复正交李超代数osp(1,4)的拟型心与型心

Quasi-Centroids and Centroids of the Complex Orthogonal Lie Superalgebra osp(1,4)

摘要: 李超代数是一种Z₂-李代数，它由物理学家在研究粒子超对称性的统计规律时提出，具有深刻的数学物理意义和内涵。目前，李超代数的相关理论在物理学量子场论、核物理以及超引力等领域中应用广泛。在本文中，首先，根据复正交李超代数的定义得到了osp(1,4)的一组标准基。其次，利用待定系数法确定型心和拟型心的理论表示形式。再次，分别探讨了osp(1,4)在奇变换、偶变换情形下型心和拟型心的具体矩阵表达式。最终得到其在奇变换下的拟型心在标准基上的矩阵为0_14×14，型心在标准基上的矩阵为0_14×14；其在偶变换下的拟型心在标准基上的矩阵为λI_14×14，型心在标准基上的矩阵为λI_14×14。

Abstract: The Lie superalgebra is a kind of Z₂-graded Lie algebra, which was proposed by physicists in the study of the statistical laws of particle supersymmetry and has deep mathematical physical mean-ing and connotation. Recently, the theory related to Lie superalgebra is widely used in the fields of quantum field theory, nuclear physics, and supergravity in physics. In this paper, firstly, a set of standard bases of osp(1,4) is obtained according to the definition of the complex orthogonal Lie superalgebra. Secondly, the theoretical representations of centroid and quasi-centroid are deter-mined using the method of coefficients to be determined. Thirdly, the specific matrix expressions for the centroid and quasi-centroid of osp(1,4) in the odd transformed and even transformed cases are explored separately. The final matrix of its quasi-centroid on the standard basis under odd transformation is obtained as 0_14×14. The matrix of the centroid on the standard basis is 0_14×14. The matrix of the quasi-centroid on the standard basis under the even transformation is λI_14×14. The matrix of the centroid on the standard basis is λI_14×14.

1. 引言

李超代数作为李代数的自然推广，其在数学其他分支上以及物理学特别是刚体在超对称空间中运动的轨道描述起到重要作用 [1] 。型心和拟型心是李超代数结构中的重要概念，型心是广义超导子代数的重要子代数，拟型心的元素是特殊的广义导子 [2] 。近年来，随着国内外学者的深入研究，其在研究超代数的广义切空间即超导子中重要地位随之逐渐显现出来。文献 [3] 则通过定义李超代数上的型心和零次型心来考察其性质，证明了二次李超代数(G,B)上的不变数积的集合和其型心中的可逆B-超对称元素的集合之间存在一一对应。文献 [4] 应用Shur引理证明了复数域上的单李超代数的型心要么是纯量阵，要么其平方是纯量阵。但那种单李超代数到底型心是哪一种并没有明确给出。对具体的单李超代数，文献 [5] [6] [7] 研究了复数域上特殊线性李超代数 $sl\left(m,n\right)$ 在 $m+n\le 4$ 时与复正交李超代数 $osp\left(1,2\right)$ 的型心与拟型心，以及在特定基下的矩阵表示。文献 [8] 给出素特征域上 $osp\left(1,4\right)$ 在广义Witt李超代数中的中心化子。本文将在上述文献的基础之上，研究正交李超代数 $osp\left(1,4\right)$ 的型心与拟型心及其矩阵表示。

本文结构如下：第一部分是预备知识，介绍了本文用到的一些基本概念及符号。第二部分为本文的主体部分，分别讨论了在偶变换和奇变换下 $osp\left(1,4\right)$ 的拟型心与型心的矩阵表示。第三部分是文章的结论部分，总结分析本文的研究结论。

2. 基础知识

令本文中的线性空间与超代数都是复数域C上的，且都为有限维的。为了后续阐述的便捷性，本节给出李超代数、Z₂-阶化次数、型心与拟型心的定义与符号。

定义1 [9] 设 $Z_2=\{0,1\}$ 为模2剩余类环，则复数域C上的Z₂-阶化线性空间 $L=L_0\oplus L_1$ 称为李超代数，若对其上定义的双线性二元运算 $[,]$ 满足：

1) 超反对称性：

$\left[x,y\right]=-{\left(-1\right)}^{d\left(x\right)d\left(y\right)}\left[y,x\right]$ ;

2) 超雅可比恒等式：

${\left(-1\right)}^{d\left(z\right)d\left(x\right)}\left[x,\left[y,z\right]\right]+{\left(-1\right)}^{d\left(x\right)d\left(y\right)}\left[y,\left[z,x\right]\right]+{\left(-1\right)}^{d\left(y\right)d\left(z\right)}\left[z,\left[x,y\right]\right]=0$ ,

其中x，y，z是李超代数中的Z₂-齐次元素， $d\left(x\right),d\left(y\right),d\left(z\right)$ 分解为x，y，z的Z₂-阶化次数。

注：雅可比恒等式移项整理后就是超莱布尼茨公式，李超代数也称为Z₂-阶化李代数。

定义2 [9] 设L是复李超代数，则称

${\Gamma }_{\theta }\left(L\right)=\left\{f\in En{d}_{\theta }\left(L\right)|f\left[x,y\right]=\left[f\left(x\right),y\right]={\left(-1\right)}^{d\left(x\right)d\left(f\right)}\left[x,f\left(y\right)\right],x,y\in L,\theta \in Z_2\right\}$

为L上的Z₂-阶化型心；称

$Q{\Gamma }_{\theta }\left(L\right)=\left\{f\in En{d}_{\theta }\left(L\right)|\left[f\left(x\right),y\right]={\left(-1\right)}^{d\left(x\right)d\left(f\right)}\left[x,f\left(y\right)\right],x,y\in L,\theta \in Z_2\right\}$

为L上的Z₂-阶化拟型心，其中 $En{d}_{\theta }\left(L\right)$ 表示所有L中Z₂-阶化线性变换的集合。

注：对任意 $f\in En{d}_{\theta }\left(L\right)$ ，若 $\theta =\bar{0}$ ， $d\left(f\right)=\bar{0}$ ，则称f为偶变换；若 $$ ， $d\left(f\right)=\bar{1}$ ，则称f为奇变换。另外显然有 $\Gamma \left(L\right)={\Gamma }_{\bar{0}}\left(L\right)\oplus {\Gamma }_{\bar{1}}\left(L\right)$ 且 $Q\Gamma \left(L\right)=Q{\Gamma }_{\bar{0}}\left(L\right)\oplus Q{\Gamma }_{\bar{1}}\left(L\right)$ 。

根据复正交李超代数 $osp\left(m,n\right)$ 定义 [9] 易得 $osp\left(1,4\right)$ 的一组标准基 [8] ：

$e_{12}-e_{41},e_{13}-e_{51},e_{41}+e_{21},e_{15}+e_{13},e_{22}-e_{44},e_{23}-e_{54},$

$e_{32}-e_{45},e_{33}-e_{55},e_{24},e_{35},e_{25}+e_{34},e_{42},e_{53},e_{43}+e_{52}$

其中 $e_{ij}\left(i,j=1,2,\cdots \right)$ 表示第i行第j列的元素为1，其余位置全为0的方阵。

若f为 $osp\left(1,4\right)$ 上的线性变换，则在基 $e_{12}-e_{41},e_{13}-e_{51},\cdots ,e_{43}+e_{52}$ 上的矩阵表示式如下：

$f\left(e_{12}-e_{41},e_{13}-e_{51},\cdots ,e_{43}+e_{52}\right)=\left(e_{12}-e_{41},e_{13}-e_{51},\cdots ,e_{43}+e_{52}\right)\left(\begin{array}{cccc}l{k}_{11}& k_{12}& \cdots & k_{1,14}\\ k_{21}& k_{22}& \cdots & k_{2,14}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ k_{14,1}& k_{14,2}& \cdots & k_{14,14}\end{array}\right)$ (1)

当f分别为型心与拟型心时，由元素 $k_{ij}$ 组成的矩阵表示型心与拟型心在此组基下的矩阵表示法。

3. 主要结论及证明

首先计算 $osp\left(1,4\right)$ 拟型心的奇部与偶部的矩阵表示。

命题1： $osp\left(1,4\right)$ 的拟型心偶部在其标准基下的矩阵表示为 $\lambda I_{14\times 14}$ ，其中 $\lambda$ 为任意复数， $I$ 为单位矩阵。

证明：令 $e_{12}-e_{41},e_{13}-e_{51},e_{41}+e_{21},e_{15}+e_{31},e_{22}-e_{44},e_{23}-e_{54},e_{32}-e_{45},e_{33}-e_{55},e_{24},e_{35}$

$e_{25}+e_{34},e_{42},e_{53},e_{43}+e_{52}$ 为李超代数 $osp\left(1,4\right)$ 标准基，f为 $osp\left(1,4\right)$ 的拟型心的偶部元素，则由(1)式可得这组基在f作用下的像为：

$\begin{array}{l}f\left(e_{12}-e_{41}\right)=k_{11}\left(e_{12}-e_{41}\right)+k_{21}\left(e_{13}-e_{51}\right)+k_{31}\left(e_{41}+e_{21}\right)+k_{41}\left(e_{15}+e_{31}\right)+k_{51}\left(e_{22}-e_{44}\right)\\ +k_{61}\left(e_{23}-e_{54}\right)+k_{71}\left(e_{32}-e_{45}\right)+k_{81}\left(e_{33}-e_{55}\right)+k_{91}{e}_{24}+k_{10,1}{e}_{35}\\ +k_{11,1}\left(e_{25}+e_{34}\right)+k_{12,1}{e}_{42}+k_{13,1}{e}_{53}+k_{14,1}\left(e_{43}+e_{52}\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}f\left(e_{13}-e_{51}\right)=k_{12}\left(e_{12}-e_{41}\right)+k_{22}\left(e_{13}-e_{51}\right)+k_{32}\left(e_{41}+e_{21}\right)+k_{42}\left(e_{15}+e_{31}\right)+k_{52}\left(e_{22}-e_{44}\right)\\ +k_{62}\left(e_{23}-e_{54}\right)+k_{72}\left(e_{32}-e_{45}\right)+k_{82}\left(e_{33}-e_{55}\right)+k_{92}{e}_{24}+k_{10,2}{e}_{35}\\ +k_{11,2}\left(e_{25}+e_{34}\right)+k_{12,2}{e}_{42}+k_{13,2}{e}_{53}+k_{14,2}\left(e_{43}+e_{52}\right)\end{array}$

$⋮$

$\begin{array}{l}f\left(e_{43}-e_{52}\right)=k_{1,14}\left(e_{12}-e_{41}\right)+k_{2,14}\left(e_{13}-e_{51}\right)+k_{3,14}\left(e_{41}+e_{21}\right)+k_{4,14}\left(e_{15}+e_{31}\right)\\ +k_{5,14}\left(e_{22}-e_{44}\right)+k_{6,14}\left(e_{23}-e_{54}\right)+k_{7,14}\left(e_{32}-e_{45}\right)+k_{8,14}\left(e_{33}-e_{55}\right)\\ +k_{9,14}{e}_{24}+k_{10,14}{e}_{35}+k_{11,14}\left(e_{25}+e_{34}\right)+k_{12,14}{e}_{42}+k_{13,14}{e}_{53}+k_{14,14}\left(e_{43}+e_{52}\right)\end{array}$

分别用 $osp\left(1,4\right)$ 的标准基元素 $e_{12}-e_{41}$ ， $e_{13}-e_{51}$ 代替定义中的x,y进行计算可得：

$\begin{array}{c}\left[f\left(e_{12}-e_{41}\right),e_{13}-e_{51}\right]=\left[f\left(e_{12}-e_{41}\right)\right]\left(e_{13}-e_{51}\right)\\ -{\left(-1\right)}^{d\left(f\left(e_{12}-e_{41}\right)\right)d\left(e_{13}-e_{51}\right)}\left(e_{13}-e_{51}\right)\left[f\left(e_{12}-e_{41}\right)\right]\\ =\left[f\left(e_{12}-e_{41}\right)\right]\left(e_{13}-e_{51}\right)+\left(e_{13}-e_{51}\right)\left[f\left(e_{12}-e_{41}\right)\right]\\ =k_{71}{e}_{12}+k_{81}{e}_{13}+k_{11,1}{e}_{14}+k_{10,1}{e}_{15}-k_{11,1}{e}_{21}+k_{31}{e}_{23}-k_{10,1}{e}_{31}\\ +k_{41}{e}_{33}+k_{71}{e}_{41}-k_{11}{e}_{43}+k_{81}{e}_{51}-k_{11}{e}_{52}-2k_{21}{e}_{53}-k_{31}{e}_{54}-k_{41}{e}_{55}\end{array}$

$\begin{array}{c}\left[e_{12}-e_{41},f\left(e_{13}-e_{51}\right)\right]=\left(e_{12}-e_{41}\right)f\left[\left(e_{13}-e_{51}\right)\right]\\ -{\left(-1\right)}^{d\left(e_{12}-e_{41}\right)d\left(f\left(e_{13}-e_{51}\right)\right)}\left[f\left(e_{13}-e_{51}\right)\right]\left(e_{12}-e_{41}\right)\\ =\left(e_{12}-e_{41}\right)\left[f\left(e_{13}-e_{51}\right)\right]+\left[f\left(e_{13}-e_{51}\right)\right]\left(e_{12}-e_{41}\right)\\ =k_{52}{e}_{12}+k_{62}{e}_{13}+k_{92}{e}_{14}+k_{11,2}{e}_{15}-k_{92}{e}_{21}+k_{32}{e}_{22}-k_{11,2}{e}_{31}\\ +k_{42}{e}_{32}+k_{52}{e}_{41}-2k_{12}{e}_{42}-k_{22}{e}_{43}-k_{32}{e}_{44}-k_{42}{e}_{45}+k_{62}{e}_{51}-k_{22}{e}_{52}\end{array}$

由偶部拟型心定义知： $\left[f\left(e_{12}-e_{41}\right),e_{13}-e_{51}\right]=\left[e_{12}-e_{41},f\left(e_{13}-e_{51}\right)\right]$ 。由于基是线性无关的，因此比

较系数可得：

$k_{11}=k_{22},k_{71}=k_{52},k_{81}=k_{62},k_{10,1}=k_{11,2},k_{11,1}=k_{92},k_{12}=k_{21}=k_{31}=k_{32}=k_{41}=k_{42}=0$

同理可得：

$k_{11}=k_{22}=k_{33}=k_{44}=k_{55}=k_{66}=k_{77}=k_{88}=k_{99}=k_{10,10}=k_{11,11}=k_{12,12}=k_{13,13}=k_{14,14}$ ,

其他元素均为0。因此命题得证。

命题2： $$ 的拟型心的奇部在其标准基下的矩阵表示为 $0_{14\times 14}$ 。

证明：若f为 $osp\left(1,4\right)$ 的拟型心的奇部元素，根据拟型心的定义分别用 $osp\left(1,4\right)$ 的标准基元素 $e_{12}-e_{41}$ ， $e_{13}-e_{51}$ 代替定义中的x,y进行计算可得：

$\begin{array}{c}\left[f\left(e_{12}-e_{41}\right),e_{13}-e_{51}\right]=\left[f\left(e_{12}-e_{41}\right)\right]\left(e_{13}-e_{51}\right)\\ -{\left(-1\right)}^{d\left(f\left(e_{12}-e_{41}\right)\right)deg\left(e_{13}-e_{51}\right)}\left(e_{13}-e_{51}\right)\left[f\left(e_{12}-e_{41}\right)\right]\\ =\left[f\left(e_{12}-e_{41}\right)\right]\left(e_{13}-e_{51}\right)-\left(e_{13}-e_{51}\right)\left[f\left(e_{12}-e_{41}\right)\right]\\ =-2k_{41}{e}_{11}-k_{71}{e}_{12}-k_{81}{e}_{13}-k_{11,1}{e}_{14}-k_{10,1}{e}_{15}-k_{11,1}{e}_{21}+k_{31}{e}_{23}\\ -k_{10,1}{e}_{31}+2k_{41}{e}_{33}+k_{71}{e}_{41}-k_{11}{e}_{43}+k_{81}{e}_{51}+k_{11}{e}_{52}+k_{31}{e}_{54}+k_{41}{e}_{55}\end{array}$

$\begin{array}{c}\left[e_{12}-e_{41},f\left(e_{13}-e_{51}\right)\right]=\left(e_{12}-e_{41}\right)f\left[\left(e_{13}-e_{51}\right)\right]\\ -{\left(-1\right)}^{d\left(e_{12}-e_{41}\right)d\left(f\left(e_{13}-e_{51}\right)\right)}\left[f\left(e_{13}-e_{51}\right)\right]\left(e_{12}-e_{41}\right)\\ =\left(e_{12}-e_{41}\right)\left[f\left(e_{13}-e_{51}\right)\right]-\left[f\left(e_{13}-e_{51}\right)\right]\left(e_{12}-e_{41}\right)\\ =2k_{32}{e}_{11}+k_{52}{e}_{12}+k_{62}{e}_{13}+k_{92}{e}_{14}+k_{11,2}{e}_{15}+k_{92}{e}_{21}-k_{32}{e}_{22}\\ +k_{11,2}{e}_{31}-k_{42}{e}_{32}-k_{52}{e}_{41}-k_{22}{e}_{43}-k_{32}{e}_{44}-k_{42}{e}_{45}-k_{62}{e}_{51}+k_{22}{e}_{52}\end{array}$

由拟型心定义知： $\left[f\left(e_{12}-e_{41}\right),e_{13}-e_{51}\right]=-\left[e_{12}-e_{41},f\left(e_{13}-e_{51}\right)\right]$ ，比较系数可知：

$k_{31}=k_{32}=k_{41}=k_{42}=0,k_{11}=k_{22},k_{32}=k_{41},k_{71}=k_{52},k_{81}=k_{62},k_{10,1}=k_{11,2},k_{11,1}=k_{92}$

依据上述方法对每个基进行运算，同理可得：

$k_{11}=k_{21}=\cdots =k_{14,1}=k_{21}=k_{22}=\cdots =k_{2,14}=\cdots =k_{14,1}=k_{14,2}=\cdots =k_{14,14}=0$

命题得证。

由命题1、命题2与 $Q\Gamma \left(L\right)=Q{\Gamma }_{\bar{0}}\left(L\right)\oplus Q{\Gamma }_{\bar{1}}\left(L\right)$ 可得如下定理：

定理1： $osp\left(1,4\right)$ 的拟型心在标准基下的矩阵表示为 $\lambda I_{14\times 14}$ ，其中 $\lambda$ 为任意复数， $I$ 为单位矩阵。

接下来计算 $osp\left(1,4\right)$ 型心的奇部和偶部的矩阵表示。

命题3： $osp\left(1,4\right)$ 的型心的偶部在其标准基下的矩阵表示为 $\lambda I_{14\times 14}$ ，其中 $\lambda$ 为任意复数， $I$ 为单位矩阵。

证明：若f为 $osp\left(1,4\right)$ 的型心的偶部元素，根据命题1及型心的定义分别用 $osp\left(1,4\right)$ 的标准基元素 $e_{12}-e_{41}$ ， $e_{13}-e_{51}$ 代替定义中的x,y进行计算可得：

$f\left[e_{12}-e_{41},e_{22}-e_{44}\right]=f\left(e_{12}-e_{41}\right)=\lambda \left(e_{12}-e_{41}\right)$

$\begin{array}{c}f\left[e_{12}-e_{41},e_{22}-e_{44}\right]=f\left(e_{12}-e_{41}\right)\left(e_{22}-e_{44}\right)-\left(e_{22}-e_{44}\right)f\left(e_{12}-e_{41}\right)\\ =k_{11}\left(e_{12}-e_{41}\right)-k_{31}\left(e_{21}+e_{14}\right)+k_{61}\left(e_{54}-e_{23}\right)+k_{71}\left(e_{32}-e_{45}\right)\\ -2k_{91}{e}_{24}-k_{11,1}\left(e_{34}+e_{25}\right)+2k_{12,1}{e}_{42}+k_{14,1}\left(e_{32}+e_{43}\right)\end{array}$

比较系数可知： $k_{11}=\lambda ,k_{31}=k_{61}=k_{71}=k_{91}=k_{11,1}=k_{14,1}=0$ 。

依据上述方法对每个基进行运算，同理可得：

$k_{11}=k_{22}=k_{33}=k_{44}=k_{55}=k_{66}=k_{77}=k_{88}=k_{99}=k_{10,10}=k_{11,11}=k_{12,12}=k_{13,13}=k_{14,14}=\lambda$

其余位置元素均为0。命题得证。

命题4： $osp\left(1,4\right)$ 的型心的奇部在其标准基下的矩阵表示为 $0_{14\times 14}$ 。

证明：若f为 $osp\left(1,4\right)$ 的型心的奇部元素，根据命题1及型心的定义分别用 $osp\left(1,4\right)$ 的标准基元素 $e_{12}-e_{41}$ ， $e_{13}-e_{51}$ 代替定义中的x,y进行计算可得：

$f\left[e_{12}-e_{41},e_{22}-e_{44}\right]=f\left(e_{12}-e_{41}\right)=0$

$\begin{array}{c}f\left[e_{12}-e_{41},e_{22}-e_{44}\right]=f\left(e_{12}-e_{41}\right)\left(e_{22}-e_{44}\right)-\left(e_{22}-e_{44}\right)f\left(e_{12}-e_{41}\right)\\ =k_{11}\left(e_{12}-e_{41}\right)-k_{31}\left(e_{21}+e_{14}\right)+k_{61}\left(e_{54}-e_{23}\right)+k_{71}\left(e_{32}-e_{45}\right)\\ -2k_{91}{e}_{24}-k_{11,1}\left(e_{34}+e_{25}\right)+2k_{12,1}{e}_{42}+k_{14,1}\left(e_{32}+e_{43}\right)\end{array}$

比较系数可知： $k_{11}=0,k_{31}=k_{61}=k_{71}=k_{91}=k_{11,1}=k_{14,1}=0$ 。

依据上述方法对每个基进行运算，同理可得：

$k_{11}=k_{22}=k_{33}=k_{44}=k_{55}=k_{66}=k_{77}=k_{88}=k_{99}=k_{10,10}=k_{11,11}=k_{12,12}=k_{13,13}=k_{14,14}=0$

其余位置元素均为0。命题得证。

由命题3、命题4与 $\Gamma \left(L\right)={\Gamma }_{\bar{0}}\left(L\right)\oplus {\Gamma }_{\bar{1}}\left(L\right)$ 可得如下定理：

定理2： $osp\left(1,4\right)$ 的型心在标准基下的矩阵表示为 $\lambda I_{14\times 14}$ ，其中 $\lambda$ 为任意复数， $I$ 为单位矩阵。

4. 结论

由定理1与定理2可得：

定理3：正交李超代数 $osp\left(1,4\right)$ 的型心与拟型心矩阵表示都为 $\lambda I_{14\times 14}$ ，其中 $\lambda$ 为任意复数， $I$ 为单位矩阵。

因此李超代数 $osp\left(1,4\right)$ 的型心与拟型心相同，且在标准基下的矩阵表示为纯量阵。该结论给出了 $osp\left(1,4\right)$ 具体的型心结构证明出其没有文献 [4] 中证明出的平方为纯阵的型心情况。其可应用于超空间的粒子物理学中，即其对应的物理粒子模型是玻色子而无费米子的情况。

基金项目

东北林业大学大学生创新训练项目(S202210225006)；中央高校基本科研业务费专项资金资助(2572021BC02)。

NOTES

^*通讯作者。