一类花图对应链环的Jones多项式

Jones Polynomial of Links Corresponding to a Class of Flower Graph

摘要: 本文研究了各边均为正号的花图F_3xn对应链环的Jones多项式。Tutte和Jones多项式之间有一个显著的联系，首先计算得到花图F_3xn的Tutte多项式，再根据Tutte多项式与Jones多项式之间的关系计算得到这类花图对应链环的Jones多项式。

Abstract: In this paper, the Jones polynomial of the flower graph F_3xn corresponding to the chain link with a positive sign on all sides is studied. There is a significant connection between Tutte and Jones poly-nomials, first calculating the Tutte polynomial of the flower graph F_3xn, and then calculating the Jones polynomial corresponding to the chain link of this type of flower graph according to the rela-tionship between the Tutte polynomial and the Jones polynomial.

1. 引言

Tutte多项式是由Tutte [1] 在1954年提出，是著名的图多项式不变量之一，它提供了关于图结构的各种有趣的信息，能很好地反映图的一些性质及特征。Tutte多项式的应用十分广泛，并且与许多学科存在紧密的联系，例如在计算机科学、工程、优化、物理、化学、生物学和纽结理论等，也是求解图参数的一个重要工具。1985年，Jones [2] 通过冯–诺依曼数组将Jones多项式定义为纽结不变量。目前计算Jones多项式有多种方法，其中利用拆接关系去计算纽结和链环的方法较为常见，但是针对交叉点数较多的纽结和链环来说计算较为复杂，于是众多学者开始探索更简便的方法去计算Jones多项式。1987年Kauffman在 [3] 中介绍了Jones多项式的状态和模型，提出了Jones多项式与尖括号多项式、拧数的等式关系。陶志雄利用二项式的知识研究了特殊环面结的Jones多项式 [4] ，Kwun Y C等学者通过Tutte多项式与Jones多项式之间的关系计算了各边均为正号的 $\left(\text{3,}n\right)$ 图对应链环的Jones多项式 [5] 。

本文的组织结构为：在第2节中，我们给出一些关于图和纽结的基本概念，以及Tutte和Jones多项式的定义。此外，在这一节中，我们给出了图和纽结之间的关系，以及Tutte和Jones多项式之间的关系，在第3节给出主要结果。

2. 预备知识

2.1. 图

图G定义为一个偶对 $\left(V,E\right)$ ，记作 $G=\left(V,E\right)$ ，其中：

1) V是一个有限的非空集合，其元素称为顶点或点，用 $V\left(G\right)$ 表示顶点集合；

2) E是无序积 $V\times V$ 中的一个子集合，其元素称为边，且集合 $V\times V$ 中的元素在E中可以重复出现多次，用 $E\left(G\right)$ 表示边的集合。

3) 一条边x，y被称为连接顶点x和y，用xy表示；顶点x和y是这条边的末端顶点。如果 $xy\in E\left(G\right)$ ，那么x和y是G的相邻顶点，并且顶点x和y与边xy相伴。如果两条边正好有一个共同的端点，那么它们就是相邻的 [6] 。

2.2. 对偶图

设图G的对偶图为 $G^{\ast }$ ，则 $G^{\ast }$ 满足以下两点：

1) $G^{\ast }$ 的每一个顶点对应G的每个面；

2) 如果图G有一条边把两个面隔开，则 $G^{\ast }$ 在图中代表图的两个面的点之间有一边相连，同一个面被一条边隔开，则这个面对应的点有一个自环(如图1所示)。

2.3. 链环

将若干个互不相交的圆 $S_i^1\left(1\le i\le n,n>1\right)$ 嵌入三维欧式空间 $R^3$ 中或球面 $S^3$ 中，由这些圆形成的空间图形称为链环，记为 $L=K_1\cup K_2\cup \cdots \cup K_n$ 。在此之中n为链环L的分支数， $K_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 称为L的一个分支。若通过合痕后所有的 $K_i$ 都是平凡纽结，则此时称L为平凡链环，若给定每个分支一个方向，便可得到一个定向链环，当 $i=1$ 时，链环只有一个分支，称为纽结 [6] 。

Figure 1. The move process from Figure G to dual figure $G^{\ast }$

图1. 图G到对偶图 $G^{\ast }$ 的变换过程

2.4. 纽结和图之间的联系

每个链环投影图，我们可以找到一个对应的有符号平面图，反之亦然。这个过程如下：

1) 假设K是一个纽结，K'是它的投影。投影K'将平面划分为几个区域。从最外层的区域开始，我们可以将这些区域染成白色或黑色。使边缘两侧的颜色永远不会一致。

2) 若我们把最外层的区域染成白色，在每个黑色区域选择一个顶点。如果两个黑色区域R和R'有共同的交叉点 $c_1,c_2,\cdots ,c_n$ 那么我们用边连接R和R'的选定顶点，这些边穿过 $c_1,c_2,\cdots ,c_n$ 并位于这两个黑色区域中。这样，我们从K'得到一个平面图G [7] ，如图2所示。

Figure 2. Figure G corresponding to the knot projection K'

图2. 与纽结投影图K'相对应的图G

我们给图G的每条边分配符号+或−，如图3所示。

Figure 3. Marking rules for edges

图3. 边的标记规则

通过上述过程形成的图被称为纽结K所对应的有符号平面图，如图4所示。

Figure 4. Symbol diagram corresponding to the knot diagram

图4. 与纽结图相对应的符号图

反之，任一符号图，我们可以找到对应的链环图。从图5中可以清楚地看到这个构造。

Figure 5. Link diagram corresponding to symbol diagram

图5. 符号图对应的链环图

2.5. Tutte多项式

[8] 图G的Tutte多项式 $T\left(G;x,y\right)$ 可以定义为：

$T\left(G;x,y\right)=\{\begin{array}{ll}1\hfill & 若E\left(G\right)=\varphi \hfill \\ xT\left(G/e;x,y\right)\hfill & 若e是割边\hfill \\ yT\left(G-e;x,y\right)\hfill & 若e是环\hfill \\ T\left(G-e;x,y\right)+T\left(G/e;x,y\right)\hfill & 若e既不是割边也不是环\hfill \end{array}$

其中 $G-e$ 和 $G/e$ 分别表示图G删除边e和收缩边e后得到的图。

性质1：设 $G\cup G^{\prime }$ 是G和G'的不交并， $G\ast G^{\prime }$ 是 $G\cap G^{\prime }$ 当且仅当为一个顶点，则有：

$T\left(G\cup G^{\prime }\right)=T\left(G\right)T(\; G\; \prime \; )$

$T\left(G\ast G^{\prime }\right)=T\left(G\right)T(\; G\; \prime \; )$

性质2：长为n的循环图 $C_n$ 的Tutte多项式为：

$T\left(C_n;x,y\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{x}^i}+y$

2.6. 拧数

一个链环L的有向投影图，对其一个交叉点，我们将上行线旋转到下行线，并找到所扫过的最小转角，若此过程为逆时针旋转，则此交叉点记为+1；若此过程为顺时针旋转，则此交叉点记为−1，称链环L全体交叉点的+1和−1的总和为链环L的拧数，记为 $\omega \left(L\right)$ [6] 。

2.7. Jones多项式

对于有向投影图L的Jones多项式 $V\left(L\right)$ 是变元为 $t^{\frac{\text{1}}{\text{2}}}$ 的Laurent多项式，满足如下拆接关系：

$tV\left(L_{+}\right)+t^{-1}V\left(L_{-}\right)=\left(t^{\frac{1}{2}}-t^{-\frac{1}{2}}\right)V(\; L\; 0\; )$

并且平凡结的Jones多项式为1。这里 $L_{+}$ ， $L_{-}$ 和 $L_0$ 是三个定向链环，它们的不同之处如图6所示。

2.8. Tutte多项式与Jones多项式的关系

令G是定向交错链环图L的正符号平面连通图，那么链环L的Jones多项式为：

$V_L\left(t\right)={\left(-1\right)}^{wr\left(L\right)}{t}^{\frac{b\left(L\right)-a\left(L\right)+3wr\left(L\right)}{4}}{T}_G\left(-t,-t^{-1}\right)$

其中 $a\left(L\right)$ 是G中的顶点数， $b\left(L\right)$ 是G的对偶图中的顶点数， $wr\left(L\right)$ 是L的拧数 [6] 。

Figure 6. $L_{+}$ , $L_{-}$ and $L_0$

图6. $L_{+}$ ， $L_{-}$ 和 $L_0$

3. 花图 $F_{3\times n}$ 对应链环的Jones多项式

本文研究的是一类 $F_{\text{3}\times n}$ 花图，定义如下：

如果一个图G有3个顶点，形成一个3-圈，有3个 $n-2$ 顶点的集合，这些顶点来自3圈周围的n-圈，因此每个n-圈与3-圈相交于一条边上，则称为 $F_{\text{3}\times n}$ 花图，其中 $n\ge \text{2}$ 。 $F_{\text{3}\times n}$ 有 $\text{3}\left(n-1\right)$ 个顶点和3n条边，n-圈被称为花瓣，3-圈被称为 $F_{\text{3}\times n}$ 的中心，构成中心的3个顶点都是4度，所有其他顶点都是2度 [9] 。如图7所示，其中n表示外圈的边数。

Figure 7. Flower graph $F_{\text{3}\times n}$

图7. 花图 $F_{\text{3}\times n}$

3.1. $F_{3\times n}$ 花图的Tutte多项式

定理3.1 $F_{\text{3}\times n}$ 花图的Tutte多项式为：

$T\left(F_{3\times n};x,y\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-2}{\sum }}{x}^i}{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{x}^i}+y\right)}^2+\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-2}{\sum }}{x}^i}+y+1\right)\left[\left(y+1\right){\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-2}{\sum }}{x}^i}+y\right)}^2+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{\text{2}n-\text{3}}{\sum }}{x}^i}+y\right]$

证明： $T\left(F_{3\times n};x,y\right)=T(\; )$

$=($ $)+T\left(C_{n-1}\right)(\; )$

$=x^{n-2}T\left(C_n^2\right)+x^{n-1}T\left(C_n^2\right)+\cdots +xT\left(C_n^2\right)+T(\; )$

$+T\left(C_{n-1}\right)(\; )$

$={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-2}{\sum }}{x}^i}T\left(C_n^2\right)+\left[T\left(C_{n-1}\right)+1\right]T(\; )$

$={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-2}{\sum }}{x}^i}T\left(C_n^2\right)+\left[T\left(C_{n-1}\right)+1\right][yT\left(C_{n-1}^2\right)+T($ $)]$

$={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-2}{\sum }}{x}^i}T\left(C_n^2\right)+\left[T\left(C_{n-1}\right)+1\right][\left(y+1\right)T\left(C_{n-1}^2\right)+T($ $)]$

$={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-2}{\sum }}{x}^i}T\left(C_n^2\right)+\left[T\left(C_{n-1}\right)+1\right]\left[\left(y+1\right)T\left(C_{n-1}^2\right)+T\left(C_{2n-2}\right)\right]$

$={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-2}{\sum }}{x}^i}{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{x}^i}+y\right)}^2+\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-2}{\sum }}{x}^i}+y+1\right)\left[\left(y+1\right){\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-2}{\sum }}{x}^i}+y\right)}^2+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{\text{2}n-\text{3}}{\sum }}{x}^i}+y\right]$

综上， $F_{\text{3}\times n}$ 花图的Tutte多项式为：

$F_{\text{3}\times n}$ 花图的Tutte多项式为：

$T\left(F_{3\times n};x,y\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-2}{\sum }}{x}^i}{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{x}^i}+y\right)}^2+\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-2}{\sum }}{x}^i}+y+1\right)\left[\left(y+1\right){\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-2}{\sum }}{x}^i}+y\right)}^2+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{\text{2}n-\text{3}}{\sum }}{x}^i}+y\right]$

推论3.1 $T_{F_{3\times n}}\left(-t,-t^{-1}\right)$ 的表达式为：

$\begin{array}{c}{T}_{F_{3\times n}}\left(-t,-t^{-1}\right)=\frac{3t^{2n}+3t^{2n-2}+3t^{2n-4}+t^2+2t+4+{\left(-1\right)}^n\left(3t^{n+1}+3t^n+6t^{n-1}+t^{\text{3}n-1}-t^{3n-4}-t^{3n-2}\right)}{{\left(1+t\right)}^{\text{3}}}\\ +\frac{3t^3+3t^2+t+1}{t^4{\left(1+t\right)}^{\text{3}}}\end{array}$

证明：当 $x=-t,y=-t^{-1}$ 时，有：

$\begin{array}{c}{T}_{F_{3\times n}}\left(-t,-t^{-1}\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-2}{\sum }}{\left(-t\right)}^i}{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{\left(-t\right)}^i}-t^{-1}\right)}^2+\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-2}{\sum }}{\left(-t\right)}^i}-t^{-1}+1\right)\left[\left(\text{1}-t^{-1}\right){\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-2}{\sum }}{\left(-t\right)}^i}-t^{-1}\right)}^2+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{\text{2}n-\text{3}}{\sum }}{\left(-t\right)}^i}-t^{-1}\right]\\ =\frac{1+{\left(-1\right)}^n{t}^{n-1}}{\text{1}+t}{\left[\frac{-t-{\left(-1\right)}^n{t}^n}{\text{1}+t}-t^{-1}\right]}^2+\left[\frac{-t+{\left(-1\right)}^n{t}^{n-1}}{\text{1}+t}-t^{-1}+1\right]\\ \cdot \left[\left(\text{1}-t^{-1}\right){\left(\frac{-t+{\left(-1\right)}^n{t}^{n-1}}{1+t}-t^{-1}\right)}^2+\frac{-t-t^{\text{2}n-\text{2}}}{1+t}-t^{-1}\right]\end{array}$

$\begin{array}{c}=\left(\frac{1+{\left(-1\right)}^n{t}^{n-1}}{\text{1}+t}\right)\left(\frac{t^4+2t^3+3t^2+2t+2{\left(-1\right)}^n\left(t^{n+3}+t^{n+2}+t^{n+1}\right)+t^{2n+2}+1}{t^2{\left(1+t\right)}^2}\right)\\ +\left(\frac{-1+{\left(-1\right)}^n{t}^n}{t\left(1+t\right)}\right)[\frac{t-1}{t}\cdot \left(\frac{t^4+2t^3+3t^2+2t-2{\left(-1\right)}^n\left(t^{n+\text{2}}+t^{n+\text{1}}+t^n\right)+t^{\text{2}n}+1}{t^2{\left(1+t\right)}^2}\right)\\ +\frac{-t-t^{2n-2}}{\text{1}+t}-\frac{1}{t}]\end{array}$

$\begin{array}{c}=\frac{1}{t^2{\left(1+t\right)}^{\text{3}}}\cdot \{t^4+2t^3+3t^2+2t+{\left(-1\right)}^n\left(\text{3}{t}^{n+\text{3}}+\text{4}{t}^{n+\text{2}}+\text{5}{t}^{n+\text{1}}+t^{\text{3}n+\text{1}}+t^{n-\text{1}}+2t^n\right)\\ +2\left(t^{2n+2}+t^{2n+1}+t^{2n}\right)+t^{\text{2}n+2}+1\}+\left(\frac{{\left(-1\right)}^n{t}^n-1}{t\left(1+t\right)}\right)[\frac{\text{1}}{t^{\text{3}}{\left(1+t\right)}^{\text{2}}}(-t^4-t^3-2t^2-t\\ \begin{array}{c}\\ \end{array}-2{\left(-1\right)}^n{t}^{n+3}+2{\left(-1\right)}^n{t}^n-t^{\text{2}n+\text{2}}-t^{\text{2}n}-1)]\\ =\frac{3t^{2n}+3t^{2n-2}+3t^{2n-4}+t^2+2t+4+{\left(-1\right)}^n\left(3t^{n+1}+3t^n+6t^{n-1}+t^{\text{3}n-1}-t^{3n-4}-t^{3n-2}\right)}{{\left(1+t\right)}^{\text{3}}}\\ +\frac{3t^3+3t^2+t+1}{t^4{\left(1+t\right)}^{\text{3}}}\end{array}$

3.2. 花图 $F_{3\times n}$ 对应链环的拧数

$F_{\text{3}\times n}$ 花图对应链环L可分为两种情况进行讨论，当n为奇数时，L为二分支链环；当n为偶数时，L为三分支链环。

1) 当n为奇数且L的两个分支反向时，分析G，L， $a\left(L\right)$ ， $b\left(L\right)$ ， $wr\left(L\right)$ ，如表1所示。

Table 1. n shows odd numbers and the two branches of L are reversed

表1. n为奇数且L的两个分支反向

由表1可见：当n为奇数且L的两个分支L₁与L₂反向时， $a\left(L\right)=\text{3}n-3$ ， $b\left(L\right)=\text{5}$ ，L的所有交叉点处的值均为−1，一共有3n个交叉点，故 $wr\left(L\right)=-\text{3}n$ ；

同理可证，当n为奇数且L的两个分支L₁与L₂同向时， $a\left(L\right)=\text{3}n-3$ ， $b\left(L\right)=\text{5}$ ，L的所有交叉点处的值均为+1，一共有3n个交叉点，故 $wr\left(L\right)=\text{3}n$ 。

1) 当n为偶数且L的3个分支L₁，L₂，L₃同向时，分析G，L， $a\left(L\right)$ ， $b\left(L\right)$ ， $wr\left(L\right)$ ，如表2所示。

Table 2. n shows even numbers and the three branches of L are in the same direction

表2. n为偶数且L的三个分支同向

由表2可知：当n为偶数且L的3个分支L₁，L₂，L₃同向时， $a\left(L\right)=\text{3}n-3$ ， $b\left(L\right)=\text{5}$ ，L的所有交叉点处的值均为+1，一共有3n个交叉点，故 $wr\left(L\right)=\text{3}n$ ；

当n为偶数且L的3个分支L₁与L₂同向，L₃与L₁、L₂反向时，分析G，L， $a\left(L\right)$ ， $b\left(L\right)$ ， $wr\left(L\right)$ ，如表3所示。

Table 3. n is even and the three branches of L, L1、L2 and L3 are reversed

表3. n为偶数且L的3个分支L₁、L₂与L₃反向

由表3可知：当n为偶数且L的3个分支L₁与L₂同向，L₃与L₁、L₂反向时， $a\left(L\right)=\text{3}n-3$ ， $b\left(L\right)=\text{5}$ ，L有2n个−1的交叉点，有n个+1的交叉点，故 $wr\left(L\right)=-n$ ；

同理可证，当L₁与L₃同向，L₂与L₁、L₃反向；L₂与L₃同向，L₁与L₂、L₃反向时，也是 $a\left(L\right)=\text{3}n-3$ ， $b\left(L\right)=\text{5}$ ，L有2n个−1的交叉点，有n个+1的交叉点，故 $wr\left(L\right)=-n$ 。

3.3. 花图 $F_{3\times n}$ 对应链环L的Jones多项式

定理3.2 当n为奇数时，花图 $F_{\text{3}\times n}$ 对应链环L的Jones多项式为：

1) 当链环L的两个分支反向时：

$\begin{array}{c}{V}_L\left(t\right)=-t^{2-3n}[\frac{3t^{2n}+3t^{2n-2}+3t^{2n-4}+t^2+2t+4-3t^{n+1}-3t^n-6t^{n-1}-t^{3n-1}+t^{3n-4}+t^{3n-2}}{{\left(1+t\right)}^{\text{3}}}\\ +\frac{3t^3+3t^2+t+1}{t^4{\left(1+t\right)}^{\text{3}}}]\end{array}$

2) 当链环L的两个分支同向时：

$\begin{array}{c}{V}_L\left(t\right)=-t^{2+\frac{3}{\text{2}}n}[\frac{3t^{2n}+3t^{2n-2}+3t^{2n-4}+t^2+2t+4-3t^{n+1}-3t^n-6t^{n-1}-t^{3n-1}+t^{3n-4}+t^{3n-2}}{{\left(1+t\right)}^{\text{3}}}\\ +\frac{3t^3+3t^2+t+1}{t^4{\left(1+t\right)}^{\text{3}}}]\end{array}$

证明：当n为奇数且L的两个分支反向时， $a\left(L\right)=\text{3}n-3$ ， $b\left(L\right)=\text{5}$ ， $wr\left(L\right)=-\text{3}n$ 。根据Jones多项式与Tutte多项式： $V_L\left(t\right)={\left(-1\right)}^{wr\left(L\right)}{t}^{\frac{b\left(L\right)-a\left(L\right)+3wr\left(L\right)}{4}}{T}_G\left(-t,-t^{-1}\right)$ ，将各个参数代入计算得到：

$\begin{array}{c}{V}_L\left(t\right)={\left(-1\right)}^{-3n}{t}^{\frac{5-3n+3-9n}{4}}{T}_{F_{\text{3}\times n}}\left(-t,-t^{-1}\right)\\ =-t^{2-3n}{T}_{F_{\text{3}\times n}}\left(-t,-t^{-1}\right)\\ =-t^{2-3n}[\frac{3t^{2n}+3t^{2n-2}+3t^{2n-4}+t^2+2t+4-3t^{n+1}-3t^n-6t^{n-1}-t^{3n-1}+t^{3n-4}+t^{3n-2}}{{\left(1+t\right)}^{\text{3}}}\\ +\frac{3t^3+3t^2+t+1}{t^4{\left(1+t\right)}^{\text{3}}}]\end{array}$

当n为奇数且L的两个分支同向时， $a\left(L\right)=\text{3}n-3$ ， $b\left(L\right)=\text{5}$ ， $wr\left(L\right)=\text{3}n$ ，将各参数代入 $V_L\left(t\right)={\left(-1\right)}^{wr\left(L\right)}{t}^{\frac{b\left(L\right)-a\left(L\right)+3wr\left(L\right)}{4}}{T}_G\left(-t,-t^{-1}\right)$ 得到：

$\begin{array}{c}{V}_L\left(t\right)={\left(-1\right)}^{3n}{t}^{\frac{5-3n+3+9n}{4}}{T}_{F_{\text{3}\times n}}\left(-t,-t^{-1}\right)\\ =-t^{2+\frac{3}{\text{2}}n}{T}_{{}_{F_{\text{3}\times n}}}\left(-t,-t^{-1}\right)\\ =-t^{2+\frac{3}{\text{2}}n}[\frac{3t^{2n}+3t^{2n-2}+3t^{2n-4}+t^2+2t+4-3t^{n+1}-3t^n-6t^{n-1}-t^{3n-1}+t^{3n-4}+t^{3n-2}}{{\left(1+t\right)}^{\text{3}}}\\ +\frac{3t^3+3t^2+t+1}{t^4{\left(1+t\right)}^{\text{3}}}]\end{array}$

定理3.3 当n为偶数时，花图 $F_{\text{3}\times n}$ 对应链环L的Jones多项式为：

1) 当链环L的三个分支L₁、L₂与L₃同向时：

$\begin{array}{c}{V}_L\left(t\right)=t^{2+\frac{3}{\text{2}}n}[\frac{3t^{2n}+3t^{2n-2}+3t^{2n-4}+t^2+2t+4+3t^{n+1}+3t^n+6t^{n-1}+t^{\text{3}n-1}-t^{3n-4}-t^{3n-2}}{{\left(1+t\right)}^{\text{3}}}\\ +\frac{3t^3+3t^2+t+1}{t^4{\left(1+t\right)}^{\text{3}}}]\end{array}$

2) 当L₁与L₂同向，L₃与L₁、L₂反向；L₁与L₃同向，L₂与L₁、L₃反向；L₂与L₃同向，L₁与L₂、L₃反向时：

$\begin{array}{c}{V}_L\left(t\right)=t^{2-\frac{3}{\text{2}}n}[\frac{3t^{2n}+3t^{2n-2}+3t^{2n-4}+t^2+2t+4+3t^{n+1}+3t^n+6t^{n-1}+t^{\text{3}n-1}-t^{3n-4}+t^{3n-2}}{{\left(1+t\right)}^{\text{3}}}\\ +\frac{3t^3+3t^2+t+1}{t^4{\left(1+t\right)}^{\text{3}}}]\end{array}$

证明：当n为偶数且L的3个分支L₁，L₂，L₃同向时， $a\left(L\right)=\text{3}n-3$ ， $b\left(L\right)=\text{5}$ ， $wr\left(L\right)=\text{3}n$ ，将各参数代入 $V_L\left(t\right)={\left(-1\right)}^{wr\left(L\right)}{t}^{\frac{b\left(L\right)-a\left(L\right)+3wr\left(L\right)}{4}}{T}_G\left(-t,-t^{-1}\right)$ 得：

$\begin{array}{c}{V}_L\left(t\right)={\left(-1\right)}^{3n}{t}^{\frac{5-3n+3+9n}{4}}{T}_{F_{\text{3}\times n}}\left(-t,-t^{-1}\right)\\ =t^{2+\frac{3}{\text{2}}n}{T}_{{}_{F_{\text{3}\times n}}}\left(-t,-t^{-1}\right)\\ =t^{2+\frac{3}{\text{2}}n}[\frac{3t^{2n}+3t^{2n-2}+3t^{2n-4}+t^2+2t+4+3t^{n+1}+3t^n+6t^{n-1}+t^{3n-1}-t^{3n-4}-t^{3n-2}}{{\left(1+t\right)}^{\text{3}}}\\ +\frac{3t^3+3t^2+t+1}{t^4{\left(1+t\right)}^{\text{3}}}]\end{array}$

当n为偶数且L的三个分支分别为L₁与L₂同向，L₃与L₁、L₂反向；L₁与L₃同向，L₂与L₁、L₃反向；L₂与L₃同向，L₁与L₂、L₃反向时， $a\left(L\right)=\text{3}n-3$ ， $b\left(L\right)=\text{5}$ ， $wr\left(L\right)=-n$ ，将各参数代入

$V_L\left(t\right)={\left(-1\right)}^{wr\left(L\right)}{t}^{\frac{b\left(L\right)-a\left(L\right)+3wr\left(L\right)}{4}}{T}_G\left(-t,-t^{-1}\right)$ 得：

$\begin{array}{c}{V}_L\left(t\right)={\left(-1\right)}^{-n}{t}^{\frac{5-3n+3-3n}{4}}{T}_{F_{\text{3}\times n}}\left(-t,-t^{-1}\right)\\ =t^{2-\frac{3}{\text{2}}n}{T}_{{}_{F_{\text{3}\times n}}}\left(-t,-t^{-1}\right)\\ =t^{2-\frac{3}{\text{2}}n}[\frac{3t^{2n}+3t^{2n-2}+3t^{2n-4}+t^2+2t+4+3t^{n+1}+3t^n+6t^{n-1}+t^{3n-1}-t^{3n-4}-t^{3n-2}}{{\left(1+t\right)}^{\text{3}}}\\ +\frac{3t^3+3t^2+t+1}{t^4{\left(1+t\right)}^{\text{3}}}]\end{array}$

4. 结语

本文主要研究了一类花图 $F_{3\times n}$ 的Tutte多项式，根据Tutte多项式与Jones多项式之间的关系讨论了参数 $a\left(L\right)$ 、 $b\left(L\right)$ 、 $wr\left(L\right)$ 在不同情况下的变化规律，最后计算得到对应于各边均为正号的花图 $F_{3\times n}$ 的链环L的Jones多项式。