广义(ω)性质

The Generalized Property (ω)

摘要: Weyl定理作为算子谱理论的重要研究内容，被广泛应用在代数几何，线性空间理论，拓扑学等不同的数学分支中，有很大的应用和理论价值。本文基于已有的理论知识，研究Weyl定理的变化，结合广义Kato型算子定义的谱集ρ_gk(T)，给出Hilbert空间上有界线性算子满足广义(ω)性质的判定条件。

Abstract: As an important research content of operator spectrum theory, Weyl theorem is widely used in al-gebraic geometry, linear space theory, topology and other different branches of mathematics, and has great application and theoretical value. In this paper, based on the existing theoretical knowledge, we study the variation of Weyl theorem, combine with the spectrum set ρ_gk(T) defined by the generalized Kato type operators, and give the judgment conditions for the bounded opera-tors on Hilbert space to satisfy the generalized properties (ω).

1. 引言

在算子理论的研究中关于谱理论的内容是一个热门的探究方向。在文章 [1] 中学者给出了算子具备一致可逆性的充要条件。1909年，H. Weyl [2] 在检查Hermite算子T的所有紧摄动的谱时发现，λ属于T的所有紧摄动的谱的充要条件的是λ属于T的谱集但不为T的谱集中孤立的有限重特征值。现在这个结论被称作Weyl定理。二十世纪90年代，Harte和Lee [3] ，Rakočević [4] [5] ，以及Aiena [6] [7] [8] 等众多学者们都对Weyl定理的若干变形和推广进行了研究。在本文中，重点探究Weyl定理的一种变化，将其称之为广义(ω)性质。关键是结合广义Kato型算子的性质定义的谱集，给出Hilbert空间上有界线性算子满足广义(ω)性质的判定条件。

在本文中，用H来表示一个无限维的复Hilbert空间， $B\left(H\right)$ 表示H上的全体有界线性算子。算子 $T\in B\left(H\right)$ ，它的谱集是 $\sigma \left(T\right)=\left\{\lambda \in ℂ:T-\lambda I不可逆\right\}$ ，记 $\rho \left(T\right)=ℂ\backslash \sigma \left(T\right)$ 。 $n\left(T\right)$ 记作零空间 $N\left(T\right)$ 的维数， $d\left(T\right)$ 记为值域 $R\left(T\right)$ 的余维数。称 $T\in B\left(H\right)$ 是上半Fredholm算子，如果 $n\left(T\right)<\infty$ 且 $R\left(T\right)$ 是闭的；称T是下半Fredholm算子，如果 $d\left(T\right)<\infty$ 且 $R\left(T\right)$ 是闭的，那么算子 $T\in B\left(H\right)$ 称为是Fredholm算子，若 $R\left(T\right)$ 是闭的且 $n\left(T\right),d\left(T\right)<\infty$ 。如果 $T\in B\left(H\right)$ 是上(或者下)半Fredholm算子，那么T的指标 $ind\left(T\right)$ 可以用 $ind\left(T\right)=n\left(T\right)-d\left(T\right)$ 来计算。记 ${\rho }_{SF}\left(T\right)=\left\{\lambda \in ℂ:T-\lambda I是半\text{Fredholm}算子\right\}$ 。Weyl算子是指标为零的Fredholm算子。上半Fredholm谱 ${\sigma }_{S{F}_{+}}\left(T\right)$ ，下半Fredholm谱 ${\sigma }_{S{F}_{-}}\left(T\right)$ 和Weyl谱分别定义为：

${\sigma }_{S{F}_{+}}\left(T\right)=\left\{\lambda \in ℂ:T-\lambda I不是上半\text{Fredholm}算子\right\}$ ；

${\sigma }_{S{F}_{-}}\left(T\right)=\left\{\lambda \in ℂ:T-\lambda I不是下半\text{Fredholm}算子\right\}$ ；

${\sigma }_w\left(T\right)=\left\{\lambda \in ℂ:T-\lambda I不是上半\text{Weyl}算子\right\}$ 。

如果 $N\left(T\right)=\left\{0\right\}$ 并且 $R\left(T\right)$ 是闭的， $T\in B\left(H\right)$ 称为是下有界算子。定义 $S{F}_{+}^{-}\left(H\right)=\left\{T\in B\left(H\right),T为上半\text{Fredholm}算子且ind\left(T\right)\le 0\right\}$ 。那么本质逼近点谱 ${\sigma }_{ea}\left(T\right)$ 和逼近点谱 ${\sigma }_a\left(T\right)$ 分别定义为：

${\sigma }_{ea}\left(T\right)=\left\{\lambda \in ℂ:T-\lambda I\notin S{F}_{+}^{-}\left(H\right)\right\}$ ；

${\sigma }_a\left(T\right)=\left\{\lambda \in ℂ:T-\lambda I不为下有界算子\right\}$ ；

如果n是满足 $N\left(T^n\right)=N\left(T^{n+1}\right)$ 成立的最小的非负整数，则n为算子T的升标 $asc\left(T\right)$ ，如果这样的整数不存在，则记 $asc\left(T\right)=+\infty$ ；而当n是满足 $R\left(T^n\right)=R\left(T^{n+1}\right)$ 成立的最小的非负整数，则n是算子T的降标 $des\left(T\right)$ ，同样当这样的整数不存在时，则记 $des\left(T\right)=+\infty$ 。若 $n\left(T\right),d\left(T\right)<\infty$ ，那么有 $asc\left(T\right)=des\left(T\right)$ 。倘若T的降标和升标都是有限的，那么T为Drazin可逆的。 $T\in B\left(H\right)$ 称为是Browder算子，若T是Fredholm算子且 $asc\left(T\right)=des\left(T\right)<\infty$ ，即T为Fredholm算子且当 $\lambda \ne 0$ 时 $T-\lambda I$ 是可逆的。Browder谱定义为 ${\sigma }_b\left(T\right)=\left\{\lambda \in ℂ:T-\lambda I不为\text{Browder}算子\right\}$ 。集合 ${\pi }_{00}\left(T\right)$ 表示谱集中孤立的有限重的特征值的全体。称T为Riesz算子，若任给 $\lambda \in ℂ\backslash \left\{0\right\}$ ， $T-\lambda I$ 为Fredholm算子。

$T\in B\left(H\right)$ 称作是Kato算子 [9] ，如果 $R\left(T\right)$ 是闭的且有 $N\left(T\right)\subseteq {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\cap }}R\left(T^n\right)}$ 。

定义1. Kato算子 $T\in B\left(H\right)$ 是广义正则的，倘若有 $T\in S{F}_{+}^{-}\left(H\right)$ ； $T\in B\left(H\right)$ 定义为有广义Kato分解(记作GKD)，假如有T的一对不变子空间 $\left(M,N\right)$ ，且为闭的，致使 $X=M\oplus N$ 并且 ${T|}_N$ 是拟幂零的， ${T|}_M$ 为广义正则的。倘若在GKD中 ${T|}_N$ 是幂零的，那么T称作是广义Kato型的。

显然地，要是T为广义Kato型，那么有 $\epsilon >0$ ，当 $0<\left|\lambda \right|<\epsilon$ 时， $T-\lambda I$ 是广义正则的。对所有的 $\lambda \in {\pi }_{00}\left(T\right)$ ， $T-\lambda I$ 成为广义Kato型的充要条件是 ${\pi }_{00}\left(T\right)=P_{00}\left(T\right)$ ，这里 $P_{00}\left(T\right)=\sigma \left(T\right)\backslash {\sigma }_b\left(T\right)$ 。

在Hilbert空间中，算子 $T\in B\left(H\right)$ 具备一致可逆性(简记为CI算子)或把它叫做一致可逆算子，若是对任给的 $S\in B\left(H\right),ST\in B{\left(H\right)}^{-1}\iff TS\in B{\left(H\right)}^{-1}$ 。在文章( [1] [10] )中也充分讨论了一致可逆性。

2. 广义(ω)性质的判定

记 ${\sigma }_{CI}\left(T\right)=\left\{\lambda \in ℂ:T-\lambda I不是CI算子\right\}$ 。一致可逆谱 ${\sigma }_{CI}\left(T\right)$ 是开集或者空集，同时具备以下所述性质( [11] )。

定理1. 令 $T\in B\left(H\right)$ ，则

${\sigma }_{CI}\left(T\right)=\sigma \left(T\right)\backslash \left({\sigma }^{left}\left(T\right)\cap {\sigma }^{right}\left(T\right)\right)$ ，

且

${\sigma }_{CI}\left(T\right)\subseteq \mathrm{int}\sigma \left(T\right)$ 。

$T\in B\left(H\right)$ 有广义(ω)性质 [12] ，是指T满足： ${\sigma }_a\left(T\right)\backslash {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(T\right)=E\left(T\right)$ ，这里 $E\left(T\right)$ 是T的谱集 $\sigma \left(T\right)$ 中全体孤立的特征值。

接下来讨论T具备广义(ω)性质的充分必要条件，所以需要定义另外新的谱集。让

${\rho }_{gk}\left(T\right)=\left\{\lambda \in ℂ:存在\epsilon >0，使得0<\left|\mu -\lambda \right|<\epsilon 时，那么T-\mu I为广义Kato型算子\right\}$ ，同时

${\sigma }_1\left(T\right)=ℂ\backslash {\rho }_1\left(T\right)$ 。显然得出 ${\sigma }_{gk}\left(T\right)\subseteq {\sigma }_{ea}\left(T\right)\subseteq {\sigma }_a\left(T\right)$ 。

定理2. $T\in B\left(H\right)$ 具备广义(ω)性质的充要条件是

${\sigma }_D\left(T\right)={\sigma }_{gk}\left(T\right)\cup \overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}\cup acc\left[iso\sigma \left(T\right)\right]\cup \left\{\lambda \in \sigma \left(T\right):n\left(T-\lambda I\right)=0\right\}$ ，

且有 $\left[{\sigma }_a\left(T\right)\backslash {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(T\right)\right]\cap \overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}=\varnothing$ 。

证明. 假设T具有广义(ω)性质。包含

${\sigma }_{gk}\left(T\right)\cup \overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}\cup acc\left[iso\sigma \left(T\right)\right]\cup \left\{\lambda \in \sigma \left(T\right):n\left(T-\lambda I\right)=0\right\}\subseteq {\sigma }_D\left(T\right)$ 显然成立。下面证明另一个包含。令

${\lambda }_0\notin {\sigma }_{gk}\left(T\right)\cup \overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}\cup acc\left[iso\sigma \left(T\right)\right]\cup \left\{\lambda \in \sigma \left(T\right):n\left(T-\lambda I\right)=0\right\}$ ，不妨碍设 ${\lambda }_0\in \sigma \left(T\right)$ 。那么有 $\epsilon >0$ ，当

$0<\left|\lambda -{\lambda }_0\right|<\epsilon$ 时，使得 $T-\lambda I$ 为广义Kato型算子。对于 $\lambda$ ，有 ${\epsilon }_1>0$ ，当 $0<\left|\mu -\lambda \right|<{\epsilon }_1$ 时，可以得到 $T-\mu I$

是广义正则的。因T具备广义(ω)性质可知 $T-\mu I$ 是下有界的( [13] )。又因 ${\lambda }_0\notin \overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}$ ，故而当 $0<\left|\mu -\lambda \right|<{\epsilon }_1$

时， $T-\mu I$ 是可逆的，即有 $\lambda \in iso\sigma \left(T\right)\cup \rho \left(T\right)$ 。又由于 ${\lambda }_0\notin acc\left[iso\sigma \left(T\right)\right]$ 且 $n\left(T-{\lambda }_{0}I\right)>0$ ，所以 ${\lambda }_0\in iso\sigma \left(T\right)$ ，从而有 ${\lambda }_0\in E\left(T\right)$ 。因T具备广义(ω)性质易知 $T-{\lambda }_{0}I$ 是Drazin可逆，即 ${\lambda }_0\notin {\sigma }_D\left(T\right)$ 。那么就有

${\sigma }_D\left(T\right)={\sigma }_{gk}\left(T\right)\cup \overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}\cup acc\left[iso\sigma \left(T\right)\right]\cup \left\{\lambda \in \sigma \left(T\right):n\left(T-\lambda I\right)=0\right\}$ 。

又由于对任给的 $\lambda \in {\sigma }_a\left(T\right)\backslash {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(T\right)$ ，因T具备广义(ω)性质易知 $T-\lambda I$ 是Drazin可逆。于是 $\lambda \notin \overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}$ ，即得 $\left[{\sigma }_a\left(T\right)\backslash {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(T\right)\right]\cap \overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}=\varnothing$ 。

相反，设 ${\sigma }_D\left(T\right)={\sigma }_{gk}\left(T\right)\cup \overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}\cup acc\left[iso\sigma \left(T\right)\right]\cup \left\{\lambda \in \sigma \left(T\right):n\left(T-\lambda I\right)=0\right\}$ ，且有

$\left[{\sigma }_a\left(T\right)\backslash {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(T\right)\right]\cap \left[{\sigma }_a\left(T\right)\backslash {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(T\right)\right]\cap \overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}=\varnothing$ 。令 ${\lambda }_0\in {\sigma }_a\left(T\right)\backslash {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(T\right)$ ，则有 $T-{\lambda }_{0}I\in SB{F}_{+}^{-}\left(H\right)$ 。

知道上半B-Fredholm算子 $T-{\lambda }_{0}I$ 是上半Fredholm算子当且仅当 $n\left(T-{\lambda }_{0}I\right)<\infty$ 。由此易证

${\lambda }_0\notin {\sigma }_{gk}\left(T\right)\cup acc\left[iso\sigma \left(T\right)\right]\cup \left\{\lambda \in \sigma \left(T\right):n\left(T-\lambda I\right)=0\right\}$ 。

由 $\left[{\sigma }_a\left(T\right)\backslash {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(T\right)\right]\cap \overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}=\varnothing$ 知 ${\lambda }_0\notin \overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}$ 。于是

${\lambda }_0\notin {\sigma }_{gk}\left(T\right)\cup \overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}\cup acc\left[iso\sigma \left(T\right)\right]\cup \left\{\lambda \in \sigma \left(T\right):n\left(T-\lambda I\right)=0\right\}$ ，

即 $T-\lambda I$ 是Drazin可逆的。故 ${\lambda }_0\in E\left(T\right)$ 。反之，令 ${\lambda }_0\in E\left(T\right)$ ，很容易看出

${\lambda }_0\notin {\sigma }_{gk}\left(T\right)\cup \overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}\cup acc\left[iso\sigma \left(T\right)\right]\cup \left\{\lambda \in \sigma \left(T\right):n\left(T-\lambda I\right)=0\right\}$ 。

所以 ${\lambda }_0\notin {\sigma }_D\left(T\right)$ ，即 ${\lambda }_0\in {\sigma }_a\left(T\right)\backslash {\sigma }_{ea}\left(T\right)$ 。这样就有 ${\sigma }_a\left(T\right)\backslash {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(T\right)=E\left(T\right)$ ，即T有广义(ω)性质。

$T\in B\left(H\right)$ 称为是a-polaroid，如果 $\lambda \in iso{\sigma }_a\left(T\right)\Rightarrow T-\lambda I$ 是Drazin可逆的。

推论1. $T\in B\left(H\right)$ 是a-polaroid的，因此T具备广义(ω)性质的充要条件是

${\sigma }_D\left(T\right)={\sigma }_1\left(T\right)\cup \overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}\cup acc\left[iso\sigma \left(T\right)\right]\cup \left\{\lambda \in \sigma \left(T\right):n\left(T-\lambda I\right)=0\right\}$ 。

证明. 由定理2. 可以看出仅需证当 $T\in B\left(H\right)$ 为a-polaroid时 $\left[{\sigma }_a\left(T\right)\backslash {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(T\right)\right]\cap \overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}=\varnothing$ 。假若 ${\lambda }_0\in \left[{\sigma }_a\left(T\right)\backslash {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(T\right)\right]\cap \overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}=\varnothing$ ，那么当 $0<\left|\lambda -{\lambda }_0\right|$ 足够小时， ${\lambda }_0\notin {\sigma }_{CI}\left(T\right)$ ， $T-\lambda I$ 为广义正则。因

而存在 ${\lambda }_n\in {\sigma }_{CI}\left(T\right)$ ，使得当 ${\lambda }_n\to {\lambda }_0(n\to \infty )$ ， $T-{\lambda }_{n}I$ 为广义正则。根据 ${\lambda }_n\in {\sigma }_{CI}\left(T\right)$ 易知 $T-{\lambda }_{n}I$ 下有界但是不可逆。进而有 ${\lambda }_0\in iso{\sigma }_a\left(T\right)$ 。又因为T是a-polaroid，所以 $T-{\lambda }_{0}I$ 是Drazin可逆，可见当 $0<\left|\lambda -{\lambda }_0\right|$

足够小时， $T-\lambda I$ 可逆，即 ${\lambda }_0\notin {\sigma }_{CI}\left(T\right)$ 矛盾。所以 $\left[{\sigma }_a\left(T\right)\backslash {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(T\right)\right]\cap \overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}=\varnothing$ 。

推论2. $T\in B\left(H\right)$ 具备(ω)性质且 $P_{00}\left(T\right)={\pi }_{00}^a\left(T\right)$ 当且仅当

${\sigma }_b\left(T\right)={\sigma }_1\left(T\right)\cup \left[\overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}\cap acc\left[iso{\sigma }_a\left(T\right)\right]\right]\cup acc\left[iso\sigma \left(T\right)\right]\cup \left\{\lambda \in \sigma \left(T\right):n\left(T-\lambda I\right)=0\right\}$ ，其中

${\pi }_{00}^a\left(T\right)={\pi }_0\left(T\right)\cap iso{\sigma }_a\left(T\right)$ 。

证明. 假若T有(ω)性质， $P_{00}\left(T\right)={\pi }_{00}^a\left(T\right)$ 。则包含

${\sigma }_1\left(T\right)\cup \left[\overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}\cap acc\left[iso{\sigma }_a\left(T\right)\right]\right]\cup acc\left[iso\sigma \left(T\right)\right]\cup \left\{\lambda \in \sigma \left(T\right):n\left(T-\lambda I\right)=0\right\}\subseteq {\sigma }_b\left(T\right)$ 成立。下面我们来证

另外一个包含。由定理2.仅需证 ${\sigma }_b\left(T\right)\subseteq {\sigma }_1\left(T\right)\cup acc{\sigma }_a\left(T\right)\cup acc\left[iso\sigma \left(T\right)\right]\cup \left\{\lambda \in \sigma \left(T\right):n\left(T-\lambda I\right)\right\}$ 。令 ${\lambda }_0\notin {\sigma }_1\left(T\right)\cup acc{\sigma }_a\left(T\right)\cup acc\left[iso\sigma \left(T\right)\right]\cup \left\{\lambda \in \sigma \left(T\right):n\left(T-\lambda I\right)=0\right\}$ ，则 $0<n\left(T-{\lambda }_{0}I\right)<\infty$ ， ${\lambda }_0\in iso{\sigma }_a\left(T\right)$ 。因为 $P_{00}\left(T\right)={\pi }_{00}^a\left(T\right)$ ，所以 $T-{\lambda }_{0}I$ 是Browder算子。继而得 ${\lambda }_0\notin {\sigma }_b\left(T\right)$ 。

相反地，假设有 ${\sigma }_b\left(T\right)={\sigma }_1\left(T\right)\cup \left[\overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}\cap acc\left[iso{\sigma }_a\left(T\right)\right]\right]\cup acc\left[iso\sigma \left(T\right)\right]\cup \left\{\lambda \in \sigma \left(T\right):n\left(T-\lambda I\right)=0\right\}$ ，则 ${\sigma }_b\left(T\right)={\sigma }_1\left(T\right)\cup \overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}\cup \left[iso\sigma \left(T\right)\right]\cup \left\{\lambda \in \sigma \left(T\right):n\left(T-\lambda I\right)=0\right\}$ 。关于(ω)性质的证明，根据定理2.仅需

证 $\left[{\sigma }_a\left(T\right)\backslash {\sigma }_{ea}\left(T\right)\right]\cap \overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}=\varnothing$ 。否则，假设 ${\lambda }_0\in \left[{\sigma }_a\left(T\right)\backslash {\sigma }_{ea}\left(T\right)\right]\cap \overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}$ 。那么 ${\lambda }_0\notin {\sigma }_{CI}\left(T\right)$ 且存在 $\epsilon >0$ 当 $0<\left|\lambda -{\lambda }_0\right|<\epsilon$ 时，得出 $T-\lambda I$ 是广义正则的， $n\left(T-\lambda I\right)$ 为常数。同样也存在 ${\lambda }_n\to {\lambda }_0\left(n\to \infty \right)$ 满足 ${\lambda }_n\in {\sigma }_{CI}\left(T\right)$ ， $0<\left|{\lambda }_n-{\lambda }_0\right|<\epsilon$ 。因而 $T-{\lambda }_{n}I$ 为下有界的但是它不可逆，所以 ${\lambda }_0\in iso{\sigma }_a\left(T\right)$ 。如此证明了：

${\lambda }_0\notin {\sigma }_1\left(T\right)\cup \left[\overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}\cap acc\left[iso{\sigma }_a\left(T\right)\right]\right]\cup acc\left[iso\sigma \left(T\right)\right]\cup \left\{\lambda \in \sigma \left(T\right):n\left(T-\lambda I\right)=0\right\}$ 。

因 $T-{\lambda }_{0}I$ 是Browder算子，与 ${\lambda }_0\notin {\sigma }_{CI}\left(T\right)$ 矛盾。因而T具有(ω)性质。再结合

${\pi }_{00}^a\left(T\right)\subseteq ℂ\backslash \left\{{\sigma }_1\left(T\right)\cup \left[\overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}\cap acc{\sigma }_a\left(T\right)\right]\cup acc\left[iso\sigma \left(T\right)\right]\cup \left\{\lambda \in \sigma \left(T\right):n\left(T-\lambda I\right)=0\right\}\right\}$ 知，

${\pi }_{00}^a\left(T\right)\subseteq \left[\sigma \left(T\right)\backslash {\sigma }_b\left(T\right)\right]$ ，故 ${\pi }_{00}^a\left(T\right)=P_{00}\left(T\right)$ 。

在推论2.中“ $P_{00}\left(T\right)={\pi }_{00}^a\left(T\right)$ ”是本质的。例如 $A,B\in B\left(l^2\right)$ 定义为：

$A\left(x_1,x_2,x_3,\cdots \right)=\left(0,0,\frac{x_2}{2},\frac{x_3}{3},\cdots \right)，$

$B\left(x_1,x_2,x_3,\cdots \right)=\left(0,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,\cdots \right)，$

令 $T=A\oplus B\in B\left(l^2\oplus l^2\right)$ 。则T有(ω)性质且 $P_{00}\left(T\right)\ne {\pi }_{00}^a\left(T\right)$ 。通过计算知 ${\sigma }_b\left(T\right)=\left\{\lambda \in ℂ:\left|\lambda \right|\le 1\right\}$ ，但 ${\sigma }_1\left(T\right)\cup \left[\overline{{\sigma }_{CI}\left(T\right)}\cap acciso{\sigma }_a\left(T\right)\right]\cup acc\left[iso\sigma \left(T\right)\right]\cup \left\{\lambda \in \sigma \left(T\right):n\left(T-\lambda I\right)=0\right\}=\left\{\lambda \in ℂ:0<\left|\lambda \right|\le 1\right\}$ 。

如果T有(ω)性质那么我们可以证明 ${\sigma }_a\left(T\right)\cap {\sigma }_b\left(T\right)={\sigma }_{ea}\left(T\right)$ 。以下让 $H\left(T\right)$ 为定义在 $\sigma \left(T\right)$ 的任一分支上不为常值的复值函数全体，并且在 $\sigma \left(T\right)$ 的邻域上解析。

定理3. 假设 $T\in B\left(H\right)$ 是isoloid的，同时有广义(ω)性质，于是下列叙述等价：

(1) 对任意的 $f\in H\left(T\right)$ ， $f\left(T\right)$ 具有广义(ω)性质；

(2) 对任意的 $f\in H\left(T\right)$ ， ${\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(f\left(T\right)\right)=f\left({\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(T\right)\right)$ ，并且假若 ${\sigma }_a\left(T\right)\ne {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(T\right)$ 那么 $\sigma \left(T\right)={\sigma }_a\left(T\right)$ ；

(3) 对任意的 $\lambda ,\mu \in ℂ\backslash {\sigma }_{SB{F}_{+}}\left(T\right),ind\left(T-\lambda I\right)ind\left(T-\mu I\right)\ge 0$ ，并且假若 ${\sigma }_a\left(T\right)\ne {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(T\right)$ ，那么有 $\sigma \left(T\right)={\sigma }_a\left(T\right)$ 。

证明. (1) $\Rightarrow$ (2) 对于任意的 $f\in H\left(T\right)$ ，因为T具备广义(ω)性质，于是由逼近点谱和Drazin谱满

足谱映射定理知， ${\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(f\left(T\right)\right)={\sigma }_a\left(f\left(T\right)\right)\cap {\sigma }_D\left(f\left(T\right)\right)=f\left({\sigma }_a\left(T\right)\cap {\sigma }_D\left(T\right)\right)=f\left({\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(T\right)\right)$ 。

下面我们证若 ${\sigma }_a\left(T\right)\ne {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(T\right)$ ，则 $\sigma \left(T\right)={\sigma }_a\left(T\right)$ 。令 ${\lambda }_0\in {\sigma }_a\left(T\right)\backslash {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(T\right)$ ，由于T具有广义(ω)性质可知， $T-{\lambda }_{0}I$ 为Drazin可逆。对任何的 ${\mu }_0\notin {\sigma }_a\left(T\right)$ ，假设 $f\left(T\right)=\left(T-{\mu }_{0}I\right)\left(T-{\lambda }_{0}I\right)$ ，则有

$0\in {\sigma }_a\left(f\left(T\right)\right)\backslash {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(f\left(T\right)\right)$ 。根据 $f\left(T\right)$ 具有广义(ω)性质，故而可知 $f\left(T\right)$ 是Drazin可逆的，继而 $T-{\mu }_{0}I$

是Drazin可逆的。又因为 $T-{\mu }_{0}I$ 是下有界的，为此 $T-{\mu }_{0}I$ 可逆，即 ${\mu }_0\notin \sigma \left(T\right)$ 。这样就有 $\sigma \left(T\right)={\sigma }_a\left(T\right)$ 。

(2) $\Rightarrow$ (1)。假若 ${\sigma }_a\left(T\right)={\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(T\right)$ ，则由T具备广义(ω)性质知 $E\left(T\right)=\varnothing$ 。对任何的 $f\in H\left(T\right)$ ，有 ${\sigma }_a\left(f\left(T\right)\right)=f\left({\sigma }_a\left(T\right)\right)=f\left({\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(T\right)\right)={\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(f\left(T\right)\right)$ 。又 $E\left(f\left(T\right)\right)\subseteq f\left(E\left(T\right)\right)$ ，故 ${\pi }_{00}\left(f\left(T\right)\right)=\varnothing$ 。这种情况下有 ${\sigma }_a\left(f\left(T\right)\right)\backslash {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(f\left(T\right)\right)=E\left(f\left(T\right)\right)=\varnothing$ ，即 $f\left(T\right)$ 有广义(ω)性质。下面假设 ${\sigma }_a\left(T\right)\ne {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(T\right)$ ，则 $\sigma \left(T\right)={\sigma }_a\left(T\right)$ 。若 ${\mu }_0\in {\sigma }_a\left(f\left(T\right)\right)\backslash {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(f\left(T\right)\right)$ 。令

$f\left(T\right)-{\mu }_{0}I={\left(T-{\lambda }_{1}I\right)}^{n_1}{\left(T-{\lambda }_{2}I\right)}^{n_2}\cdots {\left(T-{\lambda }_{k}I\right)}^{n_k}g\left(T\right)$ ，

其中 ${\lambda }_i\ne {\lambda }_j$ ， $g\left(T\right)$ 可逆。因为 ${\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(f\left(T\right)\right)=f\left({\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(T\right)\right)$ ， ${\mu }_0\notin {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(f\left(T\right)\right)$ ，所以 ${\lambda }_i\notin {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(T\right)$ 。可

以设 $1\le i\le j$ 时 $n\left(T-{\lambda }_{i}I\right)=0$ ； $j<i\le k$ 时 $n\left(T-{\lambda }_{i}I\right)>0$ 。从而当 $1\le i\le j$ 时 $T-{\lambda }_{i}I$ 是下有界的，又由

$\sigma \left(T\right)={\sigma }_a\left(T\right)$ ，故 $T-{\lambda }_{i}I$ 为可逆的。当 $j<i\le k$ 时 ${\lambda }_i\in {\sigma }_a\left(T\right)\backslash {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(T\right)$ ，由于T有广义(ω)性质可知 $T-{\lambda }_{i}I$

为Drazin可逆，从而有 $f\left(T\right)-{\mu }_{0}I$ 是Drazin可逆， ${\mu }_0\in E\left(f\left(T\right)\right)$ 。

相反地，若 ${\mu }_0\in E\left(f\left(T\right)\right)$ ，则令

$f\left(T\right)-{\mu }_{0}I={\left(T-{\lambda }_{1}I\right)}^{n_1}{\left(T-{\lambda }_{2}I\right)}^{n_2}\cdots {\left(T-{\lambda }_{k}I\right)}^{n_k}g\left(T\right)$ ，

其中 ${\lambda }_i\ne {\lambda }_j$ ， $g\left(T\right)$ 可逆。不失一般性，设 ${\lambda }_i\in \sigma \left(T\right)$ ，于是 ${\lambda }_i\in iso\sigma \left(T\right)$ 。由T是isoloid的知 ${\lambda }_i\in E\left(T\right)$ 。因为T有广义(ω)性质，所以 $T-{\lambda }_{i}I$ 是Drazin可逆的，从而 $f\left(T\right)-{\mu }_{0}I$ 是Drazin可逆的， ${\mu }_0\in {\sigma }_a\left(f\left(T\right)\right)\backslash {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(f\left(T\right)\right)$ 。这样就证明了 $f\left(T\right)$ 有广义(ω)性质。

(1) $\Rightarrow$ (3)。假设存在 ${\lambda }_0,{\mu }_0\in ℂ\backslash {\sigma }_{SB{F}_{+}}\left(T\right)$ ，使得 $ind\left(T-{\lambda }_{0}I\right)=n>0,ind\left(T-{\mu }_{0}I\right)=-m<0$ 。若m有限时记 $f\left(T\right)={\left(T-{\lambda }_{0}I\right)}^m{\left(T-{\mu }_{0}I\right)}^n$ ，否则让 $f\left(T\right)=\left(T-{\lambda }_{0}I\right)\left(T-{\mu }_{0}I\right)$ ，从而有 $0\in {\sigma }_a\left(f\left(T\right)\right)\backslash {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(f\left(T\right)\right)$ 。又因为 $f\left(T\right)$ 有广义(ω)性质，且 $f\left(T\right)$ 为Drazin可逆的，从而 $T-{\lambda }_{0}I$ 和 $T-{\mu }_{0}I$ 全为Drazin可逆的。这里

与 $ind\left(T-{\lambda }_{0}I\right)=n>0$ 矛盾。所以给 $\lambda ,\mu \in ℂ\backslash {\sigma }_{SB{F}_{+}}\left(T\right),ind\left(T-\lambda I\right)ind\left(T-\mu I\right)\ge 0$ 。

(3) $\Rightarrow$ (1)。设 ${\mu }_0\in {\sigma }_a\left(f\left(T\right)\right)\backslash {\sigma }_{SB{F}_{+}^{-}}\left(f\left(T\right)\right)$ ， $f\left(T\right)-{\mu }_{0}I={\left(T-{\lambda }_{1}I\right)}^{n_1}{\left(T-{\lambda }_{2}I\right)}^{n_2}\cdots {\left(T-{\lambda }_{k}I\right)}^{n_k}g\left(T\right)$ ，其

中 ${\lambda }_i\ne {\lambda }_j$ ， $g\left(T\right)$ 可逆。则对任意 ${\lambda }_i$ 有 $T-{\lambda }_{i}I$ 是上半B-Fredholm算子且 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}ind\left[{\left(T-{\lambda }_{i}I\right)}^{n_i}\right]}\le 0$ 。由条件

$ind\left(T-{\lambda }_{i}I\right)\le 0$ 知 $T-{\lambda }_{i}I\in SB{F}_{+}^{-}\left(H\right)$ 。因此类似于(2) $\Rightarrow$ (1)可证出 $f\left(T\right)$ 有广义(ω)性质。

若有 ${\sigma }_D\left(T\right)={\sigma }_{gk}\left(T\right)$ ，那么T是isoloid的且有广义(ω)性质。在此情况下，对任给的 $f\in H\left(T\right)$ ，有 $f\left({\sigma }_{gk}\left(T\right)\right)=f\left({\sigma }_D\left(T\right)\right)={\sigma }_D\left(f\left(T\right)\right)\supseteq {\sigma }_{gk}\left(f\left(T\right)\right)$ 。另外对任意的 $f\in ℂ\backslash {\sigma }_{SB{F}_{+}}\left(T\right)$ ，有 $ind\left(T-\lambda I\right)\ge 0$ 。

推论3. 若 ${\sigma }_D\left(T\right)={\sigma }_{gk}\left(T\right)$ ，则

1) 任给 $f\in H\left(T\right)$ ， $f\left(T\right)$ 有广义(ω)性质；

2) 任给 $f\in H\left(T\right)$ ， ${\sigma }_{gk}\left(f\left(T\right)\right)=f\left({\sigma }_{gk}\left(T\right)\right)$ 。

称T是f-isoloid若 $iso\sigma \left(T\right)\subseteq \left\{\lambda \in ℂ:0<n\left(T-\lambda I\right)<\infty \right\}$ 。

推论4. 设T是f-isoloid且 ${\sigma }_b\left(T\right)={\sigma }_1\left(T\right)$ ，那么当 $\forall f\in H\left(T\right)$ 有 $f\left({\sigma }_1\left(T\right)\right)={\sigma }_1\left(f\left(T\right)\right)$ 。

证明. 需要证明对 $\forall f\in H\left(T\right)$ ， $f\left({\sigma }_1\left(T\right)\right)\subseteq {\sigma }_1\left(f\left(T\right)\right)$ 。可以取 ${\mu }_0\notin {\sigma }_1\left(f\left(T\right)\right)$ ，从而得 $n\left(f\left(T\right)-{\mu }_{0}I\right)<\infty$ 且存在 $\delta >0$ ，当 $0<\left|\mu -{\mu }_0\right|<\delta$ 时， $f\left(T\right)-\mu I$ 为广义Kato型。对于上面的 $\mu$ ，存在

${\delta }^{\prime }>0$ 当 $0<\left|{\mu }^{\prime }-\mu \right|<{\delta }^{\prime }$ 时 $f\left(T\right)-{\mu }^{\prime }I\in S{F}_{+}^{-}\left(H\right)$ 且可得 $N\left(f\left(T\right)-{\mu }^{\prime }I\right)\subseteq {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\cap }}R\left[{\left(f\left(T\right)-{\mu }^{\prime }I\right)}^n\right]}$ 。设

$f\left(T\right)-{\mu }^{\prime }I={\left(T-{{\lambda }^{\prime }}_{1}I\right)}^{n_1}{\left(T-{{\lambda }^{\prime }}_{2}I\right)}^{n_2}\cdots {\left(T-{{\lambda }^{\prime }}_{k}I\right)}^{n_k}g(\; T\; )$

其中 ${{\lambda }^{\prime }}_i\ne {{\lambda }^{\prime }}_j$ ， $g\left(T\right)$ 可逆。则对任意的 ${{\lambda }^{\prime }}_i$ 有是上半Fredholm算子，于是 ${{\lambda }^{\prime }}_i\notin {\sigma }_1\left(T\right)$ ，即 $T-{{\lambda }^{\prime }}_{i}I$ 是Browder

算子。从而 $f\left(T\right)-{\mu }^{\prime }I$ 是Browder算子。又 $N\left(f\left(T\right)-{\mu }^{\prime }I\right)=N\left(f\left(T\right)-{\mu }^{\prime }I\right)\cap {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\cap }}\left[{\left(f\left(T\right)-{\mu }^{\prime }I\right)}^n\right]}=\left\{0\right\}$ ，所

以 $f\left(T\right)-{\mu }^{\prime }I$ 可逆。于是 $\mu \in iso\sigma \left(f\left(T\right)\right)\cup \rho \left(f\left(T\right)\right)$ 。设 $f\left(T\right)-{\mu }_{0}I=a\left(T-{\lambda }_{0}I\right)h\left(T\right)$ 。由 $N\left(T-{\lambda }_{0}I\right)\subseteq N\left(f\left(T\right)-{\mu }_{0}I\right)$ 知， $n\left(T-{\lambda }_{0}I\right)<\infty$ 。因为f是连续的，所以存在 $\epsilon >0$ 使得当 $0<\left|\lambda -{\lambda }_0\right|<\epsilon$ 时有 $0<\left|f\left(\lambda \right)-f\left({\lambda }_0\right)\right|=\left|f\left(\lambda \right)-{\mu }_0\right|<\epsilon$ 。于是 $f\left(\lambda \right)\in iso\sigma \left(f\left(T\right)\right)\cup \rho \left(f\left(T\right)\right)$ ，从而 $\lambda \in iso\sigma \left(T\right)\cup \rho \left(T\right)$ 。若 $\lambda \in iso\sigma \left(T\right)$ ，则由T是f-isoloid且 ${\sigma }_b\left(T\right)={\sigma }_1\left(T\right)$ 知， $T-\lambda I\in S{F}_{+}^{-}\left(H\right)$ ，即有 $T-\lambda I$ 是广义Kato型的。现在证明了 $n\left(T-{\lambda }_{0}I\right)<\infty$ 且存在 $\epsilon$ 当 $0<\left|\lambda -{\lambda }_0\right|<\epsilon$ 时 $T-\lambda I$ 是广义Kato型的。所以 ${\lambda }_0\notin {\sigma }_1\left(T\right)$ ，即 ${\mu }_0\notin f\left({\sigma }_1\left(T\right)\right)$ 。

3. 结论

本文基于广义Kato型算子的性质及特征定义了新的谱集 ${\rho }_{gk}\left(T\right)$ ，并且结合谱集 ${\sigma }_1\left(T\right),{\sigma }_D\left(T\right),$ ${\sigma }_{CI}\left(T\right),{\sigma }_b\left(T\right)$ 及T是f-isoloid，isoloid等前提，给出Hilbert空间上有界线性算子满足广义(ω)性质的判定条件，扩大了满足广义(ω)性质的算子范围。但是由于新定义的谱集，还缺乏对在特殊摄动下广义(ω)性质稳定性的考虑。

NOTES

^*通讯作者。