长周期光纤光栅的级联光谱特性研究

Study on Cascaded Spectral Characteristics of Long Period Fiber Gratings

摘要: 基于耦合模理论利用传输矩阵法研究级联长周期光纤光栅(Cascaded Long Period Fiber Gratings, CLPG)的光谱特性。结果表明：选用两个参数相近的长周期光纤光栅(Long Period Fiber Gratings, LPG)级联可以获得更明显的透射谱。周期的增加导致损耗峰向长波方向线性漂移，可据此实现对特定波长的损耗。长度和折射率调制深度主要影响损耗峰深度，可以用于调控损耗峰出现极深值点。得到当两个级联LPG的周期为500 μm、长度为3 cm，折射率调制深度为0.00014时存在窄而深的最优CLPG损耗峰。该研究结论为分析级联长周期光纤光栅理论和改进传感器件设计应用提供了依据。

Abstract: Based on the coupled-mode theory, the spectral characteristics of CLPG are studied by using the transfer matrix method. The results show that a more obvious transmission spectrum can be obtained by selecting two LPG cascades with the same parameters. The increase of the period leads to the linear shift of the loss peak to the long wave direction, which can realize the loss of a specific wavelength. Length and refractive index modulation depth mainly affect the peak depth, which can be used to control the extremely deep point in the loss peak. The simulation shows when the period of two cascaded LPG is 500 μm, the length is 3 cm, and the refractive index modulation depth is 0.00014 the narrow and deep optimal CLPG loss peak is obtained. This research provides a basis for the theory of CLPG and improves the design and application of sensing devices.

1. 引言

1996年Vengsarkar等用紫外光通过振幅掩模板照射载氢掺锗光纤制成了长周期光纤光栅 [1] 。它由向前传输的纤芯模与同向传输的各阶次包层模耦合产生，耦合到包层的纤芯模在向前传输过程中因包层与环境的不规则性被很快损耗，透射谱中的部分模强度减弱，形成损耗峰 [2] ，一个LPG有多个包层模，可以形成数个损耗峰。目前，已有许多研究人员基于传统的耦合模理论对LPG传输谱进行了仿真分析。2007年，陈儒 [3] 利用简化计算模型解决了多包层有效折射率的仿真求解问题。2014年，张奎华 [4] 得到平均有效折射率和周期数对传输谱的影响。2020年，朱雨雨 [5] 等人较全面的模拟分析了LPG的周期、刻写长度以及折射率调制深度与的光栅之间的关系，为长周期光纤光栅的高精度刻写及透射谱的精确定位提供了参考价值。LPG也广泛应用于带阻滤波器 [6] ，掺铒光纤放大器的增益均衡器 [7] ，及应变 [8] 、温度 [9] 、折射率 [10] 等的单点传感系统。

然而，相较于LPG趋于完善的研究板块，由Dianov等人在LPG后一段距离再刻写一个匹配的LPG，形成光纤内Mach-Zehnder干涉仪结构的级联长周期光纤光栅 [11] 的谱特性研究还不够全面，对于分布式传感 [12] 还有待进一步深入研究。2013年，武汉理工大学光纤传感技术国家工程实验室匡娅祺 [13] 等人发现了控制级联光纤长度能调节CLPG损耗峰的带宽和间隔，单个LPG的透射率为3 dB时的CLPG损耗达到最大。2018年，高敏 [14] 等人探究了光栅长度、折射率调制深度、间隔不同时级联后的传输谱特性，但只着眼于不同参数下损耗峰的变化趋势，以期减小光栅级联过程中的误差。本文从周期、长度和折射率调制深度三个方面仿真分析了CLPG更为全面的光谱特性，以期为CLPG实际应用提供依据，优化光器件设计，加快分布式LPG传感器应用的进程。

2. 耦合模理论

耦合模理论是一种研究透射谱反射谱形状、分布等特性的基本方法。光纤作为一种介质光波导可以将光波限制在内部或表面附近，引导光波沿确定方向传播。当传播过程中光波受到边界限制，根据电磁场的边界连续性得到多种可能性解，分别对应多个传播模式。光纤光栅受到电介质扰动时折射率发生改变，导致原本正交的纤芯模与包层模发生改变，不同模间的能量发生交换，满足耦合条件的光栅谱波长处出现损耗峰。即光纤光栅的耦合模理论。

当LPG满足相位匹配条件 [15] 时，有

${\lambda }_m=\left(n_{01}^{co}-n_{0m}^{cl}\right)\Lambda$ , (1)

其中 ${\lambda }_m$ 为纤芯模与第m层包层模耦合所得产生损耗峰的中心波长， $n_{01}^{co}$ 和 $n_{0m}^{cl}$ 分别代表纤芯模LP₀₁与包层模LP_0m的有效折射率，Λ为光栅周期。利用传输矩阵法将均匀LPG划分，每小段传输矩阵完全相等，可定义为：

$F=\left[\begin{array}{cc}r& s\\ s& r\end{array}\right]$ , (2)

其中r和s分别表示均匀 $LP{G}_j\left(j=1,2\right)$ 的纤芯模传输振幅和包层模传输振幅，定义为：

$r=\cos \sqrt{{\kappa }_m^2+{\delta }_m^2}\cdot L_j+\frac{i\cdot {\delta }_m\sqrt{{\kappa }_m^2+{\delta }_m^2}\cdot L_j}{\sqrt{{\kappa }_m^2+{\delta }_m^2}}$ ,(3)

$s=\frac{i\cdot {\kappa }_m\sqrt{{\kappa }_m^2+{\delta }_m^2}\cdot L_j}{\sqrt{{\kappa }_m^2+{\delta }_m^2}}$ , (4)

${\kappa }_m$ 为纤芯模与包层模的耦合系数，存在以下关系：

${\kappa }_m=\frac{\pi {\Delta }_n}{{\lambda }_m}$ , (5)

${\Delta }_n$ 为折射率调制深度， $L_j$ 是第j段光栅的长度；i是光栅划分的段数，须满足： $i\ll \frac{L}{\Lambda }$ 。 ${\delta }_m$ 是自耦

合系数，定义为：

${\delta }_m=\frac{1}{2}\left({\beta }_{01}^{co}-{\beta }_m^{cl}-\frac{2\pi }{\Lambda }\right)$ ,(6)

其中 ${\beta }_{01}^{co}$ 和 ${\beta }_m^{cl}$ 分别是纤芯模LP₀₁与包层模LP_0m的传播常量。

当将LPG级联，第一个光栅耦合到包层的光若还未损耗完就遇到第二个光栅，会被重新耦合回第二个光栅的纤芯，与原本纤芯模中的光相遇，因有光程差而产生内Mach-Zehnder干涉，出现干涉峰 [16] 。它们的相位差为：

$\Delta \varphi =\left(n_{01}^{co}-n_{0m}^{cl}\right)\cdot \left(\frac{L_1+L_2}{2}+d\right)$ ,(7)

两相邻干涉峰的波长间距为：

$\Delta \lambda =\frac{{\lambda }^2}{\Delta \varphi }=\frac{{\lambda }^2}{\left(n_{01}^{co}-n_{0m}^{cl}\right)\cdot \left(\frac{L_1+L_2}{2}+d\right)}$ ,(8)

将光经过级联长周期光栅后的纤芯模振幅和包层模振幅由传输矩阵表示为：

$\left[\begin{array}{c}r\\ s\end{array}\right]=F_2\times F_d\times F_1\times \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ ,(9)

其中 $F_1$ 和 $F_2$ 是LPG1和LPG2的传输矩阵。 $F_d$ 是间隔光纤的传输矩阵， $F_d$ [17] 表示为：

$F_d=\left[\begin{array}{cc}\exp \left[i\frac{\pi }{\lambda }\left(n_{01}^{co}-n_{0m}^{cl}\right)d\right]& 0\\ 0& \exp \left(-\frac{i\phi }{\lambda }\right)\end{array}\right]$ , (10)

则 $d=0,\phi \ne 0$ 的相移CLPG的纤芯模传输振幅r和包层模传输振幅s表示为：

$\left[\begin{array}{c}r\\ s\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{r}_2& s_2\\ s_2& r_2^{*}\end{array}\right]F_d\left[\begin{array}{cc}\exp \left(\frac{i\phi }{2}\right)& 0\\ 0& \exp \left(-\frac{i\phi }{2}\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{r}_1& s_1\\ s_1& r_1^{*}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ , (11)

式中 $r_1^{*}$ 和 $r_2^{*}$ 分别为两段长周期光栅基模传输振幅的共轭复数。平行传输率 $T_{ph}$ ：

$T_{ph}={\left|\exp \left[i\phi \right]\left(r_1{r}_2+s_1{s}_2\right)\right|}^2$ , (12)

$d\ne 0,\phi =0$ 的无相移的级联长周期光栅的平行传输率 $T_c$ ：

$T_c={\left|r\right|}^2={\left|\exp \left[i\frac{\pi }{\lambda }\left(n_{01}^{co}-n_{0m}^{cl}\right)d\right]\left(r_1{r}_2+s_1{s}_2\right)\right|}^2$ , (13)

3.仿真结果与分析

仿真采用Corning SMF-28 (康宁公司生产普通单模光纤)结构参数进行模拟：纤芯半径a₁ = 4.15 μm，纤芯折射率n₁ = 1.45，包层半径a₂ = 62.5 μm，包层折射率n₂ = 1.445，外界折射率n₃ = 1 [5] 。对于均匀LPG，纤芯模只和具有轴对称场分布的一阶奇次包层模耦合，且高次模更为敏感 [18] 。综合考虑选取一阶九次包层模来研究两LPG在级联时改变光栅周期Λ、长度L和折射率调制深度Δ_n对CLPG光谱的影响。

3.1. 周期对CLPG光谱特性的影响

改变两LPG的刻写周期，图1给出了不同光栅刻写周期时CLPG的光谱特性。由图1可以看出随着光栅刻写周期的增加损耗峰向长波方向漂移，在光栅周期Λ = 500 μm时得到了窄而深的最佳损耗峰。当周期小于或大于500 μm时，损耗峰都发生了明显分裂。进一步对不同谐振波长与光栅周期变化关系进行了线性拟合(如图2)，得到光栅周期变化与谐振波长漂移具有良好的线性关系。

Figure 1. Changes the normal CLPG transmission spectrum of two LPG periods

图1. 改变两LPG周期的正常CLPG透射谱

Figure 2. Relationship between CLPG period and wavelength

图2. CLPG周期与波长的关系

接着改变正常CLPG中LPG1的刻写周期，保持LPG2的周期Λ = 500 μm不变，LPG1分别取490 μm、495 μm、500 μm、505 μm。如图3：

Figure 3. CLPG transmission spectrum with changing LPG2 period; (a) 490 μm; (b) 495 μm; (c) 500 μm; (d) 505 μm

图3. 改变LPG2周期的CLPG透射谱；(a) 490 μm；(b) 495 μm；(c) 500 μm；(d) 505 μm

当LPG1周期变为490 μm时LPG1与LPG2损耗峰发生重叠，重叠处的波长会重新耦合到纤芯，产生Mach-Zehnder干涉，出现第三干涉峰。随着LPG2周期增大，重叠的损耗峰增加，第三干涉峰透射率也在增加。当两光栅相同时，损耗峰完全重叠，此时出现透射率最高，带宽最窄的干涉峰。这是因为具有光程差的两个光发生干涉时，他们的光程差是由光栅的周期决定的，相同周期的光经过光栅因其恒定的相位差而产生最佳干涉峰。

进一步对周期与的波长偏移进行了线性拟合，如图4：改变级联光栅中LPG1的周期与其引起的波长偏移同样具有良好线性关系，且三个损耗峰向长波方向的偏移速度保持一致。

Figure 4. Relationship between CLPG wavelength and phase shift when LPG2 period is changed

图4. 改变LPG2周期的CLPG波长与相移的关系

3.2. 长度对CLPG光谱特性的影响

使周期Λ = 500 μm和其他参数不变。改变两个LPG光栅长度，图5分别绘制了长度L为2 cm、2.5 cm、3 cm、3.5 cm时CLPG的透射谱。可以发现：谐振峰波长无漂移，两个LPG发生Mach-Zehnder干涉出现干涉峰。干涉峰随长度的增加峰值逐渐增大，带宽逐渐减小。造成CLPG干涉峰透射率变化的主要原因是由于干涉发生时不同波长的模式的振幅不同。根据光的干涉原理，干涉条纹的对比度可以表示为：

$K=\frac{2A_{cl}/A_{co}}{1+{\left(A_{cl}/A_{co}\right)}^2}$

在CLPG中，A_cl和A_co分别表示在重新耦合发生时的包层模和纤芯模的振幅。当A_cl和A_co相等时，有K = 1，此时干涉对比度最大。当长度L = 3 cm时，损耗峰值达到最大。此后，长度进一步增加，峰值减小。

进一步改变CLPG中LPG1的长度，保持LPG2的长度不变，选取两LPG长度比值分别为1:2、1:1.5、1:1、1.5:1、10:1、100:1这6种情况下长度改变对CLPG透射率的影响。从图6可以看出此时波长无明显漂移。当长度小于3 cm时，随着LPG1的长度增大，干涉峰透射率增大。当两LPG长度相同，干涉峰损耗达到最大为−26.9271 dB。之后LPG1长度增大，级联光栅的透射谱逐渐减小。比值为100:1时，CLPG透射谱减小到与单个LPG2的透射谱重合。

Figure 5. CLPG transmission spectrum with two LPG lengths changed

图5. 改变两LPG长度的CLPG透射谱

Figure 6. Depth CLPG transmission spectrum of changing LPG1 length

图6. 改变LPG1长度的CLPG透射谱

3.3. 折射率调制深度对CLPG光谱特性的影响

保持周期Λ = 500 μm，长L = 3 cm，其他参数不变。改变两LPG的折射率调制深度，仿真过程中取折射率调制深度分别为0.00013~0.00017 (如图7)。进一步改变级联长周期光栅中LPG1的调制深度，保持LPG2的折射率调制深度不变(如图8)。

Figure 7. CLPG transmission spectrum with different refractive index depths of two LPG

图7. 改变两LPG折射率调制深度的CLPG透射谱

Figure 8. CLPG transmission spectra for changing the modulation depth of LPG1 refractive index

图8. 改变LPG1折射率调制深度的CLPG透射谱

此时谐振峰波长无明显偏移，随着折射率调制深度的增加，损耗峰透射率增大。在Δ_n = 0.00014时达到最大，纤芯模LP₀₁与包层模LP₀₉满耦合，进一步增大调制深度，光栅发生过耦合，损耗峰将减小。

进一步改变级联长周期光栅中LPG1的调制深度，保持LPG2的折射率调制深度不变(如图9)。损耗峰仍保持先增大再减小的趋势，当折射率调制深度都取0.00014时，损耗峰损耗强度达到最大，3 dB带宽达到最窄。将两种情况下CLPG的透射率横向对比(如图9)，发现只改变LPG1折射率调制深度，导致了损耗峰值变化速率降低，削弱了折射率调制深度对CLPG折射率的影响。

Figure 9. Relationship between CLPG transmittance and modulation depth

图9. CLPG透射率与调制深度的关系

4. 结论

对两个LPG级联而成的CLPG进行仿真分析，分别分析周期Λ，光栅长度L，折射率调制深度Δ_n在LPG1和LPG2同时改变或只改变LPG1两种情况下，CLPG透射谱变化规律。结果表明：光栅的周期与损耗峰波长呈线性关系。光栅的长度和折射率调制深度决定了CLPG的耦合强度。当级联的两个LPG结构参数越接近，损耗峰值透射率就越高，各个参数对CLPG的调控就越有效。在进行LPG传感器设计时，为保证获得更明显的光谱，应首先选用两个参数相同的LPG级联。当两个级联LPG周期Λ = 500 μm，长度L = 3 cm，折射率调制深度Δ_n = 0.00014时，得到了CLPG窄而深的高分辨度损耗峰。通过以上多种情况的分析，为级联长周期光纤光栅在光通信和滤波器的实际应用中提供了很好的理论依据，在工业生产中的温度 [19] 、浓度 [20] 、折射率 [21] 传感具有潜在应用。

参考文献