打靶法在分数阶微分方程边值问题中的一些应用

Some Applications of Shooting Method in Boundary Value Problem of Fractional Differential Equation

摘要: 本文利用打靶法研究了一类分数阶非线性微分方程边值问题的可解性。其中f:[0,1]×R²→R连续，1 <α ≤2，0 <θ≤α-1，₀D_t^αy(t)表示标准的Riemann-Liouvile型导数。当f:[0,1]×R²→R在假设下，满足初始条件的解的唯一性和全局存在性时，则相应的边值问题也至少存在一个解。

Abstract: In this paper, we use the shooting method to study the solvability of boundary value problem for fractional differential equation. where f:[0,1]×R²→R is continuous,1 <α ≤2，0 <θ≤α-1，₀D_t^αy(t), is the Riemann-Liouvile fractional derivative of y(t). If the uniqueness and global existence of solutions satisfying the ini-tial conditions are assumed, then there is at least one solution to the corresponding boundary value problem.

1. 引言

大量事实证明，分数阶微分方程模型在描述复杂的物理、生物问题时更具有实际意义 [1] [2] [3] 。因此，近年来越来越多的专家学者对分数阶微分方程问题给予讨论，见文献 [4] [5] [6] [7] [8] 。其中常用的研究方法有，锥上的不动点定理、上下解方法等见文献 [9] - [13] 。而打靶法 [14] 是微分方程数值解中的常用方法，其基本思想是将微分方程边值问题转化为初值问题进行求解，文献 [15] 运用压缩映射原理，研究了分数阶两点边值问题解的存在唯一性，并设计打靶法给出了数值解。而本文试图结合分数阶微分方程初值问题的相关理论和打靶法的基本思想，研究下面边值问题

$\{\begin{array}{l}{}_{0}D{}_t^{\alpha }y\left(t\right)=f\left(t,y\left(t\right),{}_{0}D{}_t^{\theta }y\left(t\right)\right),t\in \left[0,1\right],\\ y\left(0\right)=y\left(1\right)=0\end{array}$ (1)

的可解性。其中 $f:\left[0,1\right]\times R^2\to R$ 连续， $1<\alpha \le 2$ ， $0<\theta \le \alpha -1$ ， ${}_{0}D{}_t^{\alpha }y\left(t\right)$ 表示标准的Riemann-Liouvile型导数。文章的主要结构为：在第二部分中给出分数阶微分方程的相关概念；最后在第三部分将会给出主要定理的证明。

2. 预备知识

定义2.1 [15] 函数 $f:\left(a,\infty \right)\times R^2\to R$ 的 $\alpha$ 阶Riemann-Liouville型分数阶积分为：

${}_{0}I{}_t^{\alpha }f\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_a^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}f\left(s\right)\text{d}s}$

其中 $\alpha >0$ ， $\Gamma (·)$ 为Gamma函数。

定义2.2 [15] 函数 $f:\left(a,\infty \right)\times R^2\to R$ 的 $\alpha$ 阶Riemann-Liouville型导数

${}_{a}D{}_t^{\alpha }f\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(n-\alpha \right)}{\left(\frac{\text{d}}{\text{d}t}\right)}^n{\displaystyle {\int }_a^t{\left(t-s\right)}^{n-\alpha -1}f\left(s\right)\text{d}s}$

其中 $\alpha >0$ ， $\Gamma (·)$ 为Gamma函数， $n=\left[\alpha \right]+1$ 。

引理2.1 [15] 设 $n-1<\alpha \le n$ ， $f\left(t\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上的n阶导数连续，则有：

${}_{a}D{}_t^{\alpha }{}_{a}I{}_t^{\alpha }f\left(t\right)=f\left(t\right),\forall \alpha >0.$

引理2.2 [15] 令 $\alpha >0$ ， $n-1<\alpha \le n$ 。 $f\left(t\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上的n阶导数连续，则有：

${}_{a}I{}_t^{\alpha }{}_{a}D{}_t^{\alpha }f\left(t\right)=f\left(t\right)-{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{\left[{}_{a}D{}_t^{\alpha -j}f\left(t\right)\right]}_{t=a}}\frac{{\left(t-a\right)}^{\alpha -j}}{\Gamma \left(\alpha -j+1\right)}.$

引理2.3 [4] (Banach压缩映射原理)设 $\left(X,\rho \right)$ 是完备的度量空间。 $T:X\to X$ 为压缩映射，那么映射T在X内有且只有一个不动点 $X^{\ast }$ 。

3. 主要结果及其证明

首先我们考察初值问题

$\{\begin{array}{l}{}_{0}D{}_t^{\alpha }y\left(t\right)=f\left(t,y\left(t\right),{}_{0}D{}_t^{\theta }y\left(t\right)\right),t\in \left[0,1\right],\\ {{}_{0}D{}_t^{\alpha -1}y\left(t\right)|}_{t=0}=\zeta ,{{}_{0}D{}_t^{\alpha -\text{2}}y\left(t\right)|}_{t=0}=0,\end{array}$ (2)

其中 $f:\left[0,1\right]\times R^2\to R$ 连续， $1<\alpha \le 2$ ， $0<\theta \le \alpha -1$ 。

定理3.1 (解的存在唯一性)设 $f:\left[0,1\right]\times R^2\to R$ 连续，并且满足Lipschitz条件

$\left|f\left(t,x_1,y_1\right)-f\left(t,x_2,y_2\right)\right|\le K\left|x_1-x_2\right|+L\left|y_1-y_2\right|$

则当 $L+K<\Gamma \left(\alpha -\theta +1\right)$ 时，初值问题(2)有唯一解。

证明：定义算子 $T:P\to P$ 如下：

$Ty\left(t\right)=\frac{\zeta }{\Gamma \left(\alpha \right)}{t}^{\alpha -1}+\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}f\left(s,y\left(s\right),{}_{0}D{}_S^{\theta }y\left(s\right)\right)\text{d}s.}$

其中 $P=\left\{y\left(t\right)|y\left(t\right)\in C\left[0,1\right],{}_{0}D{}_t^{\alpha }y\left(t\right)\in C\left[0,1\right]\right\}$ ，范数 $\Vert y\left(t\right)\Vert =\underset{0\le t\le 1}{\max }\left\{K\left|y\left(t\right)\right|+L\left|{}_{0}D{}_t^{\theta }y\left(t\right)\right|\right\}$ 。由引理2.2可知，分数阶微分方程初值问题(2)的解就等价于算子T的不动点。

下面证明 $T:P\to P$ 为压缩映射。对 $\forall x\left(t\right)$ ， $y\left(t\right)\in P$ ，有

$\begin{array}{c}\left|Ty\left(t\right)-Tx\left(t\right)\right|=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}\left|{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}f\left(s,y\left(s\right),{}_{0}D{}_s^{\theta }y\left(s\right)\right)\text{d}s}-{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}f\left(s,x\left(s\right),{}_{0}D{}_s^{\theta }x\left(s\right)\right)\text{d}s}\right|\\ \le \frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}\left|f\left(s,y\left(s\right),{}_{0}D{}_s^{\theta }y\left(s\right)\right)-f\left(s,x\left(s\right),{}_{0}D{}_s^{\theta }x\left(s\right)\right)\right|\text{d}s}\\ \le \frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}}\left(K\left|y\left(s\right)-x\left(s\right)\right|+L\left|{}_{0}D{}_t^{\theta }y\left(s\right)-{}_{0}D{}_t^{\theta }x\left(s\right)\right|\right)\text{d}s\\ \le \frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}\text{d}s\Vert y\left(t\right)-x\left(t\right)\Vert }\\ \le \frac{1}{\Gamma \left(\alpha +1\right)}\Vert y\left(t\right)-x\left(t\right)\Vert ,\end{array}$

$\begin{array}{l}\left|{}_{0}D{}_t^{\theta }Ty\left(t\right)-{}_{0}D{}_t^{\theta }Tx\left(t\right)\right|\\ =\left|{}_{0}D{}_t^{\theta }\left\{\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}f\left(s,y\left(s\right),{}_{0}D{}_s^{\theta }y\left(s\right)\right)\text{d}s}-{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}f\left(s,x\left(s\right),{}_{0}D{}_s^{\theta }x\left(s\right)\right)\text{d}s}\right)\right\}\right|\\ =\left|{}_{0}D{}_t^{\theta }{}_{0}I{}_t^{\alpha }\left\{f\left(s,y\left(s\right),{}_{0}D{}_s^{\theta }y\left(s\right)\right)-f\left(s,x\left(s\right),{}_{0}D{}_s^{\theta }x\left(s\right)\right)\right\}\right|\\ =\left|{}_{0}I{}_t^{\alpha -\theta }\left\{f\left(s,y\left(s\right),{}_{0}D{}_s^{\theta }y\left(s\right)\right)-f\left(s,x\left(s\right),{}_{0}D{}_s^{\theta }x\left(s\right)\right)\right\}\right|\end{array}$

$\begin{array}{l}=\left|\frac{1}{\Gamma \left(\alpha -\theta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\theta -1}\left\{f\left(s,y\left(s\right),{}_{0}D{}_s^{\theta }y\left(s\right)\right)-f\left(s,x\left(s\right),{}_{0}D{}_s^{\theta }x\left(s\right)\right)\right\}\text{d}s}\right|\\ \le \frac{1}{\Gamma \left(\alpha -\theta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\theta -1}}\left|f\left(s,y\left(s\right),{}_{0}D{}_s^{\theta }y\left(s\right)\right)-f\left(s,x\left(s\right),{}_{0}D{}_s^{\theta }x\left(s\right)\right)\right|\text{d}s\\ \le \frac{1}{\Gamma \left(\alpha -\theta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\theta -1}\text{d}s\Vert y\left(t\right)-x\left(t\right)\Vert }\\ \le \frac{1}{\Gamma \left(\alpha -\theta +1\right)}\Vert y\left(t\right)-x\left(t\right)\Vert ,\end{array}$

从而

$\begin{array}{c}\Vert Ty\left(t\right)-Tx\left(t\right)\Vert =\underset{0\le t\le 1}{\max }\left\{K\left|Ty\left(t\right)-Tx\left(t\right)\right|+L\left|{}_{0}D{}_t^{\theta }Ty\left(t\right)-{}_{0}D{}_t^{\theta }Tx\left(t\right)\right|\right\}\\ \le \left(\frac{K}{\Gamma \left(\alpha +1\right)}+\frac{L}{\Gamma \left(\alpha -\theta +1\right)}\right)\Vert y\left(t\right)-x\left(t\right)\Vert \le \frac{K+L}{\Gamma (\alpha -\theta +1)}\Vert y\left(t\right)-x\left(t\right)\Vert .\end{array}$

因此当 $K+L\le \Gamma \left(\alpha -\theta +1\right)$ 时 $\frac{K+L}{\Gamma \left(\alpha -\theta +1\right)}<1$ 。即T为压缩映射。从而由引理2.3可知，算子T存在唯一不动点 $y^{\ast }\in P$ ，此不动点即为分数阶微分方程初值问题(2)的局部唯一解。下面将证这个唯一解可延拓到整个 $\left[0,1\right]$ 区间。

定理3.2 (解的延展性) 设定理3.1的条件成立，且存在常数 $M>0$ ，使得

$\left|f\left(t,x,y\right)\right|<M,\forall \left(t,x,y\right)\in \left[0,1\right]\times R^2.$

则初值问题(2)的解的极大存在区间为 $\left[0,1\right]$ 。

证明 不妨设 $y\left(t\right)$ 的极大存在区间是 $I=\left[0,T\right]$ ， $T<1$ ，由定理3.1可知：

$y\left(t\right)=\frac{\zeta }{\Gamma \left(\alpha \right)}{t}^{\alpha -1}+\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}f\left(s,y\left(s\right),{}_{0}D{}_S^{\theta }y\left(s\right)\right)\text{d}s.}$

则对 $\forall \epsilon$ ， $\exists \delta =\frac{\epsilon }{M}$ ，对 $\forall t_1,t_2\in \left(T-\delta ,T\right)$ ，令 $t_1<t_2$

$\begin{array}{c}{}_{0}D{}_t^{\alpha -1}y\left(t\right)={}_{0}D{}_t^{\alpha -1}\left\{\frac{\zeta }{\Gamma \left(\alpha \right)}{t}^{\alpha -1}+\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}f\left(s,y\left(s\right),{}_{0}D{}_S^{\theta }y\left(s\right)\right)\text{d}s}\right\}\\ =\frac{\zeta }{\Gamma \left(\alpha \right)}{}_{0}D{}_t^{\alpha -1}{t}^{\alpha -1}+{}_{0}D{}_t^{\alpha -1}{}_{0}I{}_t^{\alpha }f\left(t,y\left(t\right),{}_{0}D{}_t^{\theta }y\left(t\right)\right)\\ =\frac{\zeta }{\Gamma \left(\alpha +\theta \right)}+{}_{0}I{}_t^{1}f\left(t,y\left(t\right),{}_{0}D{}_t^{\theta }y\left(t\right)\right)\\ =\frac{\zeta }{\Gamma \left(\alpha +\theta \right)}+{\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(s,y\left(s\right),{}_{0}D{}_S^{\theta }y\left(s\right)\right)\text{d}s},\end{array}$

$\begin{array}{c}\left|{}_{0}D{}_t^{\alpha -1}y\left(t_2\right)-{}_{0}D{}_t^{\alpha -1}y\left(t_1\right)\right|=\left|{\displaystyle {\int }_0^{t_2}f\left(s,y\left(s\right),{}_{0}D{}_s^{\theta }y\left(s\right)\right)\text{d}s}-{\displaystyle {\int }_0^{t_1}f\left(s,y\left(s\right),{}_{0}D{}_s^{\theta }y\left(s\right)\right)\text{d}s}\right|\\ =\left|{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}f\left(s,y\left(s\right),{}_{0}D{}_s^{\theta }y\left(s\right)\right)\text{d}s}\right|\le {\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}\left|f\left(s,y\left(s\right),{}_{0}D{}_s^{\theta }y\left(s\right)\right)\right|\text{d}s}\\ \le M\left|t_2-t_1\right|\le \epsilon .\end{array}$

因此 $\underset{t\to T^{-}}{\lim }{}_{0}D{}_t^{\alpha -1}y\left(t\right)$ 存在，记为 ${\xi }^{·}$ 。

再由定理3.1可知，初值问题

$\{\begin{array}{l}{}_{0}D{}_t^{\alpha }x\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right),{}_{0}D{}_t^{\theta }x\left(t\right)\right),t\in \left[0,1\right],\\ {{}_{0}D{}_t^{\alpha -1}x\left(t\right)|}_{t=T}={\xi }^{·},{{}_{0}D{}_t^{\alpha -\text{2}}y\left(t\right)|}_{t=T}=0\end{array}$

在 $\left[T,T+h\right]$ 上有唯一解，则初值问题(2)的解 $y\left(t\right)$ 可以延展到 $\left[0,T+h\right]$ 上，这与 $y\left(t\right)$ 的极大存在区间为 $\left[0,T\right]$ 矛盾。故 $y\left(t\right)$ 的极大存在区间是 $\left[0,1\right]$ 。

定理3.3 (解对初值的连续依赖性)设定理3.1的条件成立， $y\left(t,\zeta \right)$ 是初值问题(2)的解，它在区间 $\left[0,1\right]$ 上有定义，那么对 $\forall \epsilon >0,\exists \delta$ ，使得当

$\left|\zeta -{\zeta }_1\right|<\delta$

时，问题(2)满足 ${{}_{0}D{}_t^{\alpha -1}|}_{t=0}={\zeta }_1$ 的解 $y\left(t,{\zeta }_1\right)$ 在区间 $\left[0,1\right]$ 上有也定义，并且

$\Vert y\left(t,\zeta \right)-y\left(t,{\zeta }_1\right)\Vert <\epsilon ,0\le t\le 1.$

证明 对 $\forall \epsilon >0$ ， $\exists \delta =\frac{\epsilon }{G}$ ，其中 $G=\frac{\frac{K}{\Gamma \left(\alpha \right)}+\frac{L}{\Gamma \left(\alpha +\theta \right)}}{1-\frac{K}{\Gamma \left(\alpha +1\right)}-\frac{L}{\Gamma \left(\alpha -\theta +1\right)}}$ ，则当 $\left|\zeta -{\zeta }_1\right|<\delta$ 时有：

$\begin{array}{l}\left|y\left(t,\zeta \right)-y\left(t,{\zeta }_1\right)\right|\\ =\left|\frac{t^{\alpha -1}}{\Gamma \left(\alpha \right)}\left(\zeta -{\zeta }_1\right)+\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}\left\{f\left(s,y\left(s,\zeta \right),{}_{0}D{}_s^{\theta }y\left(s,\zeta \right)\right)-f\left(s,y\left(s,{\zeta }_1\right),{}_{0}D{}_s^{\theta }y\left(s,{\zeta }_1\right)\right)\right\}\text{d}s}\right|\\ \le \frac{t^{\alpha -1}}{\Gamma \left(\alpha \right)}\left|\zeta -{\zeta }_1\right|+\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}\left|f\left(s,y\left(s,\zeta \right),{}_{0}D{}_s^{\theta }y\left(s,\zeta \right)\right)-f\left(s,y\left(s,{\zeta }_1\right),{}_{0}D{}_s^{\theta }y\left(s,{\zeta }_1\right)\right)\right|\text{d}s}\\ \le \frac{t^{\alpha -1}}{\Gamma \left(\alpha \right)}\left|\zeta -{\zeta }_1\right|+\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}\left(K\left|y\left(s,\zeta \right)-y\left(s,{\zeta }_1\right)\right|+L\left|{}_{0}D{}_s^{\theta }y\left(s,\zeta \right)-{}_{0}D{}_s^{\theta }y\left(s,{\zeta }_1\right)\right|\right)\text{d}s}\\ \le \frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}\left|\zeta -{\zeta }_1\right|+\frac{1}{\Gamma \left(\alpha +1\right)}\Vert y\left(t,\zeta \right)-y\left(t,{\zeta }_1\right)\Vert ,\end{array}$

$\begin{array}{l}\left|{}_{0}D{}_t^{\theta }y\left(t,\zeta \right)-{}_{0}D{}_t^{\theta }y\left(t,{\zeta }_1\right)\right|\\ =\left|\frac{\zeta -{\zeta }_1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{}_{0}D{}_t^{\theta }{t}^{\alpha -1}+{}_{0}I{}_t^{\alpha -\theta }\left\{f\left(s,y\left(s,\zeta \right),{}_{0}D{}_s^{\theta }y\left(s,\zeta \right)\right)-f\left(s,y\left(s,{\zeta }_1\right),{}_{0}D{}_s^{\theta }y\left(s,{\zeta }_1\right)\right)\right\}\right|\\ \le \frac{\left|\zeta -{\zeta }_1\right|}{\Gamma \left(\alpha +\theta \right)}{t}^{\alpha -\theta -1}+\frac{1}{\Gamma \left(\alpha -\theta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\theta -1}\left|f\left(s,y\left(s,\zeta \right),{}_{0}D{}_s^{\theta }y\left(s,\zeta \right)\right)-f\left(s,y\left(s,{\zeta }_1\right),{}_{0}D{}_s^{\theta }y\left(s,{\zeta }_1\right)\right)\right|\text{d}s}\\ \le \frac{\left|\zeta -{\zeta }_1\right|}{\Gamma \left(\alpha +\theta \right)}{t}^{\alpha -\theta -1}+\frac{1}{\Gamma \left(\alpha -\theta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\theta -1}\left(K\left|y\left(s,\zeta \right)-y\left(s,{\zeta }_1\right)\right|+L\left|{}_{0}D{}_s^{\theta }y\left(s,\zeta \right)-{}_{0}D{}_s^{\theta }y\left(s,{\zeta }_1\right)\right|\right)\text{d}s}\\ \le \frac{\left|\zeta -{\zeta }_1\right|}{\Gamma \left(\alpha +\theta \right)}+\frac{1}{\Gamma \left(\alpha -\theta +1\right)}\Vert y\left(t,\zeta \right)-y\left(t,{\zeta }_1\right)\Vert .\end{array}$

从而

$\begin{array}{c}\Vert y\left(t,\zeta \right)-y\left(t,{\zeta }_1\right)\Vert =\underset{0\le t\le 1}{\max }\left\{K\left|y\left(t,\zeta \right)-y\left(t,{\zeta }_1\right)\right|+L\left|{}_{0}D{}_t^{\theta }y\left(t,\zeta \right)-{}_{0}D{}_t^{\theta }y\left(t,{\zeta }_1\right)\right|\right\}\\ \le \frac{K\left|\zeta -{\zeta }_1\right|}{\Gamma \left(\alpha \right)}+\frac{L\left|\zeta -{\zeta }_1\right|}{\Gamma \left(\alpha +\theta \right)}+\left(\frac{K}{\Gamma \left(\alpha +1\right)}+\frac{L}{\Gamma \left(\alpha +\theta \right)}\right)\Vert y\left(t,\zeta \right)-y\left(t,{\zeta }_1\right)\Vert \\ \le \frac{\frac{K}{\Gamma \left(\alpha \right)}+\frac{L}{\Gamma \left(\alpha +\theta \right)}}{1-\frac{K}{\Gamma \left(\alpha +1\right)}-\frac{L}{\Gamma \left(\alpha -\theta +1\right)}}\left|\zeta -{\zeta }_1\right|\\ \le \epsilon .\end{array}$

成立，所以解 $y\left(t\right)$ 关于初值 $\zeta$ 连续。

定理3.4 设定理3.1-3.2的条件成立，则边值问题(1)在P中至少存在一个解。

证明 记初值问题(1)的解为 $y\left(t,\zeta \right)$ ，根据定理3.2可知， $y\left(t,\zeta \right)$ 在 $\left[0,1\right]$ 上唯一存在。并有

$\begin{array}{c}y\left(t,\zeta \right)=\frac{\zeta }{\Gamma \left(\alpha \right)}{t}^{\alpha -1}+\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}f\left(s,y\left(s\right),{}_{0}D{}_s^{\theta }y\left(s\right)\right)\text{d}s}\\ \ge \frac{\zeta }{\Gamma \left(\alpha \right)}{t}^{\alpha -1}-\frac{M}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}\text{d}s}\\ =\frac{\zeta }{\Gamma \left(\alpha \right)}{t}^{\alpha -1}-\frac{M}{\Gamma \left(\alpha +1\right)}{t}^{\alpha }\end{array}$

特别的当 $t=1$ 时有： $y\left(1,\zeta \right)\ge \frac{\zeta }{\Gamma \left(\alpha \right)}-\frac{M}{\Gamma \left(\alpha +1\right)}$ 。对充分大的 $\zeta ={\zeta }_1$ ，可以使得 $y\left(1,{\zeta }_1\right)>0$ 。

另一方面，

$\begin{array}{c}y\left(t,\zeta \right)=\frac{\zeta }{\Gamma \left(\alpha \right)}{t}^{\alpha -1}+\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}f\left(s,y\left(s\right),{}_{0}D{}_s^{\theta }y\left(s\right)\right)\text{d}s}\\ \le \frac{\zeta }{\Gamma \left(\alpha \right)}{t}^{\alpha -1}+\frac{M}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}\text{d}s}\\ =\frac{\zeta }{\Gamma \left(\alpha \right)}{t}^{\alpha -1}+\frac{M}{\Gamma \left(\alpha +1\right)}{t}^{\alpha }\end{array}$

特别的当 $t=1$ 时有： $y\left(1,\zeta \right)\le \frac{\zeta }{\Gamma \left(\alpha \right)}+\frac{M}{\Gamma \left(\alpha +1\right)}$ 。对绝对值充分大的 $\zeta ={\zeta }_2$ ，可以使得 $y\left(1,{\zeta }_2\right)<0$ 。

由定理3.3可知， $y\left(t,\zeta \right)$ 是 $\zeta$ 的一个连续函数，所以至少存在一个 ${\zeta }^{\ast }$ 使 $y\left(t,{\zeta }^{\ast }\right)=0$ ，此时初值问题(1)的解 $y\left(t,{\zeta }^{\ast }\right)$ 也就是所求边值问题(1)的解。

用打靶法解分数阶两点边值问题(1)的具体计算过程如下：

步骤1：选取初值 ${\zeta }^0$ 和迭代精度 $\epsilon$ 。

步骤2：通过解分数阶初值问题(2)，其中 ${{}_{0}D{}_t^{\alpha -1}y\left(t\right)|}_{t=0}={\zeta }^k,\left(k=0,1,2,\cdots \right)$ ，得到 $y\left(t,{\zeta }^k\right)$ ，若 $y\left(b,{\zeta }^k\right)=0$ ，则 $y\left(t,{\zeta }^k\right)\ne 0$ 就是问题(1)的解。一般情况下 $y\left(b,{\zeta }^k\right)\ne 0$ ，则记 $\varphi \left(\zeta \right):=y\left(b,\zeta \right)$ ，从初值逼近 ${\zeta }^0$ 开始，得到 ${\zeta }^k$ 如下

${\zeta }^{k\text{+}1}={\zeta }^k-\frac{\varphi \left({\zeta }^k\right)}{\Delta \varphi \left({\zeta }^k\right)},k=0,1,2,\cdots .$

步骤3：重复第二步，直至 $\left|{\zeta }^{k+1}-{\zeta }^k\right|<\epsilon$ 。并将最后的 ${\zeta }^{k+1}$ 记作 ${\zeta }^{*}$ 。

步骤4：最后通过解分数阶初值问题(2)，其中 ${{}_{0}D{}_t^{\alpha -1}y\left(t\right)|}_{t=0}={\zeta }^{*},\left(k=0,1,2,\cdots \right)$ ，得到 $y\left(t,{\zeta }^{*}\right)$ 。即为边值问题(1)的解。