1. 引言
设
是非负整数的随机变量,表示一个连续时间带移民的Galton-Watson分支过程。它由现有的个体和外部移民两部分组成且两部分是相互独立的。其分支速率为
,移民速率为
,即系统中的每个粒子以均值
的指数分布,同时以
的速率产生后代粒子。与此同时,移民以
的速率产生后代,且分支与移民两部分相互独立,定义该过程的应Q-矩阵,
(1.1)
其中
,
,
,
。
设
为
的转移函数,如果
,即没有移民加入的情形,此时
退化为上临界分支过程,记为
,其是独立同分布的随机变量,并且有相同的母函数
,此时
退化为
上临界分支过程,存在非负的规范化序列
使得
,
.
当
时,且满足条件
,移民
也是独立同分布的且遵循母函数
,存在相同的规范化序列
,这样
,
.
此时,
过程可以有下面关系式决定:
,
其中
表示分支部分,
表示移民部分。
通过Li [1] 有:
, (1.2)
其中
。
我们在本文中都假设
和
。即
过程是上临界的,对于这样的过程,仍存在规范化序列
使得下式成立
.
非退化的随机序列
满足
。根据Athreya和Ney [2] ,当且仅当
-矩条件成立时,
。同时,当满足条件
,
时,
,它描述了该过程的平均增长速率,对于超临界过程,当
时,粒子数在趋于无穷,本文利用归一化序列
研究了调和矩
的收敛速度。
在分支过程中的研究中,调和矩扮演者重要的角色,此前对于调和矩的研究主要集中在离散时间及经典分支过程的情况。Nagaev [3] 证明了
,其中
。Heyde和Brown [4] 在研究中心极限定理收敛速率时得到了
,另外在某些条件下
,这与Ney和Vidyashkar [5] 的一般性结果相吻合,其研究了离散时间下
,
,
三种情形下的
收敛情况,且指出收敛速率取决于形。Pakes [6] 研究了
在
的特定渐近行为。此外,他还推测当
,
时,
。在Ney和Vidyashkar [5] 的基础上Sun [7] 将结论推广到带移民分支过程,此时变相由
与1的大小关系所决定。Li和Zhang [8] 研究了带移民的临界分支过程的调和矩收敛速度,并将这一结果应用到大偏差里。
文献 [5] 中马尔可夫分支过程的调和矩根据相变的不同有不同的收敛结果,具体见定理2.1,现将已有结果推广到带移民的连续时间分支过程,主要研究了
的渐进行为,得出了该收敛速率存在相变,且相变由
,
决定,为研究方便采用离散格子的形式将区间划分为n个长度为h的区间,具体过程见引理3.3。
文章的其余部分结构如下,在第2节中,我们介绍了一些预备知识和引理;第3节阐述主要定理及其定理的详细证明过程。最后对本文进行了总结。
2. 预备知识
为了便与讨论,我们引入了已知序列
,
的母函数
,
,
,
.
显然,
和
在
是有限的,
,且
分别为该系统的平均出生率和平均移民率。
定义拉普拉斯变换:
,
(2.1)
,
(2.2)
满足泛函方程:
. (2.3)
引理2.1. 假设
,则下列方程成立
. (2.4)
证明:
引理2.2. ( [3] ,引理4) 对于
,下面的估计成立
.
命题2.1. 对于任意
,
,
,
。同时
是以下方程的唯一解
. (2.5)
当
,
,
,
,
。
为方便参考,我们将Sun [5] 已有结果列出如下:
定理2.1. [5]
表示第n代的种群数量,假设
,
并且移民满足
,
令
那么
其中
是离散带移民分支过程的母函数。
,
分别表示移民部分和分支部分的母函数。
,
。
,
。
3. 主要定理及其证明
本节我们研究上临界GWI过程,其中移民不恒为零,我们探究总粒子数
的调和矩,即
.
的收敛速率和收敛极限。
定理3.1. 假设移民部分满足
,定义
,
令
则
(3.1)
其中
,
分别由(2.3),(2.4),命题2.1定义。
对于任意随机变量X,有
,
其中
为伽玛函数。
令
并在等式两端同时取期望可得
记
,现将
分为三部分之和:
其中
,对于足够大的整数m。
引理3.1. 对于任意的
,有
.
证明:令
,上式等价于
,
由
的定义我们知
,即对于任意的
,都存在常数使得
成立。再令
,于是得到
.
引理3.2. (
的渐近行为)
如果
,那么
,
如果
,那么
.
证明:
,
令
,当
时,
.
如果
,则有
如果
,根据定义
,则
即得证。
引理3.3. (
的渐近行为)
如果
,那么
,
如果
,那么
.
证明:
我们把时间t分成离散格子的形式,即n个长度为h的格子,则
, (3.2)
取等量代换
,(3.2)式转化为:
, (3.3)
由Li [9] 知,(3.3)式右端等于上式右端
,
根据引理2.2我们有以下不等式
因为
对于固定的h收敛,我们有
有界。
当
时,
。
当
时,
取
,则
根据(2.3)和(2.4)上式右边
令
,则
.
即得证。
引理3.4. (
的渐近行为)
如果
,那么
,
如果
,那么
.
证明:
当
时,由Q性质及引理3.3的证明,可知:
.
当
时,取等量代换
,
,
.
结合引理3.2,引理3.3,引理3.4,定理3.1即得证。
4. 结论
这篇文章主要介绍带移民分支过程矩的渐进性质,在证明过程中我们将时间t分成n等分,在此基础上进行分析研究,所得结果包括的调和矩,如定理3.1所示。作为副产品我们也得到了带移民分支过程的一个泛函方程,如引理2.1所示。
参考文献
NOTES
*通讯作者。