1. 引言
新课标中三维目标被核心素养所取代，数学核心素养被提升到了新的高度 [1] 。以核心素养目标取代三维目标，使学生获得基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，发展发现、提出、分析和解决问题的能力 [2] 。培养学生以数学的角度来思考转化问题，通过数学方法分析解决问题，以及积极处理问题的习惯和品质。平面几何是初中数学的核心模块 [3] ，是培养理性思维的主要载体，所体现的是学生直观想象的核心素养。
中点问题贯穿初中平面几何，含有一个或多个线段中点的几何问题称为中点问题。本文选取2022年天津市中考平面几何作为问题对象，它虽然图形简单，但内涵丰富，解法灵活多样，易于学生理解掌握。通常中点问题涉及的知识点较多，与不同的图形结合考察。所以通过对本中考题解法的学习有助于学生当面对中点与三角形、四边形、圆等结合考察时能够游刃有余，不同的题目会用所对应的方法 [4] 。有助于提高学生的模型思想和触类旁通的能力，培养学生的转化思想，提升学生的数学核心素养 [5] 。基于此，本文拟借助问题解决归纳一些中点问题常见的方法。
2. 原题呈现
如图1，已知菱形ABCD的边长为2，，E为AB的中点，F为CE的中点，AF与DE相交于G，则GF的长等于。
Figure 1. Question (1)
图1. 问题(1)
试题分析：这道中点问题是平行四边形上的中点，可将其转化到三角形上。当学生面对两个中点时，会自然的想到三角形的中位线。所以此题根据三角形中位线的性质，通过已知的条件来构造辅助线 [6] 、构造相似、构造全等，以及正余弦定理、勾股定理、解析法来对此题进行求解，相似是解决此题的关键。
3. 解法探析
3.1. 构造相似
解法1 已知一个中点，再找到一个中点，就可以利用中位线的性质对问题就行简化从而进行求解。如图2，因此按照这样的思路，要用构造相似求GF的长，连接BD，作CD的中点H连接BH，就要证明点F在BH上，RtΔAEG和RtΔABF相似，然后根据勾股定理和相似性质即可求出。
Figure 2. Question (2)
图2. 问题(2)
连接BD，作CD的中点H连接BH，因为ΔABD为等边三角形，所以，。HF为ΔCDE的中位线，所以，即F在BH上。根据勾股定理得，即，因为，且，所以，根据勾股定理得，所以。
解法2 如图3，按照解法1的思路如图，向外作辅助线，找到另外一个中点B，再根据中位线的性质将问题进行简化。利用构造出来的相似三角形的性质和勾股定理即可求出线段GF的长。
Figure 3. Question (3)
图3. 问题(3)
如图3，连接BF，作的延长线于点H，连接BD。，。即B为EH的中点，BF为ΔCEH的中位线。有，，，所以，即。因为，所以有，，即。由勾股定理得，即。
解法3 如图4，要求GF的长，连接BF，BD，作，只需证明RtΔFGI和RtΔFAB相似，再根据勾股定理和三角形相似的性质即可求出GF的长。
Figure 4. Question (4)
图4. 问题(4)
连接BD，BF，过点G作AB的平行线交BF于点I，因为，，，根据余弦定理得，因为，所以，所以，四边形BEGI是矩形。因为，，即，由勾股定理得，所以。
解法4 如图5，要求GF的长，过C点作AB的垂线交于AB的延长线于点M，AF的延长线交CM于点L，连接BD，只需证RtΔAEG和RtΔAML相似，再根据勾股定理和三角形相似的性质即可求出。
Figure 5. Question (5)
图5. 问题(5)
过C点作AB的垂线交于AB的延长线于点M，AF的延长线交CM于点L，因为，，，所以。根据勾股定理可得，。因为，，所以。不妨设，则，根据三角形相似性质有，即，解得，即，根据勾股定理得，即。
3.2. 构造全等
解法5 如图6，要求GF的长，过点F作DE的垂线交DE于H，只需构造全等证RtΔAEG和RtΔFHG全等，再根据勾股定理即可求出。
过点F作DE的垂线交DE于H，因为，所以，即H是DE的中点。在RtΔAEG和RtΔFHG中，，，，所以，G为EH的中点，即，，根据勾股定理可得。
Figure 6. Question (6)
图6. 问题(6)
3.3. 正余弦定理
解法6 如图7所示，要求GF的长，先要求出的余弦，根据余弦定理求出AF的长度，再根据余弦定理求得的正余弦，再根据正弦定理即可求出GF的长。
Figure 7. Question (7)
图7. 问题(7)
根据勾股定理得，因为，，，。所以，根据余弦定理，得。根据余弦定理得，，即，
因为，由正弦定理，得。
3.4. 勾股定理
解法7 如图8所示，要求GF的长，连接BF，BD，利用勾股定理和中点的性质可求出EF的长，通过勾股定理的逆用可证明，再配合中点由勾股定理即可得到GF的长。
Figure 8. Question (8)
图8. 问题(8)
连接BF，BD，由勾股定理得，，，即，根据余弦定理得，在ΔBEF中，，所以。因为，所以，又因为E为AB的中点，所以G是AF的中点。根据勾股定理得，即。
3.5. 解析法
解法8 如图9所示，要求GF的长，连接BD，BF，建立直角坐标系，利用待定系数法求出直线AF的解析式，可得EG的长度，利用勾股定理可得AF，AG的长度，进而求得GF的长。
Figure 9. Question 9)
图9. 问题(9)
则，，，，，F为EC中点，则。所以轴，设直线的解析式为，则，解得，即，根据勾股定理得，，所以。
4. 小结
中点问题贯穿于初中平面几何。若问题中出现中点，尤其是出现多个中点，则往往考虑构造中位线，利用三角形的中位线定理进行边和角的转换，从而达到解决问题的目的。当中点遇到直角三角形时，往往连接斜边中线，利用直角三角形斜边中线性质解决问题。有时条件比较隐蔽，需要自行取斜边中点。当中点遇到垂直时，可利用线段垂直平分线的性质定理解决问题。当中点遇到等腰或等边时，往往利用等腰三角形三线合一的性质解决问题。在初中平面几何中与中点有关的模型还有倍长中线模型、等腰三角形三线合一模型、直角三角形斜边中线定理模型、三角形中位线定理模型，都是进行边和角的转换，这里不再赘述。
构造相似在初中平面几何中比较常见，当问题有中点、直角，要证明是线段的倍数关系，或者给出一定条件让求角度，长度时，构造相似三角形的方法会更加简单。构造全等三角形是八年级数学内容中重要的章节，也是初中几何中的重要内容，中考对全等三角形的要求比较高，并且三角形全等的应用也比较广泛，主要用于证明几何问题中线段相等，线段之间的数量关系等问题。不过，往往在应用全等三角形的时候会出现各种各样的难点，需要学生大胆尝试，小心验证。通常用作平行或者截长补短法去构造全等三角形来解决问题。利用正余弦定理解决平面几何问题范围较窄，需要把所求问题转化为三角形，在三角形中求对应的角度和长度。利用勾股定理解决问题，通常情况下如果所给平面几何所含有直角三角形，或者通过做辅助能够得到直角三角形，就要考虑能否利用勾股定理或者逆定理将所给问题解决。常常需要通过勾股定理来建立三角形三条边之间的关系，这个过程通常也会运用到方程思想，通过设未知数求出待求线段的长。利用解析式法求平面几何问题时，要能够找到两条相互垂直的线段，建立适当的平面直角坐标系，将所求线段在平面直角坐标系中表示出来。利用待定系数法求出所求直线解析式再配合其他方法将问题解决，这种在平面几何中应用一次函数的方法比较简单，能够培养学生的函数思想和问题解决能力。
上述的五种类型的八种方法不仅用到了菱形的性质、相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、而且使用了辅助线、勾股定理的逆用、以及正余弦定理。在解决此类问题的同时可以让学生将这些知识联系起来，加以巩固，并且对培养学生的直观想象和发散性思维有很大帮助。解决此类问题的过程中应该聚焦于中点，用中点简化图形。总之，2022年天津市中考第17题图形简单，但内涵丰富，值得分享。
参考文献
NOTES
*第一作者。
#通讯作者。