基于运筹优化的河南省农产品供应点选址问题研究

Research on the Location of Agricultural Products Supply Points in Henan Province Based on Operations Optimization

摘要: 河南省农产品供应点选址问题以供应点覆盖人口数最多、所花费的租赁费用最低为目标函数，以相邻区县关系为约束条件，建立了农产品供应点选址的多目标整数线性规划模型，采用约束法、线性加权法这两种方法对其进行求解，并对权重的选取进行了讨论，依此结果可以对农产品供应点选址进行统筹优化，降低农产品的销售与运输成本，缩短物流时间，保证农产品的质量。

Abstract: The problem of location selection of agricultural supply points in Henan Province takes the maximum number of population covered by the supply points and the lowest lease cost as the objective function, and the relationship between neighboring districts and counties as the constraint condition. The multi-objective integer linear programming model of location selection of agricultural supply points is established. The two methods of constraint method and linear weighting method are used to solve the problem, and the selection of weights is discussed. According to the results, the location of supply points of agricultural products can be optimized as a whole, so as to reduce the sales and transportation costs of agricultural products, shorten the logistics time and ensure the quality of agricultural products.

1. 引言

在农产品的销售运输中，物流运输是最为关键的一环，近年来，国家已经大力推进“数商兴农”工程的实施，奋力推进乡村电子商务化，这大大促进了河南省相对不发达地区的农产品销售情况。随着农业生产机械化、现代化的发展，农业生产产量有了很大的提升，农产品的运输问题逐渐被人们所关注。

为了解决农产品物流运输问题，国内外许多学者针对农产品的物流运输进行了研究，其中大部分研究方向主要是农产品的供应链、局域物流或研究物流经济效益。如胡勇建立的SFC法和模拟退火算法求解定位–车辆路线问题 [1] ，张雅娴研究的生鲜农产品物流中心选址问题 [2] ，汪寿阳等对集成物流管理系统中定位–运输路线安排问题的研究 [3] ，李祎嘉等通过因子分析法河南省农产品物流发展水平的研究 [4] ，王英全对T连锁便利配送中心选址研究 [5] ，尹巍巍对物流配送中心选址的实例研究 [6] ，霍雪咪等基于Lingo的物流配送中心选址问题研究 [7] 等等。

在物流运输中，供应点的定位是关键问题之一。考虑到运筹优化在解决与数学有关的实际问题中的效果良好，为此，本文在查阅大量参考文献的基础上，运用了整数线性规划的方法合理安排了供应点的选址，确保了对整个运输过程进行合理调配，从而提升农产品物流运输效率，优化物流运输分配，以提升农业的生产效益。

经过对农产品流通各环节进行详细的调查，并进行合理分析，可以优化农产品流通的整体过程，对农产品的后期加工、销售进行调查研究，确定各农产品的加工去向，可以提高资源利用率，提高农产品的自身价值，进而提高农民收益。

综上所述，优化农产品供应点选址和运输问题有重要的理论价值和现实意义。本文对调查报告进行分析，分析解决以下问题：对农产品供应点数量和供应点位置进行分析研究。

2. 供应点选址问题调查与分析

在物流系统中，供应点的选址定位和运输路线规划是其中最为关键的两个环节。供应点的选址不仅影响着物流运输的距离，而且对物流运输的工作效率也会产生很大影响，运输路线的合理化规划将会大大缩短运输时间、节省运输能力、降低运输费用、减少中转环节、提高运输质量，以实现物流运输效益最大化。

供应点选址问题是在区县间的相邻关系和各区县人数已知的情况下，确定供应点的建造位置和建造数量，使得供应点可供应的人数达到最大。目前，我国对物流配送的研究较多，但是对供应点的选址问题研究还很少，运用运筹优化方法建立合理有效的供应点，不仅可以提高物流的配送效率，降低农产品的配送成本，而且可以提高农产品销售的整体效益，推动农产品现代化销售运输进程。

3. 河南省农产品供应点选址问题

以A市为例，对A市地理位置以及各区县人口进行调查，共有12个区县，在A市建立n个农产品供应点，向12个区的居民供应农产品，每个区的居民数量不同，且每个供应点只能向本区和一个相邻区的居民销售农产品，每个区的居民数量及位置如图所示，供应点应该建在何处，才能使所能供应的居民数量最大并使供应点的租赁费用最低。A市各区县人口数见表1。

Table 1. Population of districts and counties in A

表1. A市各区县人口

要想选择多少个合适的供应点使得覆盖人群达到最大并使租赁费用最低，选择合适的供应点就是本问题的关键所在。要在许多候选区域中选择最优的区域，就要制定最优的规划方案，即建立优化模型。每个地区都有选与不选的可能性，这就要用到0~1规划模型，每个区域只能选择一个供应代理点，最优方案就是选择每个相邻供应点之间权值最大和次大的两个，将此方案限制转化成约束条件，建立目标函数，求最优解即可。

以12个区县作为顶点，两个区县具有相邻关系则相连，连线作为边，否则不相连，做出各区县相邻关系图， $V_i\left(1\le i\le 12\right)$ 代表12个区县； $x_{i,j}\left(1\le i\le 12,1\le j\le 12\right)$ 代表20条边。转化后的图见图1：

Figure 1. Neighborhoods by district

图1. 各区县相邻关系

模型假设：

1) 每个供应点只能向该区和其邻近的区销售农产品。

2) 农产品的供应量远远满足居民的需求。

3) 供应点对所有区的价格相同。

4) 不考虑临区居民因路程远近而减少购买次数的因素。

3.1. 建立农产品销售运输选址模型

1) 决策变量的确定

在上述12地中的某两地之间建立代售关系 $x_{i,j}\left(1\le i\le 12,1\le j\le 12\right)$ 。 $x_{i,j}=0$ 表示不建立关系， $x_{i,j}=1$ 表示建立关系。

2) 决策目标函数

$p_i\left(1\le i\le 12\right)$ 分别代表12个区县的人数； $c_i\left(1\le i\le 12\right)$ 分别代表12个区县的租赁费用。

$P_{i,j}\left(1\le i\le 12,1\le j\le 12\right)$ 表示每条边两端顶点对应的两个区县的人数之和。

$C_{i,j}\left(1\le i\le 12,1\le j\le 12\right)$ 表示每条边两端顶点对应的两个区县的租赁费用之和。

如图2所示， $P_{8,12}=p_8+p_{12}$ ， $C_{8,12}=c_8+c_{12}$ ，其余同理。

以供应的居民数量最大为目标可得：

$\text{maxSupply}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{12}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{12}{\sum }}{x}_{i,j}{P}_{i,j}}}$

以租赁费用之和最低为目标可得：

$\text{minPrice}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{12}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{12}{\sum }}{x}_{i,j}{C}_{i,j}}}$

3) 约束条件

供应点最低数量约束：

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{12}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{12}{\sum }}{x}_{i,j}}}\ge \text{1}$

相邻区县关系约束：

每个供应点只能向能向本区/县和一个相邻区县的居民销售农产品，则与每个区/县建立关系的约束条件为：

$\{\begin{array}{l}{x}_{8,12}+x_{8,9}+x_{8,5}\le 1\\ x_{8,12}+x_{12,10}\le 1\\ x_{8,5}+x_{9,5}\le 1\\ x_{8,9}+x_{9,5}+x_{9,6}+x_{9,1}+x_{9,2}\le 1\\ x_{12,10}+x_{10,2}+x_{10,11}\le 1\\ x_{9,6}+x_{6,4}\le 1\\ x_{9,1}+x_{1,4}\le 1\\ x_{9,2}+x_{10,2}+x_{2,3}+x_{2,4}+x_{2,11}\le 1\\ x_{10,11}+x_{2,11}+x_{3,11}+x_{11,7}\le 1\\ x_{6,4}+x_{1,4}+x_{2,4}+x_{4,3}+x_{4,7}\le 1\\ x_{2,3}+x_{3,11}+x_{4,3}+x_{3,7}\le 1\\ x_{11,7}+x_{4,7}+x_{3,7}\le 1\end{array}$

3.2. 河南省农产品选址模型求解

在对模型进行求解时，分别采用约束法、线性加权法这两种方法进行求解。

3.2.1. 约束法求解

利用约束法进行求解时，若选取max Supply为主要目标，则min Price目标处理为适当的约束，约束条件为：

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{12}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{12}{\sum }}{x}_{i,j}{C}_{i,j}}}\le b$

参数b可根据实际情况取值，若令b = 4800，则利用Lingo编程求解结果为： $x_{10,2}=x_{1,4}=x_{3,11}=1$ ，即在 $V_2,V_3,V_1,V_4,V_{10},V_{11}$ 六地建立供应点，此时max Supply = 5,063,976，min Price = 4600。

若选取Minprice为主要目标，则max Supply目标处理为适当的约束，约束条件为：

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{12}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{12}{\sum }}{x}_{i,j}{P}_{i,j}}}\ge c$

参数c可根据实际情况取值，若令c = 4.5 × 10⁶，则利用Lingo编程求解结果为：

$x_{8,12}=x_{10,2}=x_{1,4}=1$ ，即在 $V_1,V_2,V_4,V_8,V_{10},V_{12}$ 六地建立供应点，此时min Price = 3385，max Supply = 4,689,928。

Lingo程序见图2：

Figure 2. Binding method Lingo procedure

图2. 约束法Lingo程序

3.2.2. 线性加权法求解

利用线性加权法求解时，需要为每一决策目标函数赋一个权系数，从而把多目标模型转化成单目标模型，决策目标函数为

$\max =w{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{12}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{12}{\sum }}{x}_{i,j}{P}_{i,j}}}-\left(1-w\right){\displaystyle \underset{i=1}{\overset{12}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{12}{\sum }}{x}_{i,j}{C}_{i,j}}}$

参数w根据实际情况取值，若max Supply更重要，可令w = 0.7或0.6，则求解结果为： $x_{8,12}=x_{10,11}=x_{2,3}=x_{1,4}=1$ ，即在 $V_1,V_2,V_3,V_4,V_8,V_{10},V_{11},V_{12}$ 八地建立供应点，此时max Supply = 6,251,401，min Price = 5320。

若MinPrice更重要，可令w = 0.4，此时利用Lingo编程求解结果为 $x_{8,12}=x_{2,11}=x_{1,4}=1$ ，即在 $V_1,V_2,V_4,V_8,V_{11},V_{12}$ 六地建立供应点，此时max Supply = 4,689,928，min Price = 3385。

对参数w多次取值，利用MATLAB编程做出散点图，见图3：

Figure 3. Objective function value scatter plot

图3. 目标函数值散点图

由图可知，当w ≤ 0.3时目标函数值与w = 0时的目标函数值相同，w ≥ 0.81时目标函数值与w = 1时的目标函数值相同。

Lingo和MATLAB程序见图4：

Figure 4. Linear weighting procedure

图4. 线性加权法程序

4. 结语

本文研究了多目标整数线性规划在农产品供应点选址问题中的应用，以供应点覆盖人口数最多、建立供应点所花费的租赁费用最低为目标函数，以相邻区县关系为约束条件，建立了多目标整数规划模型，利用Lingo和MATLAB编程求解，得出的选址结果可以为农产品企业制定更优的销售与运输方案提供一些参考。

基金项目

国家基金项目(12101195)；河南科技大学大学生研究训练计划项目(SRTP：2022225)。

NOTES

^*通讯作者。