具有特殊初值的散焦Kundu-Eckhaus方程的正散射问题

On the Direct Scattering Problem for Defocusing the Kundu-Eckhaus Equation with Special Initial Value

摘要: 在本文中，我们主要考虑了具有特殊初值条件的散焦Kundu-Eckhaus (KE)方程的正散射问题。正散射问题是根据一个合适的均匀化变量提出的，这使我们能够在标准复平面上发展讨论相关问题，而不是在两片黎曼曲面或沿切口具有不连续性的切面上。我们首先通过KE方程的Lax对求解出该初值条件下的Jost函数解，然后根据Jost函数解之间存在的散射关系得出相应的散射数据，最后重点讨论了散射数据 的零点，利用一些特殊的三角函数来研究其零点规律，然后我们发现一个有趣的现象，即在某些情况下散射数据 的零点不存在或者只存在一个零点。

Abstract: In this article, we consider the forward scattering problem of the defocused Kundu-Eckhaus (KE) equation with special initial conditions. The forward scattering problem is proposed based on a suitable uniformization variable, which enables us to discuss related problems on the standard complex plane, rather than on two-sheeted Riemannian surface or cut plane with discontinuities along the cuts. We first solved the Jost function solution under this initial condition by using Lax pairs, and then obtained the scattering data based on the scattering relationship between the Jost function solutions. Finally, we focused on discussing the scattering data . The zero point of should be studied using some special trigonometric function values, and an interesting phenomenon was discovered, namely, in certain cases, the zero point of scattering data should not exist or only one zero point should exist.

1. 引言

Kundu-Eckhaus方程(KE)方程为

$i{q}_t+q_{xx}-2{\left|q\right|}^{2}q+4T^2{\left|q\right|}^{4}q-4iTu{\left({\left|q\right|}^2\right)}_{x}q=0,u=\pm 1$ (1.1)

其中T是常数， $q\left(x,t\right)$ 是复数函数，当 $u=1$ 时方程(1.1)称为聚焦KE方程，当 $u=-1$ 时方程(1.1)称为散焦KE方程，该方程是由Kundu在考虑Landau-Lifshitz方程和高阶Schrödinger方程之间的规范关系时提出的 [1] 。它包含五次非线性，最后一项是非线性光学中的拉曼效应，它代表非克尔非线性效应和自频移效应。KE方程充分描述了超短光脉冲在非线性光学中的传播，并检测了弱非线性色散物质波中斯托克斯波的稳定性 [2] [3] 。它是一个具有Lax对、Painlevé性质和哈密顿结构的完全可积系统 [4] [5] [6] 。

通过对相关文献的系统研究与学习发现，在最近几十年的研究中，KE方程的研究依然引起了众多人的关注，而KE方程的孤立子解已经通过双线性导数方法、Darboux变换方法、反散射变换方法等方法获得；具有零边界条件的KE方程的亮孤子解和长时间渐近性也已经引起了广大的关注与研究 [7] [8] 。但是散焦KE方程和聚焦KE方程由于它们的Lax对的不同而有很大的不同，而且相比之下，散焦KE方程具有更大的研究空间，此外，在现有的文献中，关于其特殊初值条件的问题也存在很大的研究空间，而在实际问题中，我们更多的情况下是需要赋予一定的初值条件才能继续往下研究，所以本文在一定程度上对于KE方程的理论体系具有一定的补充。

本文的其余部分安排如下。在第2节中，通过散焦KE方程的Lax对和初值条件求解出相应的Jost函数解。在第3节中，我们通过Jost函数解之间的散射关系求解出具体的散射矩阵和散射数据，并且通过一些特殊的三角函数值得到了一些特殊的零点，此外发现在一些条件下散射数据不存在零点。在第4节中，我们将总结了相关结论。

2. Jost函数解

散焦KE方程为

$i{q}_t+q_{xx}-2{\left|q\right|}^{2}q+4T^2{\left|q\right|}^{4}q+4iT{\left({\left|q\right|}^2\right)}_{x}q=0$ (2.1)

初值条件为

$q\left(x,t\right)=q_0=\{\begin{array}{l}0,x\in \left[-L,L\right]\\ 1,其他\end{array}$ (2.2)

引入散焦KE方程的Lax对为

${\Phi }_x=U\left(x,t,k\right)\Phi$ (2.3a)

${\Phi }_t=V\left(x,t,k\right)\Phi$ (2.3b)

其中

$U\left(x,t,k\right)=-i{k}^2{\sigma }_3+Q\left(x,t\right)-iTQ\left(x,t\right){\sigma }_3$ (2.4a)

$V\left(x,t,k\right)=-2i{k}^2{\sigma }_3+i{\sigma }_3\left(Q_x-Q^2\right)+2kQ-2T{Q}^3+4i{T}^2{Q}^4{\sigma }_3-T\left(Q{Q}_x-Q_{x}Q\right)$ (2.4b)

$Q\left(x,t\right)=\left(\begin{array}{cc}0& q\left(x,t\right)\\ q^{\ast }\left(x,t\right)& 0\end{array}\right)$ (2.4c)

${\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ ， ${\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$ ， ${\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ (2.4d)

$Q_0=Q_0\left(x,0\right)=\{\begin{array}{l}{Q}_0^h=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),其他\\ {\rm O},x\in \left[-L,L\right]\end{array}$ (2.4e)

其中O表示零矩阵， $\ast$ 代表复共轭，在本文的后续内容中，凡是涉及到 $\ast$ 的部分，均代表复共轭，不表示转置。通常情况下，方程(2.1)是Lax对(2.3)的相溶性条件，而且我们也称Lax对(2.3)中的第一个方程为散射问题，第二个方程为时间发展式。

在初值条件的作用下，Lax对(2.3)转化

${\Phi }_x=U\left(x,k\right)\Phi$ (2.5a)

${\Phi }_t=V\left(x,k\right)\Phi$ (2.5b)

其中

$U\left(x,t,k\right)=-i{k}^2{\sigma }_3+Q_0-iT{Q}_0{\sigma }_3$ (2.6a)

$V\left(x,t,k\right)=-2i{k}^2{\sigma }_3-i{\sigma }_3+2k{Q}_0-2T{Q}_0+4i{T}^2{\sigma }_3$ (2.6b)

由初值条件可知，连续函数 ${\Phi }_i\left(x,\alpha \right)$ 满足等式

$\underset{x\to \infty }{\lim }{\Phi }_i\left(x,\alpha \right)~E\left(\alpha \right){\text{e}}^{-i\lambda \left(\alpha \right)x{\sigma }_3}$ ， $i=1,2$ (2.7)

其中 $\lambda \left(\alpha \right)={\alpha }^2-1,\alpha =k+T$ ，

$E\left(\alpha \right)=\left(\begin{array}{cc}1& -\frac{i}{\alpha +\lambda \left(\alpha \right)}\\ \frac{i}{\alpha +\lambda \left(\alpha \right)}& 1\end{array}\right)=I-\frac{i}{\alpha +\lambda \left(\alpha \right)}{\sigma }_3{Q}_0^h$ (2.8)

结合初始条件(2.2)以及等式(2.7)可以得到

${\Phi }_1\left(x,\alpha \right)=\{\begin{array}{l}E\left(\alpha \right){\text{e}}^{-i\lambda \left(\alpha \right)x{\sigma }_3},x\in \left(-\infty ,-L\right)\hfill \\ {\text{e}}^{-ik\left(x+L\right){\sigma }_3}E\left(\alpha \right){\text{e}}^{i\lambda \left(k\right)L{\sigma }_3},x\in \left[-L,L\right]\hfill \\ E\left(\alpha \right){\text{e}}^{-i\lambda \left(\alpha \right)\left(x-L\right){\sigma }_3}{E}^{-1}\left(\alpha \right){\text{e}}^{-2ikL{\sigma }_3}E\left(\alpha \right){\text{e}}^{i\lambda \left(\alpha \right)L{\sigma }_3},x\in \left(L,+\infty \right)\hfill \end{array}$ (2.9a)

${\Phi }_2\left(x,\alpha \right)=\{\begin{array}{l}E\left(\alpha \right){\text{e}}^{-i\lambda \left(k\right)\left(x+L\right){\sigma }_3}{E}^{-1}\left(\alpha \right){\text{e}}^{2ikL{\sigma }_3}E\left(\alpha \right){\text{e}}^{-i\lambda \left(\alpha \right)L{\sigma }_3},x\in \left(-\infty ,L\right)\hfill \\ {\text{e}}^{-ik\left(x-L\right){\sigma }_3}E\left(\alpha \right){\text{e}}^{-i\lambda \left(\alpha \right)L{\sigma }_3},x\in \left[-L,L\right]\hfill \\ E\left(\alpha \right){\text{e}}^{-i\lambda \left(\alpha \right)x{\sigma }_3},x\in \left(L,+\infty \right)\hfill \end{array}$ (2.9b)

由于特征值 $\lambda \left(\alpha \right)$ 是一个关于 $\alpha$ 的双值函数，而且当 $\alpha =\pm 1$ 时，显然我们可以得到 $\lambda \left(\alpha \right)=0$ ，进而能够得到 $\det E\left(\alpha \right)=0$ ，进而也能说明矩阵 $E\left(\alpha \right)$ 在 $\alpha =\pm 1$ 处是不存在逆矩阵的，这也就是说， $\lambda \left(\alpha \right)$ 存在着两个分断点，即 $\alpha =\pm 1$ 。为了避免这种情况的出现，这时我们就需要引入一个Riemann曲面K，它由 $K^{+}$ 和 $K^{-}$ 两个部分组成，而且它们均沿复平面的切割 $\Lambda =\left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right)$ 能够链接在一起，从而使 $\lambda \left(\alpha \right)$ 通过平面切割时是连续的。为了不失一般性，定义 $\mathrm{Im}\alpha <0$ 在 $K^{-}$ 上，定义 $\mathrm{Im}\alpha >0$ 在 $K^{+}$ 上。为了克服特征值 $\lambda \left(\alpha \right)$ 的平方根多值性，这里我们需要引入辅助单值化变量 $\zeta$ ，并使之满足变换

$k=\frac{1}{2}\left(\zeta +{\zeta }^{-1}\right)$ ， $\lambda =\frac{1}{2}\left(\zeta -{\zeta }^{-1}\right)$ (2.10)

在变换(2.10)的作用下，Jost函数可以用含有参数 $\zeta$ 来表示，即有

${\Phi }_1\left(x,\zeta \right)=\{\begin{array}{l}E\left(\zeta \right){\text{e}}^{-i\lambda x{\sigma }_3},x\in \left(-\infty ,-L\right)\hfill \\ {\text{e}}^{-ik\left(x+L\right){\sigma }_3}E\left(\zeta \right){\text{e}}^{i\lambda L{\sigma }_3},x\in \left[-L,L\right]\hfill \\ E\left(\zeta \right){\text{e}}^{-i\lambda \left(x-L\right){\sigma }_3}{E}^{-1}\left(\zeta \right){\text{e}}^{-2ikL{\sigma }_3}E\left(\zeta \right){\text{e}}^{i\lambda L{\sigma }_3},x\in \left(L,+\infty \right)\hfill \end{array}$ (2.11a)

${\Phi }_2\left(x,\zeta \right)=\{\begin{array}{l}E\left(\zeta \right){\text{e}}^{-i\lambda \left(x+L\right){\sigma }_3}{E}^{-1}\left(\zeta \right){\text{e}}^{2ikL{\sigma }_3}E{\text{e}}^{-i\lambda L{\sigma }_3},x\in \left(-\infty ,-L\right)\hfill \\ {\text{e}}^{-ik\left(x-L\right){\sigma }_3}E\left(\zeta \right){\text{e}}^{-i\lambda L{\sigma }_3},x\in \left[-L,L\right]\hfill \\ E\left(\zeta \right){\text{e}}^{-i\lambda x{\sigma }_3},x\in \left(L,+\infty \right)\hfill \end{array}$ (2.11b)

其中

$E=\left(\begin{array}{cc}1& -i{\zeta }^{-1}\\ i{\zeta }^{-1}& 1\end{array}\right)=I-i{\zeta }^{-1}{\sigma }_3{Q}_0^h$ (2.12)

定义

$d\left(\zeta \right)=\frac{1}{\det E}=\frac{\zeta }{\zeta -{\zeta }^{-1}}$ (2.13)

则有

$E^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{\zeta }{\zeta -{\zeta }^{-1}}& \frac{i{\text{e}}^{2it}}{\zeta -{\zeta }^{-1}}\\ \frac{-i{\text{e}}^{-2it}}{\zeta -{\zeta }^{-1}}& \frac{\zeta }{\zeta -{\zeta }^{-1}}\end{array}\right)=d\left(\zeta \right)\left[I+i{\zeta }^{-1}{\sigma }_3{Q}_0^h\right]$ (2.14)

3. 散射矩阵

由于 ${\Phi }_1\left(x,\zeta \right)$ 和 ${\Phi }_2\left(x,\zeta \right)$ 是与Lax对有关的，所以 ${\Phi }_1\left(x,\zeta \right)$ 和 ${\Phi }_2\left(x,\zeta \right)$ 是线性相关的，而且它们之间存在一个与x无关的矩阵 $S\left(t,\zeta \right)$ ，使之满足散射关

${\Phi }_1\left(x,t,\zeta \right)={\Phi }_1\left(x,t,\zeta \right)S\left(t,\zeta \right)$ (3.1)

由于我们已经得到了该模型准确的Jost函数，那么此时通过结合等式(2.11)和等式(2.15)，就可以直接算出具体的散射矩阵，即有

$S\left(\zeta \right)={\text{e}}^{i\lambda L{\sigma }_3}{E}^{-1}\left(\zeta \right){\text{e}}^{-2ikL{\sigma }_3}E\left(\zeta \right){\text{e}}^{i\lambda L{\sigma }_3}=\left(\begin{array}{cc}{s}_{11}\left(\zeta \right)& s_{12}\left(\zeta \right)\\ s_{21}\left(\zeta \right)& s_{22}\left(\zeta \right)\end{array}\right)$ (3.2)

则其散射系数为

$\begin{array}{l}{s}_{11}\left(\zeta \right)=\frac{\zeta }{\zeta -{\zeta }^{-1}}{\text{e}}^{2i\lambda L-2ikL}-\frac{{\zeta }^{-1}}{\zeta -{\zeta }^{-1}}{\text{e}}^{2i\lambda L+2ikL}\\ s_{12}\left(\zeta \right)=\frac{i}{\zeta -{\zeta }^{-1}}\left({\text{e}}^{2ikL}-{\text{e}}^{-2ikL}\right)\\ s_{21}\left(\zeta \right)=-\frac{i}{\zeta -{\zeta }^{-1}}\left({\text{e}}^{-2ikL}-{\text{e}}^{2ikL}\right)\\ s_{22}\left(t,\zeta \right)=\frac{\zeta }{\zeta -{\zeta }^{-1}}{\text{e}}^{-2i\lambda L+2ikL}-\frac{{\zeta }^{-1}}{\zeta -{\zeta }^{-1}}{\text{e}}^{-2i\lambda L-2ikL}\end{array}$ (3.3)

接下来我们将研究散射数据 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点问题。

根据等式(3.3)可知，散射数据 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 可以改写成如下形式：

$s_{11}\left(\zeta \right)=\left(\frac{\zeta }{\zeta -{\zeta }^{-1}}\cos 2{\zeta }^{-1}L-\frac{{\zeta }^{-1}}{\zeta -{\zeta }^{-1}}\cos 2\zeta L\right)-i\left(\frac{\zeta }{\zeta -{\zeta }^{-1}}\sin 2{\zeta }^{-1}L-\frac{{\zeta }^{-1}}{\zeta -{\zeta }^{-1}}\sin 2\zeta L\right)$ (3.4)

假设 $\zeta$ 是实数，则若 $s_{11}\left(\zeta \right)=0$ ，就需要保证 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的实部和虚部均为零，即满足

$\frac{\zeta }{\zeta -{\zeta }^{-1}}\cos 2{\zeta }^{-1}L-\frac{{\zeta }^{-1}}{\zeta -{\zeta }^{-1}}\cos 2\zeta L=0$ (3.5a)

$\frac{\zeta }{\zeta -{\zeta }^{-1}}\sin 2{\zeta }^{-1}L-\frac{{\zeta }^{-1}}{\zeta -{\zeta }^{-1}}\sin 2\zeta L=0$ (3.5b)

由等式(3.5a)可以得到

$\cos 2{\zeta }^{-1}L=\frac{{\zeta }^{-1}}{\zeta -{\zeta }^{-1}},\cos 2\zeta L=\frac{\zeta }{\zeta -{\zeta }^{-1}}$ (3.6)

由等式(3.5b)可以得到

$2{\zeta }^{-1}L=n\pi -2\zeta L$ (3.7)

进而能够得到

$\cos 2{\zeta }^{-1}L=\cos \left(n\pi -2\zeta L\right)={\left(-1\right)}^n\frac{\zeta }{\zeta -{\zeta }^{-1}}\ne \frac{{\zeta }^{-1}}{\zeta -{\zeta }^{-1}}$ (3.8)

此时出现了同一个三角函数对应两个值的情况，也就是说，散射系数 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 在实轴上不存在零点。

现不妨假设

$\zeta ={\text{e}}^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta ,\zeta ={\text{e}}^{-i\theta }=\cos \theta -i\sin \theta$ (3.9)

则有

$s_{11}\left(\zeta \right)={\text{e}}^{-2L\sin \theta }\sin \left(\theta -2L\cos \theta \right)$ (3.10)

若 $s_{11}\left(\zeta \right)=0$ ，则有

$\theta -2L\cos \theta =n\pi$ (3.11)

想要求解 $\theta$ ，我们通过来看直线 $y_1=\theta -n\pi$ 与直线 $y_2=2L\cos \theta$ 的交点来求解 $\theta$ 。

令 $f\left(\theta \right)=2L\cos \theta -\theta +n\pi$ ，对 $f\left(\theta \right)$ 求导有

$f^{\prime }\left(\theta \right)=-2L\sin \theta -1$ (3.12)

由于 $L>0,\sin \theta >0,\theta \in \left(0,\pi \right)$ ，则对于 $\forall \theta \in \left(0,\pi \right)$ 均有 $f^{\prime }\left(\theta \right)<0$ ，进而可以得到 $f\left(\theta \right)$ 在 $\theta \in \left(0,\pi \right)$ 上单调递减，其零点具体情况如下所述：

情况1：当 $n=0$ 时， $f\left(\theta \right)=2L\cos \theta -\theta$

当 $\theta \ge \frac{\pi }{2}$ 时， $f\left(\theta \right)<0$ ；当 $L=\frac{\pi }{6\sqrt{3}}$ 时， $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点为 $\zeta =\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}$ ；当 $L=\frac{\pi }{4\sqrt{2}}$ 时， $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点为 $\zeta =\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{i\sqrt{2}}{2}$ ；当 $L=\frac{\pi }{3}$ 时， $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点为 $\zeta =\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2}$ ；当 $0<L<\frac{\pi }{6\sqrt{3}}$ 时，有 $f\left(\frac{\pi }{6}\right)<0$ ，此时 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点位于 $\left(0,\frac{\pi }{6}\right)$ ；当 $\frac{\pi }{6\sqrt{3}}<L<\frac{\pi }{4\sqrt{2}}$ 时，有 $f\left(\frac{\pi }{6}\right)>0,f\left(\frac{\pi }{4}\right)<0$ ，此时 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点位于 $\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right)$ ；当 $\frac{\pi }{4\sqrt{2}}<L<\frac{\pi }{3}$ 时，有 $f\left(\frac{\pi }{4}\right)>0,f\left(\frac{\pi }{3}\right)<0$ ，此时 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点位于 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3}\right)$ ；当 $L>\frac{\pi }{3}$ 时，有 $f\left(\frac{\pi }{3}\right)>0,f\left(\frac{\pi }{2}\right)<0$ ，此时 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点位于 $\left(\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right)$ ；

情况2：当 $n=1$ 时， $f\left(\theta \right)=2L\cos \theta -\theta +\pi$

当 $\theta \le \frac{\pi }{2}$ 时， $f\left(\theta \right)>0$ ；当 $L=\frac{\pi }{3}$ 时， $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点为 $\zeta =-\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2}$ ；当 $L=\frac{\pi }{4\sqrt{2}}$ 时， $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点为 $\zeta =-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{i\sqrt{2}}{2}$ ；当 $L=\frac{\pi }{6\sqrt{3}}$ 时， $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点为 $\zeta =-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}$ ；当 $0<L<\frac{\pi }{6\sqrt{3}}$ 时，有 $f\left(\frac{5\pi }{6}\right)>0,f\left(\pi \right)<0$ ，此时散射数据 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点位于 $\left(\frac{5\pi }{6},\pi \right)$ ；当 $\frac{\pi }{6\sqrt{3}}<L<\frac{\pi }{4\sqrt{2}}$ 时，有 $f\left(\frac{3\pi }{4}\right)>0,f\left(\frac{5\pi }{6}\right)<0$ ，我们能够得到 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点位于 $\left(\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{6}\right)$ ；当 $\frac{\pi }{4\sqrt{2}}<L<\frac{\pi }{3}$ 时，有 $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)>0,f\left(\frac{3\pi }{4}\right)<0$ ，此时 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点位于 $\left(\frac{2\pi }{3},\frac{3\pi }{4}\right)$ ；当 $L>\frac{\pi }{3}$ 时，有 $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)>0,f\left(\frac{\pi }{2}\right)>0$ ，此时 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点位于 $\left(\frac{\pi }{2},\frac{2\pi }{3}\right)$ ；

情况3：当 $n=2$ 时， $f\left(\theta \right)=2L\cos \theta -\theta +2\pi$

当 $\theta \le \frac{\pi }{2}$ 时， $f\left(\theta \right)>0$ ；当 $L=\frac{4\pi }{3}$ 时， $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点为 $\zeta =-\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2}$ ；当 $L=\frac{5\pi }{4\sqrt{2}}$ 时，零点为 $\zeta =-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{i\sqrt{2}}{2}$ ；当 $L=\frac{7\pi }{6\sqrt{3}}$ 时，零点为 $\zeta =-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}$ ；当 $0<L<\frac{\pi }{2}$ 时，有 $f\left(\pi \right)>0,f\left(\frac{2\pi }{3}\right)>0$ ，则散射数据 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 在 $\left(0,\pi \right)$ 内不存在零点；当 $\frac{\pi }{2}<L<\frac{7\pi }{6\sqrt{3}}$ 时，有 $f\left(\pi \right)<0,f\left(\frac{5\pi }{6}\right)>0$ ，我们能够得到 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点位于 $\left(\frac{5\pi }{6},\pi \right)$ ；当 $\frac{7\pi }{6\sqrt{3}}<L<\frac{5\pi }{4\sqrt{2}}$ 时，有 $f\left(\frac{5\pi }{6}\right)<0,f\left(\frac{3\pi }{4}\right)>0$ ，此时 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点位于 $\left(\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{6}\right)$ ；当 $\frac{5\pi }{4\sqrt{2}}<L<\frac{4\pi }{3}$ 时，有 $f\left(\frac{3\pi }{4}\right)<0,f\left(\frac{2\pi }{3}\right)>0$ ，此时 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点位于 $\left(\frac{2\pi }{3},\frac{3\pi }{4}\right)$ ；当 $L>\frac{\pi }{3}$ 时，有 $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)<0,f\left(\frac{\pi }{2}\right)>0$ ，此时 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点位于 $\left(\frac{\pi }{2},\frac{2\pi }{3}\right)$ ；

此时我们数学根据归纳法可以得到，当 $n\ge 2$ 时，对于任意 $\theta \le \frac{\pi }{2}$ 均有 $f\left(\theta \right)>0$ ，则令

$L_1=\frac{\pi }{3}+\left(n-1\right)\pi ,L_2=\frac{\pi }{4\sqrt{2}}+\frac{\left(n-1\right)\pi }{\sqrt{2}}$ (3.13a)

$L_3=\frac{\pi }{6\sqrt{3}}+\frac{\left(n-1\right)\pi }{\sqrt{3}},L_4=\frac{\left(n-1\right)\pi }{2}$ (3.13b)

当 $L=L_1$ 时， $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点为 $\zeta =-\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2}$ ；当 $L=L_2$ 时，零点为 $\zeta =-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{i\sqrt{2}}{2}$ ；当 $L=L_3$ 时，零点为 $\zeta =-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}$ ；当 $0<L<L_4$ 时，有 $f\left(\pi \right)>0$ ，则散射数据 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 在 $\left(0,\pi \right)$ 内不存在零点；当 $L_4<L<L_3$ 时，有 $f\left(\pi \right)<0,f\left(\frac{5\pi }{6}\right)>0$ ，则 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点位于 $\left(\frac{5\pi }{6},\pi \right)$ ；当 $L_3<L<L_2$ 时，有 $f\left(\frac{5\pi }{6}\right)<0,f\left(\frac{3\pi }{4}\right)>0$ ，此时 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点位于 $\left(\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{6}\right)$ ；当 $L_2<L<L_1$ 时，有 $f\left(\frac{3\pi }{4}\right)<0,f\left(\frac{2\pi }{3}\right)>0$ ，此时 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点位于 $\left(\frac{2\pi }{3},\frac{3\pi }{4}\right)$ ；当 $L>L_1$ 时，有 $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)<0,f\left(\frac{\pi }{2}\right)>0$ ，此时 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点位于 $\left(\frac{\pi }{2},\frac{2\pi }{3}\right)$ ；

情况4：当 $n=-1$ 时， $f\left(\theta \right)=2L\cos \theta -\theta -\pi$

此时当 $\theta \ge \frac{\pi }{2}$ 时， $f\left(\theta \right)<0$ ；当 $L=\frac{7\pi }{6\sqrt{3}}$ 时， $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点为 $\zeta =\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}$ ；当 $L=\frac{5\pi }{4\sqrt{2}}$ 时， $s_{11}\left(\zeta \right)$ 零点为 $\zeta =\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{i\sqrt{2}}{2}$ ；当 $L=\frac{4\pi }{3}$ 时， $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点为 $\zeta =\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2}$ ；当 $0<L<\frac{\pi }{2}$ 时，有 $f\left(0\right)<0,f\left(\pi \right)<0$ ，则散射数据 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 在 $\left(0,\pi \right)$ 内不存在零点；当 $\frac{\pi }{2}<L<\frac{7\pi }{6\sqrt{3}}$ 时，有 $f\left(0\right)>0,f\left(\frac{\pi }{6}\right)<0$ ，此时 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点位于 $\left(0,\frac{\pi }{6}\right)$ ；当 $\frac{7\pi }{6\sqrt{3}}<L<\frac{5\pi }{4\sqrt{2}}$ 时，有 $f\left(\frac{\pi }{6}\right)>0,f\left(\frac{\pi }{4}\right)<0$ ，则散射数据 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点位于 $\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right)$ ；当 $\frac{5\pi }{4\sqrt{2}}<L<\frac{4\pi }{3}$ 时，有 $f\left(\frac{\pi }{4}\right)>0,f\left(\frac{\pi }{3}\right)<0$ ，此时 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点位于 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3}\right)$ ；当 $L>\frac{4\pi }{3}$ 时，有 $f\left(\frac{\pi }{3}\right)>0,f\left(\frac{\pi }{2}\right)<0$ ，此时 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点位于 $\left(\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right)$ ；

此时我们可以通过数学归纳法得知，当 $n\le -1$ 时，对于任意 $\theta \le \frac{\pi }{2}$ 均有 $f\left(\theta \right)>0$ ，我们可以定义 $L_5=-\frac{n\pi }{2},L_6=\frac{\pi }{6\sqrt{3}}+\frac{n\pi }{\sqrt{3}},L_7=\frac{\pi }{4\sqrt{2}}-\frac{n\pi }{\sqrt{2}},L_8=\frac{\pi }{3\sqrt{3}}-\frac{n\pi }{\sqrt{3}}$ ，则有当 $L=L_6$ 时， $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点为 $\zeta =\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}$ ；当 $L=L_7$ 时，其零点为 $\zeta =\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{i\sqrt{2}}{2}$ ；当 $L=L_8$ 时，零点为 $\zeta =\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2}$ ；当 $0<L<L_5$ 时，有 $f\left(0\right)<0,f\left(\pi \right)<0$ ，则散射数据 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 在 $\left(0,\pi \right)$ 内不存在零点；当 $L_5<L<L_6$ 时，有 $f\left(0\right)>0,f\left(\frac{\pi }{6}\right)<0$ ，则 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点位于 $\left(0,\frac{\pi }{6}\right)$ ；当 $L_6<L<L_7$ 时，有 $f\left(\frac{\pi }{6}\right)>0,f\left(\frac{\pi }{4}\right)<0$ ，此时 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点位于 $\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right)$ ；当 $L_7<L<L_8$ 时，有 $f\left(\frac{\pi }{4}\right)>0,f\left(\frac{\pi }{3}\right)<0$ ，此时 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点位于 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3}\right)$ ；当 $L>L_8$ 时，有 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)<0,f\left(\frac{\pi }{3}\right)>0$ ，此时 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点位于 $\left(\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right)$ 。

综上所述，散射数据 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点随着区间长度L的变化而产生变动，通过对特殊的三角函数值的研究发现，在一定的条件下， $s_{11}\left(\zeta \right)$ 在复 $\zeta$ 平面的上半平面内只有一个零点，而在某些条件下， $s_{11}\left(\zeta \right)$ 在上半平面内不存在零点。

4. 总结

本文首先利用具有特殊初值条件的散焦KE方程的Lax对得到了初值条件下的KE方程的Jost函数解，然后通过散射关系得到了相应的散射矩阵和散射系数，随后根据已知的散射数据 $s_{11}\left(t,\zeta \right)$ 求出该系数的零点，最后我们通过一些特殊的三角函数值来具体研究散焦KE方程的零点，在这个过程中，我们发现散射数据 $s_{11}\left(\zeta \right)$ 的零点会随着区间长度的变化而产生变动，也就是说，在一定的区域内， $s_{11}\left(\zeta \right)$ 在复 $\zeta$ 平面的上半平面内只有一个零点，但超过一定的区域， $s_{11}\left(\zeta \right)$ 在复 $\zeta$ 平面的上半平面内不存在零点。

尽管本文在关于特殊初值的KE方程的基础理论的创新上取得了一些进展，对于其他情况下研究相应的零点问题提供了一个思路，而零点的精确解求解是一个复杂且困难的过程，相信在今后关于这一方面的研究会找到更合适的方法来解决此问题，相信今后关于这一方面的研究将会越来越好，也将会碰撞出更多激烈的火花，不断丰富孤立子理论的内容与结构。