模糊赋范线性空间的1-n宽度——模糊1-n宽度

doi:10.12677/AAM.2023.125224

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模糊赋范线性空间的1-n宽度——模糊1-n宽度
1-n Width of Fuzzy Normed Linear Space—Fuzzy 1-n Width

DOI: 10.12677/AAM.2023.125224, PDF, HTML, XML, 下载: 105 浏览: 174
作者: 蒋浩：西华大学理学院，四川成都
关键词: 模糊赋范线性空间；1-范数；模糊1-n-宽度；Fuzzy Normed Linear Space； 1-Norm； Fuzzy 1-n-Width

摘要: 本文基于T. Bag和S. K. Samanta于2003年建立的模糊赋范线性空间，提出了1-范数、模糊1 − n宽度的概念，并研究其相关性质。

Abstract: In this thesis, we propose the definitions of 1-norm and fuzzy 1 − n width based on the fuzzy norm proposed by T. Bag and S. K. Santa in 2003, and investigate their main properties as well.

文章引用：蒋浩. 模糊赋范线性空间的1-n宽度——模糊1-n宽度[J]. 应用数学进展, 2023, 12(5): 2193-2199. https://doi.org/10.12677/AAM.2023.125224

1. 引言

2003年，Bag和Samanta [1] 建立了模糊赋范线性空间，给出了模糊范数的定义。1936年，Kolmogorov [2] 做了宽度的开创性工作，开始了宽度问题的研究。关于经典n-宽度的其他结果可见参考文献 [3] 。本文探讨的主要内容是基于T. Bag和S. K. Samanta于2003年提出的模糊赋范线性空间。他们在文献 [1] 中定义了 $α$ -范数的概念，我们根据 $α$ -范数是上升集簇的性质，选取确界逼近的方式，定义了1-范数的概念。再结合经典宽度的研究，给出模糊1 − n-宽度的概念，并讨论其相关性质。

2. 预备知识

2.1. 模糊赋范线性空间

定义2.1 [1] ：(模糊范数的定义)设X是线性空间， $θ$ 为其零元，N为 $Χ \times R$ 上的模糊子集。如果对 $\forall x, y \in Χ$ ， $c \in R$ ，有

(N1) $\forall t \leq 0$ ，有 $N (x, t) = 0$ ；

(N2) $\forall t \in R$ 且 $t > 0$ ，有 $N (x, t) = 1$ 当且仅当 $x = θ$ ；

(N3) $\forall t \in R$ 且 $t > 0$ ，如果 $c \neq 0$ ，有 $N (| c | x, t) = N (x, t / | c |)$ ；

(N4) $\forall s, t \in R$ ，有 $N (x + y, s + t) \geq \min {N (x, s), N (y, t)}$ ；

(N5) $N (x, \cdot)$ 为R上的不减函数且 $lim_{t \to + \infty} N (x, t) = 1$ .

则称N为X上的模糊范数， $(Χ, N)$ 为模糊赋范线性空间。

注 [4] ： $N (x, t)$ 表示x的范数是实数t的真值。

定义2.2：设 $(Χ, N)$ 为模糊赋范线性空间，A为X的子集。

1) A中所有模糊收敛点列的模糊极限所成之集称为A的导集，记为 $A^{'}$ 。

2) 若 $A^{'} \subseteq A$ ，则称A为模糊闭集。

3) 称 $A \cup A^{'}$ 为A的模糊闭包，记为 $\bar{A}$ 。

定义2.3：设 $(Χ, N)$ 是模糊赋范线性空间，对 $x \in Χ$ ， $α \in (0, 1]$ ，令 ${‖ x ‖}_{α}$ ：

${‖ x ‖}_{α} = {\begin{array}{l} \inf_{t \in R} {t : N (x, t) \geq α} & α \in (0, 1) \\ \sup_{α \in (0, 1)} {‖ x ‖}_{α} & α = 1 \end{array}$ 称 ${‖ \cdot ‖}_{α}$ 为X上的 $α$ -范数。

我们在引入(N6)条件，模糊范数满足(N6)条件，1-范数是有限数。例子2.1.4满足该条件。

(N6)： $\forall x \in X, \exists t_{x} > 0$ ，使得 $N (x, t_{x}) = 1$ 。

例2.4：设 $(Χ, ‖ \cdot ‖)$ 为赋范线性空间，对 $\forall x \in Χ$ ， $\forall t \in R$ ，令

$N (x, t) = {\begin{array}{l} 1, & t > ‖ x ‖ \\ \frac{2 t}{t + ‖ x ‖}, & 0 < t \leq ‖ x ‖ \\ 0, & t \leq 0 \end{array}$

则 $(Χ, N)$ 是模糊赋范线性空间。

定理2.5：设 $(Χ, N)$ 是模糊赋范线性空间，模糊范数N满足条件(N6)，对任意 $x, y \in Χ$ i) ${‖ x ‖}_{1} \geq 0$ ；ii) ${‖ β x ‖}_{1} = β {‖ x ‖}_{1} (\forall β > 0)$ ；iii) ${‖ x + y ‖}_{1} \leq {‖ x ‖}_{1} + {‖ y ‖}_{1}$ 。

证：i) 对 $\forall x \in X$ ， ${‖ x ‖}_{1} = \sup_{α \in (0, 1)} {‖ x ‖}_{α}$ ，当 $t < 0$ 时， $N (x, t) = 0$

$\inf_{t \in R} {t : N (x, t) \geq α} \geq 0, α \in (0, 1) \Rightarrow {‖ x ‖}_{α} \geq 0, α \in (0, 1)$

则 ${‖ x ‖}_{1} = \sup_{α \in (0, 1)} {‖ x ‖}_{α} \geq 0$ 。

ii) 如果 $β \neq 0$ ，那么

$\begin{matrix} {‖ β x ‖}_{1} = \sup_{α \in (0, 1)} \inf_{t \in R} {t : N (c x, t) \geq α} = \sup_{α \in (0, 1)} \inf_{t \in R} {t : N (x, t / | c |) \geq α} \\ = \sup_{α \in (0, 1)} \inf_{t \in R} {| β | t : N (x, t) \geq α} = | β | \sup_{α \in (0, 1)} \inf_{t \in R} {t : N (x, t) \geq α} = | β | {‖ x ‖}_{1} \end{matrix}$

如果 $β = 0$ ，

${‖ β x ‖}_{1} = {‖ 0 ‖}_{1} = 0 = 0 {‖ x ‖}_{1} = β {‖ x ‖}_{1}$

iii) 对 $α \in (0, 1)$ ，

$\begin{matrix} {‖ x ‖}_{α} + {‖ y ‖}_{α} = \inf_{t \in R} {t : N (x, t) \geq α} + \inf_{s \in R} {s : N (y, s) \geq α} \\ = \inf_{t, s \in R} {t + s : N (x, t) \geq α, N (y, s) \geq α} \\ \overset{由 (N 4) 得}{\geq} \inf_{t + s \in R} {t + s : N (x + y, t + s) \geq α} \\ = \inf_{t \in R} {t : N (x + y, t) \geq α} = {‖ x + y ‖}_{α} \end{matrix}$

因为对 $\forall α \in (0, 1)$ ， $\sup_{α \in (0, 1)} ({‖ x ‖}_{α} + {‖ y ‖}_{α}) \geq {‖ x ‖}_{α} + {‖ y ‖}_{α} \geq {‖ x + y ‖}_{α}$

所以，

$\sup_{α \in (0, 1)} ({‖ x ‖}_{α} + {‖ y ‖}_{α}) \geq \sup_{α \in (0, 1)} {‖ x + y ‖}_{α}$

又因为 $\forall α \in (0, 1)$ ，

$\sup_{α \in (0, 1)} {‖ x ‖}_{α} \geq {‖ x ‖}_{α}, \sup_{α \in (0, 1)} {‖ y ‖}_{α} \geq {‖ y ‖}_{α} \Rightarrow \sup_{α \in (0, 1)} {‖ x ‖}_{α} + \sup_{α \in (0, 1)} {‖ y ‖}_{α} \geq {‖ x ‖}_{α} + {‖ y ‖}_{α}$

所以，

$\sup_{α \in (0, 1)} {‖ x ‖}_{α} + \sup_{α \in (0, 1)} {‖ y ‖}_{α} \geq \sup_{α \in (0, 1)} ({‖ x ‖}_{α} + {‖ y ‖}_{α})$

则 $\sup_{α \in (0, 1)} {‖ x ‖}_{α} + \sup_{α \in (0, 1)} {‖ y ‖}_{α} \geq \sup_{α \in (0, 1)} {‖ x + y ‖}_{α}$ ，因此， ${‖ x ‖}_{1} + {‖ y ‖}_{1} \geq {‖ x + y ‖}_{1}$ 。

定义2.6：设 $(Χ, N)$ 为模糊赋范线性空间， ${x_{n}}$ 是X中的点列， $α \in (0, 1]$ 如果 $\exists x \in Χ$ ，使得

$lim_{n \to \infty} {‖ x_{n} - x ‖}_{α} = 0$ .

则称 ${x_{n}}$ 依 $α$ -范收敛且 $α$ -范收敛到x，记为 $x_{n} \overset{{‖ \cdot ‖}_{α}}{\to} x$ ，x称为 ${x_{n}}$ 的 $α$ -极限。

定义2.7：设 $(Χ, N)$ 为模糊赋范线性空间，A是X的子集， $α \in (0, 1]$ 。

1) A中所有依 $α$ -范收敛点列的 $α$ -极限所成之集称为A的 $α$ -导集，记为 ${A^{'}}_{α}$ 。

2) 若 ${A^{'}}_{α} \subseteq A$ ，则称A为 $α$ -闭集。

3) 称 $A \cup {A^{'}}_{α}$ 为A的 $α$ -闭包，记为 $\bar{A_{α}}$ 。

2.2. 经典宽度

定义2.8 [5] ：设 $(Χ, ‖ \cdot ‖)$ 为赋范线性空间，A是X的非空子集， $n \in Ν = {0, 1, 2, \dots}$ 。称

$d_{n} (A) : = d_{n} (A, Χ) : = \inf_{Χ_{n}} \sup_{x \in A} \inf_{y \in Χ_{n}} ‖ x - y ‖$ ，为A在X中的Kolmgolov n-宽度。其中， $Χ_{n}$ 取遍X中的所有维

数不超过n的线性子空间。

Kolmgolov n-宽度具有以下主要性质：

性质2.9 [5] ：设 $(Χ, ‖ \cdot ‖)$ 为赋范线性空间，A是X的非空子集，

1) $d_{n} (\bar{A}) = d_{n} (A)$ ，其中 $\bar{A}$ 表示A在 $(Χ, ‖ \cdot ‖)$ 中的闭包。

2) 对任一标量 $α$ ，有

$d_{n} (α A) = | α | d_{n} (A)$ ，

其中 $α A = {α x | x \in A}$ 。

3) 设 $b (A) = {α x : x \in A, | α | \leq 1}$ 表示A的平衡包，则

$d_{n} (A) = d_{n} (b (A))$ .

4) $d_{n} (c o A) = d_{n} (A)$ ，其中 $c o A$ 表示A的凸包。

5) $d_{n} (A) \geq d_{n + 1} (A), n = 0, 1, \dots$

6) 设X和Y是赋范线性空间， $Χ \subseteq Y$ 和 $A \subseteq Χ$ ，则

$d_{n} (A, Χ) \geq d_{n} (A, Y)$ .

7) 对于任何两个集合 $A, B \subseteq Χ$ ，设 $E (A; B) = \sup_{x \in A} \inf_{y \in B} ‖ x - y ‖$ ，则如果 $B \subseteq A$ ，有

$d_{n} (A) - E (A; B) \leq d_{n} (B) \leq d_{n} (A)$ .

关于Kolmgolov n-宽度与线性n-宽度更详细的论述可参阅见Pinkus [5] 的专著《n-Widths in Approximation Theory》。

3. 模糊Kolmgorov 1 − n-宽度

定义3.1：设 $(Χ, N)$ 是模糊赋范线性空间模糊范数N满足(N6)条件，A为X的非空子集， $n \in N$ ，称

$d_{n} (A) : = d_{n} (A, Χ, N) : = \inf_{Χ_{n}} \sup_{x \in A} \inf_{y \in Χ_{n}} {‖ x - y ‖}_{1}$

为A在X中的模糊Kolmgorov 1 − n-宽度，简称模糊1 − n-宽度。其中， $Χ_{n}$ 取遍X中所有维数不超

过n的线性子空间， ${‖ x - y ‖}_{1} = \sup_{α \in (0, 1)} \inf_{t \in R} {t : N (x - y, t) \geq α}$ 。

注： $d_{n} (A)$ 表示真值逼近于1的情况下，用n维子空间对A的最佳逼近。

下面，为方便起见，定理3.2至定理3.8中，假设 $(Χ, N)$ 是模糊赋范线性空间，A₁，A₂，A₃为X中非空子集。

定理3.2：设 $A_{1} \subseteq A_{2}$ ，则 $d_{n} (A_{1}) \leq d_{n} (A_{2})$ 。

证：任取X中维数不超过n的线性子空间，则

${\inf_{y \in Χ_{n}} {‖ x - y ‖}_{1} | x \in A_{1}} \subseteq {\inf_{y \in Χ_{n}} {‖ x - y ‖}_{1} | x \in A_{2}}$ .

所以，

$sup_{x \in A_{1}} \inf_{y \in Χ_{n}} {‖ x - y ‖}_{1} \leq sup_{x \in A_{2}} \inf_{y \in Χ_{n}} {‖ x - y ‖}_{1}$ .

由 $Χ_{n}$ 的任意性及模糊1 − n-宽度的定义知，

$d_{n} (A_{1}) = \inf_{Χ_{n}} sup_{x \in A_{1}} \inf_{y \in Χ_{n}} {‖ x - y ‖}_{1} \leq \inf_{Χ_{n}} sup_{x \in A_{2}} \inf_{y \in Χ_{n}} {‖ x - y ‖}_{1} = d_{n} (A_{2})$ .

即 $d_{n} (A_{1}) \leq d_{n} (A_{2})$ 。

定理3.3：设 $β$ 为标量，则 $d_{n}^{α} (β A) = | β | d_{n}^{α} (A)$ 。

证：由模糊1 − n-范宽度的定义知：

$d_{n} (β A) = \inf_{Χ_{n}} \sup_{x \in A} \inf_{y \in Χ_{n}} {‖ β x - y ‖}_{1}$

当 $β = 0$ 时， $\inf_{y \in X_{n}} {‖ β x - y ‖}_{1} = \inf_{y \in X_{n}} {‖ y ‖}_{1} = {‖ θ ‖}_{1} = 0$

那么，

$d_{n} (β A) = | β | d_{n} (A) = 0$

当 $β \neq 0$ 时，

$\begin{matrix} d_{n} (β A) = \inf_{Χ_{n}} \sup_{x \in A} \inf_{y \in Χ_{n}} {‖ β x - y ‖}_{1} \\ = \inf_{Χ_{n}} \sup_{x \in A} \inf_{y \in Χ_{n}} \sup_{α \in (0, 1)} \inf_{t \in R} {t : N (β x - y, t) \geq α} \\ = \inf_{Χ_{n}} \sup_{x \in A} \inf_{y \in Χ_{n}} \sup_{α \in (0, 1)} \inf_{t \in R} {t : N (x - y, t / | β |) \geq α} \\ = | β | \inf_{Χ_{n}} \sup_{x \in A} \inf_{y \in Χ_{n}} \sup_{α \in (0, 1)} \inf_{t \in R} {t : N (x - y, t) \geq α} \\ = | β | d_{n} (A) . \end{matrix}$

定理3.4： $d_{n}^{α} ({\bar{A}}_{1}) = d_{n}^{α} (A)$ ，其中 ${\bar{A}}_{1}$ 表示A的1-闭包。

证：由于 ${\bar{A}}_{1} = A \cup {A^{'}}_{1} \supseteq A$ ，故由定理3.2知 $d_{n}^{α} (A) \leq d_{n}^{α} ({\bar{A}}_{1})$ 。因此，只需证： $d_{n}^{α} (A) \geq d_{n}^{α} ({\bar{A}}_{1})$ 即可。

事实上，不妨设 ${\bar{A}}_{1} \ A \neq \emptyset$ (若 ${\bar{A}}_{1} \ A = \emptyset$ ，则 $A = {\bar{A}}_{1}$ ，定理显然成立)。

对 $\forall x_{0} \in {\bar{A}}_{1} \ A$ ，则 $x_{0} \in {A^{'}}_{1}$ ，从而存在 ${x_{n}} \subseteq A$ ，使得：

$x_{n} \overset{{‖ \cdot ‖}_{1}}{\to} x_{0}$ .

故 $\forall ε > 0$ ， $\exists n_{0} (ε)$ ， $\forall n \geq n_{0}$ ，有

${‖ x_{n} - x_{0} ‖}_{1} < ε$ .

对X的任一维数不超过n的线性子空间 $Χ_{n}$ ，由定理2.5知

$\inf_{y \in Χ_{n}} {{‖ x_{0} - y ‖}_{1}} \leq \inf_{y \in Χ_{n}} {{‖ x_{n} - x_{0} ‖}_{1} + {‖ x_{n} - y ‖}_{1}} \leq \inf_{y \in Χ_{n}} {{‖ x_{n} - y ‖}_{1}} + ε$ .

因此，

$\inf_{y \in Χ_{n}} {{‖ x_{0} - y ‖}_{1}} \leq \sup_{x \in A} \inf_{y \in Χ_{n}} {‖ x - y ‖}_{1} + ε$ .

再注意到 $\bar{A} = (\bar{A} \ A) \cup A$ ，有，

$\sup_{x \in \bar{A}} \inf_{y \in Χ_{n}} {‖ x - y ‖}_{1} \leq \sup_{x \in A} \inf_{y \in Χ_{n}} {‖ x - y ‖}_{1} + ε$ .

从而，

$d_{n} (\bar{A}) \leq d_{n} (A) + ε$ .

由 $ε$ 的任意性知：

$d_{n} (\bar{A}) \leq d_{n} (A)$ 即证。

定理3.5： $d_{n} (c o A) = d_{n} (A)$ ，其中 $c o A$ 是A的凸包。

证：由于 $A \subseteq c o A$ ，所以由定理3.2知，

$d_{n} (A) \leq d_{n} (c o A)$ .

下证 $d_{n} (A) \geq d_{n} (c o A)$ ，

由于 $c o A = {\sum_{i = 1}^{m} λ_{i} x_{i} | λ_{i} \geq 0, \sum_{i = 1}^{m} λ_{i} = 1, x_{i} \in A, m \in Ν}$ ，再注意到一个事实，

${‖ x + y - z ‖}_{1} \leq {‖ x - λ_{1} z ‖}_{1} + {‖ y - λ_{2} z ‖}_{1}$ ，

其中， $0 < λ_{1}, λ_{2} < 1$ 且 $λ_{1} + λ_{2} = 1$ 。

由模糊1 − n-宽度的定义知，

$\begin{matrix} d_{n} (c o A) = \inf_{Χ_{n}} \sup_{\underset{x = \sum_{i = 1}^{m} λ_{i} x_{i}}{x \in c o A}} \inf_{y \in Χ_{n}} {‖ \sum_{i = 1}^{m} λ_{i} x_{i} - y ‖}_{1} \\ \leq \inf_{Χ_{n}} \sup_{x = \sum_{i = 1}^{m} λ_{i} x_{i} \in c o A} \inf_{y \in Χ_{n}} \sum_{i = 1}^{m} {‖ λ_{i} x_{i} - λ_{i} y ‖}_{1} \\ \leq \inf_{Χ_{n}} \sum_{i = 1}^{m} λ_{i} \sup_{x_{i} \in A} \inf_{y \in Χ_{n}} {‖ x_{i} - y ‖}_{1} \\ = \inf_{Χ_{n}} \sup_{x \in A} \inf_{y \in Χ_{n}} {‖ x - y ‖}_{1} \\ = d_{n}^{α} (A) . \end{matrix}$

定理3.6： $d_{n + 1} (A) \leq d_{n} (A)$ 。

证：由模糊1 − n-宽度的定义，再注意到X的任一不超过n维的线性子空间一定是X中维数不超过 $n + 1$ 的线性子空间，该定理易证。

定理3.7：设A，B为X的非空子集，且 $B \subseteq A$ ，记 $E (A, B) = \sup_{x \in A} \inf_{y \in B} {‖ x - y ‖}_{1}$ ，则

$d_{n} (A) - E (A, B) \leq d_{n} (B) \leq d_{n} (A)$ .

证：由于 $B \subseteq A$ 和定理3.2知， $d_{n} (B) \leq d_{n} (A)$ 。所以，只需证 $d_{n} (A) - E (A, B) \leq d_{n} (B)$ 。

设 $Χ_{n}$ 为X的任一维数不超过n的线性子空间。 $\forall x \in A$ ， $\forall b \in B$ ，有

$\begin{matrix} \inf_{y \in Χ_{n}} {‖ x - y ‖}_{1} \leq \inf_{y \in Χ_{n}} {{‖ x - b ‖}_{1} + {‖ y - b ‖}_{1}} \\ = {‖ x - b ‖}_{1} + \inf_{y \in Χ_{n}} {‖ y - b ‖}_{1} \\ \leq {‖ x - b ‖}_{1} + \sup_{b \in B} \inf_{y \in Χ_{n}} {‖ y - b ‖}_{1} . \end{matrix}$

再由b的任意性知，

$\inf_{y \in Χ_{n}} {‖ x - y ‖}_{1} \leq \inf_{b \in B} {‖ x - b ‖}_{1} + \sup_{b \in B} \inf_{y \in Χ_{n}} {‖ y - b ‖}_{1}$ .

从而，

$\begin{matrix} \sup_{x \in A} \inf_{y \in Χ_{n}} {‖ x - y ‖}_{1} \leq \sup_{x \in A} \inf_{b \in B} {‖ x - b ‖}_{1} + \sup_{b \in B} \inf_{y \in Χ_{n}} {‖ y - b ‖}_{1} \\ = E (A, B) + \sup_{b \in B} \inf_{y \in Χ_{n}} {‖ y - b ‖}_{1} . \end{matrix}$

故

$d_{n} (A) \leq E (A, B) + d_{n} (B)$ .

即 $d_{n} (A) - E (A, B) \leq d_{n} (B)$ 。

定理3.8：设 $(Χ, N)$ 与 $(Υ, N)$ 为具有同一模糊范数的模糊赋范线性空间，且 $Χ \subseteq Υ$ ，A是X的非空子集，则 $d_{n} (A, Χ) \geq d_{n} (A, Υ)$ 。

证明：由模糊1 − n-宽度的定义，并注意到X的任一线性子空间必为Y的线性子空间易得本结论。

4. 结论

本文以T. Bag和S. K. Samanta于2003年提出的模糊范数为研究对象，给出了模糊1 − n宽度的概念，研究其相关性质。这些工作为进一步研究模糊赋范线性空间中的逼近问题提供了一条路径。下一步，我

们将讨论赋予模糊范数 $N (x, t) = {\begin{array}{l} 1, & t > ‖ x ‖ \\ \frac{2 t}{t + ‖ x ‖}, & 0 < t \leq ‖ x ‖ \\ 0, & t \leq 0 \end{array}$ (其中 $(Χ, ‖ \cdot ‖)$ 为赋范线性空间)的模糊Kolmogorov

1 − n宽度与经典Kolmogorov n-宽度的联系。

致谢

我要感谢我的导师，从本文的撰写到定稿，都给予了我极大的支持。再次向您致以最崇高的谢意。

参考文献

[1]	Bag, T. and Samanta, S.K. (2003) Finite Dimensional Fuzzy Normed Linear Spaces. The Journal of Fuzzy Mathematics, 3, 687-705.
[2]	Kolmogorov, A. (1936) Uber die deste Annaherung yon funktionen einer gegebenen functionenklasse. Annals of Mathematics, 37, 107-111. https://doi.org/10.2307/1968691
[3]	Pinkus, A. (1985) n-Widths in Ap-proximation Theory. Springer Berlin Heidelberg, Berlin. https://doi.org/10.1007/978-3-642-69894-1
[4]	Bag, T. and Samanta, S.K. (2005) Fuzzy Bounded Linear Opera-tors. Fuzzy Sets and Systems, 151, 513-547. https://doi.org/10.1016/j.fss.2004.05.004
[5]	Bag, T. and Samanta, S.K. (2006) Fixed Point Theorems on Fuzzy Normed Linear Spaces. Information Sciences, 176, 2910-2931. https://doi.org/10.1016/j.ins.2005.07.013

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