受科技因素影响的Solow模型的动力学分析

Dynamical Analysis of Solow Model Suffered from Technology Factors

摘要: 随着经济的快速发展，环境问题日益突出。为了防止环境系统的逐渐恶化抑制经济的发展，迫切需要实现经济与环境的协调发展。本文在索洛环境净化模型的基础上，引入生产科技因素，考虑科技因素对模型的影响。它能较好地解释经济环境系统运行的动态演化规律。一方面生产技术的进步可以提高生产率，另一方面也可以加快对环境污染的控制。通过对模型的定性分析和数值模拟，可以探索资本与环境污染之间的相互关系，实现经济与环境的协调发展。

Abstract: With the rapid development of economy, environmental problems have become increasingly prominent. In order to prevent the gradual deterioration of the environmental system and restrain the development of the economy, it is urgent to realize the coordinated development of the econo-my and the environment. This paper is based on the Solow model with environmental purification, we introduce production technology to consider the impact of production technology on the model. It can explain the dynamic evolution law of economic environment system operation well. On the one hand, the progress of production technology can improve productivity; on the other hand, it can also speed up the control of environmental pollution. Through theoretical analysis and numerical simulation of the model, we can explore the mutual relationship between capital and environmen-tal pollution, and realize the coordinated development of economy and environment.

1. 引言

经济系统是由相互联系、相互作用的若干经济元素如资本积累、劳动力、科技因素等结合而成的有机整体。在处理有关该系统的问题时，既要考虑其经济效益，又要考虑其对生态环境的影响。随着社会主义市场经济的迅速发展，环境保护问题也日益突出，为避免对环境体系的逐步污染而抑制国民经济的增长的情况，迫切需要实现经济和环保的和谐增长；我们将在Solow模型的基础上，将生产技术因素引入该模型。在发展经济学中有著名Solow经济增长模型，许多学者对于该模型进行了不同的研究和发展。熊俊对影响Solow模型生产函数的各种因素进行了说明，并进行了扩展 [1] ；魏立桥等人以广东省为实例研究了带有环境污染与人均收入水平之间的关系 [2] ；Stamuv和Georgios从多种方面研究Solow模型，Stamuv基于Solow模型引进了时滞与脉冲控制；Georgios研究了人口增长对经济增长模型的影响 [3] [4] ；陆根尧等人基于环境库兹涅茨曲线假说，以浙江省为实例研究了Solow经济增长与环境污染的关系，提出了建设性的意见 [5] ；Massimiliano Ferrara等人研究了带有污染的Solow模型的稳定性和非线性动力学 [6] ；张五六基于Solow模型，研究了中国经济增长方式的转变特征 [7] ；李佼瑞等人引入了环境净化这一概念并对带有环境净化的Solow模型进行了动态分析 [8] ；Gori L.等人建立了一个具有种群动态和时滞的Solow模型，以简单的方式确定了经济影响人口统计学的原因 [9] ；Neto J. P. J.等人在Solow-Swan经济增长模型中加入了报酬递减和递增的规模，经过稳定性分析表明，较高的规模效益有利于经济聚集和经济周期的形成 [10] ；张焕明等人探索了城市化进程中能源和环境约束对中国经济增长的影响 [11] ；Yao Zhang等人在经典Solow增长模型的基础上，考虑自然资源和土地资源，并对实际区域的数据进行了分析，得出政府应调整各地区的产业结构，优化资源禀赋利用，减轻对自然资源的依赖，实现经济的可持续发展 [12] ；Istemi Berk等人将能源消耗纳入生产要素，改进了Solow经济增长模型，发展和验证了一个合理的二氧化碳排放方程理论 [13] ；Nicolὸ Cangiotti和Mattia Sensi在Solow-Swan模型中考虑非恒定的规模效益，得到了通解，并对Cobb-Donglas生产函数进行了计算，得到了精确解 [14] ；Li Kong等人基于Cobb- Douglas生产函数和Solow残差思想，从整体经济、行业和部门层面考察了北京市的能源反弹效应 [15] 。这些学者都是基于Solow经济增长模型对影响经济的各个方面进行了分析研究。

本篇论文是我们考虑到科技进步在经济发展和环境污染治理中所起的作用，我们将科技进步引入到带有污染的Solow经济增长模型中，进一步分析科技进步在经济增长和污染治理所起的作用；也可以通过调节代表科技进步的参数，进而在低污染的条件下实现经济稳定增长，最终实现经济与环境的协调发展。

由于科技因素的进步，科技在生产和生活中的作用也日益凸显。生产技术的进步可以带动经济的发展，同时在环境污染的治理中也起到了不可磨灭的作用。本文基于带有环境净化的Solow模型，根据现实因素，引入科技因素，优化模型。对得到的模型进行稳定性分析，探究在何种条件下经济与环境能够协调发展。并对得到的结果进行数值模拟加以论证。

2. 基础理论

该模型是在Solow模型上，除了设定总产量 $QQ=F\left(K,L\right)$ ，消费品量C、投资量(生产积累量) S， $S=s_{1}Q$ ，劳动力数量L、资本量K，这几个经济指标外，Natail加入了环境参数，即环境污染量P，并假定总产量Q的一部分E用于治理环境减少污染，此时 $Q=C+S+E,E=s_{2}Q$ ，并且假设一单位的E可以减少ω单位的污染， $\omega >1$ ，另外，李佼瑞在此基础上考虑环境本身对污染的净化，假设环境系统对污染物的净化能力为m， $0<m<1$ ，假定环境污染物存量P与物质生产、经济活动总量和环境自净的能力有关，则其模型的表达式如下：

$\{\begin{array}{l}\stackrel{\dot{}}{K}=s_{1}Q-\theta K\\ \stackrel{\dot{}}{L}=nL\\ \stackrel{\dot{}}{P}=\left(\epsilon -\omega s_2\right)Q-mP\end{array}$ (1.1)

其中，θ表示损耗率，ε表示总产量Q中废弃物的污染部分， $0<\epsilon <1$ ， $s_1,s_2$ 分别为投资比例和环境污染治理比例， $0\le s_1,s_2\le 1,s_1+s_2\le 1$ 。

3. 建立模型

这里将李佼瑞的带有环境净化的Solow模型进行优化扩展。考虑到科技因素对生产函数的影响。

假定产品的生产决定于资本量K、劳动力数量L、科技因素A和污染物存量P，也就是说总产量由生产函数 $F\left(K,AL,P\right)$ 决定，即： $Y=F\left(K,AL,P\right)$ ，假定科技因素A满足 $\stackrel{\dot{}}{A}=gA$ ， $0<g<1$

在规模收益不变的情况下，按人均计算：

$\frac{Y}{L}=F\left(\frac{K}{L},A,\frac{P}{L}\right)$ (2.1)

在这里，定义 $k\left(t\right)=\frac{K\left(t\right)}{L\left(t\right)}$ ， $p\left(t\right)=\frac{P\left(t\right)}{L\left(t\right)}$ ， $y\left(t\right)=\frac{Y\left(t\right)}{L\left(t\right)}$ ， $k\left(t\right)$ 表示资本劳动率， $p\left(t\right)$ 表示产生总污

染的人均污染率， $y\left(t\right)$ 表示人均产量。可将 $k\left(t\right)$ 简记为k； $p\left(t\right)$ 简记为p； $y\left(t\right)$ 简记为y。

结合以上的式子，系统(1.1)可以化为：

$\{\begin{array}{l}\stackrel{\dot{}}{k}=s_{1}y-\left(\theta +n\right)k\\ \stackrel{\dot{}}{p}=\left(\epsilon -\omega s_2\right)y-\left(m+n\right)p\end{array}$ (2.2)

假设这里的生产函数采用Cobb-Douglas生产函数形式。式(2.1)中污染物存量P对物质生产的贡献为负，假定系数标准化为1，则可以得到

$y=k^{a_1}{A}^{a_2}{p}^{a_3}=k^{a_1}{\left({\text{e}}^{gt}\right)}^{a_2}{p}^{a_3}={\text{e}}^{a_{2}gt}{k}^{a_1}{p}^{a_3}$ (2.3)

其中，可由 $\frac{\stackrel{\dot{}}{A}}{A}=g$ 得到 $A={\text{e}}^{gt}$ ； $0<a_1<1,0<a_2<1,a_3<0$ 。

若将(2.3)代入系统(2.2)，得到的是非自治系统，为了得到自治系统，我们做了以下替换：

令 $\hat{k}=k{\text{e}}^{-\xi t};\hat{p}=p{\text{e}}^{-\eta t}$ ，满足以下式子：

$\{\begin{array}{l}\xi -\left(a_1+a_3\right)\xi -a_{2}g=0\\ \eta -\left(a_1+a_3\right)\eta -a_{2}g=0\end{array}$

可以解得： $\xi =\eta =\frac{a_{2}g}{1-a_1-a_2}$ ，代入系统(2.2)可得：

$\{\begin{array}{l}\stackrel{\dot{}}{\hat{k}}=s_1{\hat{k}}^{a_1}{\hat{p}}^{a_3}-\left(\theta +\xi +n\right)\hat{k}\\ \stackrel{\dot{}}{\hat{p}}=\left(\epsilon -\omega s_2\right){\hat{k}}^{a_1}{\hat{p}}^{a_3}-\left(m+n+\eta \right)\hat{p}\end{array}$

为了方便计算，将其简化为：

$\{\begin{array}{l}\stackrel{\dot{}}{k}=s_1{k}^{a_1}{p}^{a_3}-\left(\theta +\xi +n\right)k\\ \stackrel{\dot{}}{p}=\left(\epsilon -\omega s_2\right)k^{a_1}{p}^{a_3}-\left(m+n+\eta \right)p\end{array}$ (2.4)

综上，我们得到了受科技因素影响的带有环境净化的Solow模型(2.4)。

4. 系统非零平衡点的稳定性

在本节研究系统(2.4)平衡点的稳定性。令 $s_1{k}^{a_1}{p}^{a_3}=\left(\theta +\xi +n\right)k,\left(\epsilon -\omega s_2\right)k^{a_1}{p}^{a_3}=\left(m+n+\eta \right)p$ ，得到非零平衡点 $\left(k^{*},p^{*}\right)$ 。

系统(2.4)在平衡点 $\left(k^{*},p^{*}\right)$ 处的雅可比矩阵为：

${J|}_{\left(k^{*},p^{*}\right)}=\left(\begin{array}{cc}{a}_1{s}_1{k}^{*}{}^{a_1-1}{p}^{*}{}^{a_3}-\left(\theta +n+\xi \right)& s_1{a}_3{k}^{*}{}^{a_1}{p}^{*}{}^{a_3-1}\\ \left(\epsilon -\omega s_2\right)a_1{k}^{*}{}^{a_1-1}{p}^{*}{}^{a_3}& \left(\epsilon -\omega s_2\right)a_3{k}^{*}{}^{a_1}{p}^{*}{}^{a_3-1}-\left(m+n+\eta \right)\end{array}\right)$ (3.1)

由于 $s_1{k}^{a_1}{p}^{a_3}=\left(\theta +\xi +n\right)k,\left(\epsilon -\omega s_2\right)k^{a_1}{p}^{a_3}=\left(m+n+\eta \right)p$ ，(3.1)式可化为

${J|}_{\left(k^{*},p^{*}\right)}=\left(\begin{array}{cc}\left(a_1-1\right)\left(\theta +n+\xi \right)& \frac{s_1{a}_3\left(m+n+\eta \right)}{\epsilon -\omega s_2}\\ \frac{a_1\left(\theta +n+\xi \right)\left(\epsilon -\omega s_2\right)}{s_1}& \left(a_3-1\right)\left(m+n+\eta \right)\end{array}\right)$

特征方程为：

$\begin{array}{l}\left|\lambda E-J\right|={\lambda }^2-\left[\left(a_3-1\right)\left(m+n+\eta \right)+\left(a_1-1\right)\left(\theta +n+\xi \right)\right]\lambda \\ +\left(a_1-1\right)\left(a_3-1\right)\left(\theta +n+\xi \right)\left(m+n+\eta \right)+a_1{a}_3\left(m+n+\eta \right)\left(\theta +n+\xi \right)=0\end{array}$ (3.2)

定理1. 系统(2.4)在非零平衡点 $\left(k^{*},p^{*}\right)$ 处是渐近稳定的，如果满足以下任意一个条件

1) 当 $\Delta \ge 0$ 时， $\left(a_3-1\right)\left(m+n+\eta \right)+\left(a_1-1\right)\left(\theta +n+\xi \right)<0$ ，

$\left[\left(a_1-1\right)\left(a_3-1\right)+a_1{a}_3\right]\left(m+n+\eta \right)\left(\theta +n+\xi \right)>0$

2) 当 $\Delta <0$ 时， $\left(a_3-1\right)b_1+\left(a_1-1\right)b_2<0$

证明：1) 记 $b_1=m+n+\eta$ ， $b_2=\theta +n+\xi$ 则(3.2)式可化为：

${\lambda }^2-\left[\left(a_3-1\right)b_1+\left(a_1-1\right)b_2\right]\lambda +\left[\left(a_1-1\right)\left(a_3-1\right)+a_1{a}_3\right]b_1{b}_2=0$ (3.3)

由此可以得到： $\text{Δ}={\left[\left(a_3-1\right)b_1+\left(a_1-1\right)b_2\right]}^2-4\left[\left(a_1-1\right)\left(a_3-1\right)+a_1{a}_3\right]b_1{b}_2$

当 $\Delta \ge 0$ 时：根据韦达定理，方程(3.3)的两个特征值满足：

$\{\begin{array}{l}{\lambda }_1+{\lambda }_2=\left(a_3-1\right)b_1+\left(a_1-1\right)b_2\\ {\lambda }_1{\lambda }_2=\left[\left(a_1-1\right)\left(a_3-1\right)+a_1{a}_3\right]b_1{b}_2\end{array}$

由 $\left(a_3-1\right)\left(m+n+\eta \right)+\left(a_3-1\right)\left(\theta +n+\xi \right)<0$ ， $\left[\left(a_1-1\right)\left(a_3-1\right)+a_1{a}_3\right]\left(m+n+\eta \right)\left(\theta +n+\xi \right)>0$ ，并且 $b_1=m+n+\eta ,b_2=\theta +n+\xi$ ，可以得到 ${\lambda }_1<0,{\lambda }_2<0$ ，所以系统(2.4)在非零平衡点 $\left(k^{*},p^{*}\right)$ 处是渐近稳定的。

2) 当 $\Delta <0$ 时，方程(3.3)有复根 $\lambda =\alpha \pm i\beta ,\alpha ,\beta \ne 0$ ，将其代入方程(3.3)中可得：

$\{\begin{array}{l}{\alpha }^2-{\beta }^2-\left[\left(a_3-1\right)b_1+\left(a_1-1\right)b_2\right]\alpha +\left[\left(a_1-1\right)\left(a_3-1\right)+a_1{a}_3\right]b_1{b}_2=0\\ 2\alpha \beta -\left[\left(a_3-1\right)b_1+\left(a_1-1\right)b_2\right]\beta =0\end{array}$ (3.4)

从(3.4)式可以得到 $\alpha =\frac{1}{2}\left(a_3-1\right)b_1+\frac{1}{2}\left(a_1-1\right)b_2$ ，因为 $\left(a_3-1\right)b_1+\left(a_1-1\right)b_2<0$ ，可得 $\alpha <0$ ，所以系统

(2.4)在非零平衡点 $\left(k^{*},p^{*}\right)$ 处是渐近稳定的。

5. 数值模拟

5.1. 系统非零平衡点 $\left(k^{\ast },p^{\ast }\right)$ 的存在

如图1所示，当资本投入生产时，短时间会迅速积累资本，同时也会积累污染物，资本积累的速度

(a) (b) (c) (d) (e) (f)

Figure 1. Compared the (k(t), p(t)) time history diagrams of Solow model with different parameter values of g

图1. 比较参数g取不同值时模型的(k(t), p(t))的时间历程图

会逐渐减慢，最后会趋于稳定状态。由于初始存在污染物存量，总产量的一部分会用于环境污染治理，与此同时，环境系统也对污染物也有一定的自净能力，所以污染物积累量会逐渐降低，最后会趋于稳定状态。

5.2. 科技因素对资本积累和污染物积累量的影响

如图2所示，将科技因素应用到生产中。一方面会直接影响产品的产出，进而影响资本的积累。图2中各幅图对比可看出在一定范围内适当的调整参数值g，会增加资本的积累量，但若是将参数值取的超出一定的范围，资本的积累量会降低。这说明工厂适当地引进技术设备可以增加收入额，但是若工厂超额引进技术设备就会减少收入，甚至会亏损；另一方面，由于科技因素的引进，工厂可以最大程度的减少污染物的排放，同时也可以利用设备来进行污染治理，由图2可以看出污染物的积累量在逐步降低。

观察参数g所取得不同值时，系统在一定时间后都会变得稳定，也就是说，在给定条件下，经济与环境能够达到协调发展。

(a) (b) (c) (d)

Figure 2. Compared the phase diagram of Solow model with different parameter values of g

图2. 比较参数g取不同值时模型的相图

6. 结论

本文基于带有环境净化的Solow模型，考虑科技因素在经济生产中的应用，构造了带有科技因素和环境净化的Solow模型，并对其进行稳定性分析，得到了在一定条件下经济和环境能够协调持续发展。并且研究了在不同参数值g下模型的动力学行为，得出在适当的范围内调整参数值可以提高经济发展，同时也会降低环境污染，达到经济和环境的双赢局面。由此可以知道合理的应用科技因素可以在低污染的前提下最大程度的提高经济，从而实现经济与环境协调发展。当然影响经济运行的因素是非常复杂的，而且有许多因素作用有时滞性，还有些因素具有随机性，这正是我们今后要着力探索的方向。

基金项目

国家自然科学基金面上项目(11672207)。

NOTES

^*第一作者。

^#通讯作者。