函数项级数一致收敛性的判别与应用

Discrimination and Application of Uniform Convergence of Series of Function Terms

摘要: 函数项级数一致收敛性的判别问题是分析学的重难点之一。关于函数项级数一致收敛问题在不同题设下判别方法各异，因此函数项级数往往是学生学习数学分析的困难点。为了深入研究函数项级数的一致收敛性，本文对函数项级数一致收敛性的判别法进行全面归纳，并给出每类判别法相对应下的典型例题。通过对比分析，Weierstrass判别法与柯西收敛准则相较于其它方法应用更广泛，故在做题时可优先考虑。

Abstract: The discrimination of uniform convergence of series of function terms is one of the most difficult problems in mathematical analysis. The discriminant methods of uniform convergence of function term series vary under difficult sets, so the function term series is often the important and difficult point for students to learn mathematical analysis. In order to further study the uniform conver-gence of function term series, this paper summarizes the discriminant method of uniform conver-gence of function term series, and gives the typical examples corresponding to each type of dis-criminant. Through comparative analysis, Weierstrass criterion and Cauchy convergence criterion are more widely used than other methods, so they can be given priority when doing problems.

1. 引言

函数项级数一致收敛性的判别和应用在数学分析中处于核心地位。其中，书中常用的判别法有Weierstrass判别法、柯西判别法、余项准则等，而值得补充的是：文献 [1] 以数项级数Rabbe判别法为基础，将其推广到正项函数项级数中，研究正项函数项级数的一致收敛性；文献 [2] 主要探讨了Dini定理在函数项级数中的应用，通过研读发现Dini定理的局限性较强，只适用于定义在有界闭区间的函数项级数；Bendixon判别法利用导函数的性质对函数项级数一致收敛进行判定等。由于函数项级数一致收敛性的多种判别方法加大了做题时的难度，为了让学生能够深刻理解和领会相关内容，本文基于以上研究背景，主要对函数项级数一致收敛性的判别法进行归纳，同时对每类判别法的应用进行整理，进而达到对比分析的目的，为我国数学行业的发展打下一定的基础 [3] 。

2. 函数项级数的一致收敛的判别方法与应用

2.1. 定义法

定理1 [4] ：若函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}\left(x\in \text{D}\right)$ 的部分和函数列 $\left\{S_n\left(x\right)\right\}$ ，其中 $S_n\left(x\right)={\displaystyle {\sum }_{k=1}^n{u}_k\left(x\right)}$ 在D上一致收敛于 $S\left(x\right)$ ，则我们称 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 在D上一致收敛于 $S\left(x\right)$ 。

例1：试证明函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^n}$ 在 $\left[-r,r\right]$ ( $0<r<1$ )上一致收敛。

证：不妨令 $u_n\left(x\right)=x^n$ ，显然得

$S\left(x\right)=\frac{x}{1-x},S_n\left(x\right)=\frac{x\left(1-x^n\right)}{1-x}$ (1)

由于

$\left|S_n\left(x\right)-S\left(x\right)\right|=\frac{{\left|x\right|}^{n+1}}{1-x}\le \frac{r^{n+1}}{1-r}$ (2)

对于任意的正数 $\epsilon$ ，

$\frac{r^{n+1}}{1-r}<\epsilon \Rightarrow n>\frac{\lg \left(1-r\right)\epsilon }{\lg r}$ (3)

故 $\forall \epsilon >0$ ， $\exists N=\left[\frac{\lg \left(1-r\right)\epsilon }{\lg r}\right]$ ， $\forall n>N$ 有 $\left|S_n\left(x\right)-S\left(x\right)\right|=\frac{{\left|x\right|}^{n+1}}{1-x}<\epsilon$ 成立。

即函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^n}$ 在 $\left[-r,r\right]$ 上一致收敛。

2.2. Cauchy判别法

定理2 [4] ：函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 在数集D上一致收敛的充要条件是：对任给的正数 $\epsilon$ ，总存在某正整数N，使得当 $n>N$ 时，对一切 $x\in \text{D}$ 和一切正整数p，都有 $\left|S_{n+p}\left(x\right)-S_n\left(x\right)\right|<\epsilon$ 。

例2：证明函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n^2}}$ 在 $\left(-\infty ,+\infty \right)$ 上一致收敛。

证：由于

$\begin{array}{c}\left|\frac{\sin \left(n+1\right)x}{{\left(n+1\right)}^2}+\cdots +\frac{\sin \left(n+p\right)x}{{\left(n+p\right)}^2}\right|\le \frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}+\cdots +\frac{1}{{\left(n+p\right)}^2}\\ <\frac{1}{n\left(n+1\right)}+\cdots +\frac{1}{\left(n+p-1\right)\left(n+p\right)}\end{array}$ (4)

故对任意的正数 $\epsilon$ ，取 $N=\frac{1}{\epsilon }$ ，当 $n>N$ 时，对任意 $x\in \left(-\infty ,+\infty \right)$ ，对任意的正数p，都有

$\left|\frac{\sin \left(n+1\right)x}{{\left(n+1\right)}^2}+\cdots +\frac{\sin \left(n+p\right)x}{{\left(n+p\right)}^2}\right|<\epsilon$ (5)

于是，由Cauchy收敛准则知，函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n^2}}$ 在 $\left(-\infty ,+\infty \right)$ 上一致收敛。

注：1) Cauchy一致收敛准则是判断函数项级数收敛的充要条件，学生在使用时需要灵活变通。

2) 常利用Cauchy一致收敛准则的逆否命题来判定非一致收敛。

2.3. Weierstrass判别法

定理3 [4] ：若 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 在区间D上满足： $\left|u_n\left(x\right)\right|\le a_n$ ， $x\in \text{D}$ ；正项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n}$ 收敛，则 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 在区间D上一致收敛。

例3：证明函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^{\alpha }{\text{e}}^{-nx}}\left(\alpha >1\right)$ 在 $\left[0,+\infty \right)$ 上一致收敛。

证：不妨令

$u_n\left(x\right)=x^{\alpha }{\text{e}}^{-nx}$ (6)

则

${u^{\prime }}_n\left(x\right)=x^{\alpha -1}{\text{e}}^{-nx}\left(\alpha -nx\right)$ (7)

因此，由导函数的性质， $u_n\left(x\right)=x^{\alpha }{\text{e}}^{-nx}$ 在 $x=\frac{\alpha }{n}$ 处取得最大值 ${\left(\frac{\alpha }{\text{e}}\right)}^{\alpha }\frac{1}{n^{\alpha }}$ ，

故对任意的x有 $0\le u_n\left(x\right)\le {\left(\frac{\alpha }{\text{e}}\right)}^{\alpha }\frac{1}{n^{\alpha }}$

由于 $\alpha >1$ ，正项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{\left(\frac{\alpha }{\text{e}}\right)}^{\alpha }\frac{1}{n^{\alpha }}}$ 收敛，根据Weierstrass判别法知，函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^{\alpha }{\text{e}}^{-nx}}$ 在 $\left[0,+\infty \right)$ 上一致收敛

注：1) 该方法是函数项级数与正项级数间的桥梁，由于其将函数项级数问题转化为正项级数的收敛判别，因此具有广泛应用。

2) 虽然该判别法对绝对一致收敛的函数项级数起有效作用，但仍存在绝对一致收敛的函数项级数，使得M-判别法对其失效。

2.4. 余项准则

定理4 [5] ：函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 在E上一致收敛于 $S\left(x\right)$ 的充要条件是

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sup \left\{\left|S_n\left(x\right)-S\left(x\right)\right|\right\}=0$ (8)

例4 [3] ：讨论函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}=\frac{x}{1+n^2{x}^2}$ 在 $\left(-\infty ,+\infty \right)$ 的一致收敛性。

证：利用上确界判别法， ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n\left(x\right)=0$ ， $\forall x\in \left(-\infty ,+\infty \right)$ ，即 $S\left(x\right)=0$ ，因此得 $\left|S_n\left(x\right)-S\left(x\right)\right|=\frac{\left|x\right|}{1+n^2{x}^2}$

之后对x求导，并令导数等于0，得

$\frac{1-n^2{x}^2}{{\left(1+n^2{x}^2\right)}^2}=0\Rightarrow x^2=\frac{1}{n^2}\Rightarrow \left|x\right|=\frac{1}{\sqrt{n}}$ (9)

$\sup \left|S_n\left(x\right)-S\left(x\right)\right|=\frac{1}{2\sqrt{n}}\to 0\left(n\to \infty \right)$ (10)

因此 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 在 $\left(-\infty ,+\infty \right)$ 上一致收敛。

注：1) 若能得到部分和函数列 $\left\{S_n\left(x\right)\right\}$ 的表达式，就可将函数项级数一致收敛转化为部分和函数列一致收敛问题。

2) 具体问题中，常常利用求导的方式来求得 $\left|S_n\left(x\right)-S\left(x\right)\right|$ 在定义域上的上确界或最大值。

3) 因为优势判别法是函数项级数一致收敛的充要条件，往往利用该方法来解决不一致收敛的问题。

4) 该方法使用起来具有一定的局限性，多数情况下，很难将函数项级数的部分和具体表示出来。

5) 注意区分优势判别法与Weierstrass判别法的不同，两者并无一定的直接关系。

6) 余项准则也称优势判别法，或上确界判别法。

2.5. Abel判别法

定理5 [5] ：设函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n\left(x\right)b_n\left(x\right)}\left(x\in \text{D}\right)$ ，其中函数列 $\left\{a_n\left(x\right)\right\}$ 关于n单调一致有界： $\left|a_n\left(x\right)\right|\le M$ ， $x\in \text{D}$ ， $n\in {\text{N}}_{+}$ ，同时， ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n\left(x\right)}$ 在D上一致收敛，则 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n\left(x\right)b_n\left(x\right)}$ 在D上一致收敛。

例5：证明：设 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n}$ 收敛，则 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n}$ 在 $\left[0,\text{1}\right]$ 上一致收敛。

证：显然 $\left\{x^n\right\}$ 关于n单调，且 $\left|x^n\right|\le 1$ ， $x\in \left[0,1\right]$ ，对一切n成立。 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n}$ 是数项级数，且该级数收敛，由Abel判别法知， ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n}$ 在 $\left[0,\text{1}\right]$ 上一致收敛。

注：Abel判别法是函数项级数收敛的充要条件，并且只对能拆成两项相乘的函数项级数有效。

2.6. Dirichlet判别法

定理6 [6] ：设 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 的部分和函数列 $S_n\left(x\right)={\displaystyle {\sum }_{k=1}^n{u}_k\left(x\right)}\left(n=1,2,\cdots \right)$ 在D上一致有界；且对于每一个 $x\in \text{D}$ ， $\left\{v_n\left(x\right)\right\}$ 是单调的；在D上 $v_n\left(x\right)\rightrightarrows 0\left(n\to \infty \right)$ ，则函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)v_n\left(x\right)}$ 在D上一致收敛。

例6：设 $\left\{a_n\right\}$ 单调收敛于0，则 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n\cos nx}$ 在 $\left(0,2\pi \right)$ 上内闭一致收敛。

证：由题中所给，数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛于0，即关于x一致收敛于0；对于任意 $0<\delta <\pi$ ，当 $x\in \left[\delta ,2\pi -\delta \right]$ ，有

${\displaystyle {\sum }_{k=1}^n\left|\cos kx\right|}=\frac{\left|\sin \left(n+\frac{1}{2}\right)x-\sin \frac{x}{2}\right|}{2\left|\sin \frac{x}{2}\right|}\le \frac{1}{\sin \frac{\delta }{2}}$ (11)

由Dirichlet判别法，得 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n\cos nx}$ 在 $\left[\delta ,2\pi -\delta \right]$ 上一致收敛。

注：当固定x时，n是不断变动的。

以上归纳的方法较为常见，下面给出读者较为陌生的判别方法。

2.7. Dini判别法

定理7 [5] ：若函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 的每一项(或n充分大的项)为有界闭区间 $\left[a,b\right]$ 上的非负连续函数，又知级数的和函数 $S\left(x\right)$ 也在 $\left[a,b\right]$ 上连续，则级数在 $\left[a,b\right]$ 上一致收敛。

例7：讨论 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^n\ln x^p}\left(p>1\right)$ 在 $\left[0,1\right]$ 上的一致收敛性。

证：记

$u_n\left(x\right)=x^n{\left(\ln x\right)}^p$ (12)

$S_n\left(x\right)={\displaystyle {\sum }_{k=1}^n{x}^k{\left(\ln x\right)}^p}$ (13)

根据题意可知， $\forall x\in \left[0,1\right]$ ， $\forall n\in \text{N}$ ，有 $u_n\left(x\right)\ge 0$ ，补充定义

$u_n\left(0\right)=\underset{x\to 0}{\lim }{x}^n{\left(\ln x\right)}^p=0$ (14)

于是 $u_n\left(x\right)$ 在 $\left[0,1\right]$ 上连续，且有 $S\left(0\right)=S\left(1\right)=0$

当 $x\in \left(0,1\right)$ 时，有 $S\left(x\right)={\left(\ln x\right)}^p{\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^n}={\left(\ln x\right)}^p\frac{x}{1-x}$ ，于是可得

$S\left(x\right)=\{\begin{array}{l}0x=0,1\\ \ln x^p\frac{x}{1-x}x\in \left(0,1\right)\end{array}$ (15)

由于 $p>1$ ，因此由洛必达法则可得

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }S\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\left(\ln x\right)}^p\frac{x}{1-x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x{\left(\ln x\right)}^p}{1-x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(-xp{\left(\ln x\right)}^{p-1}\right)=0$ (16)

同理，

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }S\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x{\left(\ln x\right)}^p}{1-x}=0$ (17)

所以 $S\left(x\right)$ 在 $\left[0,1\right]$ 上连续，由Dini定理可得 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^n\ln x^p}$ 在 $\left[0,1\right]$ 上一致收敛。

注：Dini定理对题中条件要求较高，其中若定义域不是有界闭区间，则结论不成立。例如：定义在 $\left(0,1\right]$ 上的函数列 $\left\{x^n\right\}$ 处处单调收敛于0，但非一致收敛。因此，在使用Dini定理时，具有一定的局限性。

2.8. Bendixon (本迪克松)判别法

定理8 [5] ：设级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 为 $\left[a,b\right]$ 上的可微函数项级数，且 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u^{\prime }}_n\left(x\right)}$ 的部分和函数列在 $\left[a,b\right]$ 上一致有界，若 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 在 $\left[a,b\right]$ 上收敛，则必在 $\left[a,b\right]$ 上一致收敛。

注：1) 该判别法虽然对于学生来说较陌生，但在判别某些级数一致收敛时起到关键性作用。

2) 该判别法是利用导函数的性质来对函数项级数的一致收敛性进行判断。

2.9. Rabbe(拉贝)判别法

定理9 [6] ：设 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 是区间D上的正项函数项级数且满足：

$\frac{u_{n+1}\left(x\right)}{u_n\left(x\right)}=1-\frac{\alpha \left(x\right)}{n}+g\left(x\right)\cdot o\left(\frac{1}{n}\right)$ ， $g\left(x\right)$ 在D上有界，则有

若 $\inf \alpha \left(x\right)>1$ ，则级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 在区间D上一致收敛

若 $\sup \alpha \left(x\right)<1$ ，则级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 在区间D上发散(不一致收敛)

定理10 [6] ：设 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 是区间D上的正项函数项级数且满足：

$\frac{u_{n+1}\left(x\right)}{u_n\left(x\right)}=1-\frac{1}{n}-\frac{\lambda \left(x\right)}{n\ln n}+g\left(x\right)\cdot o\left(\frac{1}{n}\right)$ ， $g\left(x\right)$ 在D上有界，则有

若 $\inf \lambda \left(x\right)>1$ ，则级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 在区间D上一致收敛

若 $\sup \lambda \left(x\right)<1$ ，则级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 在区间D上发散(不一致收敛)

注：1) 拉贝判别法是用来判别正项函数项级数一致收敛的工具，与比值判别法，根式判别法相比，其应用范围更广。

2) 正项函数项级数中，以比式判别法为基础，以收敛速度更慢的级数作为比较标准，建立起拉贝判别法等一系列的判别法 [1] 。

3. 函数项级数非一致收敛的判别方法与应用

3.1. 定义法

定理10 [7] ：函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 非一致收敛于 $S\left(x\right)\iff \exists {\epsilon }_0>0$ ， $\forall N$ ， $\exists n>N$ ， $\exists x_0\in D$ ，有 $\left|S_n\left(x\right)-S\left(x\right)\right|\ge {\epsilon }_0$ 成立，其中 $S_n\left(x\right)$ 是函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 的前n项和。

例8 [8] ：试证明函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^n}$ 在 $\left(-1,1\right)$ 上非一致收敛。

证：不妨令 $u_n\left(x\right)=x^n$ ，显然得

$S\left(x\right)=\frac{x}{1-x},S_n\left(x\right)=\frac{x\left(1-x^n\right)}{1-x}$ (18)

$\exists {\epsilon }_0=\frac{1}{2\text{e}},\forall N,\exists n_0=2N,\exists x_0=\frac{2N-1}{2N}\in \left(-1,1\right)$ (19)

故

$\left|S_n\left(x\right)-S\left(x\right)\right|=\left|{\left(1-\frac{1}{2N}\right)}^{2N}\left(2N-1\right)\right|\ge \frac{1}{2\text{e}}$ (20)

则函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^n}$ 在 $\left(-1,1\right)$ 上是非一致收敛的。

注：若通过题中所给条件无法得出和函数的形式，基本定义往往不作优先考虑。

3.2. Cauchy收敛准则

定理11 [9] ：函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 在D上非一致收敛 $\iff \exists {\epsilon }_0>0$ ， $\forall N\in {\text{N}}^{+}$ ， $\exists m>n>N$ ， $\exists x_0\in D$ ，有 $\left|u_{n+1}\left(x\right)+\cdots +u_m\left(x\right)\right|\ge {\epsilon }_0$

例9：函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^{\alpha }{\text{e}}^{-nx}}\left(0<\alpha <1\right)$ 在 $\left[0,+\infty \right)$ 上非一致收敛。

证：由于

${\displaystyle {\sum }_{k=n+1}^{2n}{u}_k\left(x\right)}=x^{\alpha }{\text{e}}^{-\left(n+1\right)x}+\cdots +x^{\alpha }{\text{e}}^{-2nx}\ge n{x}^{\alpha }{\text{e}}^{-2nx}$ (21)

令 $0<{\epsilon }_0<{\text{e}}^{-2}$ ，取 $m=2n\left(n>N\right)$ 与 $x_n=\frac{1}{n}\in \left[0,+\infty \right)$ ，由于 $\alpha <1$ ，于是有

${\displaystyle {\sum }_{k=n+1}^{2n}{u}_k\left(x\right)}=x^{\alpha }{\text{e}}^{-\left(n+1\right)x}+\cdots +x^{\alpha }{\text{e}}^{-2nx}\ge n{x}^{\alpha }{\text{e}}^{-2nx}\ge {\text{e}}^{-2}>{\epsilon }_0$ (22)

由Cauchy收敛准则，函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^{\alpha }{\text{e}}^{-nx}}$ 在定义域上非一致收敛。

注：学生在解题时，若不能将问题归结为函数列研究，且有关函数项级数的和函数性质未知时，则利用柯西收敛准则是一个比较可行的方法。

3.3. 函数项级数非一致收敛的充分条件

定理12 [9] ：若函数列 $\left\{u_n\left(x\right)\right\}$ 在区间D上非一致收敛于零，则函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 在D上非一致收敛。

例10：证明函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }n{\left(x+\frac{1}{n}\right)}^n}$ 在 $\left(-1,1\right)$ 上非一致收敛。

证：利用函数项一致收敛必要条件的逆否命题，要证 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 在 $\left(-1,1\right)$ 上一致收敛，则证 $u_n\left(x\right)$ 非一致收敛于0。

取 $x_n=1-\frac{1}{n}$ ，其中 $x_n\in \left(-1,1\right)$ ， $u_n\left(x_n\right)=n\to \infty \left(n\to \infty \right)$ ，因此 $u_n\left(x\right)$ 非一致收敛于0，即 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }n{\left(x+\frac{1}{n}\right)}^n}$ 在 $\left(-1,1\right)$ 上非一致收敛。

3.4. 余项准则

定理13：若存在数列 $\left\{x_n\right\}\subset \text{D}$ ，使得 ${\lim }_{n\to \infty }\left|S_n\left(x_n\right)-S\left(x_n\right)\right|\ne 0$ ，则函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 在区间D上非一致收敛于 $S\left(x\right)$ 。

例11：证明函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^n}$ 在 $\left(-1,1\right)$ 上是非一致收敛。

证：不妨令 $u_n\left(x\right)=x^n$ ，显然得

$S\left(x\right)=\frac{x}{1-x},S_n\left(x\right)=\frac{x\left(1-x^n\right)}{1-x}$ (23)

令 $x_n=\frac{n}{n+1}\in \left(-1,1\right)$ ，且 $\left|S_n\left(x\right)-S\left(x\right)\right|=\frac{{\left|x\right|}^{n+1}}{1-x}$ ，则

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|S_n\left(x\right)-S\left(x\right)\right|=\infty \ne 0$ (24)

故根据余项准则，函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^n}$ 在 $\left(-1,1\right)$ 上是非一致收敛的。

注：由于余项准则是判定函数项级数一致收敛的充要条件，故常常能解决非一致收敛的问题。

3.5. 函数项级数的连续性

定理14 [9] ：若函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 的各项在D上都连续，而其和函数 $S\left(x\right)$ 在D上不连续，则函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 在D上非一致收敛。

例12：证明函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^n\left(1-x\right)}$ 在 $\left[0,1\right]$ 上非一致收敛。

证：函数项级数 ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^n\left(1-x\right)}$ 的和函数为 $S\left(x\right)=x$ ， $x\in \left[0,1\right)$ ，而 $S\left(1\right)=0$ ，它在点 $x=1$ 的左侧不连续，而函数项级数的每一项均在定义域上连续，故根据连续性定理，该级数在 $\left[0,1\right]$ 上非一致收敛。

注：在利用连续性命题的逆否命题时，需要保证和函数或极限函数具有某种性质。

4. 结语

本文只归纳了函数项级数判别方法一致收敛的判别法中的一部分，其中，Weierstrass判别法与柯西收敛准则相较于其它应用更广泛，一般我们优先考虑。在讨论函数项级数一致收敛性时，由于判别方法多种多样，学生需注意区分每种判别法的差异性，从而做到灵活掌握。最后，学生们只有理解好每种判别法的概念及性质，才能在做题时信手拈来。