$ ， $u=\left(u_1,u_2\right)$ 表示流体的运动速度，P是流体所受压力， $\Theta$ 表示流体温度， $e_2$ 表示二维空间中垂直方向上的单位向量。这个系统通常用于模拟海洋环流和大气锋面等流体运动，相关物理背景在文献 [1] 中有详细的讨论。

近年来，稳定性问题受到了人们的广泛关注。对于全空间 ${ℝ}^2$ ，万 [2] 采用two-tier能量方法，先假设高阶正则性得到低阶衰减性，然后再利用低阶衰减性来获得高阶正则性。对于有界区域 [3] [4] ，周期区域 ${\mathbb{T}}^2$ [5] 和带状域 [6] ，有相应的高阶稳定性结果。

在本文中，我们感兴趣的是Boussinesq系统(1)在带状域中平衡状态 $\left(0,x_2\right)$ 附近的低阶稳定性。

$\Omega :=\left\{x=\left(x_1,x_2\right)|-\infty <x_1<+\infty ,0<x_2<1\right\}\subset {ℝ}^2$ (2)

这里速度场满足Navier型滑移边界条件：

$\left(u\cdot n\right)\left(x,t\right)=0,\left(\nabla \times u\right)\left(x,t\right)=0在\partial \Omega 上,t>0$

其物理意义是存在一个靠近边界的流体停滞层，它允许流体以与剪切应力成比例的滑移速度滑移。

通过设 $\theta =\Theta -x_2$ ，我们得到系统(1)的扰动方程：

$\{\begin{array}{l}{\partial }_{t}u+u\cdot \nabla u-\Delta u+\nabla p-\theta e_2=0,x\in \Omega ,t>0,\hfill \\ {\partial }_t\theta +u\cdot \nabla \theta +u_2=0,\hfill \\ \text{div}u=0,\hfill \\ {\partial }_2{u}_1=u_2=0,x\in \partial \Omega ,t>0,\hfill \\ u\left(x,0\right)=u_0\left(x\right),\theta \left(x,0\right)={\theta }_0\left(x\right),x\in \Omega ,\hfill \end{array}$ (3)

并且我们添加初始边界条件 ${{\theta }_0|}_{\partial \Omega }=0$ 来获得稳定性结果。

注记1：这里我们对所选择的边界条件作一些解释：

由于Navier型滑移边界条件 ${u_2\left(t\right)|}_{\partial \Omega }=0$ ，(3)方程组的解 $\theta \left(t\right)$ 在带状域的边界上遵循以下传输方程：

${{\partial }_t\theta |}_{\partial \Omega }+{u_1{\partial }_1\theta |}_{\partial \Omega }=0.$

如果选择条件 ${{\theta }_0|}_{\partial \Omega }=0$ ，那么只要解存在，初始边界条件就会随时间保持下来，即 ${\theta \left(t\right)|}_{\partial \Omega }=0$ 。

为了消除压力项，我们也考虑涡度方程。

$\{\begin{array}{l}{\partial }_t\omega +u\cdot \nabla \omega -\Delta \omega -{\partial }_1\theta =0,x\in \Omega ,t>0,\hfill \\ {\partial }_t\theta +u\cdot \nabla \theta +u_2=0,\hfill \\ \omega =0,x\in \partial \Omega ,t>0.\hfill \end{array}$ (4)

注记2：由于 $\text{div}u=0$ ，速度场可以被流函数表示：

$u=\left({\partial }_2\psi ,-{\partial }_1\psi \right),$

那么

$\{\begin{array}{l}-\Delta \psi =\omega ,x\in \Omega ,\hfill \\ \psi =0,x\in \partial \Omega .\hfill \end{array}$ (5)

通过椭圆估计，我们得到

${\Vert \nabla u\Vert }_{H^k}\lesssim {\Vert \omega \Vert }_{H^k},k=0,1,2\cdots .$ (6)

符号说明：在本文中， $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 用来表示 $L^2$ 空间上的内积，为简明起见，我们令

${\partial }_i=\frac{\partial }{\partial x_i},i=1,2$

我们还将使用 $A\lesssim B$ 来表示 $A\le CB$ 对某个绝对常数 $C>0$ 成立，该常数在不同式子中可能是不同的。

2. 带状域中的先验估计

为了证明具有Navier型滑移边界条件的系统(3)或(4)的全局适定性，关键是对系统(3)或(4)的解建立全局一致的先验估计。

我们首先引入如下的能量

$\mathcal{E}\left(t\right):={\Vert u\left(t\right)\Vert }_{H^2\left(\Omega \right)}^2+{\Vert \theta \left(t\right)\Vert }_{H^1\left(\Omega \right)}^2,$

以及耗散能量

$\mathcal{F}\left(t\right):={\Vert \nabla u\left(t\right)\Vert }_{H^2\left(\Omega \right)}^2+{\Vert {\partial }_1\theta \left(t\right)\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2.$

则我们有下述一致估计：

性质1：假设系统(3)的解 $\left(u,\theta \right)$ 满足

$\underset{0\le t\le T}{\sup }\left({\Vert u\left(t\right)\Vert }_{H^2\left(\Omega \right)}^2+{\Vert \theta \left(t\right)\Vert }_{H^1\left(\Omega \right)}^2\right)\le c_0^2.$

若 $c_0$ 充分小，则存在某正常数 $C_0>0$ 使得

$\mathcal{E}\left(t\right)+{\displaystyle {\int }_0^t\mathcal{F}}\left(s\right)\text{d}s\le C_0\left({\Vert u_0\Vert }_{H^2\left(\Omega \right)}^2+{\Vert {\theta }_0\Vert }_{H^1\left(\Omega \right)}^2\right)+\mathcal{E}\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\partial }_{1}u\left(s\right)\Vert }_{L^{\infty }}\text{d}s}$

对任意的 $t\in \left[0,T\right]$ 成立。

证明：性质1的证明基于以下几个细致的能量估计步骤。

2.1. $u,\theta$ 的 $L^2$ 估计

因为在带状域边界 $\partial \Omega$ 上满足 $u_2={\partial }_2{u}_1=\theta =0$ ，我们分别用u和 $\theta$ 与(3)₁、(3)₂式做 $L^2$ 内积，分部积分得

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \theta \Vert }_{L^2}^2\right)+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2=0,$ (7)

这里 $t\in \left[0,T\right]$ 。

2.2. $\omega$ 和 $\nabla \theta$ 的 $L^2$ 估计

由于Navier型滑移边界条件，在 $\partial \Omega$ 上 $\omega =\theta =0$ ，因此我们关于方程(4)₁和 $\omega$ 做 $L^2$ 内积。然后，通过把梯度算子 $\nabla$ 作用到方程(4)₂上并作新方程和 $\nabla \theta$ 的 $L^2$ 内积来得到

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert \omega \Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla \theta \Vert }_{L^2}^2\right)+{\Vert \nabla \omega \Vert }_{L^2}^2=-\langle \nabla \theta ,\nabla \left(u\cdot \nabla \theta \right)\rangle ,$ (8)

这里我们用到

$\begin{array}{c}\langle \nabla \theta ,\nabla u_2\rangle =\langle {\partial }_1\theta ,{\partial }_1{u}_2\rangle +\langle {\partial }_2\theta ,{\partial }_2{u}_2\rangle \\ =\langle {\partial }_1\theta ,{\partial }_1{u}_2\rangle -\langle {\partial }_2\theta ,{\partial }_1{u}_1\rangle \\ =\langle {\partial }_1\theta ,{\partial }_1{u}_2\rangle -\langle {\partial }_1\theta ,{\partial }_2{u}_1\rangle =\langle {\partial }_1\theta ,\omega \rangle .\end{array}$

对于非线性项，利用在边界 $\partial \Omega$ 上 $u_2=0$ ，我们有

$\begin{array}{c}-\langle \nabla \theta ,\nabla \left(u\cdot \nabla \theta \right)\rangle =-\langle \nabla \theta ,\nabla u\cdot \nabla \theta \rangle \\ =-\langle \nabla \theta ,\nabla u_1{\partial }_1\theta \rangle -\langle {\partial }_1\theta ,{\partial }_1{u}_2{\partial }_2\theta \rangle -\langle {\partial }_2\theta ,{\partial }_2{u}_2{\partial }_2\theta \rangle \\ :=I_{21}+I_{22}+I_{23}.\end{array}$

对于 $I_{21}$ 和 $I_{22}$ ，我们有

$I_{21}+I_{22}\lesssim {\Vert \nabla \theta \Vert }_{L^2}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\partial }_1\theta \Vert }_{L^2}\lesssim {\Vert \nabla \theta \Vert }_{L^2}\left({\Vert \nabla u\Vert }_{H^2}^2+{\Vert {\partial }_1\theta \Vert }_{L^2}^2\right).$ (9)

对于 $I_{23}$ ，使用 $\text{div}u=0$ ，我们可以得到

$I_{23}=\langle {\partial }_2\theta ,{\partial }_1{u}_1{\partial }_2\theta \rangle \lesssim {\Vert {\partial }_1{u}_1\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert \nabla \theta \Vert }_{L^2}^2.$ (10)

2.3. ${\omega }_t$ 的耗散估计

我们关于方程(4)₁和 ${\omega }_t$ 做 $L^2$ 内积得到

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert \nabla \omega \Vert }_{L^2}^2-2\langle \omega ,{\partial }_1\theta \rangle \right)+{\Vert {\omega }_t\Vert }_{L^2}^2-\langle \omega ,{\partial }_1{u}_2\rangle \\ =-\langle {\omega }_t,u\cdot \nabla \omega \rangle +\langle \omega ,{\partial }_1\left(u\cdot \nabla \theta \right)\rangle ,\end{array}$ (11)

其中我们用到

$\begin{array}{c}-\langle {\omega }_t,{\partial }_1\theta \rangle =-\frac{\text{d}}{\text{d}t}\langle \omega ,{\partial }_1\theta \rangle +\langle \omega ,{\partial }_1{\theta }_t\rangle \\ =-\frac{\text{d}}{\text{d}t}\langle \omega ,{\partial }_1\theta \rangle -\langle \omega ,{\partial }_1\left(u_2+u\cdot \nabla \theta \right)\rangle .\end{array}$

现在我们估计(11)右端的非线性项

$\begin{array}{l}-\langle {\omega }_t,u\cdot \nabla \omega \rangle +\langle \omega ,{\partial }_1\left(u\cdot \nabla \theta \right)\rangle \\ =-\langle {\omega }_t,u\cdot \nabla \omega \rangle -\langle {\partial }_1\omega ,u\cdot \nabla \theta \rangle \\ \lesssim {\Vert {\omega }_t\Vert }_{L^2}{\Vert u\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert \nabla \omega \Vert }_{L^2}+{\Vert {\partial }_1\omega \Vert }_{L^2}{\Vert u\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert \nabla \theta \Vert }_{L^2}\\ \lesssim {\Vert \nabla u\Vert }_{H^1}\left({\Vert {\omega }_t\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla \omega \Vert }_{L^2}^2\right)+{\Vert \nabla \theta \Vert }_{L^2}\left({\Vert \nabla \omega \Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla u\Vert }_{H^1}^2\right),\end{array}$

这里我们用到庞加莱不等式

${\Vert u\Vert }_{L^{\infty }}\lesssim {\Vert {\Vert u\Vert }_{L_{x_2}^2}^{\frac{1}{2}}{\Vert {\partial }_{2}u\Vert }_{L_{x_2}^2}^{\frac{1}{2}}+{\Vert u\Vert }_{L_{x_2}^2}\Vert }_{L_{x_1}^{\infty }}\lesssim {\Vert {\partial }_{2}u\Vert }_{L_{x_2}^2{L}_{x_1}^{\infty }}\lesssim {\Vert \nabla u\Vert }_{H^1}.$ (12)

2.4. ${\partial }_1\theta$ 的耗散估计

由于在边界 $\partial \Omega$ 上 $\omega =\theta =0$ ，因此我们关于方程(4)₁和 $-{\partial }_1\theta$ 做 $L^2$ 内积。然后，我们把梯度算子 $\nabla$ 作用到方程(4)₂上，并对新方程和 $-\nabla u_2$ 做 $L^2$ 内积得到

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\langle \omega ,{\partial }_1\theta \rangle +{\Vert {\partial }_1\theta \Vert }_{L^2}^2-\langle {\partial }_1\theta ,\Delta \omega \rangle -{\Vert \nabla u_2\Vert }_{L^2}^2\\ =\langle {\partial }_1\theta ,u\cdot \nabla \omega \rangle +\langle \nabla u_2,\nabla \left(u\cdot \nabla \theta \right)\rangle .\end{array}$ (13)

现在我们估计(13)右端的非线性项。由于在边界 $\partial \Omega$ 上 $u_2=\theta =0$ 以及利用庞加莱不等式，我们得到

$\begin{array}{l}\langle {\partial }_1\theta ,u\cdot \nabla \omega \rangle +\langle \nabla u_2,\nabla \left(u\cdot \nabla \theta \right)\rangle \\ =\langle {\partial }_1\theta ,u\cdot \nabla \omega \rangle -\langle \Delta u_2,u\cdot \nabla \theta \rangle \\ \lesssim {\Vert {\partial }_1\theta \Vert }_{L^2}{\Vert u\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert \nabla \omega \Vert }_{L^2}+{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}{\Vert u\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert \nabla \theta \Vert }_{L^2}\\ \lesssim \left({\Vert u\Vert }_{H^2}+{\Vert \nabla \theta \Vert }_{L^2}\right)\left({\Vert {\partial }_1\theta \Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla u\Vert }_{H^1}^2\right).\end{array}$ (14)

2.5. ${\nabla }^2\omega$ 的耗散估计

为了获得 $\omega$ 的 ${\stackrel{\dot{}}{H}}^2$ 估计，我们将(4)₁重写为

$\{\begin{array}{l}-\Delta \omega =-{\omega }_t+{\partial }_1\theta -u\cdot \nabla \omega ,x\in \Omega ,\hfill \\ \omega =0,x\in \partial \Omega .\hfill \end{array}$ (15)

然后由椭圆估计得到

$\begin{array}{l}{\Vert {\nabla }^2\omega \Vert }_{L^2}\lesssim {\Vert {\omega }_t\Vert }_{L^2}+{\Vert {\partial }_1\theta \Vert }_{L^2}+{\Vert u\cdot \nabla \omega \Vert }_{L^2}\\ \lesssim {\Vert {\omega }_t\Vert }_{L^2}+{\Vert {\partial }_1\theta \Vert }_{L^2}+{\Vert u\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert \nabla \omega \Vert }_{L^2}\\ \lesssim {\Vert {\omega }_t\Vert }_{L^2}+{\Vert {\partial }_1\theta \Vert }_{L^2}+c_0{\Vert \nabla \omega \Vert }_{L^2}.\end{array}$

如果 $c_0\in \left(0,1\right)$ ，则我们得到

${\Vert {\nabla }^2\omega \Vert }_{L^2}\lesssim {\Vert {\omega }_t\Vert }_{L^2}+{\Vert {\partial }_1\theta \Vert }_{L^2}.$

2.6. 先验估计的封闭

由于 $c_0\in \left(0,1\right)$ ，通过庞加莱不等式，椭圆估计(6)和步骤2.5，能够存在一个正常数 $c_1$ 使得

$\begin{array}{l}\left({\Vert u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \theta \Vert }_{L^2}^2\right)+\delta \left({\Vert \omega \Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla \theta \Vert }_{L^2}^2\right)+{\delta }^2\left({\Vert \nabla \omega \Vert }_{L^2}^2-2\langle \omega ,{\partial }_1\theta \rangle \right)-{\delta }^3\langle \omega ,{\partial }_1\theta \rangle \\ \ge c_1\left({\Vert u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \theta \Vert }_{H^1}^2+{\Vert \omega \Vert }_{H^1}^2\right)\ge c_1\left({\Vert u\Vert }_{H^2}^2+{\Vert \theta \Vert }_{H^1}^2\right)\end{array}$

以及

$\begin{array}{l}2{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+2\delta {\Vert \nabla \omega \Vert }_{L^2}^2+2{\delta }^2\left({\Vert {\omega }_t\Vert }_{L^2}^2-\langle \omega ,{\partial }_1{u}_2\rangle \right)+2{\delta }^3\left({\Vert {\partial }_1\theta \Vert }_{L^2}^2-\langle {\partial }_1\theta ,\Delta \omega \rangle -{\Vert \nabla u_2\Vert }_{L^2}^2\right)\\ \ge c_1\left({\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\partial }_1\theta \Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla \omega \Vert }_{H^1}^2\right)\\ \ge c_1\left({\Vert \nabla u\Vert }_{H^2}^2+{\Vert {\partial }_1\theta \Vert }_{L^2}^2\right)\end{array}$

对充分小的 $\delta >0$ 成立。

于是，我们推导出

$\begin{array}{l}\left({\Vert u\left(t\right)\Vert }_{H^2}^2+{\Vert \theta \left(t\right)\Vert }_{H^1}^2\right)+{\displaystyle {\int }_0^t\left({\Vert \nabla u\Vert }_{H^2}^2+{\Vert {\partial }_1\theta \Vert }_{L^2}^2\right)\text{d}s}\\ \le C\left({\Vert u_0\Vert }_{H^2}^2+{\Vert {\theta }_0\Vert }_{H^1}^2\right)+\mathcal{E}\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\partial }_{1}u\left(s\right)\Vert }_{L^{\infty }}\text{d}s}+C{c}_0{\displaystyle {\int }_0^t\mathcal{F}}\left(s\right)\text{d}s\end{array}$

对于任意的 $t\in \left[0,T\right]$ 成立。

最后，通过取 $c_0$ 使得 $C{c}_0\le 1/2$ ，我们可以得到

$\mathcal{E}\left(t\right)+{\displaystyle {\int }_0^t\mathcal{F}}\left(s\right)\text{d}s\le C_{\text{0}}\left({\Vert u_0\Vert }_{H^2}^2+{\Vert {\theta }_0\Vert }_{H^1}^2\right)+\mathcal{E}\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\partial }_{1}u\left(s\right)\Vert }_{L^{\infty }}\text{d}s}$

对正常数 $C_0$ 成立，于是我们完成性质1的证明。

3. 带状域中的整体稳定性

通过观察性质1，我们发现如果

${\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\partial }_{1}u\left(s\right)\Vert }_{L^{\infty }}\text{d}s}\lesssim \epsilon ,$

则可以利用连续性方法证明系统(3)的全局存在性(值得注意的是，系统(3)的全局存在性即系统(1)在 $\left(0,x_2\right)$ 附近的全局稳定性)。

本文的主要结果如下。

定理1：假设 $u_0\in H^2\left(\Omega \right),{\theta }_0\in H^1\left(\Omega \right)$ 在 $\partial \Omega$ 上满足 ${{\theta }_0|}_{\partial \Omega }=0$ ，如果

${\Vert u_0\Vert }_{H^2\left(\Omega \right)}^2+{\Vert {\theta }_0\Vert }_{H^1\left(\Omega \right)}^2\le {ϵ}^2$

对充分小的 $ϵ$ 都成立，并且 ${\partial }_{1}u$ 的利普希茨范数存在如下的衰减

${\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\partial }_{1}u\left(s\right)\Vert }_{L^{\infty }}\text{d}s}\lesssim \epsilon ,$

则Boussinesq系统(3)就有唯一的全局解

$u\in C\left(\left[0,+\infty \right);H^2\left(\Omega \right)\right),\theta \in C\left(\left[0,+\infty \right);H^1\left(\Omega \right)\right),$

且存在常数 $C_0>0$ 使得

$\begin{array}{l}\left({\Vert u\left(t\right)\Vert }_{H^2\left(\Omega \right)}^2+{\Vert \theta \left(t\right)\Vert }_{H^1\left(\Omega \right)}^2\right)+{\displaystyle {\int }_0^t\left({\Vert \nabla u\left(s\right)\Vert }_{H^2\left(\Omega \right)}^2+{\Vert {\partial }_1\theta \left(s\right)\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2\right)\text{d}s}\\ \le C_0\left({\Vert u_0\Vert }_{H^2\left(\Omega \right)}^2+{\Vert {\theta }_0\Vert }_{H^1\left(\Omega \right)}^2\right)\end{array}$

对所有 $t>0$ 成立(说明：这里我们对初值仅要求低阶正则性)。

4. 结论

在本文中，我们研究了仅具有速度场耗散的二维boussinesq方程在Navier滑移边界情形下，稳态解附近低正则空间中的稳定性。

主要创新点在于：一、从方程的结构来看，速度场和温度场正则性不同，我们通过考虑涡度方程来进行转化；二、由于边界的出现，我们引入不改变边界条件的时间导数，后续再采用Stokes估计来获得速度场的二阶正则性；三、由于扰动方程中温度场仅具有弱耗散，我们利用精细的各向异性能量估计来处理非线性项。值得主要的是，本文与参考文献 [6] 的主要区别在于对初值的正则性要求更低。

今后，对于Navier滑移边界条件，我们希望通过预解估计获得 ${\Vert {\partial }_{1}u\Vert }_{L^{\infty }}$ 的衰减速率，从而去掉定理中利普希茨范数的条件，直接获得整体适定性。此外，对于更具有物理意义的非滑移边界条件，也期待能够获得整体适定性结果。

NOTES

^*通讯作者Email: [e-mail]