一类特殊的p-模Frobenius群

A Special Class of p-Module Frobenius Groups

摘要: 有限群论中著名的Frobenius定理揭示了Frobenius群的内部结构，Frobenius群在有限群及群表示论的研究领域中都起着非常重要的作用。设p为某素数，1996年，Kuisch和Waall类比一般的Frobenius群结构，给出了p-模Frobenius群的定义。本文概述了p-模Frobenius群的常用性质，刻画了一类特殊的p-模Frobenius群的结构。

Abstract: The famous Frobenius theorem gave the internal structures of Frobenius groups. Frobenius groups have played a very important role in the research field of finite group and group representation theory. Let p be a prime number, in 1996, Kuisch and Waall gave the definition of p-module Fro-benius groups by analogy with Frobenius groups. In this note, several well-known properties and theorems of p-module Frobenius groups are introduced. A special class of p-module Frobenius groups are characterized.

1. 引言

本文的符号G均指有限群，p总代表一个素数。用符号 $IBr\left(G\right)$ 和 $IB{r}_1\left(G\right)$ 分别表示群G的不可约p-Brauer特征标和非线性不可约p-Brauer特征标组成的集合。其他符号均是标准的，可以参考文献 [1] [2] 。

Frobenius群在有限群理论的发展中有着非常重要的作用，关于Frobenius群及其推广的研究一直以来都是众多学者关注的热点问题。我们知道，以子群N为核的Frobenius群G有下列两条典型的性质：

1) 对任意的 $1\ne x\in N$ ，均有 $C_G\left(x\right)\le N$ ；

2) 对于任意的 $\chi \in Irr\left(G\right)$ 且 $N\not\subset \ker \chi$ ，均存在 $\theta \in Irr\left(N\right)$ ，使得 $\chi ={\theta }^G$ 。

1996年，Kuisch和Waall [3] 根据Frobenius群的特征标刻画条件，引进了p-模Frobenius群的定义，其中p是素数，定义如下：

定义0.1 [3] 设N是群G的非平凡的正规子群， $K\left[N\right]$ 的分裂域K的特征为素数p。如果群G满足下列条件之一，则称G是以正规子群N为核的p-模Frobenius群。

1) 元素x在G中的中心化子是N的子群，也即成立 $C_G\left(x\right)\le N$ ，其中x属于N，且是非平凡p-正则元。

2) 设V是不可约非平凡的 $K\left[N\right]$ -模，V诱导到G上是不可约的。

范娟娟，杜妮，曾吉文 [4] [5] 等人在2011年利用模特征标给出了p-模Frobenius群的另一等价定义：

定义0.2 [4] 设p是某素数，非平凡子群 $N⊲G$ 。如果对任意的非平凡p-Brauer特征标 $\theta \in IBr\left(N\right)$ ，均成立 ${\theta }^G\in IBr\left(G\right)$ ，则称G是以正规子群N为核的p-模Frobenius群。

迄今为止，关于p-模Frobenius群的研究并不多，近年来，曹慧芹、曾吉文 [6] 构造了模Frobenius群的Frobenius补的结构，进一步刻画了一类特殊的模Frobenius群。本文继续研究模Frobenius群的结构。首先概述了p-模Frobenius群的常用结论，然后考察了以 $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 为核的p-模Frobenius群G的性质和结构，得到了本文的主要结论，即下文的定理2.2和定理2.3。

2. p-模Frobenius群的性质描述

为后续研究需要，也为了更多了解关于模Frobenius群的性质和结构，下文概述一些模Frobenius群的常用性质，下述结论来自文献 [3] [4] [5] 。

引理1.1 [3] 设G是p-模Frobenius群，其中非平凡子群 $N⊲G$ ，且N是p-模Frobenius核。则要么子群N可解，要么N非可解，且当N非可解时，有下述结论成立：G是2-模Frobenius群，如果设k为某

正整数，则N的任一非循环合成因子和 $PSL\left(2,3^{2^k}\right)$ 同构。

引理1.2 [3] 设G是2-模Frobenius群，其中非平凡正规子群N是2-模Frobenius核，若N是非可解子群，则 $G/N$ 是一个2-群。

引理1.3 [4] 设G是p-模Frobenius群，其中非平凡正规子群N是p-模Frobenius核，则结论

$Z\left(G\right)<N\le G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 成立，并且中心且 $Z\left(G\right)$ 是p-群。

引理1.4 [4] 设G是p-模Frobenius群，其中非平凡正规子群N是p-模Frobenius核，则成立

$\left(\left|N\right|,\left|G/N\right|\right)=p^n$ ，其中n为自然数。

我们知道，如果G是以N为核的Frobenius群，则 $G/N$ 的Sylow 2-子群是循环群或者广义四元数群。 $G/N$ 的Sylow p-子群 $\left(p\ne 2\right)$ 均循环。对于p-模Frobenius群的广义补的Sylow子群，有下列性质。

引理1.5 [3] 设G是以N为核的p-模Frobenius群，其中N不是p-群。则

1) 当 $\left(q,2p\right)=1$ 时， $G/N$ 的Sylow q-子群是循环群。

2) 当p为奇素数时， $G/N$ 的Sylow 2-子群是循环群或者广义四元数群。

此外，如果设r为素数，则任何一个非平凡的r-群均可以同构与某个商群 $X/Y$ ，其中X是以Y为核的r-模Frobenius群。

近来，曹慧芹、曾吉文 [6] 分析了模Frobenius群的内部群结构性质，结论如下。

引理1.6设G是有限群，H是G的真子群，p-群P是H的正规子群。如果对任意的 $g\in G-H$ ，均成立 $H\cap H^g\le P$ 。并且子群H满足 ${\left|H\right|}_{p^{\prime }}\ne {\left|G\right|}_{p^{\prime }}$ ，则

1) $N=G-\left({\displaystyle \underset{x\in G}{\cup }{\left(H-P\right)}^x}\right)$ 是G的正规子群。

2) G是以N为核的p-模Frobenius群，且 $H/P\cong G/N$ 。

注：由于上述引理中 $H/P\cong G/N$ ，因此 $H/P$ 可类比Frobenius群补的结构，作者在文献 [6] 把满足引理1.6条件的p-模Frobenius群G称为强p-模Frobenius群，且称 $H/P$ 为强p-模Frobenius群G的广义模Frobenius补。

类比Frobenius群的置换群定义刻画。文献 [7] 中也利用群作用的观点刻画了上述引理中的强p-模Frobenius群。结论如下。

引理1.7有限群G是强p-模Frobenius群当且仅当G传递作用在集合 $\Omega =\left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ 上，其中 $\left|\Omega \right|$ 不是p-数。且对于集合 $\Omega$ 中的点k，如果设P是稳定子群 $G_k$ 的非平凡正规p-子群，则 $G_k$ 中只有子群P的元素可以至少固定 $\Omega$ 中两个点。

3. 一类特殊的p-模Frobenius群的刻画

引理2.1 [8] 设有限群G存在非线性不可约p-Brauer特征标，且G的任意非线性不可约p-Brauer特征

标均为实值Brauer特征标。记 $N=G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ ， $H/N\in Sylo{w}_2\left(G/N\right)$ ，则下列陈述成立。

a) 设 $\theta \in IBr\left(H\right)$ ，则 ${\theta }^G\in IBr\left(G\right)$ 或者存在 $\phi \in IBr\left(G\right)$ ，使得 ${\phi }_H=\theta$ 。特别地，如果 $N\not\subset \ker \theta$ ，则 ${\theta }^G\in IBr\left(G\right)$ 。

b) H的任意非线性不可约p-Brauer特征标均为实值以及成立 $\left(\left|H\right|,\left|G/H\right|\right)=1$ 。

c) $\left(\left|N\right|,\left|G/N\right|\right)=2^k$ ，其中k是自然数。

定理2.2设有限群G存在非线性不可约p-Brauer特征标，且G的任意非线性不可约p-Brauer特征标

均为实值Brauer特征标。如果 $\left|G/G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)\right|$ 是奇数，则下列陈述成立：

a) G是可解群且G是以 $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 为核的p-模Frobenius群。

b) $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 是G的正规Hall-子群以及 $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 循环。

证明由于 $\left|G/G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)\right|$ 是奇数，于是子群 $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 就是上述引理2.1中的子群H。任取 $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 的非主不可约p-Brauer特征标 $\theta$ ，由于 $\theta$ 是非主Brauer特征标，因此 $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)\not\subset \ker \theta$ 。于是根据上述定理的结论(a)可以得到 ${\theta }^G\in IBr\left(G\right)$ 。再利用p-模Frobenius群的定义(2)，立即得证G是以 $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 为核的p-模Frobenius群。

由于 $G/G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 可换，往证G可解，只需证明 $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 可解。根据引理1.1， $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 作为p-模Frobenius核，当素数p是奇数时， $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 是可解群。下面假设 $p=2$ 以及 $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 不可解。由于G是以 $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 为核的p-模Frobenius群，利用引理1.1和引理1.4可以得到，此时 $G/G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 一定是2-群，这与我们的已知条件 $\left|G/G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)\right|$ 是奇数矛盾。故得证 $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 是可解群，进而G是可解群。综上本定理的结论(a)得证。

此外，由于 $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 作为p-模Frobenius核，显然 $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 不能是p-群。于是结合 $\left|G/G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)\right|$ 是奇数，利用引理1.5得到，可换群 $G/G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 的任意Sylow-子群均是循环群，从而得证 $G/G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 循环。根据引理1.4的结论，得到 $\left(\left|G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)\right|,\left|G/G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)\right|\right)=2^k$ ，其中k是自然数。注意到 $\left|G/G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)\right|$ 是奇数，因此 $\left(\left|G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)\right|,\left|G/G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)\right|\right)=1$ ，得证 $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 是G的正规Hall-子群。综上，本定理结论(b)得证。

定理2.3设G是以 $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 为核的p-模Frobenius群，则下述结论等价。

a) G的任意非线性不可约p-Brauer特征标均为实值Brauer特征标。

b) $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 中的p-正则元素均为G的实元素。

c) 任取 $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 的不可约p-Brauer特征标 $\theta$ ， $\theta$ 和其共轭特征标 $\bar{\theta }$ 是G-共轭的。

证明首先证明(a)和(b)等价。设结论(a)成立，任取 $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 中的p-正则元素x，往证 $\psi \left(x\right)\in ℝ$ ，其中 $\psi$ 是群G的任意不可约p-Brauer特征标。

如果 $\psi$ 是线性p-Brauer特征标，由于

$G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)={\displaystyle \underset{\psi \in LBr\left(G\right)}{\cap }\ker \psi }$ ,

因此 $x\in \ker \psi ,\forall \psi \in LBr\left(G\right)$ ，这意味着 $\psi \left(x\right)=\psi \left(1\right)=1\in ℝ$ 。如果 $\psi \in IB{r}_1\left(G\right)$ ，由于条件(a)， $\psi$ 是实值Brauer特征标，于是显然 $\psi \left(x\right)\in ℝ$ 。故定理结论(b)得证。

设结论(b)成立，任取 $\psi \in IB{r}_1\left(G\right)$ ，往证 $\psi$ 是实值Brauer特征标。只需要证明：任取G的p-正则元素x，均成立 $\psi \left(x\right)\in ℝ$ 即可。如果 $x\in G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ ，由于条件(b)可以知道x是群G的实元素，因此 $\psi \left(x\right)\in ℝ$ 自然成立。

如果 $x\in G-G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 。注意到 $\psi \in IB{r}_1\left(G\right)$ ，结合 $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)\not\subset \ker \psi$ ，以及G是以 $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 为核的p-模Frobenius群，因此存在 $\theta \in G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ ，使得 ${\theta }^G=\psi$ 。于是成立：

$\psi \left(x\right)={\theta }^G\left(x\right)={\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }\stackrel{\dot{}}{\theta }\left(gx{g}^{-1}\right)}$ ,

由于 $gx{g}^{-1}\notin G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right),\forall g\in G$ ，所以 $\stackrel{\dot{}}{\theta }\left(gx{g}^{-1}\right)=0$ 。因此 $\psi \left(x\right)=0\in ℝ$ 。故定理结论(a)成立。

其次证明(a)和(c)等价。设结论(a)成立。我们知道， $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 的主p-Brauer特征标显然是实值特征标，因此一定是G-共轭的。下面任取 $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 的非主不可约p-Brauer特征标 $\theta$ 。注意到G是以 $G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ 为核的p-模Frobenius群，因此 ${\theta }^G\in IBr\left(G\right)$ 。由于 ${\theta }^G\left(1\right)=\theta \left(1\right)\left|G/G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)\right|>1$ ，所以根据条件(a)得到 ${\theta }^G$ 是实值不可约p-Brauer特征标。于是 ${\theta }^G=\overline{{\theta }^G}={\bar{\theta }}^G$ ，这即意味着 $\theta$ 和 $\bar{\theta }$ 是G-共轭的，从而结论(c)得证。

设结论(c)成立。任取 $\psi \in IB{r}_1\left(G\right)$ ，由于引理2.1结论(a)知道，一定存在 $\theta \in G^{\prime }{O}^{p^{\prime }}\left(G\right)$ ，使得 ${\theta }^G=\psi$ 。根据条件(c)，可以设 ${\theta }^g=\bar{\theta }$ ，其中 $g\in G$ 。于是

$\psi ={\theta }^G={\left({\theta }^g\right)}^G={\bar{\theta }}^G=\overline{{\theta }^G}=\bar{\psi }$ ,

这意味着 $\psi$ 是实值不可约p-Brauer特征标。根据 $\psi$ 的任意性，得证结论(a)成立。

综上，本定理证明完毕。

4. 结语

Frobenius群在有限群论的发展中起着非常重要的作用，Frobenius群的推广形式也是众多学者研究关注的热点问题。本文研究了Frobenius群在特征为素数的域中的推广形式，即p-模Frobenius群的性质和结构。特别地，我们利用Brauer特征标的理论知识刻画了一类特殊的p-模Frobenius群的结构，这对后续研究p-模Frobenius的一般群结构或者特征标结构均提供了良好的基础。

基金项目

国家自然科学基金项目(12201553)；云南民族大学教学研究项目(2022JG-032)；云南省兴滇英才青年专项；云南民族大学教育教学改革研究委托项目(2002JYJXGGWT-01)。

NOTES

^*通讯作者。