具有强Allee效应Rosenzweig-MacArthur时滞模型的问题研究

Research on Rosenzweig-MacArthur Delay Model with Strong Allee Effect

摘要: 本文提出了一个具有强Allee效应和双曲正切函数功能反应的Rosenzweig-MacArthur捕食者–被捕食时滞模型。讨论模型中正解的存在性，利用下一代矩阵法得到基本再生数，并在Hurwitz判据的条件下重点分析可行平衡点的稳定性。并在特定条件下，给出了平衡点局部稳定的条件和Hopf分支的存在性条件。

Abstract: A Rosenzweig-MacArthur predator-prey delay model with strong Allee effect and hyperbolic tan-gent function is proposed. The existence of the positive solution in the model is discussed, and the basic regeneration number is obtained by using the next generation matrix method. The stability of the feasible equilibrium point is analyzed mainly under the condition of Hurwitz criterion. The local stability of equilibrium point and the existence of Hopf branch are given under certain conditions.

1. 引言

复杂的物种内部和物种间的协同和对抗相互作用积极地调节着现实世界的生态和进化动态。因此对潜在的被捕食者–捕食者系统的深入分析，对于理解合作和竞争在物种共同进化中的基本作用具有重要意义。通过使用动力学系统方法，已经表明Rosenzweig-MacArthur模型中不同的捕食者功能反应对模型的动力学表现出不同的影响。Fussmann和Blasius提出了Rosenzweig-MacArthur模型，以描述具有三种不同功能反应的群体动态，包括Holling II型功能反应、Ivlev功能反应、三角函数功能反应等，都具有非常广泛的应用 [1] [2] [3] [4] 。

然而，真实数据最常用的数学表示形式是双曲正切功能函数，它精确描述了浮游植物光合作用和光照之间的关系。具有双曲正切函数的功能反应函数对Rosenzweig-MacArthur模型动力学的破坏潜力最小。它对于了解种群之间的作用更有实际意义。Allee效应的概念最初是由美国生态学家Warder Allee提出的，在弱Allee效应下，低人口密度的人口增长率仍为正，但未达到最大值。但在强Allee效应下，在种群阈值v以下，人口增长率为负，人口变为负，种群密度必须超过此阈值才能存活 [5] 。因此，本文构建了一个具有强Allee效应的三角函数功能反应的Rosenzweig-MacArthur捕食者–食饵的时滞模型，研究了模型的有界性和平衡点的存在性，并对平衡点的局部稳定性和Hopf分支的存在性进行了分析。

2. 模型介绍

本文考虑一个具有三角函数功能反应的Rosenzweig-MacArthur捕食者–食饵模型，如式(1)所示：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}N}{\text{d}t}=rN\left(1-\frac{N}{K}\right)-\Phi \left(N\right)P\\ \frac{\text{d}P}{\text{d}t}=\left(\Phi \left(N\right)-m\right)P\end{array}$ (1)

其中， $\Phi \left(N\right)=\alpha \tanh \left(bN\right)$ 是三角函数功能反应，N和P分别表示猎物和捕食者数量，r表示猎物的内在增长率，K为捕食者的承载能力，m为捕食者的人均死亡率。 $r,K,m,\alpha ,b$ 为正参数。

Allee效应的概念最初是由美国生态学家Warder Allee [5] 提出的。在Stephen等人的研究中 [6] ，它描述了个体适应度的任何组成部分与同变量的数量或密度之间的正相关关系。时滞是自然界中所有生物过程的固有现象，故在生态学的种群模型中增加捕食者的成熟时滞使动态结果更接近于现实。因此，我们考虑了Allee效应在Rosenzweig-MacArthur时滞模型中的作用来研究可能的动力学。

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}N}{\text{d}\bar{t}}=rN\left(1-\frac{N}{K}\right)\left(N-v\right)-\Phi \left(N\right)P\\ \frac{\text{d}P}{\text{d}\bar{t}}=\left(\Phi \left(N\right)-m\right)P\left(t-T_1\right)\end{array}$ (2)

其中， $\tau$ 为捕食者成熟所需的时间， $v>0$ 表示Allee效应的阈值总体水平。

3. 初步结果

3.1. 平衡点的存在性

系统(2)无量纲化后的常微分方程系统为

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=Ax\left(B-x\right)\left(x-C\right)-y\tanh \left(x\right)\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}t}=\left(\tanh \left(x\right)-D\right)y\left(t-{\tau }_1\right)\end{array}$ (3)

其中 $N=\frac{x}{b},P=\frac{y}{b},\bar{t}=\alpha t,T_1=\alpha {\tau }_1,A=\frac{r}{\alpha b^{2}K},B=bK,C=vb,D=\frac{m}{\alpha }$ 。

通过求解 $\text{d}x/\text{d}t=0,\text{d}y/\text{d}t=0$ 可以得到模型(3)的平衡点。显然，模型(3)有平衡点 $E_0\left(0,0\right)$ ， $E_1\left(B,0\right)$ ， $E_2\left(C,0\right)$ 以及 $E_3\left(x_3,y_3\right)$ 。 $x_3,y_3$ 可根据方程组(3)求解得出：

$\{\begin{array}{l}A{x}_3\left(B-x_3\right)\left(x_3-C\right)-y_3\tanh \left(x_3\right)=0\\ \left(\tanh \left(x_3\right)-D\right)y_3=0\end{array}$ (4)

由该方程组可得 $x_3={\tanh }^{-1}\left(D\right),y_3=\frac{A}{D}\left(B-x_3\right)\left(x_3-C\right)$ 。因为 $K>v>0$ ，因此有 $B>C>0$ 。所以当 $0<C<y_3<B$ 时， $E_3$ 存在。

3.2. 基本再生数

下面利用Driessche和Watmough提出的下一代矩阵法得到基本再生数 [7] 。系统(3)改写成

$\frac{\text{d}z\left(t\right)}{\text{d}t}=f\left(z\right)-v\left(z\right)$ (5)

其中 $z=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ ， $f\left(z\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ y\left(t-{\tau }_1\right)\tanh \left(x\right)\end{array}\right)$ ， $v\left(z\right)=\left(\begin{array}{c}-Ax\left(B-x\right)\left(x-C\right)+y\tanh \left(x\right)\\ Dy\left(t-{\tau }_1\right)\end{array}\right)$ ， $f\left(z\right),v\left(z\right)$ 的Jacobi矩阵为

$F\left(z\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ y\left(t-{\tau }_1\right){\mathrm{sech}}^2\left(x\right)& \tanh \left(x\right)\end{array}\right),V\left(z\right)=\left(\begin{array}{cc}\eta \left(x,y\right)& \tanh \left(x\right)\\ 0& D\end{array}\right)$

其中 $\eta \left(x,y\right)=-A\left(B-x\right)\left(x-C\right)+Ax\left(x-C\right)-Ax\left(B-x\right)+y{\mathrm{sech}}^2\left(x\right)$ ，

接着得到

$V^{-1}\left(z\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\eta \left(x,y\right)}& -\tanh \left(x\right)\\ 0& \frac{1}{D}\end{array}\right)$

因此，系统(3)的基本再生数可以定义为下一代矩阵的谱半径 $F{V}^{-1}$ ，得到

$R_0=\rho \left(F{V}^{-1}\right)=\frac{\tanh \left(C\right)}{D}=\frac{\tanh \left(C\right)}{{\tanh }^{-1}\left(x_3\right)}$ .

下面，系统(3)将在生物学上可行的区间进行分析

${ℝ}_{+}^2=\left\{\left(x,y\right)\in {ℝ}^2:x\ge 0,y\ge 0\right\}$ .

命题1 当 ${\tau }_1=0$ 时，如果 $R_0>1$ ，则系统(3)的所有解均收敛于 $E_0\left(0,0\right)$

证明：考虑以下Lyapunov函数

$V\left(x,y\right)=Dy+x\tanh \left(C\right)$ (6)

上式满足 $V\left(E_0\right)=0$ 。沿着系统(3)的轨线对V函数关于t求导得到

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=Dy\left(\tanh \left(x\right)-D\right)+\tanh \left(C\right)\left(Ax\left(B-x\right)\left(x-C\right)-y\tanh \left(x\right)\right)\\ =Dy\tanh \left(x\right)-D^{2}y+\tanh \left(C\right)Ax\left(B-x\right)\left(x-C\right)-\tanh \left(C\right)y\tanh \left(x\right)\\ =y\left[\tanh \left(x\right)\left(D-\tanh \left(C\right)\right)-D^2\right]\end{array}$

由于我们只考虑 $\left\{\left(x,y\right)\in {ℝ}^2:0\le x\le B,y\ge 0\right\}$ 中的区间，当 $\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=0$ 时，若 $y>0$ ，解得 $\tanh \left(x\right)=\frac{D^2}{D-\tanh \left(C\right)}$ 。因为 $D<\tanh \left(C\right)$ ，故 $\tanh \left(x\right)=\frac{D^2}{D-\tanh \left(C\right)}<0$ ，与 $\tanh \left(x\right)>0$ 矛盾。因此只有 $y=0$ 时，且 $D<\tanh \left(C\right)$ ，即 $R_0=\frac{\tanh \left(C\right)}{D}>1$ ，上式满足 $\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=0$ 。因此当 $R_0>1$ 时， $\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=0$ 当且仅当 $\left(x,y\right)=\left(0,0\right)$ ，由LaSalle不变原理知，系统(3)的所有解全局渐近收敛于 $E_0\left(0,0\right)$ 。

4. 稳定性分析

系统(3)在任意平衡点 $\left(x^{*},y^{*}\right)$ 处的雅可比矩阵为

$J\left(E\right)=\left(\begin{array}{cc}-\eta \left(x,y\right)& -\tanh \left(x\right)\\ y\left(t-{\tau }_1\right){\mathrm{sech}}^2\left(x\right)& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& \tanh \left(x\right)-D\end{array}\right)$ (7)

4.1. 当 ${\tau }_1>0$ 时 $E_0\left(0,0\right)$ 的稳定性

系统(3)在平衡点 $E_0\left(0,0\right)$ 的雅可比矩阵为

$J\left(E_0\right)=\left(\begin{array}{cc}-ABC& 0\\ 0& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& -D\end{array}\right)$ (8)

当 ${\tau }_1>0$ 时，特征方程为

${\lambda }^2+ABC\lambda +\left(\lambda +ABC\right)D{\text{e}}^{-\lambda {\tau }_1}=0$ (9)

假设 $\lambda =i\omega$ 为(9)的特征根，代入得

$-{\omega }^2-iABC\omega +D\left(i\omega +ABC\right)\left(\cos \omega {\tau }_1-i\sin \omega {\tau }_1\right)=0$

分离实虚部，得到

$\{\begin{array}{l}{\omega }^2=D\omega \sin \omega {\tau }_1+ABCD\cos \omega {\tau }_1\\ ABC\omega =\omega D\cos \omega {\tau }_1-ABCD\sin \omega {\tau }_1\end{array}$ (10)

(10)两边平方，再相加得

${\omega }^4+\left({\left(ABC\right)}^2-D^2\right){\omega }^2-{\left(ABCD\right)}^2=0$ (11)

因为 $-{\left(ABCD\right)}^2<0$ ，故存在唯一正根 ${\omega }_{*}^2$ ，即

${\omega }_{*}=\sqrt{\frac{-\left({\left(ABC\right)}^2-D^2\right)+\sqrt{{\left({\left(ABC\right)}^2-D^2\right)}^2+4{\left(ABCD\right)}^2}}{2}}$

把 ${\omega }_{*}$ 代入(10)中，解得 ${\tau }_1$ 的表达式

${\tau }_1^n=\frac{1}{{\omega }_{*}}\left[\arccos \{\frac{2ABC{\omega }_{*}^2}{{\left(ABC\right)}^{2}D+D{\omega }_{*}^2}\}+2n\pi \right],n=0,1,\cdots$ (12)

假设 $\lambda \left({\tau }_1\right)=\alpha \left({\tau }_1\right)+i\omega \left({\tau }_1\right)$ 是方程(10)在 ${\tau }_1^0$ 附近满足 $\alpha \left({\tau }_1^0\right)=0,\omega \left({\tau }_1^0\right)={\omega }_{*}$ 的根。根据泛函微分方程理论，对于 ${\tau }_1^0$ ，存在 $\epsilon >0$ 使得 $\lambda \left({\tau }_1\right)$ 在 ${\tau }_1$ 中对于 $\left|{\tau }_1-{\tau }_1^0\right|<\epsilon$ 是连续可微的。将方程(10)的两边对 ${\tau }_1$ 求导，得到

$\begin{array}{c}\Re {\left[{\left\{\frac{\text{d}\lambda \left({\tau }_1\right)}{\text{d}{\tau }_1}\right\}}^{-1}\right]}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}=\Re {\left[\frac{2}{\left(\lambda +ABC\right){\text{e}}^{-\lambda {\tau }_1}}\right]}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}+\Re {\left[\frac{ABC}{\lambda \left(\lambda +ABC\right)D{\text{e}}^{-\lambda {\tau }_1}}\right]}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}+\Re {\left[\frac{1}{\lambda \left(\lambda +ABC\right)}\right]}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}\\ =\Re {\left[\frac{2\lambda }{\lambda \left(-\lambda -ABC\lambda \right)}\right]}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}+\Re {\left[\frac{ABC}{\lambda \left(-\lambda -ABC\lambda \right)}\right]}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}+\Re {\left[\frac{1}{\lambda \left(\lambda +ABC\right)}\right]}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}\\ =2{\omega }_{*}^6+{\omega }_{*}^5+AB{C}^2{\omega }_{*}^4+AB{C}^2{\omega }_{*}^3+2AB{C}^2{\omega }_{*}^2+AB{C}^4>0\end{array}$

由于 $sign{\left[\Re \left\{\frac{\text{d}\lambda }{\text{d}{\tau }_1}\right\}\right]|}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}=sign{\left[\left\{\frac{\text{d}\left(\Re \left(\lambda \right)\right)}{\text{d}{\tau }_1}\right\}\right]|}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}=1$ ，故 ${\frac{\text{d}\left(\Re \left(\lambda \right)\right)}{\text{d}{\tau }_1}|}_{{\tau }_1={\tau }_{1n}}>0$ 。

定理2 对于 ${\tau }_1>0$ ，当 ${\tau }_1<{\tau }_1^0$ 时，系统(3)在平衡点 $E_0$ 处局部渐近稳定；当 ${\tau }_1>{\tau }_1^0$ 时，系统(3)在平衡点 $E_0$ 处不稳定。特别地，当 ${\tau }_1={\tau }_1^0$ 时，系统(3)在平衡点 $E_0$ 处发生Hopf分支。

4.2. $E_1\left(B,0\right)$ 的稳定性

系统(3)在平衡点 $E_1\left(B,0\right)$ 的雅可比矩阵为

$J\left(E_1\right)=\left(\begin{array}{cc}-AB\left(B-C\right)& \tanh \left(B\right)\\ 0& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& \tanh \left(B\right)-D\end{array}\right)$ (13)

特征方程为

${\lambda }^2+{\rho }_1\lambda +{\rho }_2\left(\lambda +{\rho }_1\right){\text{e}}^{-\lambda {\tau }_1}=0$ (14)

其中 ${\rho }_1=AB\left(B-C\right)>0,{\rho }_2=D-\tanh \left(B\right)$ 。

当 ${\tau }_1=0$ 时，特征值为

${\lambda }_1=-AB\left(B-C\right)<0,{\lambda }_2=\tanh \left(B\right)-D$

定理2 当 ${\tau }_1=0$ 时，若 $\tanh \left(B\right)<D$ ，系统(3)的平衡点 $E_1\left(B,0\right)$ 是局部渐近稳定的；若 $\tanh \left(B\right)>D$ ，系统(3)的平衡点 $E_1\left(B,0\right)$ 是鞍点

当 ${\tau }_1>0$ 时，假设 $\lambda =i\omega$ 为(14)的特征根，代入得

$-{\omega }^2-i{\rho }_1\omega +{\rho }_2\left(i\omega +{\rho }_1\right)\left(\cos \omega {\tau }_1-i\sin \omega {\tau }_1\right)=0$

分离实虚部，得到

$\{\begin{array}{l}{\omega }^2={\rho }_2\omega \sin \omega {\tau }_1+{\rho }_2{\rho }_1\cos \omega {\tau }_1\\ {\rho }_1\omega ={\rho }_2\omega \cos \omega {\tau }_1-{\rho }_2{\rho }_1\sin \omega {\tau }_1\end{array}$ (15)

(15)两边平方，再相加得

${\omega }^4+\left({\rho }_1^2-{\rho }_2^2\right){\omega }^2-{\rho }_1^2{\rho }_2^2=0$ (16)

因为 $-{\rho }_1^2{\rho }_2^2<0$ ，故存在唯一正根 ${\omega }_{*}^2$ ，即

${\omega }_{*}=\sqrt{\frac{-\left({\rho }_1^2-{\rho }_2^2\right)+\sqrt{{\left({\rho }_1^2-{\rho }_2^2\right)}^2+4{\rho }_1^2{\rho }_2^2}}{2}}$

把 ${\omega }_{*}$ 代入(15)中，解得 ${\tau }_1$ 的表达式

${\tau }_1^n=\frac{1}{{\omega }_{*}}\left[\arccos \{\frac{2{\rho }_1{\omega }_{*}^2}{{\rho }_1^2{\rho }_2+{\rho }_2{\omega }_{*}^2}\}+2n\pi \right],n=0,1,\cdots$ (17)

假设 $\lambda \left({\tau }_1\right)=\alpha \left({\tau }_1\right)+i\omega \left({\tau }_1\right)$ 是方程(10)在 ${\tau }_1={\tau }_1^0$ 附近满足 $\alpha \left({\tau }_1^0\right)=0,\omega \left({\tau }_1^0\right)={\omega }_{*}$ 的根。将方程(10)的两边对 ${\tau }_1$ 求导，得到

$\begin{array}{c}\Re {\left[{\left\{\frac{\text{d}\lambda \left({\tau }_1\right)}{\text{d}{\tau }_1}\right\}}^{-1}\right]}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}=\Re {\left[\frac{2}{\lambda {\rho }_2\left(\lambda +{\rho }_1\right){\text{e}}^{-\lambda {\tau }_1}}\right]}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}+\Re {\left[\frac{{\rho }_1}{\lambda {\rho }_2\left(\lambda +{\rho }_1\right){\text{e}}^{-\lambda {\tau }_1}}\right]}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}+\Re {\left[\frac{1}{\lambda \left(\lambda +{\rho }_1\right)}\right]}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}\\ =\Re {\left[\frac{2\lambda }{\lambda \left(-\lambda -{\rho }_1\lambda \right)}\right]}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}+\Re {\left[\frac{{\rho }_1}{\lambda \left(-\lambda -{\rho }_1\lambda \right)}\right]}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}+\Re {\left[\frac{1}{\lambda \left(\lambda +{\rho }_1\right)}\right]}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}\\ =2{\omega }_{*}^6+{\omega }_{*}^5+{\rho }_1^2{\omega }_{*}^4+{\rho }_1^2{\omega }_{*}^3+2{\rho }_1^2{\omega }_{*}^2+{\rho }_1^4>0\end{array}$

由于 $sign{\left[\Re \left\{\frac{\text{d}\lambda }{\text{d}{\tau }_1}\right\}\right]|}_{{\tau }_1={\tau }_{1n}}=sign{\left[\left\{\frac{\text{d}\left(\Re \left(\lambda \right)\right)}{\text{d}{\tau }_1}\right\}\right]|}_{{\tau }_1={\tau }_{1n}}=1$ ，故 ${\frac{\text{d}\left(\Re \left(\lambda \right)\right)}{\text{d}{\tau }_1}|}_{{\tau }_1={\tau }_{1n}}>0$ 。

定理3 对于 ${\tau }_1>0$ ，当 ${\tau }_1<{\tau }_1^0$ 时，系统(3)在平衡点 $E_1$ 处局部渐近稳定；当 ${\tau }_1>{\tau }_1^0$ 时，系统(3)在平衡点 $E_1$ 处不稳定。特别地，当 ${\tau }_1={\tau }_1^0$ 时，系统(3)在平衡点 $E_1$ 处发生Hopf分支。

4.3. $E_2\left(C,0\right)$ 的稳定性

系统(3)在平衡点 $E_2\left(C,0\right)$ 的雅可比矩阵为

$J\left(E_2\right)=\left(\begin{array}{cc}AC\left(B-C\right)& -\tanh \left(C\right)\\ 0& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& \tanh \left(C\right)-D\end{array}\right)$ (18)

特征方程为

${\lambda }^2+{\alpha }_1\lambda +{\alpha }_2\left(\lambda +{\alpha }_1\right){\text{e}}^{-\lambda {\tau }_1}=0$ (19)

其中 ${\alpha }_1=-AC\left(B-C\right)<0,{\alpha }_2=D-\tanh \left(C\right)$ 。

当 ${\tau }_1=0$ 时，特征值为

${\lambda }_1=AC\left(B-C\right)>0,{\lambda }_2=D-\tanh (\; C\; )$

定理4当 ${\tau }_1=0$ 时，若 $\tanh \left(C\right)>D$ ，系统(3)的平衡点 $E_2\left(C,0\right)$ 是鞍点；若 $\tanh \left(C\right)<D$ ，系统(3)的平衡点 $E_2\left(C,0\right)$ 不稳定。

当 ${\tau }_1>0$ 时，假设 $\lambda =i\omega$ 为(19)的特征根，代入得

$-{\omega }^2-i{\alpha }_1\omega +{\alpha }_2\left(i\omega +{\alpha }_1\right)\left(\cos \omega {\tau }_1-i\sin \omega {\tau }_1\right)=0$

分离实虚部，得到

$\{\begin{array}{l}{\omega }^2={\alpha }_2\omega \sin \omega {\tau }_1+{\alpha }_2{\alpha }_1\cos \omega {\tau }_1\\ {\alpha }_1\omega ={\alpha }_2\omega \cos \omega {\tau }_1-{\alpha }_2{\alpha }_1\sin \omega {\tau }_1\end{array}$ (20)

(20)两边平方，再相加得

${\omega }^4+\left({\alpha }_1^2-{\alpha }_2^2\right){\omega }^2-{\alpha }_1^2{\alpha }_2^2=0$ (21)

因为 $-{\alpha }_1^2{\alpha }_2^2<0$ ，故存在唯一正根 ${\omega }_{*}^2$ ，即

${\omega }_{*}=\sqrt{\frac{-\left({\alpha }_1^2-{\alpha }_2^2\right)+\sqrt{{\left({\alpha }_1^2-{\alpha }_2^2\right)}^2+4{\alpha }_1^2{\alpha }_2^2}}{2}}$

把 ${\omega }_{*}$ 代入(20)中，解得 ${\tau }_1$ 的表达式

${\tau }_1^n=\frac{1}{{\omega }_{*}}\left[\arccos \{\frac{2{\alpha }_1{\omega }_{*}^2}{{\alpha }_1^2{\alpha }_2+{\alpha }_2{\omega }_{*}^2}\}+2n\pi \right],n=0,1,\cdots$

假设 $\lambda \left({\tau }_1\right)=\beta \left({\tau }_1\right)+i\omega \left({\tau }_1\right)$ 是方程(16)在 ${\tau }_1={\tau }_1^n$ 附近满足 $\beta \left({\tau }_1^0\right)=0,\omega \left({\tau }_1^0\right)={\omega }_{*}$ 的根。将方程(16)的两边对 ${\tau }_1$ 求导，得到

$\begin{array}{c}\Re {\left[{\left\{\frac{\text{d}\lambda \left({\tau }_1\right)}{\text{d}{\tau }_1}\right\}}^{-1}\right]}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}=\Re {\left[\frac{2}{\lambda {\alpha }_2\left(\lambda +{\alpha }_1\right){\text{e}}^{-\lambda {\tau }_1}}\right]}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}+\Re {\left[\frac{{\alpha }_1}{\lambda {\alpha }_2\left(\lambda +{\alpha }_1\right){\text{e}}^{-\lambda {\tau }_1}}\right]}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}+\Re {\left[\frac{1}{\lambda \left(\lambda +{\alpha }_1\right)}\right]}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}\\ =\Re {\left[\frac{2\lambda }{\lambda \left(-\lambda -{\alpha }_1\lambda \right)}\right]}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}+\Re {\left[\frac{{\alpha }_1}{\lambda \left(-\lambda -{\alpha }_1\lambda \right)}\right]}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}+\Re {\left[\frac{1}{\lambda \left(\lambda +{\alpha }_1\right)}\right]}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}\\ =2{\omega }_{*}^6+{\omega }_{*}^5+{\alpha }_1^2{\omega }_{*}^4+{\alpha }_1^2{\omega }_{*}^3+2{\alpha }_1^2{\omega }_{*}^2+{\alpha }_1^4>0\end{array}$

由于 $sign{\left[\Re \left\{\frac{\text{d}\lambda }{\text{d}{\tau }_1}\right\}\right]|}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}=sign{\left[\left\{\frac{\text{d}\left(\Re \left(\lambda \right)\right)}{\text{d}{\tau }_1}\right\}\right]|}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}=1$ ，故 ${\frac{\text{d}\left(\Re \left(\lambda \right)\right)}{\text{d}{\tau }_1}|}_{{\tau }_1={\tau }_1^0}>0$ 。

定理5 对于 ${\tau }_1>0$ ，当 ${\tau }_1<{\tau }_{10}$ 时，系统(3)在平衡点 $E_2$ 处局部渐近稳定；当 ${\tau }_1>{\tau }_{10}$ 时，系统(3)在平衡点 $E_2$ 处不稳定。特别地，当 ${\tau }_1={\tau }_{10}$ 时，系统(3)在平衡点 $E_2$ 处发生Hopf分支。

4.4. $E_3\left(x_3,y_3\right)$ 的稳定性

系统(3)在平衡点 $E_3\left(x_3,y_3\right)$ 的雅可比矩阵为

$J\left(E_3\right)=\left(\begin{array}{cc}\eta \left(x_3,y_3\right)& -\tanh \left(x_3\right)\\ 0& y_3{\mathrm{sech}}^2\left(x_3\right)\end{array}\right)$ (22)

其中

$\eta \left(x_3,y_3\right)=\frac{A}{\tanh \left(x_3\right)}{\eta }^{*}\left(x_3,y_3\right)$

${\eta }^{*}\left(x_3,y_3\right)=-x_3\left(B-x_3\right)\left(x_3-C\right){\mathrm{sech}}^2\left(x_3\right)-\left(3x_3^2-2\left(C+B\right)x_3+CB\right)\tanh \left(x_3\right)$ .

特征方程为

${\lambda }^2-\eta \left(x_3,y_3\right)\lambda +\delta \left(x_3,y_3\right)=0$ (23)

当 $E_3$ 存在时，

$\delta \left(x_3,y_3\right)=y_3\tanh \left(x_3\right){\mathrm{sech}}^2\left(x_3\right)=\frac{A{x}_3}{{\cosh }^2\left(x_3\right)}\left(B-x_3\right)\left(x_3-C\right)>0$ . (24)

定理4 当 $\eta \left(x_3,y_3\right)>0$ ，系统(3)在平衡点 $E_3$ 处不稳定；当 $\eta \left(x_3,y_3\right)<0$ ，系统(3)在平衡点 $E_3$ 处局部渐近稳定。特别地，当 $\eta \left(x_3,y_3\right)=0$ ，系统(3)在平衡点 $E_3$ 处发生Hopf分支。

4.5. Hopf分支分析

当正平衡解 $E_3$ 存在时，系统(3)在 $E_3$ 处可能发生Hopf分岔。由式(24)可知，在系统(3)中，如果 $0<C<B$ ，则 $\delta \left(x_3,y_3\right)>0$ 成立且 $E_3$ 存在。因此，正平衡解的Bogdanov-Takens分支是不可能的，否则需要 $\delta \left(x_3,y_3\right)=0$ ，而 $\delta \left(x_3,y_3\right)=0$ 只发生在边界平衡 $E_1$ 和 $E_2$ 处。因此， ${\eta }^{*}\left(x_3,y_3\right)$ 决定了 $E_3$ 的稳定性。容易发现中 ${\eta }^{*}\left(x_3,y_3\right)$ 的第一项对于 $C<x_3<B$ 是负的，因此为了证明存在Hopf分支，第二项中的二次多项式 $3x_3^2-2\left(C+B\right)x_3+CB$ 必须是负的。

多项式的根是 $x_{3\pm }=\frac{1}{3}\left(C+B\pm \sqrt{C^2+B^2-BC}\right)$ ，很容易证明 $x_{3-}<C<x_{3+}<B$ ，这意味着当 $x_{3+}\le x_3<B$ 时， $E_3$ 渐近稳定。直接计算得到

${{\eta }^{*}\left(x_3,y_3\right)|}_{x_3=C}=C\left(B-C\right)\tanh \left(C\right)>0$

${{\eta }^{*}\left(x_3,y_3\right)|}_{x_3=\frac{B}{2}}=\frac{B^2}{2{\cosh }^2\left(\frac{B}{2}\right)}\left[\sinh \left(B\right)-B+2C\right]>0$

${{\eta }^{*}\left(x_3,y_3\right)|}_{x_{3+}}=-x_{3+}\left(B-x_{3+}\right)\left(x_{3+}-C\right){\mathrm{sech}}^2\left(x_{3+}\right)<0$

因此， ${\eta }^{*}\left(x_3,y_3\right)=0$ 对于 $x_3\in \left(\max \left\{C,\frac{B}{2}\right\},x_{3+}\right)$ 至少有一个解。为了证明解的唯一性，我们证明了对于 $x_3\in \left(\max \left\{C,\frac{B}{2}\right\},x_{3+}\right)$ ， $\frac{\text{d}{\eta }^{*}\left(x_3,y_3\right)}{\text{d}{x}_3}<0$ 。如果 $C<B\le 2C$ ，则 $C<x_3<x_{3+}$ ；如果 $B>2C$ ，则 $\frac{B}{2}<x_3<x_{3+}$ 。那么就得到

$C+B-3x_3<\{\begin{array}{c}B-2C\le 0,\frac{B}{2}\le C\le x_3<x_{3+}\\ C-\frac{B}{2}<0,C<\frac{B}{2}\le x_3<x_{3+}\end{array}$

下面计算

$\underset{x_3\to C}{\lim }\frac{\text{d}{\eta }^{*}\left(x_3,y_3\right)}{\text{d}{x}_3}=\left(C+B-3x_3\right)2\tanh \left(x_3\right)<0$ ，

$\underset{x_3\to \frac{B}{2}}{\lim }\frac{\text{d}{\eta }^{*}\left(x_3,y_3\right)}{\text{d}{x}_3}=\left(C-\frac{B}{2}\right)\left(\cosh \left(\frac{B}{2}\right)+\frac{B}{2}\right)\left(\cosh \left(\frac{B}{2}\right)-\frac{B}{2}\right)<0$ ，

$\frac{{\text{d}}^2{\eta }^{*}\left(x_{32},y_3\right)}{\text{d}{x}_3^2}=\left(C+B-3x_3\right)\left(\sinh \left(2x_3\right)+2x_3\right)-CB-3\left[\cosh \left(x_3\right)+x_3\right]\left[\cosh \left(x_3\right)-x_3\right]<0$ ，

其中 $\max \left\{C,\frac{B}{2}\right\}<x_3<x_{3+}$ ，通过计算发现， ${\eta }^{*}\left(x_3,y_3\right)$ 在 $x_3\in \left(\max \left\{C,\frac{B}{2}\right\},x_{3+}\right)$ 上是单调递减的。因此， ${\eta }^{*}\left(x_3,y_3\right)$ 在 $x_3\in \left(\max \left\{C,\frac{B}{2}\right\},x_{3+}\right)$ 有一个唯一解 $x_3^{*}$ ，在此解处发生Hopf分支。

5. 结语

本文考虑了强Allee效应Rosenzweig-MacArthur时滞模型的问题研究。首先证明了模型的平衡点存在性，得到模型的四个平衡点E₀、E₁、E₂、E₃；其次证明了E₀在 ${\tau }_1=0$ 情况下的全局稳定性；接下来讨论了边界平衡点E₁和E₂的稳定性和Hopf分支的存在性；最后证明正平衡点E₃的稳定性和Hopf分支的存在性。通过分析具有强Allee效应Rosenzweig-MacArthur时滞模型的问题研究，有助于未来对具有双曲正切功能反应函数模型的分支问题进行深一步研究。