S-弱鞅的一类Marshall型极大值概率不等式

A Class of Marshall Type Maximal Inequality for Strong Demimartingales

摘要: 本文利用S-弱鞅的一个Chow型极大值概率不等式，得到了关于S-弱鞅的一类Marshall型极大值概率不等式。

Abstract: In this paper, a class of Marshall type maximal inequality is obtained for strong demimartingales by using a Chow type maximal inequality.

1. 简介和预备知识

在本文中， $\left\{S_n,n\ge 1\right\}$ 或 $\left\{X_n,n\ge 1\right\}$ 表示定义在概率空间 $\left(\Omega ,\mathcal{F},{\rm P}\right)$ 上的随机变量序列， $S_0\equiv 0$ ， $I_A$ 表示集合A的示性函数。

定义1 设 $\left\{X_n,n\ge 1\right\}$ 是 $L^1$ 随机变量序列，称 $\left\{X_n,n\ge 1\right\}$ 是相协的是指对于任意使下述协方差存在的分量不减的函数f和g，都有

$Cov\left(f\left(X_1,\cdots ,X_n\right),g\left(X_1,\cdots ,X_n\right)\right)\ge 0$

定义2 设 $\left\{S_n,n\ge 1\right\}$ 是 $L^1$ 随机变量序列，称 $\left\{S_n,n\ge 1\right\}$ 是一个弱鞅是指对任意使下述期望存在的分量不减的函数f，以及 $j=1,2,\cdots$ 都有

$E\left[\left(S_{j+1}-S_j\right)f\left(S_1,\cdots ,S_j\right)\right]\ge 0$ (1.1)

Newman和Wright在文献 [1] 中提出了弱鞅的概念以及弱鞅的Chow型极大值不等式，并证明了均值为零的相协序列的部分和序列是一个弱鞅。之后众多学者基于此概念进行了进一步的研究，并给出了一些有意义的结果 [2] [3] [4] [5] 。Christofides [6] 推广了Chow型极大值概率不等式，并利用它得到了弱鞅的强大数定律。

定义3 设 $\left\{S_n,n\ge 1\right\}$ 是 $L^1$ 随机变量序列，称 $\left\{S_n,n\ge 1\right\}$ 是一个S-弱鞅是指对任意使下述协方差存在的分量不减的函数f和g，以及 $j=1,2,\cdots$ 都有

$Cov\left(g\left(S_{j+1}-S_j\right),f\left(S_1,\cdots S_j\right)\right)\ge 0$ (1.2)

S-弱鞅的概念由Hadjikyriakou于文献 [7] 中提出，该文献给出了S-弱鞅的中心极限定理。一个随机变量序列 $\left\{S_n,n\ge 1\right\}$ ，其中 $S_n={\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{X}_n}$ ， $\left\{X_n\right\}$ 是相协的，则序列 $\left\{S_n,n\ge 1\right\}$ 是一个S-弱鞅，此外，如果 $\left\{X_n,n\ge 1\right\}$ 是一个零均值序列，则序列 $\left\{S_n,n\ge 1\right\}$ 是一个弱鞅。文献 [8] 给出了S-弱鞅的Chow型极大值概率不等式和Brunk-Prokhorov型强大数定律。

注 相协随机变量的部分和序列是一个S-弱鞅，各项均值相同的S-弱鞅是一个弱鞅。

一般地，设X是零均值的平方可积随机变量，对任意 $\epsilon >0$ ，有

$P\left(X\ge \epsilon \right)\le \frac{E{X}^2}{{\epsilon }^2+E{X}^2}$

Marshall [9] 将上述概率不等式推广到如下形式

$P\left(\underset{1\le k\le n}{\max }{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{X}_i\ge \epsilon }\right)\le \frac{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}E{X}_i{}^2}}{{\epsilon }^2+{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}E{X}_i{}^2}},\forall \epsilon >0$ (1.3)

这里 $E{X}_1=0$ ， $E\left(X_1|X_1,X_2,\cdots ,X_{i-1}\right)=0$ ， $2\le i\le n$ ，且 $E{X}_i^2<\infty$ ， $1\le i\le n$ 。此不等式也被称为Marshall型极大值概率不等式。

在上述条件下，如果令 $S_i={\displaystyle {\sum }_{j=1}^i{X}_j}$ ，则 $\left\{S_i,i\le 1\le n\right\}$ 是一个鞅。Mu和Miao [10] 将(1.3)式推广到如下形式

$P\left(\underset{1\le k\le n}{\max }{S}_k\ge \epsilon \right)\le \frac{E{\left|S_n\right|}^p}{{\alpha }^{1-p}{\epsilon }^p+E{\left|S_n\right|}^p}$ (1.4)

这里， $E{\left|X_i\right|}^p<\infty$ ， $i=1,2,\cdots ,n$ ，且 $p\ge 2$ ， $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ，其中 $\alpha$ 是下列函数的最大值

$h\left(x\right)=1-x+{\left(1-x\right)}^{2-q}{x}^{q-1},x\in \left[0,1\right]$

特别地，当 $p=2$ 时，(1.4)式为(1.3)式所表示的Marshall型极大值概率不等式。

Hu [11] 将文献 [10] 中的结论推广到弱鞅情形下，得到了弱鞅的Marshall型极大值和极小值概率不等式。文献 [12] 将文献 [11] 中关于弱鞅 $\left\{S_n,n\ge 1\right\}$ 的Marshall型极大值概率不等式推广到弱鞅函数的情形下。

受到上述文献的启发，文本利用S-弱鞅的一个Chow型极大值概率不等式，得到了关于S-弱鞅 $\left\{S_n,n\ge 1\right\}$ 的一类Marshall型极大值概率不等式。

2. 主要结论及其证明

引理1 [13] 若 $E{\left|X\right|}^p<\infty$ ， $E{\left|Y\right|}^q<\infty$ ，则有

$E\left|XY\right|\le {\left(E{\left|X\right|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}{\left(E{\left|Y\right|}^q\right)}^{\frac{1}{q}},p>1$ (2.1)

$E\left|XY\right|\ge {\left(E{\left|X\right|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}{\left(E{\left|Y\right|}^q\right)}^{\frac{1}{q}},0<p<1$ (2.2)

引理2 [8] 设 $\left\{S_n,n\ge 1\right\}$ 是一个S-弱鞅，M是一个常数，且 $E{S}_k\le M$ ， $k\ge 1$ ，则对任意 $\epsilon >M-E{S}_n$ ，有

$P\left(\underset{1\le k\le n}{\max }{S}_k\ge \epsilon \right)\le \frac{1}{\epsilon -M+E{S}_n}E\left[S_n{I}_{[{\max }_{1\le k\le n}{S}_k\ge \epsilon ]}\right]$ (2.3)

特别地，当 $M=0$ 时，有

$P\left(\underset{1\le k\le n}{\max }{S}_k\ge \epsilon \right)\le \frac{1}{\epsilon +E{S}_n}E\left[S_n{I}_{[{\max }_{1\le k\le n}{S}_k\ge \epsilon ]}\right]$

引理3 设 $\left\{S_n,n\ge 1\right\}$ 是一个S-弱鞅，且对任意 $n\ge 1$ 有 $E{S}_n\le 0$ ，假定存在 $p>1$ ，使得对所有 $n\ge 1$ ，都有 $E{\left|S_n\right|}^p<\infty$ 。则对任意 $\epsilon >-E{S}_n$ ，有

${\left[p(\wedge ){\left(1-p(\wedge )\right)}^q+p{(\wedge )}^q\left(1-p(\wedge )\right)\right]}^{\frac{1}{q}}{\left(E{\left|S_n\right|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}\ge \left(\epsilon +E{S}_n\right)p(\wedge )$ (2.4)

其中 $\wedge =\left\{{\max }_{1\le k\le n}{S}_k\ge \epsilon \right\}$ 。

证明 记 $Y=I_{\wedge }$ ，由引理1中的(2.1)式和引理2，可得

$\begin{array}{c}{\left(E{\left|Y-EY\right|}^q\right)}^{\frac{1}{q}}{\left(E{\left|S_n\right|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}\ge E\left|\left(Y-EY\right)S_n\right|\\ \ge E\left[\left(Y-EY\right)S_n\right]\\ =E\left(Y{S}_n\right)-EYE{S}_n\\ =E\left[I_{\wedge }{S}_n\right]-E{I}_{\wedge }E{S}_n\\ \ge E\left[I_{\wedge }{S}_n\right]\\ \ge \left(\epsilon +E{S}_n\right)P(\; \wedge \; )\end{array}$

又因为

$\begin{array}{c}E{\left|Y-EY\right|}^q={\left|EY\right|}^q\left(1-P(\wedge )\right)+{\left|1-P(\wedge )\right|}^{q}P(\wedge )\\ ={\left(P(\wedge )\right)}^q\left(1-P(\wedge )\right)+{\left(1-P(\wedge )\right)}^{q}P(\; \wedge \; )\end{array}$

结论得证。

定理1 设 $\left\{S_n,n\ge 1\right\}$ 是一个S-弱鞅，且对任意 $n\ge 1$ ， $E{S}_n\le 0$ 。若存在 $p>1$ ，使得对任意 $n\ge 1$ ，有 $0<E{\left|S_n\right|}^p<\infty$ ，则对任意 $\epsilon >-E{S}_n$ ，有

$P(\wedge )\le \frac{1}{1+N}$

其中N是下面方程的正解

$x^q=\left(\beta -1\right)x+\beta ,x\in \left(0,\infty \right)$ (2.5)

这里 $\beta ={\left(\epsilon +E{S}_n\right)}^q/{\left(E{\left|S_n\right|}^p\right)}^{q/p}$ ， $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ， $\wedge =\left\{{\max }_{1\le k\le n}{S}_k\ge \epsilon \right\}$ 。

证明 当 $P(\wedge )=0$ ，结论显然成立，下面考虑 $P(\wedge )>0$ 的情况。由引理3可知

$\left[P(\wedge ){\left(1-P(\wedge )\right)}^q+P{(\wedge )}^q\left(1-P(\wedge )\right)\right]{\left[E{\left|S_n\right|}^p\right]}^{\frac{q}{p}}\ge {\left(\epsilon +E{S}_n\right)}^{q}P{(\wedge )}^q$

两边同除以 $P{(\wedge )}^q$ 可得

$\left[P(\wedge )\frac{{\left(1-P(\wedge )\right)}^q}{P{(\wedge )}^q}+\left(1-P(\wedge )\right)\right]{\left(E{\left|S_n\right|}^p\right)}^{\frac{q}{p}}\ge {\left(\epsilon +E{S}_n\right)}^q$

令 $x_0=\frac{1-P(\wedge )}{P(\wedge )}$ ， $\beta =\frac{{\left(\epsilon +E{S}_n\right)}^q}{{\left(E{\left|S_n\right|}^p\right)}^{\frac{q}{p}}}$ ，则有 $\text{Cdt}\text{.Rows[0][Shortname]}\text{.ToString()}$ 。

因此

$\frac{x_0{}^q}{1+x_0}+\frac{x_0}{1+x_0}\ge \beta$

即

$x_0{}^q\ge \left(\beta -1\right)x_0+\beta$

令 $h\left(x\right)=x^q-\left(\beta -1\right)x-\beta$ ，易得 $h\left(x\right)$ 有唯一正解，设N是方程(2.5)的唯一正解，由于当 $x\in \left(0,+\infty \right)$ 时， $h^{″}\left(x\right)=q\left(q-1\right)x^{q-2}>0$ ，因此对任意 $x\in \left(0,N\right)$ ，有

$\frac{h\left(x\right)-h\left(0\right)}{x-0}\le \frac{h\left(N\right)-h\left(x\right)}{N-x}$

由于 $h\left(0\right)=-\beta <0$ 且 $h\left(N\right)=0$ ，所以对任意 $x\in \left(0,N\right)$ ，有 $h\left(x\right)<0$ 。故N是使(2.5)式成立的最小正值，结论得证。

推论1 设 $\left\{S_n,n\ge 1\right\}$ 是一个S-弱鞅，对任意 $n\ge 1$ ， $E{S}_n\le 0$ 且 $E{S}_n=E{S}_{n+1}$ 。若存在 $p>1$ ，使得对任意 $n\ge 1$ ，有 $0<E{\left|S_n\right|}^p<\infty$ ，则对任意 $\epsilon >-E{S}_n$ ，有

$P(\wedge )\le \frac{1}{1+N}$

其中N为下面方程的正解

$x^q=\left(\beta -1\right)x+\beta ,x\in \left(0,\infty \right)$

这里 $\beta ={\left(\epsilon +E{S}_n\right)}^q/{\left(E{\left|S_n\right|}^p\right)}^{q/p}$ ， $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ， $\wedge =\left\{{\max }_{1\le k\le n}{S}_k\ge \epsilon \right\}$ 。

证明 当S-弱鞅各项期望都相等时，该序列是一个弱鞅序列，则由文献 [12] 中推论2，结论得证。

定理2 设 $\left\{S_n,n\ge 1\right\}$ 是一个S-弱鞅，且满足 $E{S}_n\le 0$ ， $n\ge 1$ 。假定存在一个 $p\ge 2$ ，使得对任意 $n\ge 1$ ，有 $E{\left|S_n\right|}^p<\infty$ ，则对任意 $\epsilon >-E{S}_n$ ，有

$P\left(\underset{1\le k\le n}{\max }{S}_k\ge \epsilon \right)\le \frac{E{\left|S_n\right|}^p}{{\left(\epsilon +E{S}_n\right)}^p{\alpha }^{1-p}+E{\left|S_n\right|}^p}$

这里 $\alpha$ 为 $h\left(x\right)=1-x+{\left(1-x\right)}^{2-q}{x}^{q-1}$ 在区间 $\left[0,1\right]$ 上的极大值。

证明 显然 $h\left(x\right)$ 在区间 $\left[0,1\right]$ 上有极大值，设此极大值为 $\alpha$ ，因为

$\begin{array}{l}{\left[P(\wedge ){\left(1-P(\wedge )\right)}^q+\left(1-P(\wedge )\right)P{(\wedge )}^q\right]}^{\frac{1}{q}}\\ =P{(\wedge )}^{\frac{1}{q}}{\left(1-P(\wedge )\right)}^{\frac{1}{p}}{\left[{\left(1-P(\wedge )\right)}^{q-\frac{q}{p}}+{\left(1-P(\wedge )\right)}^{1-\frac{q}{p}}P{(\wedge )}^{q-1}\right]}^{\frac{1}{q}}\\ =P{(\wedge )}^{\frac{1}{q}}{\left(1-P(\wedge )\right)}^{\frac{1}{p}}{\left[\left(1-P(\wedge )\right)+{\left(1-P(\wedge )\right)}^{2-q}P{(\wedge )}^{q-1}\right]}^{\frac{1}{q}}\\ \le P{(\wedge )}^{\frac{1}{q}}{\left(1-P(\wedge )\right)}^{\frac{1}{p}}{\alpha }^{\frac{1}{q}}\end{array}$

根据(2.5)式

${\alpha }^{\frac{1}{q}}P{(\wedge )}^{\frac{1}{q}}{\left(1-P(\wedge )\right)}^{\frac{1}{p}}{\left(E{\left|S_n\right|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}\ge \left(\epsilon +E{S}_n\right)P(\; \wedge \; )$

即

${\alpha }^{\frac{1}{q}}{\left(1-P(\wedge )\right)}^{\frac{1}{p}}{\left(E{\left|S_n\right|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}\ge \left(\epsilon +E{S}_n\right)P{(\wedge )}^{1-\frac{1}{q}}$

上式两边同时p次方

${\alpha }^{\frac{p}{q}}\left(1-P(\wedge )\right)\left(E{\left|S_n\right|}^p\right)\ge {\left(\epsilon +E{S}_n\right)}^{p}P(\; \wedge \; )$

则

$P\left(\underset{1\le k\le n}{\max }{S}_k\ge \epsilon \right)\le \frac{E{\left|S_n\right|}^p}{{\left(\epsilon +E{S}_n\right)}^p{\alpha }^{1-p}+E{\left|S_n\right|}^p}$

结论得证。

基金项目

国家自然科学基金项目(12261080, 62261049)，西北师范大学研究生科研资助项目(2021KYZZ02093)。