半群P_n,r的极大(正则)子半群

The Maximal (Regular) Subsemigroups of Semigroup P_n,r

摘要: 设S_n和P_n分别是X_n={1,2,…,n}上的对称群和部分变换半群。对0≤r≤n，令P(n,r)={α∈P_n:|im(α)≤r}，则P(n,r)是部分变换半群P_n的子半群。对0≤r≤n-1，考虑半群P_n,r=P_n,r∪S_n的极大(正则)子半群。通过对半群P_n,r格林关系的分析进一步，获得了半群P_n,r的极大子半群和极大正则子半群是一致的。

Abstract: Let S_n and P_n be symmetric group and partial transformation semigroup on X_n={1,2,…,n}, respectively. For 0≤r≤n, put P(n,r)={α∈P_n:|im(α)≤r}, then the set P(n,r) are the subsemigroups of . For 0≤r≤n-1. In this paper, the maximal (regular) subsemigroups of the semigroup P_n,r=P_n,r∪S_n has been considered. In addition, by analyzing the Green’s relations, this paper proved that the maximal subsemigroups and the maximal regular subsemigroups of P_n,r coincide.

1. 引言与预备知识

设G是群，P是G的非空子集， $\langle P\rangle$ 表示群G的子集P生成的子群。设G是群，H是G的真子群，对G的任意子群Q都有 $H\subseteq Q\subseteq G$ 推出 $Q=H$ 或 $Q=G$ ，则称H是群G的极大子群(换句话说：如果G是群，H是G的真子群，对任意的 $a\in G\backslash H$ 都有 $G=\langle \left\{a\right\}\rangle$ ，那么称H是群G的极大子群)。设S是半群，A是S的非空子集， $a,e\in S$ 。若 $e^2=e$ ，则称e是S的幂等元，A中所有幂等元之集记为 $E\left(A\right)$ 。若存在 $b\in S$ 使得 $a=aba$ ，则称a是S的正则元，A中所有正则元之集记为 $\text{Reg}\left(A\right)$ 。如果 $\text{Reg}\left(S\right)=S$ ，则称S是正则半群(换句话说：如果半群S中的每个元素都是正则的，那么称S是正则半群)。若存在 $b\in S$ ，使得 $a=aba$ 且 $b=bab$ ，则称b是a的逆元，a在半群S中的所有逆元之集记为 $V\left(a\right)$ 。易见，幂等元是正则元但正则元不一定是幂等元。若任意的 $c\in A$ ， $r\in S$ ，有 $cr\in A$ ，即 $AS\subseteq A$ ，则称A为半群S的一个右理想。若任意的 $c\in A$ ， $r\in S$ 有 $rc\in A$ ，即 $SA\subseteq A$ ，则称A为半群S的一个左理想。若A既是S的右理想又是S的左理想，即 $ASA\subseteq A$ ，则称A为半群S的一个双边理想，简称理想。设S是半群，M是S的真(正则)子半群，对S的任意(正则)子半群T，有 $M\subseteq T$ 推出 $T=M$ 或 $T=S$ ，则称M是S的极大(正则)子半群(换句话说：如果S是(正则)半群，M是S的真(正则)子半群，对任意的 $a\in S\backslash M$ 都有 $S=\langle M\cup \left\{a\right\}\rangle$ ，那么称M是S的极大(正则)子半群)。最感兴趣的是：如何刻划半群S的极大子半群；当半群S是正则半群时，又如何刻划半群S的极大正则子半群。对于有限半群具有某种性质的极大(正则)子半群的研究目前已有许多研究成果 [1] - [9] 。

设自然数 $n\ge 2$ ， $X_n=\left\{1,2,3,\cdots ,n-1,n\right\}$ 并赋予自然数的大小序， $S_n$ 和 $P_n$ 分别是 $X_n=\left\{1,2,3,\cdots ,n-1,n\right\}$ 上的对称群和部分变换半群。对 $0\le r\le n$ ，令 $P\left(n,r\right)=\left\{\alpha \in P_n:\left|\text{im}\left(\alpha \right)\right|\le r\right\}$ ，易见 $P\left(n,r\right)$ 是部分变换半群 $P_n$ 的子半群且对任意的 $\left\{\alpha \in P\left(n,r\right)\right\}$ ， $\beta ,\gamma \in P_n$ 都有 $\left|\text{im}\left(\beta \alpha \gamma \right)\right|\le r$ ，即 $\beta \alpha \lambda \in P\left(n,r\right)$ ，因而 $P\left(n,r\right)$ 是部分变换半群 $P_n$ 的双边理想。记 $S{P}_n=P_n\backslash S_n$ ，称 $S{P}_n$ 为 $X_n$ 上的奇异部分变换半群。显然 $S{P}_n=P\left(n,n-1\right)$ 。对 $0\le r\le n-1$ ，令 $P_{n,r}=P\left(n,r\right)\cup S_n$ ，易证 $P_{n,r}$ 是部分变换半群 $P_n$ 的子半群。文献 [1] 获得了部分变换半群的理想 $PK\left(n,r\right)$ 的极大正则子半群；文献 [2] 得到了全变换半群的理想 $T\left(n,r\right)$ 的极大子半群的完全分类；文献 [3] 得到了奇异部分变换半群 $S{P}_n$ 的生成元集及其秩和幂等元秩都为 $S\left(n+1,r+1\right)$ ；文献 [4] 考虑了半群 $T_{n,r}=T\left(n,r\right)\cup S_n$ 获得了 $T_{n,r}$ 的生成集，并得到了半群 $T_{n,r}$ 的秩；文献 [5] 获得了半群 $PO{D}_n$ 的理想的极大正则子半群；文献 [6] 得到了半群 $PO{P}_n$ 的理想的极大正则子半群的完全分类；文献 [7] 获得了半群 $MC\left(n,r\right)$ 的极大子半群的完全分类；文献 [8] 获得了变换半群 $H_{\left(n,m\right)}^{*}\left(r\right)$ 的极大子半群与极大正则子半群；文献 [9] 得到了半群 $T_{n,t}$ 的极大(正则)子半群的完全分类。

设A是 $X_n$ 的子集合， ${\epsilon }_A$ 表示集合A上的恒等变换，易见恒等变换是幂等元，但幂等元不一定是恒等变换。对任意的 $\alpha \in P_n$ ，记 $\text{ker}\left(\alpha \right)=\left\{\left(x,y\right)\in \text{dom}\left(\alpha \right)\times \text{dom}\left(\alpha \right):x\alpha =y\alpha \right\}$ ，则 $\text{ker}\left(\alpha \right)$ 是 $\text{dom}\left(\alpha \right)$ 上的等价关系，称 $\text{ker}\left(\alpha \right)$ 为 $\alpha$ 的核。通常用 $\text{im}\left(\alpha \right)$ 表示集合 $\left\{x\alpha :x\in \text{dom}\left(\alpha \right)\right\}$ ，称 $\text{im}\left(\alpha \right)$ 为 $\alpha$ 的像。

通常，设S是半群，对任意的 $a\in S$ 分别用 $L_a$ ， $R_a$ ， $H_a=L_a\cap R_a$ ， $D_a$ ， $J_a$ 表示a所在的L-类，R-类，H-类，D-类，J-类。为叙述方便，引用Green-等价关系 [10] [11] 。在半群 $P_{n,r}$ 中L，R，J有如下刻划：对任意的 $\alpha ,\beta \in P_{n,r}$ 有：

$\alpha L\beta \iff \text{im}\left(\alpha \right)=\text{im}\left(\beta \right)$ ，

$\alpha R\beta \iff \text{ker}\left(\alpha \right)=\text{ker}\left(\beta \right)$ ，

$\alpha J\beta \iff \left|\text{im}\left(\alpha \right)\right|=\left|\text{im}\left(\beta \right)\right|$ 。

易见， $L\subseteq J$ ， $R\subseteq J$ 。对 $0\le r\le n$ ，令 $J_r=\left\{\alpha \in P_{n,r}:\left|\text{im}\left(\alpha \right)\right|=r\right\}$ ，则J-类 $J_0,J_1,\cdots ,J_n$ 恰好是 $P_{n,r}$ 的 $n+1$ 个J-类，特别地， $J_0=\{\varnothing \}$ ， $J_n=S_n$ ， $P\left(n,r\right)=\left\{\alpha \in P_{n,r}:\left|\text{im}\left(\alpha \right)\right|\le r\right\}=\underset{s=0}{\overset{r}{\cup }}{J}_s$ ， $P\left(n,n\right)=P_n$ ，对任意的 $\alpha \in J_r$ 有 $J_{\alpha }=J_r$ 。不难验证，对任意的r满足 $0\le r\le n-1$ 有

$P_{n,r}=P\left(n,r\right)\cup S_n=J_0\cup \cdots \cup J_r\cup S_n=\left(\underset{s=0}{\overset{r}{\cup }}{J}_s\right)\cup S_n$ ，在 $P_{n,r}$ 中有如下包含关系的双边理想链

$P\left(n,0\right)\subset P\left(n,1\right)\subset P\left(n,2\right)\subset \cdots \subset P\left(n,r-2\right)\subset P\left(n,r-1\right)\subset P\left(n,r\right)\subset P\left(n,r\right)\cup S_n=P_{n,r}$ 。任意取 $n,r\in N$ 且 $r\le n$ ，设 $\alpha \in J_r$ ，则 $\alpha$ 有如下标准形式：

$\alpha =\left(\begin{array}{ccccccccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_{i-1}& A_i& A_{i+1}& \cdots & A_{r-1}& A_r\\ a_1& a_2& \cdots & a_{i-1}& a_i& a_{i+1}& \cdots & a_{r-1}& a_r\end{array}\right)$ 。

其中， $a_1<a_2<\cdots <a_r$ 。显然存在 $\sigma \in S_r$ ( $S_r$ 表示 $\left\{1,2,\cdots ,r\right\}$ 上的对称群)，使得 $\left|A_{1\sigma }\right|\ge \left|A_{2\sigma }\right|\ge \cdots \ge \left|A_{r\sigma }\right|\ge 1$ 。记 $\text{part}\left(\alpha \right)=\left(\left|A_{1\sigma }\right|,\left|A_{2\sigma }\right|,\cdots ,\left|A_{r\sigma }\right|\right)$ ，称 $\text{part}\left(\alpha \right)$ 为 $\alpha$ 的划分。注意，记 $\epsilon$ 是 $X_n$ 上的恒等变换。

在 $J_r$ 上引入关系~： $\alpha ~\beta$ 即存在 $\lambda ,\mu \in S_n$ ，使得 $\alpha =\lambda \beta \mu$ 。易验证~是 $J_r$ 上的等价关系。

2. 主要结果及证明

在文 [1] 的基础上继续考虑半群 $P_{n,r}$ 的极大子半群和极大正则子半群，得到了以下的主要结果：

定理1 设 $0\le r\le n-1$ ，则半群 $P_{n,r}$ 的极大子半群有并且只有如下所示的两种类型的结构：

i) $P_{n,r}\backslash \left[\alpha \right]$ ， $\alpha \in J_r$ ；

ii) $P\left(n,r\right)\cup G$ ，其中G是 $S_n$ 的极大子群。

定理2 设 $0\le r\le n-1$ ，则半群 $P_{n,r}$ 的极大子半群和极大正则子半群的结构是相同的。为完成定理的证明，需要有如下引理与推论。

引理1 [3] 设 $0\le r\le n-2$ ，则 $J_r\subseteq J_{r+1}{J}_{r+1}$ 。

引理2 [3] 设 $0\le r\le n-1$ ，则 $P\left(n,r\right)=\langle E\left(J_r\right)\rangle$ 。

注意到 $J_0=\{\varnothing \}$ ，由引理1及引理2可得如下推论：

推论1 设 $0\le r\le n-1$ ，则 $P_{n,r}=P\left(n,r\right)\cup S_n=\left(\underset{s=0}{\overset{r}{\cup }}{J}_s\right)\cup S_n=\langle E\left(J_r\right)\rangle \cup S_n$ 。

引理3 设 $\alpha ,\beta \in J_r$ ，则 $\alpha ~\beta$ 当且仅当 $\text{part}\left(\alpha \right)=\text{part}\left(\beta \right)$ 。

证明：设 $\alpha ,\beta$ 的标准表示形式如下：

$\alpha =\left(\begin{array}{ccccccccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_{i-1}& A_i& A_{i+1}& \cdots & A_{r-1}& A_r\\ a_1& a_2& \cdots & a_{i-1}& a_i& a_{i+1}& \cdots & a_{r-1}& a_r\end{array}\right)$ ，

$\beta =\left(\begin{array}{ccccccccc}{B}_1& B_2& \cdots & B_{i-1}& B_i& B_{i+1}& \cdots & B_{r-1}& B_r\\ b_1& b_2& \cdots & b_{i-1}& b_i& b_{i+1}& \cdots & b_{r-1}& b_r\end{array}\right)$ ，

其中 $a_1<a_2<\cdots <a_r$ ， $b_1<b_2<\cdots <b_r$ 。显然存在 $\sigma ,\delta \in S_n$ ，使得 $\text{part}\left(\alpha \right)=\left(\left|A_{1\sigma }\right|,\left|A_{1\sigma }\right|,\cdots ,\left|A_{r\sigma }\right|\right)$ ， $\text{part}\left(\beta \right)=\left(\left|B_{1\delta }\right|,\left|B_{2\delta }\right|,\cdots ,\left|B_{r\delta }\right|\right)$ ，其中 $\left|A_{1\sigma }\right|\ge \left|A_{2\sigma }\right|\ge \cdots \ge \left|A_{r\sigma }\right|\ge 1$ 且 $\left|B_{1\delta }\right|\ge \left|B_{2\delta }\right|\ge \cdots \ge \left|B_{r\delta }\right|\ge 1$ 。

若 $\text{part}\left(\alpha \right)=\text{part}\left(\beta \right)$ ，则 $\left(\left|A_{1\sigma }\right|,\left|A_{2\sigma }\right|,\cdots ,\left|A_{r\sigma }\right|\right)=\left(\left|B_{1\delta }\right|,\left|B_{2\delta }\right|,\cdots ,\left|B_{r\delta }\right|\right)$ 从而 $\left|A_{i\sigma }\right|=\left|B_{i\delta }\right|\left(1\le i\le r\right)$ 。设 $\gamma$ 是将 $A_i$ 映射到 $B_i\left(1\le i\le r\right)$ 的置换。设：

$\eta =\left(\begin{array}{cccccccccc}{b}_1& b_2& \cdots & b_{i-1}& b_i& b_{i+1}& \cdots & b_{r-1}& b_r& X_n\backslash \text{im}\left(\beta \right)\\ a_1& a_2& \cdots & a_{i-1}& a_i& a_{i+1}& \cdots & a_{r-1}& a_r& X_n\backslash \text{im}\left(\alpha \right)\end{array}\right)$ ，

则 $\alpha =\gamma \beta \eta$ ，因此 $\alpha ~\beta$ 。

反之，若 $\alpha ~\beta$ ，则存在 $\gamma ,\eta \in S_n$ ，使得 $\alpha =\gamma \beta \eta$ 。显然 $\gamma \beta \in J_r$ 且 $X_n/\text{ker}\left(\gamma \beta \right)=\left\{B_1{\gamma }^{-1},B_2{\gamma }^{-1},\cdots ,B_r{\gamma }^{-1}\right\}$ 。由 $\gamma$ 是置换可得， $\left|B_i{\gamma }^{-1}\right|=\left|B_t\right|\left(1\le i\le r\right)$ ，从而 $\text{part}\left(\beta \right)=\text{part}\left(\gamma \beta \right)$ 。任意取 $\left(x,y\right)\in \text{ker}\left(\alpha \right)$ ，则 $x\alpha =y\alpha$ ，于是 $x\gamma \beta =x\alpha {\eta }^{-1}=y\alpha {\eta }^{-1}=y\gamma \beta$ 。从而 $\text{ker}\left(\alpha \right)\subseteq \text{ker}\left(\gamma \beta \right)$ 。同理可得， $\text{ker}\left(\alpha \right)\supseteq \text{ker}\left(\gamma \beta \right)$ 。因此， $\text{ker}\left(\alpha \right)=\text{ker}\left(\gamma \beta \right)$ ，进而 $\text{part}\left(\alpha \right)=\text{part}\left(\gamma \beta \right)=\text{part}\left(\beta \right)$ 。

对任意的变换 $\beta \in J_r$ ，记： $\left[\beta \right]=\left\{\beta \in J_r:\beta ~\alpha \right\}$ ， ${\Gamma }_{n,r}=\left\{\left[\alpha \right]:\alpha \in J_r\right\}$ ，其中 $\left[\alpha \right]=\underset{\delta \in S_n}{\cup }\delta R_{\alpha }$ 。则 ${\Gamma }_{n,r}$ 是~在 $J_r$ 上面所确定的一个分类，并且 $\left[\alpha \right]$ 是 $\alpha$ 变换所存在的一个等价的类，有 $J_r=\underset{\alpha \in J_r}{\cup }\left[\alpha \right]$ 。

引理4 [11] 设 $\alpha ,\beta \in P_n$ ，则 $\left|\text{im}\left(\alpha \beta \right)\right|\le \left\{\left|\text{im}\left(\alpha \right)\right|,\left|\text{im}\left(\beta \right)\right|\right\}$ 。

引理5 设I是部分变换半群 $P_n$ 的非空子集，则I是部分变换半群 $P_n$ 的理想当且仅当 $r\in \left\{0,1,2,\cdots ,n\right\}$ 使得 $I=P\left(n,r\right)$ 。

证明：若存在 $r\in \left\{0,1,2,\cdots ,n\right\}$ 使得 $I=P\left(n,r\right)$ 。对任意的 $\alpha \in I$ ，对任意的 $\beta ,\gamma \in P_n$ ，由引理4可知 $\left|\text{im}\left(\beta \alpha \gamma \right)\right|\le \left\{\left|\text{im}\left(\beta \right)\right|,\left|\text{im}\left(\alpha \right)\right|,\left|\text{im}\left(\gamma \right)\right|\right\}\le \left|\text{im}\left(\alpha \right)\right|\le r$ ，即 $\beta \alpha \gamma \in I=P\left(n,r\right)$ ，由此可见 $I=P\left(n,r\right)$ 是 $P_n$ 的理想。

反之，设I是部分变换半群 $P_n$ 的理想，记 $r=\text{max}\left\{\left|\text{im}\left(\alpha \right)\right|:\alpha \in I\right\}$ ，则 $I\cap \left(\underset{s=r+1}{\overset{n}{\cup }}{J}_s\right)=\varnothing$ ，即 $I\subseteq \left(\underset{s=0}{\overset{r}{\cup }}{J}_s\right)=P\left(n,r\right)$ 。

若 $r=n$ ，那么 $I\cap S_n\ne \varnothing$ ，则存在 $\alpha \in I\cap S_n$ 使得 ${\alpha }^{n!}={\epsilon }_{X_n}\in I\cap S_n$ 。对任意 $\alpha \in P_n$ ， $\alpha ={\epsilon }_{X_n}\alpha \in I$ 且 $\alpha =\alpha {\epsilon }_{X_n}\in I$ ，则 $P_n\subseteq I$ 。由I是部分变换半群 $P_n$ 的非空子集可知 $I\subseteq P_n$ 。易见 $I=P_n$ 。

若 $0\le r\le n-1$ ，则 $I\cap J_r\ne \varnothing$ ，即存在 $\alpha \in I\cap J_r$ 。对任意的 $\beta \in J_{\alpha }=J_r$ ，由格林J关系的定义可知，存在 $\sigma ,\tau \in P_n$ ，使得 $\beta =\sigma \alpha \tau$ 。由I是部分变换半群 $P_n$ 的理想可知 $\beta \in I$ ，即 $J_{\alpha }=J_r\subseteq I$ ，由引理2可知 $P\left(n,r\right)=\underset{s=0}{\overset{r}{\cup }}{J}_s=\langle E\left(J_r\right)\rangle \subseteq I$ 。综上可知 $I=P\left(n,r\right)$ 。

引理6 设S是正则半群，则I是半群S的理想，则I是半群S的正则子半群。

证明：由I是半群S的理想可得I是半群S的子半群。对任意的 $a\in I\subseteq S$ ，由S的正则性可知存在 $b\in S$ 使得 $a=aba$ 。再由I是半群S的理想可知 $bab\in SIS\subseteq I$ 。易见 $a\left(aba\right)a=\left(aba\right)ba=aba=a$ ，即a是理想I中的正则元，由a的任意性可知I是半群S的正则子半群。

命题1 设 $0\le r\le n-1$ ，则 $P_{n,r}=P\left(n,r\right)\cup S_n$ 是部分变换半群 $P_n$ 的正则子半群。

证明：对任意的 $\alpha ,\beta \in P_{n,r}$ ，若 $\alpha ,\beta \in S_n$ ，则 $\alpha \beta \in S_n$ ；若 $\alpha ,\beta \in P\left(n,r\right)$ 或 $\alpha \in S_n$ ， $\beta \in P\left(n,r\right)$ 或 $\alpha \in P_{n,r},\beta \in S_n$ ，由引理4可知 $\alpha \beta \in P\left(n,r\right)$ ，即 $P_{n,r}$ 是部分变换半群 $P_n$ 的子半群。再由引理5及引理6可知 $P_{n,r}$ 是部分变换半群 $P_n$ 的正则子半群。并且由于对于 $S_n$ 而言，它不仅是部分变换半群 $P_n$ 的子半群而且它还是部分变换半群 $P_n$ 的子群，则 $P_{n,r}=P\left(n,r\right)\cup S_n$ 是部分变换半群 $P_n$ 的正则子半群。

类似引理5的证明可得如下命题：

命题2 设I是半群 $P_{n,r}$ 的非空子集，则I是半群 $P_{n,r}$ 的理想当且仅当存在 $s\in \left\{0,1,2,\cdots ,r-1,r\right\}$ 使得 $I=P\left(n,s\right)$ 或 $I=P_{n,r}$ 。

引理7 设 $0\le r\le n-1$ ，S是 $P_{n,r}$ 的子半群，若 $S_n\subseteq S$ 且对任意的 $\alpha \in J_r$ ， $S\cap \left[\alpha \right]\ne \varnothing$ ，则 $S=P_{n,r}$ 。

证明：注意到 $J_r=\underset{\alpha \in J_r}{\cup }\left[\alpha \right]$ 。则存在 $\delta \in S\cap \left[\alpha \right]$ 以及 $\sigma \in \left[\alpha \right]$ ，则 $\delta ~\sigma$ ，这有 $\lambda ,\mu \in S_n$ ，于是 $\sigma =\lambda \delta \mu$ ，满足有 $\sigma \in \langle S_n,\delta \rangle \subseteq S$ 。通过 $\sigma$ 变换本身的任意性就可以有， $J_r=\underset{\alpha \in J_r}{\cup }\left[\alpha \right]\subseteq S$ 。于是由引理2可得 $P\left(n,r\right)=\langle E\left(J_r\right)\rangle =\langle J_r\rangle \subseteq S$ ，从而由 $S_n\subseteq S$ 可得 $S=P\left(n,r\right)\cup S_n=P_{n,r}$ 。

引理8 设 $0\le r\le n-1$ ，则 $N=P_{n,r}\backslash \left[\alpha \right]\left(\alpha \in J_r\right)$ 是 $P_{n,r}$ 的极大子半群。

证明：第一步：证明N是半群 $P_{n,r}$ 的子半群。

注意到 $J_r=\underset{\alpha \in J_r}{\cup }\left[\alpha \right]$ 且 $P_{n,r}\backslash \left[\alpha \right]=S_n\cup P\left(n,r-1\right)\cup \left(J_r\backslash \left[\alpha \right]\right)$ ，显然存在 $\gamma \in P_{n,r}\backslash \left[\alpha \right]$ 。任意取

$\delta ,\sigma \in P_{n,r}\backslash \left[\alpha \right]$ ，若 $\delta ,\sigma \in \left[\alpha \right]$ ，则 $\delta ,\sigma \in J_r$ 且 $\delta \sigma ~\alpha$ 。于是存在 $\lambda ,\mu \in S_n$ ，使得 $\delta \sigma =\lambda \alpha \mu \in J_r$ 。由 $\delta ,\sigma ,\delta \sigma \in J_r$ 可得 $\text{ker}\left(\delta \sigma \right)=\text{ker}\left(\delta \right)$ ，从而 $\text{part}\left(\delta \sigma \right)=\text{part}\left(\delta \right)$ ，显然 $\lambda \alpha \mu ~\alpha$ 。由引理3可得， $\text{part}\left(\lambda \alpha \mu \right)=\text{part}\left(\alpha \right)$ 。于是 $\text{part}\left(\delta \right)=\text{part}\left(\delta \sigma \right)=\text{part}\left(\lambda \alpha \mu \right)=\text{part}\left(\alpha \right)$ ，从而由引理3可得 $\delta ~\alpha$ ，与 $\delta \in P_{n,r}\backslash \left[\alpha \right]$ 矛盾。因此， $P_{n,r}\backslash \left[\alpha \right]$ 是 $P_{n,r}$ 的子半群。

第二步：证明N是半群 $P_{n,r}$ 的极大子半群。

假设T是 $P_{n,r}$ 的子半群且 $\left[P_{n,r}\backslash \left[\alpha \right]\right]\subset T$ ，则 $S_n\subseteq T$ 且 $T\cap \left[\alpha \right]\ne \varnothing$ ，由引理7可得 $S=P_{n,r}$ 。因此， $P_{n,r}\backslash \left[\alpha \right]$ 是 $P_{n,r}$ 的极大子半群。

引理9 设 $0\le r\le n-1$ 且G是群 $S_n$ 的极大子群，则 $M=P\left(n,r\right)\cup G$ 是 $P_{n,r}$ 的极大子半群。

证明：第一步：证明M是半群 $P_{n,r}$ 的子半群。

假设对于任意的 $\alpha ,\beta \in M$ ，如果有 $\alpha ,\beta \in G$ ，可得 $\alpha \beta \in G$ ；如果有 $\alpha ,\beta \in P\left(n,r\right)$ ，可得 $\alpha \beta \in P\left(n,r\right)$ ；如果有 $\alpha \in G$ ， $\beta \in P\left(n,r\right)$ ，可得 $\alpha \beta \in J_{\beta }\subseteq P\left(n,r\right)$ ；如果有 $\alpha \in P\left(n,r\right)$ ， $\beta \in G$ ，可得 $\alpha \beta \in J_{\alpha }\subseteq P\left(n,r\right)$ ，即M是 $P_{n,r}$ 的子半群。

第二步：证明M是半群 $P_{n,r}$ 的极大子半群。

若存在半群 $P_{n,r}$ 的子半群T使得 $M=P\left(n,r\right)\cup G\subseteq T\subseteq P_{n,r}$ 。

如果 $T=M=P\left(n,r\right)\cup G$ ，对任意的 $\gamma \in P_{n,r}\backslash T$ ，则 $\gamma \in S_n\backslash G$ 。由G是群 $S_n$ 的极大子群可知 $\langle G\cup \left\{\gamma \right\}=S_n\rangle$ ，易见，对任意的 $\gamma \in P_{n,r}\backslash T$ 有 $\langle T\cup \left\{\gamma \right\}\rangle =P_{n,r}$ ，即 $M=P\left(n,r\right)\cup G$ 是半群 $P_{n,r}$ 的极大子半群。

若 $M=P\left(n,r\right)\cup G\subset T\subseteq P_{n,r}$ ，则 $T\cap \left(S_n\backslash G\right)\ne \varnothing$ ，一定存在 $\tau \in T\cap \left(S_n\backslash G\right)$ 。再由G是群 $S_n$ 的极大子群可知 $\langle G\cup \left\{\tau \right\}\rangle =S_n$ ，即 $S_n\subseteq T$ 。注意到 $P\left(n,r\right)\subseteq T$ ，可得 $P_{n,r}\subseteq T$ 。结合 $T\subseteq P_{n,r}$ 可知 $T=P_{n,r}$ 矛盾。综上可得， $M=P\left(n,r\right)\cup G$ 是 $P_{n,r}$ 的极大子半群。

定理1 的证明：由引理8可知对于 $N=P_{n,r}\backslash \left[\alpha \right]\left(\alpha \in J_r\right)$ 而言，它是 $P_{n,r}$ 的极大子半群；而且还可通过引理9可以知道的是 $M=P\left(n,r\right)\cup G$ 是半群 $P_{n,r}$ 的极大子半群。反过来，可假设S是 $P_{n,r}$ 的极大子半群，于是 $S_n\cap S\ne \varnothing$ (否则， $S_n\cap S=\varnothing$ 必有 $S\subseteq P\left(n,r\right)\subset P_{n,r}\cup {\epsilon }_{X_n}\subset P_{n,r}$ 。考虑极大子半群的定义可得，半群S不是半群 $P_{n,r}$ 的极大子半群，这就会与S是半群 $P_{n,r}$ 的极大子半群产生矛盾，于是 $S_n\cap S\ne \varnothing$ )。

i) 若 $S_n\subseteq S$ ，则有引理7及S的极大性可得，变换 $\alpha \in J_r$ ，有 $S\cap \left[\alpha \right]=\varnothing$ ，则 $S\subseteq S_n\cup \left(P\left(n,r\right)\backslash \left[\alpha \right]\right)=P_{n,r}\backslash \left[\alpha \right]=N$ ，所以再通过S的极大性得到了 $S=N=P_{n,r}\backslash \left[\alpha \right]$ 。

ii) 若 $S_n\cap S\subset S_n$ ，令 $G=S_n\cap S$ ，则G是半群 $S_n$ 的子半群。假设存在 $S_n$ 的子半群 $G^{\text{*}}$ ，使得 $G\subset G^{*}$ 。可以假设 $S^{*}=P\left(n,r\right)\cup G^{*}$ ，有 $S^{*}$ 是变换半群 $P_{n,r}$ 的子半群并且还有 $S\subset S^{*}$ ，因此可以通过S的极大性可以知道 $S^{\text{*}}=P_{n,r}$ ，所以 $G^{\text{*}}=S_n$ 。 因此，G是群 $S_n$ 的极大子半群。注意到 $S\subseteq P\left(n,r\right)\cup G=M\subset P_{n,r}$ ，再由引理9及S的极大性可得 $S=M=P\left(n,r\right)\cup G$ 。

引理10 设 $0\le r\le n-1$ 且G是群 $S_n$ 的极大子群，则 $M=P\left(n,r\right)\cup G$ 是 $P_{n,r}$ 的正则子半群。

证明：注意到 $P_{n,n-1}=P_n=S{P}_n\cup S_n=S_n\cup P\left(n,n-2\right)\cup J_{n-1}$ 。由引理5和引理6可知 $P\left(n,r\right)$ 是 $P_{n,r}$ 的正则子半群。因为G是群 $S_n$ 的子群，所以有G是 $P_{n,r}$ 的正则子半群。由此可见 $M=P\left(n,r\right)\cup G$ 是 $P_{n,r}$ 的正则子半群。

引理11 设 $0\le r\le n-1$ ，则 $N=P_{n,r}\backslash \left[\alpha \right]\left(\alpha \in J_r\right)$ 是 $P_{n,r}$ 的正则子半群。

证明：易知有 $P_{n,r}\backslash \left[\alpha \right]=S_n\cup P\left(n,r-1\right)\cup \left(J_r\backslash \left[\alpha \right]\right)$ ，所以 $S_n$ 是正则半群。通过引理6可得到， $P\left(n,r-1\right)$ 是正则半群。如果 $J_r\backslash \left[\alpha \right]\ne \varnothing$ ，对于 $\gamma \in J_r\backslash \left[\alpha \right]$ ，则 $\left|\text{im}\left(\alpha \right)\right|=r$ 。令

$\gamma =\left(\begin{array}{cccccccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_{i-1}& A_i& A_{i+1}& \cdots & A_r\\ a_1& a_2& \cdots & a_{i-1}& a_i& a_{i+1}& \cdots & a_r\end{array}\right)$ ，

其中 $a_1<a_2<\cdots <a_r$ 。令

$\delta =\left(\begin{array}{cccccccc}{B}_1& B_2& \cdots & B_{i-1}& B_i& B_{i+1}& \cdots & B_r\\ \max A_1& \max A_2& \cdots & \max A_{i-1}& \max A_i& \max A_{i+1}& \cdots & \max A_r\end{array}\right)$ ，

当中有 $a_i\in B_i$ 以及 $\left|A_i\right|=\left|B_i\right|\left(1\le i\le r\right)$ ，则必有 $\gamma =\gamma \delta \gamma$ 以及 $\text{part}\left(\gamma \right)=\text{part}\left(\delta \right)$ ，通过引理2可以知道有 $\delta ~\gamma$ ，则 $\delta \in P_{n,r}\backslash \left[\gamma \right]$ 。由 $\delta =\gamma \delta \gamma$ 可以知道，变换 $\gamma$ 是正则的变换半群。于是由 $\gamma$ 的任意性可以有，半群 $P_{n,r}\backslash \left[\alpha \right]$ 是正则半群。由引理2，引理5及引理6易知半群 $P_{n,r}$ 是正则半群。接下来讨论半群 $P_{n,r}$ 的极大正则半群。

定理2 设 $0\le r\le n-1$ ，则半群 $P_{n,r}$ 的极大子半群和极大正则子半群的结构是相同的。

证明：由引理10及引理11可得M和N都是 $P_{n,r}$ 的正则子半群，所有说这就能类似于定理1的证明可以知道，半群 $P_{n,r}$ 的极大子半群都是正则半群。则一定有半群 $P_{n,r}$ 的极大正则子半群必定是包含在某一个极大子半群当中。因此，半群 $P_{n,r}$ 的极大子半群和极大正则子半群是一致的即结构相同。

3. 总结及展望

本文针对极大子半群、极大正则子半群的定义以及半群 $P_{n,r}=P\left(n,r\right)\cup S_n$ 的内部结构特点与性质，完整的解决了 $0\le r\le n-1$ 时半群 $P_{n,r}=P\left(n,r\right)\cup S_n$ 的极大(正则)子半群。进一步，获得了半群 $P_{n,r}$ 的极大子半群和极大正则子半群是一致的。本文的研究方法对于其他此结构类型的半群具有一定的借鉴意义。

本文研究的是半群 $P_{n,r}=P\left(n,r\right)\cup S_n$ 的极大(正则)子半群，对于当 $0\le r\le n-2$ 时半群 $S{P}_{n,r}=V\left(n,r\right)\cup S_n$ 的这种结构还待完善，这也是文章中存在的不足之处，因此，在今后的研究中将会对这种情形进行讨论，将半群 $S{P}_{n,r}=V\left(n,r\right)\cup S_n$ 的极大子半群的研究推广与完善。

基金项目

贵州师范大学学术新苗基金项目(黔师新苗[2021] B08号)；国家自然科学基金(11861022)。

NOTES

^*通讯作者。