1. 概述
欧拉函数在数论中有着及其广泛的应用。Euler函数作为初等数论体系中比较重要的一类函数,定义一般为:不大于n且同n互素的所有正整数的个数。研究数论最基本的工具,则是数论函数,因而进一步加强对数论函数的研究有着特别的意义。
不定方程又称丢番图方程,而有关不定方程解的研究,在数论中也有着非常重要的意义,引起许多学者对此问题的关注,同时取得了一定的研究成果与坚实基础。具体应用到一次不定方程来说,一般形式为
,其中a、b、c往往也都是个整数,而要求的解
也是整数。这仍是探讨初等数论中一门重要的新课题,虽然早就有了系统、完整可行的数学解法,但对于不同数值的方程的求解计算的量会随着系数增大而日趋复杂。要提醒注意的事情是,c只能是a、b的最大公约数的整数倍。
随着人们对数论函数研究的逐渐深入,发现看起来十分简单的数论函数,但方程的解与解的个数却均无规律可循,若对其进行直接的研究显得较为复杂,因此对其所对应的方程可用类似方法求解。
2. 引言
n是一正整数,令
为一个Euler函数。Euler函数
是初等数论中所包含的一类非常重要的函数,有关其方程解的研究方法也是数论研究中一个及其重要的理论部分,对欧拉函数的不断研究,在此也得到了许多的结论,如文献 [1] - [7] 。
形如
(1)
这样的研究。文献 [8] 讨论出方程(1)式中当k为素数时的情形,给出得到了在此
方程(1)解中的部分解;文献 [9] 给出得到此方程
中的全部解;文献 [10] 管春梅得到了在当
时,此方程式的全部解;文献 [11] 鲁伟阳给出了
时,该方程的全部解;文献 [12] 仅有作者姜友谊获得了包含方程
的几乎所有的近似解。
对于形如
(2)
的Euler函数
的非线性方程,在文献 [13] 探究了当
时方程(2)的全部解。本文给出了
的Euler函数
非线性方程
(3)
的整数解。
3. 性质
性质1 若
,则
无整数解。
性质2 若
,则
必有整数解。
性质3 若
,则
必有整数解。
性质4 若
,且
有一组整数解
。
4. 相关引理
引理1 [14] :对任意的正整数m与n,
。
引理2 [14] 当
时,
,当
时,
必为偶数。
引理3 [12] p为素数,
的解x为:1) 当
时,
2) 当
时,
引理4 [12] 若
,则
若
,则
若
,则
若
,则
若
,则
若
,则
引理5 [14] 1) 当
时,有
,当
时,
为偶数。
2) 当
时,
为素数
有两个解
;
不为素数,
无整数解。
引理6 [12] 若
,则
;
若
,则
。
引理7 [14] 对任意正整数m与n,若
则
。
5. 定理及其证明
定理1:方程
有正整数解。
共45组。
证明:设
,则
,其中
,由方程
得
,则
。
情形1
当
,有
,由
得
。
当
时,
有
根据求因式中与反因式中的所有关系,建立关系式,从而得到
。
因为
中至少有一个大于1的正奇数且与引理2矛盾,因此方程无解,所以
。
当
时,
,此时
;
,则
。
当
时,
此时
则
。
当
,
有
从而得到
而当
时,方程无解。
当
,
此时
,
则
。
当
,有
,由
得
。
当
时,
,即有
,从而有
,而当
时,此方程无解。
当
时,
,即有
,从而有
。
当
时,有
,
,则有
,同上解。
当
时,
,
,从而有
。
当
时,有
,
,则有
,
从而有
。
情形3
当
时,
,由
,得出
。
当
时,
,由
,从而有
,而当
时,该方程无解。
当
时,
,同上解。
当
时,
,由
通过计算不存在
使之成立,因此方程无解。
当
时,
,由
通过计算不存在
使之成立,因此方程无解。
当
时,
,由
通过计算不存在
使之成立,因此方程无解。
当
,有
由
可得
。
当
时,有
,
,从而有
。
当
时,有
,则
,
从而有
。
当
时有
即
通过计算不存在
使之成立,因此方程无解。
当
时有
即
通过计算不存在
使之成立,因此方程无解。
当
时有
即
通过计算不存在
使之成立,因此方程无解。
当
时有
即
通过计算不存在
使之成立,因此方程无解。
当
时
由
可得
。
当
时有
,即有
。
当
时有
,即有
。
当
时有
,即有
。
当
时有
,即有
。
当
时有
,即有
。
当
时有
,即有
。
经计算可得当
时,对于方程
,不存在
使之成立,故方程无解。
当
时
由
可得
。
当
时有
,即有
。
当
时有
,即有
。
当
时有
,即有
。
当
时有
,即有
。
当
时有
,即有
。
当
时有
,即有
。
当
时有
,即有
。
经计算可得当
时,对于方程
,不存在
使之成立,故方程无解。
6. 总结
通过证明得到关于
的全部45组解,在c的因子有较多的情况下,需要讨
论的情形较多,浪费一定的人力物力,存在着一定的局限性,之后通过发展更加高效和快速的算法来求解欧拉方程的整数解问题,来提高计算速度和精度。