Morita环上的强Gorenstein投射模

Strongly Gorenstein Projective Modules over Morita Rings

摘要: 设是一个具有零双模同态的Morita环，其中A和B都是环，N是A-B-双模，M是B-A-双模，研究了如何在具有零双模同态的Morita环上构造一类强Gorenstein投射模。

Abstract: Let is a Morita ring with zero bimodule homomorphisms, where A and B are two rings, N is an A-B-bimodule, and M is a B-A-bimodule. This paper studies how to construct a class of strongly Gorenstein projective modules over Morita rings with zero bimodule homomorphisms.

1. 引言

Auslander与Bridger [1] 为有限生成模引入了Gorenstein维数的概念，这种维数是投射维数的细化。Enochs与Jenda [2] 将Gorenstein维数为零的有限生成模称为Gorenstein投射模，并将Gorenstein投射模推广到任意环的情形下。称左R-模M是强Gorenstein投射模，如果存在投射左R-模的正合序列 ${\text{P}}^{•}:\cdots \stackrel{}{\to }{P}_1\stackrel{}{\to }{P}_0\stackrel{}{\to }{P}^0\stackrel{}{\to }{P}^1\stackrel{}{\to }\cdots ,$ 使得 $M\cong \mathrm{Im}\left(P_0\to P^0\right)$ ，并且对任意的投射模Q， ${\text{Hom}}_R\left({\text{P}}^{•},Q\right)$ 正合。Bennis与Mahdou [3] 研究了Gorenstein投射模的一种特殊情况。称左R-模M是强Gorenstein投射模，如果存在投射左R-模的正合序列 ${\text{P}}^{•}:\cdots \stackrel{f}{\to }P\stackrel{f}{\to }P\stackrel{f}{\to }P\stackrel{f}{\to }\cdots ,$ 使得 $M\cong \text{Ker}f$ ，并且对任意的投射模Q， ${\text{Hom}}_R\left({\text{P}}^{•},Q\right)$ 正合。此时，称 ${\text{P}}^{•}$ 为M的一个强完全投射分解。特别地，证明了一个模是Gorenstein投射模当且仅当它是某个强Gorenstein投射模的一个直和项。

为了研究模范畴之间的等价，Morita [4] 引入了Morita系统 $\Omega =\left(A,N,M,B,\varphi ,\psi \right)$ ，其中A，B是环，M，N是双模，它们通过两个双模同态 $\varphi$ 与 $\psi$ 联系起来。此后，随着它的广泛使用，许多学者发现，可以自然地构造一个矩阵形式的环 $\left(\begin{array}{cc}A& N\\ M& B\end{array}\right)$ ，此环中元素形如矩阵 $\left(\begin{array}{cc}a& n\\ m& b\end{array}\right)$ ，其中 $a\in A$ ， $n\in N$ ， $m\in M$ ， $b\in B$ ，环的加法运算为对应位置相加，乘法定义为：

$\left(\begin{array}{cc}a& n\\ m& b\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& n^{\prime }\\ m^{\prime }& b^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a{a}^{\prime }+\psi \left(n\otimes m^{\prime }\right)& a{n}^{\prime }+n{b}^{\prime }\\ m{a}^{\prime }+b{m}^{\prime }& b{b}^{\prime }+\varphi \left(m\otimes n^{\prime }\right)\end{array}\right)$

其中 $\varphi :M{\otimes }_{A}N\to B\text{,}\psi :N{\otimes }_{B}M\to A$ 是双模同态，并且 $\varphi$ 和 $\psi$ 满足一定的条件，称这个环为Morita系统环(简称为Morita环)。Mao [5] 在三角矩阵环上给出了强Gorenstein投射模的等价刻画，注意到三角矩阵环是一种特殊的Morita环，Morita环及其上的模在环模理论中扮演着重要角色。近年来，Gao和Psaroudakis [6] 研究了如何在具有零双模同态的Morita环上构造Gorenstein投射模，受Gao等工作的启发，本文主要讨论在具有零双模同态的Morita环上构造一类强Gorenstein投射模。

2. 预备知识

给出了全文所需要的一些基本概念和事实。

贯穿全文，设所有环都为有单位元的结合环。对任意环A，用A-模表示左A-模，Mod(A)表示左A-模范畴。

对于一个Morita系统 $\Omega =\left(A,N,M,B,\varphi ,\psi \right)$ ，其中A和B都是环， ${}_{A}N{}_B$ 是A-B-双模， ${}_{B}M{}_A$ 是B-A-双模，并且 $\varphi :M{\otimes }_{A}N\to B$ 是双模同态， $\psi :N{\otimes }_{B}M\to A$ 是双模同态，定义Morita环为：

${\Lambda }_{\left(\varphi ,\psi \right)}\left(\Omega \right)=\left(\begin{array}{cc}A& {}_{A}N{}_B\\ {}_{B}M{}_A& B\end{array}\right).$

如果 ${\Lambda }_{(\varphi ,\psi )}\left(\Omega \right)$ 中元素的加法为对应元素相加，乘法为

$\left(\begin{array}{cc}a& n\\ m& b\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& n^{\prime }\\ m^{\prime }& b^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a{a}^{\prime }+\psi \left(n\otimes m^{\prime }\right)& a{n}^{\prime }+n{b}^{\prime }\\ m{a}^{\prime }+b{m}^{\prime }& b{b}^{\prime }+\varphi \left(m\otimes n^{\prime }\right)\end{array}\right)$

对任意 $m,m^{\prime }\in M,n,n^{\prime }\in N$ ，总假设 $\varphi \left(m\otimes n\right)m^{\prime }=m\psi \left(n\otimes m^{\prime }\right)$ ， $n\varphi \left(m{\otimes }_A{n}^{\prime }\right)=\psi \left(n{\otimes }_{B}m\right)n^{\prime }$ ，这个条件保证了 ${\Lambda }_{(\varphi ,\psi )}\left(\Omega \right)$ 是结合环。方便起见，全文始终记Morita环为 ${\Lambda }_{(\varphi ,\psi )}$ 而不是 ${\Lambda }_{(\varphi ,\psi )}\left(\Omega \right)$ 。

Morita环 ${\Lambda }_{(\varphi ,\psi )}$ 上模的构造是已知的，见文献 [7] 。所有 ${\Lambda }_{(\varphi ,\psi )}$ -模构成的范畴 $\text{Mod}\left({\Lambda }_{(\varphi ,\psi )}\right)$ 等价于范畴 $\Omega \left(\Lambda \right)$ ，这个范畴中的对象是四元组 $\left(X,Y,f,g\right)$ ， $X\in \text{Mod}\left(A\right),Y\in \text{Mod}\left(B\right)$ ， $f\in {\text{Hom}}_B\left(M{\otimes }_{A}X,Y\right)$ ， $g\in {\text{Hom}}_A\left(N{\otimes }_{B}Y,X\right)$ ，并且使得下图可交换，如图1和图2所示。

Figure 1. Commutative diagram

图1. 交换图

Figure 2. Commutative diagram

图2. 交换图

设 $\left(X,Y,f,g\right)$ 和 $\left(X^{\prime },Y^{\prime },f^{\prime },g^{\prime }\right)$ 为 $\Omega \left(\Lambda \right)$ 中的对象，则 $\Omega \left(\Lambda \right)$ 中的态射

$\left(X,Y,f,g\right)\stackrel{(a,b)}{\to }\left(X^{\prime },Y^{\prime },f^{\prime },g^{\prime }\right)$

是一个态射对，其中 $a:X\to X^{\prime }$ 是A-模同态， $b:Y\to Y^{\prime }$ 是B-模同态，并且使得下图可交换，如图3和图4所示。

Figure 3. Commutative diagram

图3. 交换图

Figure 4. Commutative diagram

图4. 交换图

注1 设 ${\Lambda }_{(\varphi ,\psi )}=\left(\begin{array}{cc}A& {}_{A}N{}_B\\ {}_{B}M{}_A& B\end{array}\right)$ 是一个Morita环。

1) $\text{Mod}\left({\Lambda }_{(\varphi ,\psi )}\right)$ 中对象构成的序列

$0\stackrel{}{\to }\left(X_1,Y_1,f_1,g_1\right)\stackrel{(a_1,b_1)}{\to }\left(X_2,Y_2,f_2,g_2\right)\stackrel{(a_2,b_2)}{\to }\left(X_3,Y_3,f_3,g_3\right)\stackrel{}{\to }0$

是正合的当且仅当 $\text{Mod}\left(A\right)$ 中的序列

$0\to X_1\to X_2\to X_3\to 0$

和 $\text{Mod}\left(B\right)$ 中的序列

$0\to Y_1\to Y_2\to Y_3\to 0$

都是正合的。

2) 设 $\left(a,b\right):\left(X,Y,f,g\right)\to \left(X^{\prime },Y^{\prime },f^{\prime },g^{\prime }\right)$ 为 $\text{Mod}\left({\Lambda }_{(\varphi ,\psi )}\right)$ 中的态射，考虑以下映射 $c:\text{Ker}a\to X$ 与 $d:\text{Ker}b\to Y$ 。则 $\left(a,b\right)$ 的核是对象 $\left(\text{Ker}a,\text{Ker}b,h,j\right)$ ，其中映射h与j由下述交换图诱导，如图5和图6所示。

Figure 5. Commutative diagram

图5. 交换图

Figure 6. Commutative diagram

图6. 交换图

类似地，可以得到态射的余核。

注2 设 ${\Lambda }_{(0,0)}=\left(\begin{array}{cc}A& {}_{A}N{}_B\\ {}_{B}M{}_A& B\end{array}\right)$ 是一个Morita环，其中双模同态 $\varphi =0=\psi$ 。为了后面定理的证明，引入以下函子：

1) 函子 ${\text{T}}_A:\text{Mod}\left(A\right)\to \text{Mod}\left({\Lambda }_{(0,0)}\right)$ ，对任意的 $X\in \text{Mod}\left(A\right)$ ， ${\text{T}}_A\left(X\right)=\left(X,M{\otimes }_{A}X,1,0\right)$ ，给定A-模同态 $a:X\to X^{\prime }$ ，定义 ${\text{T}}_A\left(a\right)=\left(a,{\text{Id}}_M\otimes a\right)$ 。

2) 函子 ${\text{T}}_B:\text{Mod}\left(B\right)\to \text{Mod}\left({\Lambda }_{(0,0)}\right)$ ，对任意的 $Y\in \text{Mod}\left(B\right)$ ， ${\text{T}}_B\left(Y\right)=\left(N{\otimes }_{B}Y,Y,0,1\right)$ ，给定B-模同态 $b:Y\to Y^{\prime }$ ，定义 ${\text{T}}_B\left(b\right)=\left({\text{Id}}_N\otimes b,b\right)$ 。

3) 函子 ${\text{H}}_A:\text{Mod}\left(A\right)\to \text{Mod}\left({\Lambda }_{(0,0)}\right)$ ，对任意的 $X\in \text{Mod}\left(A\right)$ ， ${\text{H}}_A\left(X\right)=\left(X,{\text{Hom}}_A\left(N,X\right),0,1\right)$ ，给定A-模同态 $a:X\to X^{\prime }$ ，定义 ${\text{H}}_A\left(a\right)=\left(a,{\text{Hom}}_A\left(N,a\right)\right)$ 。

4) 函子 ${\text{H}}_B:\text{Mod}\left(B\right)\to \text{Mod}\left({\Lambda }_{(0,0)}\right)$ ，对任意的 $Y\in \text{Mod}\left(B\right)$ ， ${\text{H}}_B\left(Y\right)=\left({\text{Hom}}_B\left(M,Y\right),Y,1,0\right)$ ，给定B-模同态 $b:Y\to Y^{\prime }$ ，定义 ${\text{H}}_B\left(b\right)=\left({\text{Hom}}_B\left(M,b\right),b\right)$ 。

5) 函子 ${\text{Z}}_A:\text{Mod}\left(A\right)\to \text{Mod}\left({\Lambda }_{(0,0)}\right)$ ，对任意的 $X\in \text{Mod}\left(A\right)$ ， ${\text{Z}}_A\left(X\right)=\left(X,0,0,0\right)$ ，给定一个A-模同态 $a:X\to X^{\prime }$ ，定义 ${\text{Z}}_A\left(a\right)=\left(a,0\right)$ 。

6) 函子 ${\text{Z}}_B:\text{Mod}\left(B\right)\to \text{Mod}\left({\Lambda }_{(0,0)}\right)$ ，对任意的 $Y\in \text{Mod}\left(B\right)$ ， ${\text{Z}}_B\left(Y\right)=\left(0,Y,0,0\right)$ ，给定一个B-模同态 $b:Y\to Y^{\prime }$ ，定义 ${\text{Z}}_B\left(b\right)=\left(0,b\right)$ 。

3. Morita环上的强Gorenstein投射模

本文的主要结果要用到以下引理。

引理1 ( [6] 引理3.8) 设 ${\Lambda }_{(0,0)}=\left(\begin{array}{cc}A& {}_{A}N{}_B\\ {}_{B}M{}_A& B\end{array}\right)$ 是一个Morita环，则对任意A-模X和B-模Y，有以下 $\text{Mod}\left({\Lambda }_{(0,0)}\right)$ 中的正合序列

$0\stackrel{}{\to }{\text{Z}}_B\left(M{\otimes }_{A}X\right)\stackrel{}{\to }{\text{T}}_A\left(X\right)\stackrel{}{\to }{\text{Z}}_A\left(X\right)\stackrel{}{\to }0\text{;}$

$0\stackrel{}{\to }{\text{Z}}_A\left(N{\otimes }_{B}Y\right)\stackrel{}{\to }{\text{T}}_B\left(Y\right)\stackrel{}{\to }{\text{Z}}_B\left(Y\right)\stackrel{}{\to }0\text{;}$

$0\stackrel{}{\to }{\text{Z}}_A\left(X\right)\stackrel{}{\to }{\text{H}}_A\left(X\right)\stackrel{}{\to }{\text{Z}}_B\left({\text{Hom}}_A\left(N,X\right)\right)\stackrel{}{\to }0\text{;}$

$0\stackrel{}{\to }{\text{Z}}_B\left(Y\right)\stackrel{}{\to }{\text{H}}_B\left(Y\right)\stackrel{}{\to }{\text{Z}}_A\left({\text{Hom}}_B\left(M,Y\right)\right)\stackrel{}{\to }0.$

引理2 ( [6] 引理3.9) 设 ${\Lambda }_{(0,0)}=\left(\begin{array}{cc}A& {}_{A}N{}_B\\ {}_{B}M{}_A& B\end{array}\right)$ 是一个Morita环，则对任意X， $X^{\prime }\in \text{Mod}\left(A\right)$ ，Y， $Y^{\prime }\in \text{Mod}\left(B\right)$ ，有以下同构

${\text{Hom}}_{{\Lambda }_{(0,0)}}\left({\text{T}}_A\left(X\right)\oplus {\text{T}}_B\left(Y\right),{\text{Z}}_A\left(X^{\prime }\right)\right)\cong {\text{Hom}}_A\left(X,X^{\prime }\right)\text{,}$

${\text{Hom}}_{{\Lambda }_{(0,0)}}\left({\text{T}}_A\left(X\right)\oplus {\text{T}}_B\left(Y\right),{\text{Z}}_B\left(Y^{\prime }\right)\right)\cong {\text{Hom}}_B\left(Y,Y^{\prime }\right).$

三角矩阵环上强Gorenstein投射模的刻画见文献 [5] 。考虑三角矩阵环 $T=\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ U& B\end{array}\right)$ ，其中 $A,B$ 是环，U是B-A-双模，并且假设 $\text{fd}\left(U_A\right)<\infty$ ， $\text{pd}\left({}_{B}U\right)<\infty$ ，则由( [5] 定理1)可知，左T-模 $M={\left(\begin{array}{c}{M}_1\\ M_2\end{array}\right)}_{{\phi }^M}$ 是强Gorenstein投射模当且仅当以下条件成立：1) $M_1$ 是强Gorenstein投射左A-模；2) $M_2/\mathrm{Im}{\phi }^M$ 是强Gorenstein投射左B-模，并且 ${\phi }^M:U{\otimes }_A{M}_1\to M_2$ 是单态射；3) 存在 $\mu :M_2\to U{\otimes }_{A}P$ 和 $\nu :Q\to M_2$ ，使得 $\mu {\phi }^M=U{\otimes }_A\iota ,\rho \nu =\omega$ 且 $\text{Ker}\left(\begin{array}{cc}U{\otimes }_{A}f& \mu \nu \\ 0& g\end{array}\right)=\mathrm{Im}\left(\begin{array}{cc}U{\otimes }_{A}f& \mu \nu \\ 0& g\end{array}\right)$ ，其中 $\iota :M_1\to P$ 是单同态， $\omega :Q\to M_2/\mathrm{Im}{\phi }^M$ 和 $\rho :M_2\to M_2/\mathrm{Im}{\phi }^M$ 都是满同态，并且 $\left(\begin{array}{cc}U{\otimes }_{A}f& \mu \nu \\ 0& g\end{array}\right)\in {\text{End}}_B\left(\left(U{\otimes }_{A}P\right)\oplus Q\right)$ 。

下述定理为本文的主要结果。证明了在具有零双模同态的Morita环上如何构造一类强Gorenstein投射模，其中 $\text{SGP}\left(A\right)$ 和 $\text{SGP}\left(B\right)$ 分别表示所有强Gorenstein投射A-模和所有强Gorenstein投射B-模构成的类。

定理1 设 ${\Lambda }_{(0,0)}=\left(\begin{array}{cc}A& {}_{A}N{}_B\\ {}_{B}M{}_A& B\end{array}\right)$ 是一个Morita环，并且使得双模 ${}_{A}N{}_B$ 和 ${}_{B}M{}_A$ 满足下述条件：

1) 函子 $M{\otimes }_A-:\text{Mod}\left(A\right)\to \text{Mod}\left(B\right)$ 作用投射A-模的零调复形为B-模的零调复形。

2) 对任意投射B-模Q， $N{\otimes }_{B}Q\in {\left(\text{SGP}\left(A\right)\right)}^{\perp }$ 。

3) 函子 $N{\otimes }_B-:\text{Mod}\left(B\right)\to \text{Mod}\left(A\right)$ 作用投射B-模的零调复形为A-模的零调复形。

4) 对任意投射A-模P， $M{\otimes }_{A}P\in {\left(\text{SGP}\left(B\right)\right)}^{\perp }$ 。

i) 假设存在强Gorenstein投射B-模Z，使得对某个A-模X有一个单同态 $s:N{\otimes }_{B}Z\to X$ ，满足 $\text{Coker}s\in \text{SGP}\left(A\right)$ ，并且对某个B-模Y有一个单同态 $t:M{\otimes }_A\text{Coker}s\to Y$ ，满足 $\text{Coker}t=Z$ 。则四元组

$\left(X,Y,t\left({\text{Id}}_M\otimes {\pi }_X\right),s\left({\text{Id}}_N\otimes {\pi }_Y\right)\right)$

是一个强Gorenstein投射 ${\Lambda }_{(0,0)}$ -模，其中 ${\pi }_X:X\to \text{Coker}s$ ， ${\pi }_Y:Y\to \text{Coker}t$ 。

ii) 假设存在强Gorenstein投射A-模Z，使得对某个B-模Y有一个单同态 $t:M{\otimes }_{A}Z\to Y$ ，满足 $\text{Coker}t\in \text{SGP}\left(B\right)$ ，并且对某个A-模X有一个单同态 $s:N{\otimes }_B\text{Coker}t\to X$ ，满足 $\text{Coker}s=Z$ 。则四元组

$\left(X,Y,t\left({\text{Id}}_M\otimes {\pi }_X\right),s\left({\text{Id}}_N\otimes {\pi }_Y\right)\right)$

是一个强Gorenstein投射 ${\Lambda }_{(0,0)}$ -模，其中 ${\pi }_X:X\to \text{Coker}s$ ， ${\pi }_Y:Y\to \text{Coker}t$ 。

证明只证明(i)，(ii)的证明是对偶的。(i)的证明分为四个步骤，前两步利用 $\text{Coker}s$ 和Z的强完全投射分解对象构造X和Y相应的分解。第三步是把前两个分解提升到 $\text{Mod}\left({\Lambda }_{(0,0)}\right)$ 。最后一步证明对任意投射 ${\Lambda }_{(0,0)}$ -模 $\left(X,Y,f,g\right)$ ， ${\text{Hom}}_{{\Lambda }_{(0,0)}}\left(-,\left(X,Y,f,g\right)\right)$ 作用第三步得到的正合序列后保持正合。

第一步：因为 $\text{Coker}s\in \text{SGP}\left(A\right)$ ，所以存在A-模的强完全投射分解

${\text{P}}^{•}:\cdots \stackrel{d_P}{\to }P\stackrel{d_P}{\to }P\stackrel{d_P}{\to }P\stackrel{d_P}{\to }P\stackrel{d_P}{\to }\cdots ,$

其中 $\text{Coker}s\cong \text{Ker}{d}_P$ 。记 $\xi :P\to \text{Coker}s$ 为满同态， $\iota :\text{Coker}s\to P$ 为单同态，使得 $d_P=\iota \xi$ 。

因为 $Z\in \text{SGP}\left(B\right)$ ，所以存在B-模的强完全投射分解

${\text{Q}}^{•}:\cdots \stackrel{d_Q}{\to }Q\stackrel{d_Q}{\to }Q\stackrel{d_Q}{\to }Q\stackrel{d_Q}{\to }Q\stackrel{d_Q}{\to }\cdots ,$

其中 $Z\cong \text{Ker}{d}_Q$ 。记 $\omega :Q\to Z$ 为满同态， $i:Z\to Q$ 为单同态，使得 $d_Q=i\omega$ 。

由假设(3)可知，A-模复形 $N{\otimes }_B{\text{Q}}^{•}$ 是零调复形。用 ${\text{Hom}}_A\left(-,N{\otimes }_{B}Q\right)$ 作用A-模正合序列

$0\stackrel{}{\to }N{\otimes }_{B}Z\stackrel{s}{\to }X\stackrel{{\pi }_X}{\to }\text{Coker}s\stackrel{}{\to }0.$

因为 $\text{Coker}s\in \text{SGP}\left(A\right)$ ，并且由假设(2)可知 $N{\otimes }_{B}Q\in {\left(\text{SGP}\left(A\right)\right)}^{\perp }$ ，所以 ${\text{Ext}}_A^1\left(\text{Coker}s,N{\otimes }_{B}Q\right)=0$ ，故得正合序列

$0\stackrel{}{\to }{\text{Hom}}_A\left(\text{Coker}s,N{\otimes }_{B}Q\right)\stackrel{}{\to }{\text{Hom}}_A\left(X,N{\otimes }_{B}Q\right)\stackrel{}{\to }{\text{Hom}}_A\left(N{\otimes }_{B}Z,N{\otimes }_{B}Q\right)\stackrel{}{\to }0.$

这表明存在映射 ${\gamma }^0:X\to N{\otimes }_{B}Q$ ，使得 ${\gamma }^{0}s={\text{Id}}_N\otimes i$ 。因此，得到映射 ${\alpha }^0=\left(\begin{array}{c}\iota {\pi }_X\\ {\gamma }^0\end{array}\right):X\to P\oplus \left(N{\otimes }_{B}Q\right)$ 。

由文献 [8] 中引理1.6的Horseshoe引理得到以下行列都正合的交换图，如图7所示。

Figure 7. Commutative diagram

图7. 交换图

对于 $\alpha$ ，有 $\alpha =\left(\begin{array}{cc}{d}_P& 0\\ \gamma & {\text{Id}}_N\otimes d_Q\end{array}\right):P\oplus \left(N{\otimes }_{B}Q\right)\to P\oplus \left(N{\otimes }_{B}Q\right)$ ，并且 $\gamma :P\to N{\otimes }_{B}Q$ ，注意到 $\gamma$ 存在性由假设(2)可知，用同样的方法可以构造X的形如 $P\oplus \left(N{\otimes }_{B}Q\right)$ 的A-模分解。特别地，得到映射

${\alpha }^{-1}=\left({\gamma }^{-1}s\left({\text{Id}}_N\otimes \omega \right)\right):P\oplus \left(N{\otimes }_{B}Q\right)\to X,$

其中 ${\gamma }^{-1}:P\to X$ ，使得 ${\pi }_X{\gamma }^{-1}=\xi$ 。因此，得到以下正合序列

$\begin{array}{ccccccccc}\cdots & \stackrel{\alpha }{\to }& P\oplus \left(N{\otimes }_{B}Q\right)& \stackrel{\alpha }{\to }& P\oplus \left(N{\otimes }_{B}Q\right)& \stackrel{\alpha }{\to }& P\oplus \left(N{\otimes }_{B}Q\right)& \stackrel{\alpha }{\to }& \cdots \\ & & {}_{{\alpha }^{-1}}\searrow & & {\nearrow }_{{\alpha }^0}& & & & \\ & & & X& & & & & \end{array}$ (1)

其中 ${\alpha }^{-1}$ 是满同态， ${\alpha }^0$ 是单同态。

第二步：对于B-模Y，构造一个类似于(1)的正合序列，得到以下行列都正合的交换图，如图8所示。

Figure 8. Commutative diagram

图8. 交换图

对于 $\beta$ ，有 $\beta =\left(\begin{array}{cc}{\text{Id}}_M\otimes d_P& \delta \\ 0& d_Q\end{array}\right):\left(M{\otimes }_{A}P\right)\oplus Q\to \left(M{\otimes }_{A}P\right)\oplus Q$ ，并且 $\delta :Q\to M{\otimes }_{A}P$ ，注意到 $\delta$ 存在性由假设(4)可知，用同样的方法构造Y的形如 $\left(M{\otimes }_{A}P\right)\oplus Q$ 的B-模分解。特别地，得到映射

${\beta }^{-1}=\left(t\left({\text{Id}}_M\otimes \xi \right)){\delta }^{-1}\right):\left(M{\otimes }_{A}P\right)\oplus Q\to Y,$

其中 ${\delta }^{-1}:Q\to Y$ ，使得 ${\pi }_Y{\delta }^{-1}=\omega$ 。因此，得到以下正合序列

$\begin{array}{ccccccccc}\cdots & \stackrel{\beta }{\to }& \left(M{\otimes }_{A}P\right)\oplus Q& \stackrel{\beta }{\to }& \left(M{\otimes }_{A}P\right)\oplus Q& \stackrel{\beta }{\to }& \left(M{\otimes }_{A}P\right)\oplus Q& \stackrel{\beta }{\to }& \cdots \\ & & {}_{{\beta }^{-1}}\searrow & & {\nearrow }_{{\beta }^0}& & & & \\ & & & Y& & & & & \end{array}$ (2)

其中 ${\beta }^{-1}$ 是满同态， ${\beta }^0$ 是单同态。

第三步：由正合列序列(1)和(2)可得如下序列

$\begin{array}{ccccccc}{\text{T}}^{•}:\cdots & \stackrel{(\alpha ,\beta )}{\to }& {\text{T}}_A\left(P\right)\oplus {\text{T}}_B\left(Q\right)& \stackrel{(\alpha ,\beta )}{\to }& {\text{T}}_A\left(P\right)\oplus {\text{T}}_B\left(Q\right)& \stackrel{(\alpha ,\beta )}{\to }& \cdots \\ & & {}^{({\alpha }^{-1},{\beta }^{-1})}\searrow & & {\nearrow }^{({\alpha }^0,{\beta }^0)}& & \\ & & & \left(X,Y,f,g\right)& & & \end{array}$

下证序列 ${\text{T}}^{•}$ 是 $\text{Mod}\left({\Lambda }_{(0,0)}\right)$ 中的正合序列。易证有以下交换图，如图9和图10所示。

Figure 9. Commutative diagram

图9. 交换图

Figure 10. Commutative diagram

图10. 交换图

这表明映射 $\left(\alpha ,\beta \right):{\text{T}}_A\left(P\right)\oplus {\text{T}}_B\left(Q\right)\to {\text{T}}_A\left(P\right)\oplus {\text{T}}_B\left(Q\right)$ 是 $\text{Mod}\left({\Lambda }_{(0,0)}\right)$ 中的态射。因为复形(1)和(2)是零调复形，所以由注1的(1)可知 ${\text{T}}^{•}$ 是 $\text{Mod}\left({\Lambda }_{(0,0)}\right)$ 中的一个正合序列。此外，因为有 $\left(X,Y,f,g\right)\cong \text{Ker}\left(\alpha ,\beta \right)$ ，所以由注1的(2)可知 $f=t\left({\text{Id}}_M\otimes {\pi }_X\right),g=s\left({\text{Id}}_N\otimes {\pi }_Y\right)$ 。由文献 [9] 中的命题7.1可知函子 ${\text{T}}_A$ 和 ${\text{T}}_B$ 都保持投射对象，故零调复形 ${\text{T}}^{•}$ 中的每一项都是投射模。

第四步：下证对任意投射 ${\Lambda }_{(0,0)}$ -模 $\left(X,Y,f,g\right)$ ， ${\text{Hom}}_{{\Lambda }_{(0,0)}}\left(-,\left(X,Y,f,g\right)\right)$ 作用零调复形 ${\text{T}}^{•}$ 保持正合。由文献 [9] 中的定理7.3可知只需证得复形 ${\text{Hom}}_{{\Lambda }_{(0,0)}}\left({\text{T}}^{•},{\text{T}}_A\left(P\right)\right)$ ， ${\text{Hom}}_{{\Lambda }_{(0,0)}}\left({\text{T}}^{•},{\text{T}}_B\left(Q\right)\right)$ 是零调复形即可，其中P是投射A-模，Q是投射B-模。由引理1得到正合序列

$0\stackrel{}{\to }{\text{Z}}_B\left(M{\otimes }_{A}P\right)\stackrel{}{\to }{\text{T}}_A\left(P\right)\stackrel{}{\to }{\text{Z}}_A\left(P\right)\stackrel{}{\to }0.$

因为复形 ${\text{T}}^{•}$ 的每一项都是投射 ${\Lambda }_{(0,0)}$ -模，所以 ${\text{Hom}}_{{\Lambda }_{(0,0)}}\left({\text{T}}^{•},-\right)$ 作用上述正合序列，得到以下正合序列

$0\to {\text{Hom}}_{{\Lambda }_{(0,0)}}\left({\text{T}}^{•},{\text{Z}}_B\left(M{\otimes }_{A}P\right)\right)\to {\text{Hom}}_{{\Lambda }_{(0,0)}}\left({\text{T}}^{•},{\text{T}}_A\left(P\right)\right)\to {\text{Hom}}_{{\Lambda }_{(0,0)}}\left({\text{T}}^{•},{\text{Z}}_A\left(P\right)\right)\to 0.$ (3)

根据引理2可知有同构 ${\text{Hom}}_{{\Lambda }_{(0,0)}}\left({\text{T}}^{•},{\text{Z}}_A\left(P\right)\right)\cong {\text{Hom}}_A\left({\text{P}}^{•},P\right),$ 由于 ${\text{P}}^{•}$ 是强完全投射分解且P是投射A-模，故复形 ${\text{Hom}}_A\left({\text{P}}^{•},P\right)$ 是零调复形，因此复形 ${\text{Hom}}_{{\Lambda }_{(0,0)}}\left({\text{T}}^{•},Z_A\left(P\right)\right)$ 也是零调复形。同样，根据引理2可知有同构 ${\text{Hom}}_{{\Lambda }_{(0,0)}}\left({\text{T}}^{•},{\text{Z}}_B\left(M{\otimes }_{B}P\right)\right)\cong {\text{Hom}}_B\left({\text{Q}}^{•},M{\otimes }_{A}P\right)$ 。而由假设(4)可知 $M{\otimes }_{A}P\in {\left(\text{SGP}\left(B\right)\right)}^{\perp }$ ，这表明复形 ${\text{Hom}}_B\left({\text{Q}}^{•},M{\otimes }_{A}P\right)$ 是零调复形，于是复形 ${\text{Hom}}_{{\Lambda }_{(0,0)}}\left({\text{T}}^{•},{\text{Z}}_B\left(M{\otimes }_{A}P\right)\right)$ 是零调复形。故由正合序列(3)可知复形 ${\text{Hom}}_{{\Lambda }_{(0,0)}}\left({\text{T}}^{•},{\text{T}}_A\left(P\right)\right)$ 是零调复形。

类似地，由正合列 $0\stackrel{}{\to }{\text{Z}}_A\left(N{\otimes }_{B}Q\right)\stackrel{}{\to }{\text{T}}_B\left(Q\right)\stackrel{}{\to }{\text{Z}}_B\left(Q\right)\stackrel{}{\to }0$ ，可知复形 ${\text{Hom}}_{{\Lambda }_{(0,0)}}\left({\text{T}}^{•},{\text{T}}_B\left(Q\right)\right)$ 是零调复形。

综上， ${\Lambda }_{(0,0)}$ -模 $\left(X,Y,t\left({\text{Id}}_M\otimes {\pi }_X\right),s\left({\text{Id}}_N\otimes {\pi }_Y\right)\right)$ 是强Gorenstein投射模。

推论1 设 ${\Delta }_{(0,0)}=\left(\begin{array}{cc}A& A\\ A& A\end{array}\right)$ 是一个Morita环，其中A是任意环，假设 $\left(X,Y,f,g\right)$ 是一个 ${\Lambda }_{(0,0)}$ -模，使得存在正合序列

$0\stackrel{}{\to }Z\stackrel{s}{\to }X\stackrel{{\pi }_X}{\to }W\stackrel{}{\to }0,$

$0\stackrel{}{\to }W\stackrel{t}{\to }Y\stackrel{{\pi }_Y}{\to }Z\stackrel{}{\to }0,$

其中 $Z,W\in \text{SGP}\left(A\right)$ ，并且设 $f=t{\pi }_X,g=s{\pi }_Y$ 。则对象 $\left(X,Y,f,g\right)$ 和 $\left(Y,X,g,f\right)$ 都是强Gorenstein投射 ${\Delta }_{(0,0)}$ -模。

下面这个例子告诉我们如何应用推论1，从三角矩阵环上的强Gorenstein投射模出发来构造 ${\Delta }_{(0,0)}$ 上的强Gorenstein投射模。

例1 设 ${\Delta }_{(0,0)}=\left(\begin{array}{cc}A& A\\ A& A\end{array}\right)$ 是一个Morita环，其中A是任意环。

1) 考虑下三角矩阵环 $\Gamma =\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ A& A\end{array}\right)$ ，由文献 [5] 中的推论1可知，三元组 $\left(X,Y,f\right)$ 是强Gorenstein投射 $\Gamma$ -模，则存在短正合序列

$0\stackrel{}{\to }X\stackrel{f}{\to }Y\stackrel{\pi }{\to }\text{Coker}f\stackrel{}{\to }0,$ (4)

使得A-模X和 $\text{Coker}f$ 都是强Gorenstein投射模。

设 $\left(X,Y,f\right)$ 是一个强Gorenstein投射 $\Gamma$ -模，则有正合序列(4)，并且容易构造可裂短正合序列

$0\stackrel{}{\to }\text{Coker}f\stackrel{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)}{\to }\text{Coker}f\oplus X\stackrel{(01)}{\to }X\stackrel{}{\to }0.$

因此由推论1可知对象

$\left(Y,\text{Coker}f\oplus X,\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\pi ,f\left(01\right)\right)和\left(\text{Coker}f\oplus X,Y,f\left(01\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\pi \right)$

都是强Gorenstein投射 ${\Delta }_{(0,0)}$ -模。

2) 考虑上三角矩阵环 $\Sigma =\left(\begin{array}{cc}A& A\\ 0& A\end{array}\right)$ ，并且设 $\left(Z,W,g\right)\in \text{SGP}\left(\Sigma \right)$ ，由文献 [5] 中的推论1可知，存在短正合序列

$0\stackrel{}{\to }W\stackrel{g}{\to }Z\stackrel{\rho }{\to }\text{Coker}g\stackrel{}{\to }0,$

使得A-模W和 $\text{Coker}g$ 都是强Gorenstein投射A-模，并且有可裂短正合序列

$0\stackrel{}{\to }\text{Coker}g\stackrel{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)}{\to }\text{Coker}g\oplus W\stackrel{(01)}{\to }W\stackrel{}{\to }0.$

因此，由推论1易知对象

$\left(Z,\text{Cokerg}\oplus W,\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\rho ,g\left(01\right)\right)和\left(\text{Cokerg}\oplus W,Z,g\left(01\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\rho \right)$

都是强Gorenstein投射 ${\Delta }_{(0,0)}$ -模。

设X为一个强Gorenstein投射模，则由(1)可知对象 $\left(X,X,0,{\text{Id}}_X\right)$ 是强Gorenstein投射 ${\Delta }_{(0,0)}$ -模，由(2)可知对象 $\left(X,X,{\text{Id}}_X,0\right)$ 是强Gorenstein投射 ${\Delta }_{(0,0)}$ -模。