1. 引言
光波的大气传播，无论是何种形式，无论是对恒星的成像，还是大气光通信，其实都可以用光源、湍流和接收机三要素的关联来描述。传统的观念认为，大气光学的接收器的形状是无关紧要的。由此导致了一个延续了400年左右的传统，那就是，人类在使用光学望远镜接收信号进行光学成像和大气光通信的研究时，统一采用数学形式为类圆形的光学孔径。典型的例子就是，大约400年前的牛顿反射式望远镜采用了抛物面作为主镜，其孔径函数的数学形式是圆环。伽利略望远镜采用了圆透镜，其孔径函数的数学形式是圆。而对于近代出现的大气光通信来说，这种传统更加具有普遍性。华为和中电34所的接收机孔径都是圆透镜或圆透镜阵列，其孔径函数的数学形式是圆和圆阵列。
为什么要研究接收机的孔径平均函数(aperture averaging function，简称AAF)？作者正试图建立一个大气光学传输的可视化软件，在该软件中输入光源参数、湍流条件及接收机参数，就可以可视化地得到光波大气湍流传输的结果，包括可以知晓闪烁、抖动、脉冲展宽等情况。那么不同的光学接收机就对应着不同的结果。一种解决方案是输入接收机的参数来实时计算，经验证明，这种计算很耗时，要想当时就看到结果是很困难的事情。另一种解决方案是建立光学接收机的AAF的数据库，也就是事先计算尽可能多形状的光学接收机的AAF，建立它们的数据库。在大气光学传输的可视化软件中直接调用该数据库即可。这种解决方案将耗时的工作提前完成，可以有效实现实时显示。
大约70年前，Fried发表了孔径平均(aperture averaging，简称AA)概念的最早期的论文之一 [1] 。该论文讨论了当使用一个圆透镜作为光学接收机时接收端的光学闪烁会如何的问题。它给出了AA及AAF的概念。该论文给出了圆透镜的AAF的解析表达式。经过湍流传输的信号会受到湍流大气的扰动。如果接收端采用一个很小的孔径，由于进入这个孔径的光学信号经过了相同的湍流，它们是高度相关的。因此这个时刻，孔径内各个点的光强可能同时很强，下个时刻就可能同时很弱。它意味着，接收到的信号的起伏很大。如果增大接收机的尺寸，由于不同的光线经过了不同的传输路径，不同路径上的湍流起伏不一样，任意时刻，接收孔径的这个区域接收到的信号可能光强很大，那个区域接收到的信号可能光强就很小，最后接收到的总的信号就是一种被平均后的很平稳的结果。这就是孔径平均的效果。
AAF就是用来表征这种平均的效果的。它的物理含义就是接收孔径的二维投影的数学形状与其复制品之间在不同的质心间距矢量时的交叠面积。以质心间距矢量作为x和y坐标，以相应的交叠面积(AAF的值)作为z坐标，可得到该接收器的AAF (全貌)。因为圆透镜是圆对称的，因此它的AAF是一个三维的旋转对称的图形。计算AAF的数学公式可以参考文献 [1] 。
后来的其它研究者主要将圆透镜的孔径尺寸扩大或缩小进行了AAF的研究，或者研究了不同湍流强度和传输路径的AAF，更多的一些研究涉及的是仿真和数值计算 [2] [3] [4] [5] [6] 。
2016年，作者计算了一种1*2阵列的圆透镜接收器的AAF，得到了其解析表达式 [7] 。由于在这过程中有新的发现，作者将此种接收器命名为Y型接收器。2016年，作者计算了卡塞格伦望远镜的AAF，得到了卡塞格伦系统和格林戈里系统的AAF的解析表达式 [8] 。
在这一个阶段中，持续有一些大气光通信的系统采用了一些非透镜和非卡式系统的接收机，其接收机采用了新的形状，那么如何计算它们的AAF呢？在他人的工作里，找不到这样的答案。没有任何方法。真实原因，大概是因为没有人对AAF的研究感兴趣，毕竟大多数人认为改变它也仅仅起到微调和修饰的作用。
作者先后做了三项工作，奠定了计算任意复杂形状的光学接收机的AAF的基本方法 [9] [10] [11] 。
参考文献 [9] [10] [11] 中的三种方法是建立前文所提数据库的第一阶段工作。本文是该建立该数据库的第二阶段工作。本文分别计算了接收孔径的数学形状为正方形、等腰直角三角形、不同间距的1*2方形阵列、1*3方形阵列、1*5方形阵列、不同孔径大小的5*5方形阵列的AAF。在本文的第二部分研究了孔径自身尺寸变化、孔径间距变化、孔径阵列的行列数变化所体现的AAF的特性。
2. 计算不同数学形状的接收孔径的AAF
2.1. 正方形
假设有一个正方形的接收孔径，它的孔径函数的数学形式是正方形，如图1所示，其边长为d。
Figure 1. The aperture shape of a square
图1. 正方形的孔径形状
采用 [11] 的方法，我们对图1的孔径进行格子划分，划分为100*100的正方形格子阵列，如图2所示。灰色区域表示真实孔径部分。
进一步采取 [11] 的方法，可以计算出正方形孔径的归一化AAF，如图3所示，是两个不同视角下的归一化AAF。
Figure 2. Divide the square aperture shape in Figure 1 into an array of 100*100 square grids.
图2. 将图1的正方形孔径形状划分为100*100的正方形格子阵列
Figure 3. The normalized AAF of a square aperture
图3. 正方形孔径的归一化AAF
图3显示，正方形孔径的归一化AAF是一个对称的类似四棱锥体的形状，但是它的四条棱并不是直线。由图3的右图的最右边的棱线可知，它的棱线是曲线形状。AAF指的是基准孔径与位移孔径的质心间距矢量为(x，y)时的孔径交叠面积。图3的横轴的|x|指的就是当位移孔径沿着x轴移动的最大位移距离的绝对值。因此，x/|x|指的就是质心间距矢量的x分量的归一化值。同理y/|y|指的就是质心间距矢量的y分量的归一化值。如果把图1的孔径形状按照图2来划分为正方形格子阵列，则移动位移孔径时，两者的交叠面积就是正方形格子的数目乘以单个正方形格子的面积。当位移孔径与基准孔径完全重合时，此时的AAF就是基准孔径的面积。通常在绘制AAF时，都要对其进行归一化处理。图3的z轴就是归一化AAF。在(x/|x| = 0，y/|y| = 0)时，其归一化AAF为1。
图3的顶部标注有azimuth (方位角)和elevation (仰角)值。比如图3的左图指的是matlab软件绘图时是从方位角为28度和仰角为63度观察的结果。未标注“度”或“˚”，这是matlab的语法。
具有相同颜色的区域代表同样的AAF值。观察图3的左图，介于深蓝与浅绿之间的淡蓝色区域，淡蓝色区域连成的并不是正方形，而是一个正方形的四边被凸起了的形状。这就是等AAF线。
我们由此得到了正方形孔径的AAF的特性：它具有类四棱锥的形状，但是每条棱并不是直线；它的等AAF线不是正方形，而是四周向外凸起的四边形；每一个等AAF线都有4条边；每一个等AAF线都有4个顶点；相邻的等AAF线的顶点的连线就形成了棱线。
2.2. 等腰直角三角形
等腰直角三角形孔径的示意图如图4所示。
Figure 4. The schematic diagram of an isosceles right triangle aperture
图4. 等腰直角三角形孔径的示意图
依然使用100*100的正方形格子阵列对其进行划分，图5的灰色区域为等腰直角三角形所在区域。
Figure 5. Divide the isosceles right triangle with an array of 100*100 square grids
图5. 用100*100的正方形格子阵列划分等腰直角三角形
采用 [11] 的方法，可以得到等腰直角三角形的归一化AAF，如图6所示。
Figure 6. The normalized AAF of the isosceles right triangle aperture
图6. 等腰直角三角形孔径的归一化AAF
我们由此得到了等腰直角三角形孔径的AAF的特性：它具有类六棱锥的形状，但是每条棱并不是直线；它的等AAF线不是类三角形，而是像蜘蛛网一样撑开的类六边形，边与边的交点的集合就形成了棱线。
2.3. 1*2方形孔径阵列(改变其孔径间距)
2.3.1. 单孔径宽度p，孔径质心间距q = 2p
此处，定义两个常量p = 10格、u = 100格。10格指的就是占图5的10个正方形格子的宽度。定义一个变量q。假设有一1*2方形孔径阵列，单孔径宽度p，孔径质心间距q = 2p，单孔径高度为u，如图7所示。
Figure 7. 1*2 square aperture array. The single aperture width is p, and the centroid spacing is q = 2p
图7. 1*2方形孔径阵列，单孔径宽度p，孔径的质心间距q = 2p
采用类似的计算方法，其归一化AAF如图8所示。
Figure 8. The normalized AAF of a 1*2 square aperture array when q = 2p
图8. 1*2方形孔径阵列的归一化AAF (q = 2p)
图的三视图的观察角度。它的AAF具有3个峰。主峰旁形成了两个旁瓣，旁瓣的归一化AAF的峰值为0.5。对于图7，从一个孔径沿着x轴扩展到下一个孔径，它的归一化AAF (图8)是从中央主峰沿着x轴向两边扩展，总共形成了2个旁瓣。图7单个孔径的高度u沿着y方向伸展，它的归一化AAF (图8)沿着y方向扩展。这些和光学的单缝衍射现象不一样。光学的单缝衍射是缝在哪个方向被限制，光波就在哪个方向进行衍射展开。所以才叫衍射。
2.3.2. 单孔径宽度p，孔径质心间距q = 5p
假设有一1*2方形孔径阵列，单孔径宽度p，孔径质心间距q = 5p，单孔径高度为u，如图9所示。
Figure 9. 1*2 square aperture array. The single aperture width is p, and the centroid spacing is q = 5p
图9. 1*2方形孔径阵列，单孔径宽度p，孔径的质心间距q = 5p
采用类似的计算方法，其归一化AAF如图10所示。
Figure 10. The normalized AAF of a 1*2 square aperture array when q = 5p
图10. 1*2方形孔径阵列的归一化AAF (q = 5p)
2.3.3. 单孔径宽度p，孔径质心间距q = 9p
假设有一1*2方形孔径阵列，单孔径宽度p，孔径质心间距q = 9p，单孔径高度为u，如图11所示。
Figure 11. 1*2 square aperture array. The single aperture width is p, and the centroid spacing is q = 9p
图11. 1*2方形孔径阵列，单孔径宽度p，孔径的质心间距q = 9p
采用类似的计算方法，其归一化AAF如图12所示。
Figure 12. The normalized AAF of a 1*2 square aperture array when q = 9p
图12. 1*2方形孔径阵列的归一化AAF (q = 9p)
2.3.4. 小结
综合观察2.3.1~2.3.3的计算结果，可知：
1) 对于1行2列的方形孔径阵列，它的归一化AAF具有一个主峰和两个旁瓣，旁瓣的归一化AAF的峰值为0.5；
2) 沿着孔径宽度扩展的方向，孔径有多宽，主峰和旁瓣就有多宽(比如沿着x方向，图11的单孔径宽度为p，图12的正视图的主峰或旁瓣在x轴就具有p归一化后的宽度，10格/100格)；
3) 不改变单孔径的宽度，却增大孔径之间的间距时，主峰和旁瓣的形状和大小会不变，但会平移开来。
2.4. 1*n方形孔径阵列(改变n及相邻孔径质心间距)
2.4.1. 1*3方形孔径阵列，单孔径宽度p = 10格，相邻孔径质心间距q = 4.5p
假设有一1*3方形孔径阵列，单孔径宽度p = 10格，相邻孔径质心间距q = 4.5p，单孔径高度为u，如图13所示。
Figure 13. 1*3 square aperture array. The single aperture width is p, and the centroid distance between adjacent apertures is q = 4.5p
图13. 1*3方形孔径阵列，单孔径宽度p，相邻孔径的质心间距q = 4.5p
采用类似的计算方法，其归一化AAF如图14所示。
Figure 14. The normalized AAF of a 1*3 square aperture array when q = 4.5p
图14. 1*3方形孔径阵列的归一化AAF (q = 4.5p)
2.4.2. 1*5方形孔径阵列，单孔径宽度p = 10格，相邻孔径质心间距q = 2p
假设有一1*5方形孔径阵列，单孔径宽度p，相邻孔径质心间距q = 2p，单孔径高度为u，如图15所示。
Figure 15.1*5 square aperture array. The single aperture width is p, and the centroid distance between adjacent apertures is q = 2p
图15. 1*5方形孔径阵列，单孔径宽度p，相邻孔径的质心间距q = 2p
采用类似的计算方法，其归一化AAF如图16所示。
Figure 16. The normalized AAF of a 1*5 square aperture array when q = 2p
图16. 1*5方形孔径阵列的归一化AAF (q = 2p)
2.4.3. 小结
综合观察2.3、2.4.1~2.4.2的计算结果，可知：
由于孔径在设计上强调位移孔径移动时不会同时覆盖基准孔径的两个离散区域，因此，当孔径数目为3时(图14)，连主峰在内往x左向有3个峰，连主峰在内往x右向有3个峰，合计5个峰；当孔径数目为5时(图16)，有左向5个和右向5个合计9个峰；当单维度的孔径数目为n时，合计有2n − 1个峰。
2.5. 1*n方形孔径阵列(改变单孔径宽度)
2.5.1. 1*2方形孔径阵列，单孔径宽度2p = 20格，相邻孔径质心间距q = 2.5p
假设有一1*2方形孔径阵列，单孔径宽度2p = 20格，孔径质心间距q = 2.5p，单孔径高度为u，如图17所示。
Figure 17. 1*2 square aperture array. The single aperture width is 2p, and the centroid spacing is q = 2.5p
图17. 1*2方形孔径阵列，单孔径宽度2p，孔径的质心间距q = 2.5p
采用类似的计算方法，其归一化AAF如图18所示。
Figure 18. The normalized AAF of a 1*2 square aperture array when q = 2.5p
图18. 1*2方形孔径阵列的归一化AAF (q = 2.5p)
2.5.2. 1*5方形孔径阵列，单孔径宽度0.1p = 1格，相邻孔径质心间距q = 2p
假设有一1*5方形孔径阵列，单孔径宽度0.1p = 1格，相邻孔径质心间距q = 2p，单孔径高度为u，如图19所示。
Figure 19. 1*5 square aperture array. The single aperture width is 0.1p, and the centroid distance between adjacent apertures is q = 2p
图19. 1*5方形孔径阵列，单孔径宽度0.1p，相邻孔径的质心间距q = 2p
采用类似的计算方法，其归一化AAF如图20所示。
Figure 20. The normalized AAF of a 1*5 square aperture array when q = 2p
图20. 1*5方形孔径阵列的归一化AAF (q = 2p)
2.5.3. 小结
综合观察2.5.1~2.5.2可知：
1) 归一化AAF的峰值数目(1个主峰 + 所有旁瓣的数目)由单独孔径的数目决定，在移动位移孔径却不能同时叠加到基准孔径的两个离散区域时，该数目为2n−1；
2) 归一化AAF的相邻峰值的间距由相邻孔径的质心间距来决定。
2.6. 二维方形孔径阵列
2.6.1. 5*5方形孔径阵列，单孔径宽度0.1p = 1格，相邻孔径质心间距q = 2p
假设有一5*5方形孔径阵列，单孔径宽度0.1p = 1格，相邻孔径质心间距q = 2p，如图21所示。
Figure 21. 5*5 square aperture array. The single aperture width is 0.1p, and the centroid distance between adjacent apertures is q = 2p
图21. 5*5方形孔径阵列，单孔径宽度0.1p，孔径的质心间距q = 2p
采用类似的计算方法，其归一化AAF如图22所示。
Figure 22. The normalized AAF of a 5*5 square aperture array when q = 2p
图22. 5*5方形孔径阵列的归一化AAF (q = 2p)
图22的第三象限的图在x方向和y方向是对称的。而显示的不均匀是由于计算机显示的问题(不是计算的问题)。
2.6.2. 5*5方形孔径阵列，单孔径宽度0.5p = 5格，相邻孔径质心间距q = 2p
假设有一5*5方形孔径阵列，单孔径宽度0.5p = 5格，相邻孔径质心间距q = 2p，如图23所示。
Figure 23. 5*5 square aperture array. The single aperture width is 0.5p, and the centroid distance between adjacent apertures is q = 2p
图23. 5*5方形孔径阵列，单孔径宽度0.5p，孔径的质心间距q = 2p
采用类似的计算方法，其归一化AAF如图24所示。
Figure 24. The normalized AAF of a 5*5 square aperture array when q = 2p
图24. 5*5方形孔径阵列的归一化AAF (q = 2p)
2.6.3. 5*5方形孔径阵列，单孔径宽度p = 10格，相邻孔径质心间距q = 2p
假设有一5*5方形孔径阵列，单孔径宽度p，相邻孔径质心间距q = 2p，如图25所示。
Figure 25. 5*5 square aperture array. The single aperture width is p, and the centroid distance between adjacent apertures is q = 2p
图25. 5*5方形孔径阵列，单孔径宽度p，孔径的质心间距q = 2p
采用类似的计算方法，其归一化AAF如图26所示。
Figure 26. The normalized AAF of a 5*5 square aperture array when q = 2p
图26. 5*5方形孔径阵列的归一化AAF (q = 2p)
2.6.4. 小结
综合观察2.6.1~2.6.3可知：
1) 对于二维的周期性接收孔径来说，当单孔径的宽度减小到极致时(例如图22)，它就像一个筛子一样，筛眼很小，(位移孔径与基准孔径)稍微错位时，归一化AAF就为0。体现在图22中，它就表现为很多立起来的针刺图案；
2) 增大单孔径自身的宽度(沿着x方向)或高度时(沿着y方向)，会导致归一化AAF在该方向的宽度或高度增大(观察图22、图24、图26的第三象限图，每个相同位置的光斑依次变大)。
3. 结论
本文研究了一些基本形状的光学接收器的AAF，主要涉及到的孔径形状为正方形、等腰直角三角形、一维方形阵列和二维方形阵列。通常的光学接收孔径的形状可以由很多的正方形孔径或等腰直角三角形拼接而成，误差为边缘残留的边边角角。为了减少误差，可以将正方形孔径的尺寸构造得很小。它会导致计算精度的飞速提高和计算速度的急剧降低。由此可知，本文进行的是一项最底层和最基础的工作。虽然本文通过不断改变孔径的参数，绘制了相应的AAF的图。看似简单清爽的几十张图，实质上，它的背后是前期的艰苦的思索和大量的软件开发的工作。
本文的研究发现了一些未被人意识到的现象：等腰直角三角形接收器具有3个角，它的AAF却具有类六棱锥的形状；正方形接收器具有4个角，它的AAF却具有类四棱锥形的形状；阵列孔径的AAF会在阵列扩展的方向进行扩展，这一点与光的单缝衍射现象明显不同；孔径自身宽度的增加会导致AAF的主峰或旁瓣的宽度的增加。
本文设计的阵列接收器，并未考虑到移动位移孔径时，位移孔径会同时叠加到基准孔径两个离散区域的情况，因为这种情况只会把事情弄得更复杂。
对于计算不同数学形状的接收孔径的AAF，它的统一的通用方法可以参考作者的工作 [9] [10] [11] 。由于孔径的种类是无限的，不同的接收孔径具有什么样的AAF，不同的AAF对于闪烁有什么样的影响，这些都是正在研究的内容。目前所能做的就是尝试计算尽可能多地接收孔径的AAF，建立数据库，为下一步的工作奠定基础。