模糊赋范线性空间的0-范数

0-Norm of Fuzzy Normed Linear Space

摘要: 本文基于T. Bag和S.K. Samanta于2003年建立的模糊赋范线性空间。它们定义的模糊范数所导出的α-范数集是关于α-单增的范数集族。基于模糊范数与α-范数的联系，本文给出了模糊范数所导出的0-范数的概念，研究了0-范数是否是范数、0-范数与下确界范数的关系，同时研究了点列依0-范数收敛与依模糊范数收敛的关系。

Abstract: This paper is based on the fuzzy normed linear space established by T. Bag and S.K. Samanta in 2003. The α-norms set derived by their definition is an ascending family of norms . Based on the connection between fuzzy norm and α-norm, we present the concept of 0-norm de-rived by the fuzzy norm. We study whether the 0-norm is the norm, and the relationship of 0-norm and lower boundary norm. And then we also study the relationship between the 0-norm conver-gence and the fuzzy norm convergence.

1. 引言

T. Bag与S.K. Samanta [1] 于2003年建立了模糊赋范线性空间。模糊赋范线性空间中的模糊范数所导出的α-范数是赋范线性空间中的经典范数。它们讨论了模糊范数与α-范数之间的有趣关系，得到了模糊范数收敛等价于α-范数 $\left(\alpha \in \left(0,1\right)\right)$ 收敛的结果，进而研究了模糊赋范线性空间的一些性质，得到了在有限维线性空间中的模糊范数等价的结论。随后，T. Bag和S.K. Samanta [2] 给出模糊赋范空间中线性算子连续性、有界性的概念并研究模糊赋范线性空间的泛函特征。随后，许多学者研究了模糊赋范线性空间中的拓扑性质如模糊不动点问题、模糊连续映射等，进一步丰富发展了模糊泛函分析。模糊赋范空间的拓扑性质可参考文献 [3] [4] [5] [6] 。T. Bag与S.K. Samanta在模糊赋予范线性空间中所引入的α-范数，当 $\alpha =0$ 时，α-范数可能是不存在的。因此，我们在模糊赋范线性空间中，根据α-范数是上升集簇的性质，定义了0-范数的概念，并讨论了0-范数是否为范数、0-范数与下确界范数的关系以及模糊赋范线性空间点列的收敛性质。

2. 模糊赋范线性空间

定义1.1 [1] (模糊范数的定义)设X是线性空间，θ为其零元，N为 $X\times R$ 上的模糊子集。如果对 $\forall x,y\in X$ ， $c\in R$ ，有

(N1) $\forall t\le 0$ 有 $N\left(x,t\right)=0$ ；

(N2) $\forall t\in R$ 且 $t>0$ ，有 $N\left(x,t\right)=1$ 当且仅当 $x=\theta$ ；

(N3) $\forall t\in R$ 且 $t>0$ ，如果 $c\ne 0$ ，有 ${\Vert x\Vert }_{\alpha }=\wedge \left\{t>0:N\left(x,t\right)\ge \alpha \right\}$ ；

(N4) $\forall s,t\in R$ ，有

$N\left(x+y,s+t\right)\ge \min \left\{N\left(x,s\right),N\left(y,t\right)\right\}$ ；

(N5) $N\left(x,\cdot \right)$ 为R上的不减函数且 $\underset{t\to +\infty }{\lim }N\left(x,t\right)=1$ 。

则称N为X上的模糊范数， $\left(X,N\right)$ 为模糊赋范线性空间。

注 [2] ： $N\left(x,t\right)$ 表示x的范数是实数t的真值。

例1.2 [1] 设 $\left(X,\Vert ·\Vert \right)$ 为赋范线性空间，对 $\forall x\in X$ ， $\forall t\in R$ ，定义：

$N\left(x,t\right)=\{\begin{array}{l}\frac{t}{t+\Vert x\Vert },t>0\\ 0,t\le 0\end{array}$

则N为X上的模糊范数。

设 $\left(X,N\right)$ 为模糊赋范线性空间， $\alpha \in \left(0,1\right)$ ，对 $\forall x\in X$ ，令

${\Vert x\Vert }_{\alpha }=\wedge \left\{t>0:N\left(x,t\right)\ge \alpha \right\}.$ (1.1)

T. Bag与S.K. Samanta [1] 给出了 ${\Vert ·\Vert }_{\alpha }$ 为X上范数的一个条件。

引理1.3 [1] 设 $\left(X,N\right)$ 为模糊赋范线性空间，若模糊范数N满足以下条件：

(N6) $\forall t>0$ ，有 $N\left(x,t\right)>0$ ，则 $x=\theta$ 。

则由(1.1)式定义的 ${\Vert ·\Vert }_{\alpha }\left(\alpha \in \left(0,1\right)\right)$ 为X上的范数，且 $\left\{{\Vert ·\Vert }_{\alpha }:\alpha \in \left(0,1\right)\right\}$ 为X上的单增范数簇。称 ${\Vert ·\Vert }_{\alpha }$ 为由模糊范数N导出的α-范数。

引理1.4 [1] 设X是线性空间， $\left\{{\Vert ·\Vert }_{\alpha }:\alpha \in \left(0,1\right)\right\}$ 为X上一单增范数簇，令

$N^{\prime }:X\times R\to \left[0,1\right],$

$N^{\prime }\left(x,t\right)=\{\begin{array}{l}\underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\vee }\left\{\alpha :{\Vert x\Vert }_{\alpha }\le t\right\}\left(x,t\right)\ne \left(\theta ,0\right)\\ 0\left(x,t\right)\ne \left(\theta ,0\right)\end{array},$ (1.2)

则 $N^{\prime }$ 为X上的模糊范数。

定理1.5设X是线性空间， $\left\{{\Vert ·\Vert }_{\alpha }:\alpha \in \left(0,1\right)\right\}$ 为X上一单增范数簇，且对 $\forall x\in X$ ， $x\ne \theta$ ， $\exists t_x>0$ ，使得 $\forall \alpha \in \left(0,1\right)$ ，都有 ${\Vert x\Vert }_{\alpha }>t_x$ 。对 $x\in X$ ，令

$N^{\prime }\left(x,t\right)=\{\begin{array}{l}\underset{\alpha \in \left(0,1\right)}{\vee }\left\{\alpha :{\Vert x\Vert }_{\alpha }\le t\right\}\left(x,t\right)\ne \left(\theta ,0\right)\\ 0\left(x,t\right)\ne \left(\theta ,0\right)\end{array},$

则 $N^{\prime }$ 为X上的模糊范数，且 $N^{\prime }$ 满足(N6)条件。

证：由定引理1.4知， $N^{\prime }$ 为X上的模糊范数。

下证： $N^{\prime }$ 满足(N6)条件。

事实上，若存在 $x\in X$ ，对 $\forall t>0$ ，有 $N^{\prime }\left(x,t\right)>0$ ，但 $x\ne \theta$ 。由定理条件和 $N^{\prime }$ 的定义知，

$N^{\prime }\left(x,t_x\right)=0\left(\left\{\alpha \in \left(0,1\right):{\Vert x\Vert }_{\alpha }\le t_x\right\}=\phi \right),$

这与已知的 $N^{\prime }\left(x,t\right)>0$ 矛盾，所以 $x=\theta$ 。

引理1.6 [1] 设 $\left(X,N\right)$ 为模糊赋范线性空间且模糊范数N满足条件(N6)。若模糊范数N还满足条件：

(N7) $\forall x\in X\left(x\ne \theta \right)$ ， $N\left(x,\cdot \right)$ 关于t连续且在 $\left\{t:0<N\left(x,t\right)<1\right\}$ 上严格递增。

则 $\forall x\in X\left(\ne \theta \right)$ ， $\forall \alpha \in \left(0,1\right)$ ，有 $N\left(x,{\Vert x\Vert }_{\alpha }\right)=\alpha$ 。

下面介绍模糊赋范线性空间中点列模糊收敛的概念及其与α-范数收敛的关系。

定义1.7 [1] 设 $\left(X,N\right)$ 为模糊赋范线性空间， $\left\{x_n\right\}$ 是X中的点列，如果 $\exists x_0\in X$ ，使得

$N\left(x_n-x_0,t\right)=1,\forall t>0.$

则称 $\left\{x_n\right\}$ 模糊收敛且模糊收敛到 $x_0$ ，记为 $x_n\stackrel{N}{\to }{x}_0$ ， $x_0$ 称为 $\left\{x_n\right\}$ 的模糊极限。

注 [1] ：模糊极限如果存在，那么极限唯一。

定义1.8 [4] 设 $\left(X,N\right)$ 为模糊赋范线性空间，A为X的子集。

1) A中所有模糊收敛点列的模糊极限所成之集称为A的导集，记为 $A^{\prime }$ 。

2) 若 $A^{\prime }\subseteq A$ ，则称A为模糊闭集。

3) 称 $A\cup A^{\prime }$ 为A的模糊闭包，记为 $\bar{A}$ 。

定义1.9设 $\left(X,N\right)$ 为模糊赋范线性空间， $\left\{x_n\right\}$ 是X中的点列， $\alpha \in \left[0,1\right)$ ，如果 $\exists x_0\in {\rm X}$ ，使得

$\underset{n\to \infty }{\text{lim}}{\Vert x_n-x_0\Vert }_{\alpha }=0.$

则称 $\left\{x_n\right\}$ 依α-范收敛且α-范收敛到 $x_0$ ，记为 $x_n\stackrel{{\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }}{\to }{x}_0$ ， $x_0$ 称为 $\left\{x_n\right\}$ 的α-极限。

引理1.10 [1] 设 $\left(X,N\right)$ 为模糊赋范线性空间，模糊范数N满足条件(N6)和(N7)， $\left\{x_n\right\}$ 是X中的点列， $x_0\in X$ 。则 $x_n\stackrel{N}{\to }{x}_0$ 当且仅当对 $\forall \alpha \in \left(0,1\right)$ ，有 $x_n\stackrel{{\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }}{\to }{x}_0$ 。

从T. Bag与S.K. Samanta [1] 对引理1.1.6的证明过程知下引理成立。

引理1.11 [1] 设 $\left(X,N\right)$ 为模糊赋范线性空间， $\left\{x_n\right\}$ 是X中的点列， $x_0\in X$ 。若 $x_n\stackrel{N}{\to }{x}_0$ ，那么对 $\forall \alpha \in \left(0,1\right)$ ，有 $x_n\stackrel{{\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }}{\to }{x}_0$ 。

3. 模糊赋范线性空间的0-范数

本节，我们在模糊赋范线性空间中引入0-范数的概念，并讨论其相关性质。

设 $\left(X,N\right)$ 为模糊赋范线性空间且模糊范数满足(N6)条件，对 $x\in X$ ，

${\Vert x\Vert }_0=\wedge \left\{t>0:N\left(x,t\right)>0\right\}$ (2.1)

由模糊范数的定义知， $\left\{t>0:N\left(x,t\right)>0\right\}\ne \varphi$ ，所以 ${\Vert x\Vert }_0$ 有定义且 ${\Vert x\Vert }_0\ge 0$ 。下面验证 ${\Vert x\Vert }_0$ 满足范数的三个条件：

1) 正定性：

若 ${\Vert x\Vert }_0=0$ ，则

$\wedge \left\{t>0:N\left(x,t\right)>0\right\}=0\Rightarrow \forall t>0,N\left(x,t\right)>0.$

由条件(N6)知，

$x=\theta ,$

若 $x=\theta$ ，则

$\forall t>0,N\left(x,t\right)=1\Rightarrow \wedge \left\{t>0:N\left(x,t\right)>0\right\}=0.$

2) 齐次性：

$\forall x\in X$ ， $c\in R$ 。

当 $c\ne 0$ 时，

$\begin{array}{c}{\Vert cx\Vert }_0=\wedge \left\{t>0:N\left(cx,t\right)>0\right\}\\ =\wedge \left\{t>0:N\left(x,\frac{t}{\left|c\right|}\right)>0\right\}\\ =\wedge \left\{t>0:N\left(x,\frac{t}{\left|c\right|}\right)>0\right\}\\ =\wedge \left\{\left|c\right|t>0:N\left(x,t\right)>0\right\}\\ =\left|c\right|\wedge \left\{t>0:N\left(x,t\right)>0\right\}\\ =\left|c\right|{\Vert x\Vert }_0.\end{array}$

当 $c=0$ 时，

${\Vert 0x\Vert }_0={\Vert \theta \Vert }_0=0=0{\Vert x\Vert }_0=0{\Vert x\Vert }_0.$

3) 三角不等式：

对 $\forall x,y\in X$ ，

$\begin{array}{c}{\Vert x\Vert }_0+{\Vert y\Vert }_0=\wedge \left\{t>0:N\left(x,t\right)>0\right\}+\wedge \left\{s>0:N\left(y,s\right)=1\right\}\\ =\wedge \left\{t+s>0:N\left(x,t\right)>0,N\left(y,s\right)>0\right\}\\ \stackrel{由(N4)}{{\displaystyle \ge }}\wedge \left\{t+s>0:N\left(x+y,t+s\right)=1\right\}\\ \stackrel{由(N4)}{{\displaystyle \ge }}\wedge \left\{t+s>0:N\left(x+y,t+s\right)=1\right\}\end{array}$

综上所述，0-范数是X上的范数。

从以上讨论知，下定理成立。

定理2.1设 $\left(X,N\right)$ 为模糊赋范线性空间且模糊范数N满足(N6)条件，则由(2.1)式定义的 ${\Vert \cdot \Vert }_0$ 为X上的范数，称其为由模糊范数N导出的0-范数。

从 ${\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }\left(\alpha \in \left(0,1\right)\right)$ 及 ${\Vert \cdot \Vert }_0$ 的定义易知下述推论成立。

推论2.2设 $\left(X,N\right)$ 模糊赋范线性空间且模糊范数N满足(N6)条件， $\left\{{\Vert ·\Vert }_{\alpha }:\alpha \in \left[0,1\right)\right\}$ 为X上一单增范数族。

设 $\left(X,N\right)$ 为模糊赋范线性空间， $\alpha \in \left(0,1\right)$ ，由(1.1)式定义的 ${\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }$ 为X上范数。再由 ${\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }$ 的定义知， $\forall x\in X$ ， $x\ne \theta$ ， ${\Vert x\Vert }_{\alpha }$ 关于α在 $\left(0,1\right)$ 上单增。故而 $m_x=\wedge \left\{{\Vert x\Vert }_{\alpha }:\alpha \in \left(0,1\right)\right\}$ 存在，且 $m_x=\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }{\Vert x\Vert }_{\alpha }$ 。若模糊范数N满足(N6)条件，则 $\forall x\in X$ ， $x\ne \theta$ ， $\exists t_x>0$ ，使得 $N\left(x,t_x\right)=0$ ，从而 ${\Vert x\Vert }_{\alpha }\ge t_x\left(\forall \alpha \in \left(0,1\right)\right)$ 。故而 $m_x=\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }{\Vert x\Vert }_{\alpha }\ge t_x>0$ 。因此，若 $m_x=0$ ，则必有 $x=\theta$ 。从而易得如下结论。

定理2.3设 $\left(X,N\right)$ 为模糊赋范线性空间且模糊范数N满足(N6)条件， ${\Vert ·\Vert }_{\alpha }$ 是由(1.1.1)式导出的α-范数。对 $\forall x\in X$ ，令

$m_x=\underset{\alpha \in (0,1)}{\wedge }{\Vert x\Vert }_{\alpha },$ (2.2)

则 $m_x$ 为X上的范数，且有 $m_x\le {\Vert x\Vert }_{\alpha }\left(\forall \alpha \in \left(0,1\right)\right)$ ，称 $m_x$ 为X上的下确界范数。

定理2.4设 $\left(X,N\right)$ 为模糊赋范线性空间，且模糊范数N满足(N6) (N7)条件，则对 $\forall x\in X$ ， $m_x={\Vert x\Vert }_0$ 。

证明：对 $\forall x\in X$ ，

1) 若 $x=\theta$ ，则 $m_x=0={\Vert x\Vert }_0$ 。

2) 若 $x\ne \theta$ ，则对 $\forall \alpha \in \left(0,1\right)$ ，由引理1.6知，

$N\left(x,{\Vert x\Vert }_{\alpha }\right)=\alpha .$

由 $N\left(x,\cdot \right)$ 关于t在R上连续且 $m_x=\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }{\Vert x\Vert }_{\alpha }$ 知，

$N\left(x,m_x\right)=0.$

又由于 ${\Vert x\Vert }_0>0$ 且 $N\left(x,t\right)=0\left(\forall t<{\Vert x\Vert }_0\right)$ ，再用 $N\left(x,\cdot \right)$ 关于t在R上连续得，

$N\left(x,{\Vert x\Vert }_0\right)=\underset{t\to {\Vert x\Vert }_0^{-}}{\lim }N\left(x,t\right)=0.$

因此， $N\left(x,m_x\right)=N\left(x,{\Vert x\Vert }_0\right)=0.$

若 ${\Vert x\Vert }_0<m_x$ ，则 $\exists t_0\in \left({\Vert x\Vert }_0,m_x\right)$ ，使得 $N\left(x,t_0\right)>0$ 。故而

$N\left(x,t_0\right)>0=N\left(x,m_x\right)$ ，

这与(N5) $N\left(x,\cdot \right)$ 关于t在R上不减矛盾。因此， ${\Vert x\Vert }_0=m_x$ 。

下述例子中，由模糊范数N所导出的α-范数 $\left(\alpha \in \left[0,1\right)\right)$ 是范数，同时0-范数等于下确界范数也成立。

例2.5设 $\left(x,\Vert \cdot \Vert \right)$ 是赋范线性空间，对 $\forall x\in X$ ， $\alpha \in \left(0,1\right)$ ，令

$N\left(x,t\right)=\{\begin{array}{cc}\underset{\alpha \in (0,1)}{\vee }\left\{\alpha :\left(\alpha +1\right){\Vert x\Vert }_{\alpha }\le t\right\}& \left(x,t\right)\ne \left(\theta ,0\right)\\ 0& \left(x,t\right)=\left(\theta ,0\right)\end{array},$

则N为X上的模糊范数，且模糊范数满足(N6) (N7)条件。

证明：由引理1.4知，N为X上的模糊范数，再由定理1.5知，模糊范数N满足(N6)条件。不难发现，模糊范数N也满足(N7)条件。

下面讨论，模糊赋范线性空间中点列的按0-范数收敛与模糊收敛的关系。

定理2.6设 $\left(X,N\right)$ 为模糊赋范线性空间，模糊范数N满足(N6)条件， $\left\{x_n\right\}$ 为X中点列， $x_0\in X$ 。若 $x_n\stackrel{N}{\to }{x}_0$ ，则 $x_n\stackrel{{\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }}{\to }{x}_0$ 。

证：由引理1.11知， $\forall x\in X\Rightarrow x_n\stackrel{{\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }}{\to }{x}_0\left(\alpha \in \left(0,1\right)\right)$ 。再由 ${\Vert ·\Vert }_0$ 的定义知，

对 $\alpha \in \left(0,1\right)$ ，有 ${\Vert ·\Vert }_0\le {\Vert ·\Vert }_{\alpha }$ 。因此，若 $x_n\stackrel{N}{\to }{x}_0$ ，则 $x_n\stackrel{{\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }}{\to }{x}_0$ 。

定理2.7设 $\left(X,N\right)$ 为模糊赋范线性空间，模糊范数N满足(N6)条件，对 $\forall 0\le \alpha <\beta <1$ ，α-闭集是β-闭集。

证：设集合 $A\subseteq X$ 是α-闭集，则，对任意点列 $\left\{x_n\right\}\subseteq A,x_n\stackrel{{\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }}{\to }{x}_0$ ，则 $x_0\in A$ 。

对任意点列 $\left\{x_n\right\}\subseteq A$ ，如果 $x_n\stackrel{{\Vert \cdot \Vert }_{\beta }}{\to }{x}_0$ ，那么， $x_n\stackrel{{\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }}{\to }{x}_0$ 。

因此， $x_0\in A$ 。即是α-闭集是β-闭集。

推论2.8设 $\left(X,N\right)$ 为模糊赋范线性空间，模糊范数N满足(N6)条件，那么0-闭集是模糊闭集。

证：设集合A是 $\left(X,N\right)$ 的任意0-闭集，对 $\forall \left\{u_n\right\}\subset A$ ，如果 $\exists u_0\in X$ ，使得 $u_n\stackrel{{\Vert ·\Vert }_0}{\to }{u}_0$ ，那么 $u_0\in A$ 。

在模糊赋范线性空间中，若 $x_0\in {A^{\prime }}_1$ ，则 $\exists \left\{x_n\right\}\subset A$ ，使得 $x_n\stackrel{N}{\to }{x}_0$ 。

由定理2.6知： $x_n\stackrel{N}{\to }{x}_0\Rightarrow u_n\stackrel{{\Vert ·\Vert }_0}{\to }{u}_0$ 。

因此， $x_0\in A$ 。再由 $x_0$ 的任意性知 ${A^{\prime }}_0\subset A$ ，所以A是模糊闭集。

4. 总结

本文以T. Bag和S.K. Samanta于2003年提出的模糊范数为研究对象，定义了0-范数的概念，探究了0-范数与下确界范数的关系，讨论了模糊赋范线性空间的点列性质。得到了0-范数是范数且等于下确界范数、点列模糊收敛那么0-范收敛等结论。并且验证了模糊赋范线性空间中0-范数是范数且等于下确界范数是存在的。下一步我们将结合逼近理论与经典宽度理论，研究模糊赋范线性空间在0-范数框架下的逼近特征。

致谢

我要感谢我的导师，从本文的撰写到定稿，都给予了我极大的支持。