关于自环图的能量的下界

The Lower Bound on the Energy of the Self-Loops Graph

摘要: 设图G=(V(G),E(G))是阶为n的简单图。令S⊆V(G)且|S|=σ，设图G_S是对图G中属于S的每个顶点增加一个自环所得到的图。图G_S的能量定义为，其中λ₁(G_S),…,λ_n(G_S)是图G_S的邻接矩阵的特征值。在本文中，我们利用自环图的邻接矩阵的特征值的性质构造了满足不等式条件的实数序列。运用分析不等式的技巧，我们得到了自环图G_S的能量E(G_S)的下界。

Abstract: Let G=(V(G),E(G)) be a simple graph of order . Let S⊆V(G) and |S|=σ, and let G_S be the graphobtained from G by adding a self-loop to each vertex belonging to S in graph G. The energy of G_S is defined as , where λ₁(G_S),…,λ_n(G_S) are the eigenvalues of the adjacency matrix of G_S. In this paper, by using the property of eigenvalues of the adjacency matrix of the self-loops graph G_S, we construct the sequence of real numbers satisfying some conditions of the inequality. By means of inequality analysis technique, we get the lower bound of the energy E(G_S) of the self-loops graph G_S.

1. 引言

研究带有自环的图的能量可以为其独特的属性和行为提供新的见解，这些属性和行为是普通图能量无法捕获的。自环是一条连接顶点和自身的边，它可以表示各种类型的化学信息。自环的一个重要用途是表示杂原子，即碳和氢以外的原子。在化学图论中，杂原子可以用自环来表示，表明它们有一个未配对的电子，使它们具有高度的反应性。在有机化学中，氮、氧、硫等杂原子常存在于胺、酰胺、醇、硫醇等官能团中，参与化学反应。带有未配对电子的杂原子的存在可以增加分子的反应性，因此在分析化合物的化学性质时考虑自环是很重要的，文献 [1] [2] [3] 的结果成为研究自环图的基础。一个简单图的能量的相关研究源自于共轭分子(分子轨道)HMO的总π-电子能量，它在热力学及其分子结构中有十分重要的意义，能解释碳氢化合物形成过程中产生的能量。总π-电子能量的计算为其分子图的所有特征值的绝对值之和 [4] 。

在2022年，Gutman等学者在文献 [5] 中首次将简单图能量推广到带自环的图能量中并且给出了它的相关性质和能量的上界。对于文献 [5] 中提出的“图G是阶为n的简单图， $S\subseteq V\left(G\right)$ 且 $\left|S\right|=\sigma$ ，图 $G_S$ 是对图G中属于S的每个顶点增加一个自环所得到的图，若 $1\le \sigma \le n-1$ ，则图G的能量总是严格小于自环图 $G_S$ 的能量”这一猜想，Jovanovic等学者在 [6] 中构造了一类反例图否定了该猜想。文献 [7] 和 [8] 的作者分别将图的拉普拉斯能量概念和基于度的拓扑指数、关联矩阵及其能量概念从简单图扩展到具有自环的图中，并推导出了相应的特征值性质和能量的上界，这进一步地丰富了能量的相关研究领域。Jahanbani在文献 [9] 和 [10] 中得到了一些图能量的下界。在 [11] 中Jahanbani等学者分别利用邻接矩阵的直径、图中圈长为4的数目、图的色数得到了图的能量的下界。Milovanovic等学者研究了一类McClelland类型的图能量的上界 [12] 。在文献 [13] 中，Akbari等学者研究了一些带有自环的特殊图类的谱，并且用另外一种方法证明了Gutman等人在 [5] 中得到的自环图能量的上界。受到以上结果的启发，本文主要研究了自环图能量的下界，特别地，当图的自环数 $\sigma =0$ 时，我们得到的下界恰好为一个已知的简单图能量的下界 [11] 。

2. 预备知识

设G是一个顶点集为 $V\left(G\right)=\left\{v_1,\cdots ,v_n\right\}$ 和大小(边的数目)为m的简单图。用 $A\left(G\right)=\left[a_{ij}\right]$ 表示图G的邻接矩阵，若 $v_i$ 和 $v_j$ 相邻接，则 $a_{ij}=1$ ，否则 $a_{ij}=0$ [14] 。对于一个 $n\times n$ 的复矩阵M，定义是 $s\left[M\right]={\max }_{ij}\left|{\lambda }_i-{\lambda }_j\right|$ 为复矩阵谱的直径，式中 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$ 表示复矩阵M的特征值 [15] 。众所周知，图G的

邻接矩阵的特征值满足 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i\left(G\right)=0}$ 和 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i{}^2}\left(G\right)=2m$ 。

图G的能量 $E\left(G\right)$ 是由Gutman [16] 在1978年提出，定义如下：

$E\left(G\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left|{\lambda }_i\right|}$ , (1)

其中 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$ 是邻接矩阵 $A\left(G\right)$ 的特征值。

设 $S\subseteq V\left(G\right)$ 且 $\left|S\right|=\sigma$ 。设 $G_S$ 是在图G的基础上，对属于集合S中的每个顶点增加一个自环所得到的图。2021年，Gutman等学者在 [5] 中给出了 $G_S$ 的邻接矩阵 $A\left(G_S\right)$ 的定义。矩阵 $A\left(G_S\right)$ 是一个n阶的对称矩阵，其中矩阵 $A\left(G_S\right)$ 的 $\left(i,j\right)$ 元素定义为：

$A{\left(G_S\right)}_{ij}=\{\begin{array}{ll}1,\hfill & 如果v_i和v_j相邻;\hfill \\ 0,\hfill & 如果v_i和v_j不相邻;\hfill \\ 1,\hfill & 如果i=j且v_i\in S;\hfill \\ 0,\hfill & 如果i=j且v_i\notin S;\hfill \end{array}$ (2)

Gutman [5] 等学者提出了自环图的能量概念，定义如下：

$E\left(G_S\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left|{\lambda }_i\left(G_S\right)-\frac{\sigma }{n}\right|}$ , (3)

其中 ${\lambda }_1\left(G_S\right),\cdots ,{\lambda }_n\left(G_S\right)$ 是矩阵 $A\left(G_S\right)$ 的特征值。

我们根据邻接矩阵 $A\left(G_S\right)$ 的定义和矩阵的迹的定义可以得到以下等式

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i\left(G_S\right)=\sigma }$ . (4)

本文主要研究了自环图 $G_S$ 的能量 $E\left(G_S\right)$ 的下界。

3. 一些辅助引理

接下来我们给出一些引理和定理，它们在我们的结果证明过程中起着重要作用。

引理1 [5] 令 $G_S$ 是一个阶为n，边数为m，并且有 $\sigma$ 个自环的图。设 ${\lambda }_1\left(G_S\right),\cdots ,{\lambda }_n\left(G_S\right)$ 是它的特征值，则有

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left|{\lambda }_i\left(G_S\right)-\frac{\sigma }{n}\right|}^2}=2m+\sigma -\frac{{\sigma }^2}{n}$ . (5)

定理1 [5] 设 $G_S$ 是一个阶为n，边数为m，并且有 $\sigma$ 个自环的图。则

$E\left(G_S\right)\le \sqrt{n\left(2m+\sigma -\frac{{\sigma }^2}{n}\right)}$ . (6)

定理2 [11] 设G是一个有m条边且邻接矩阵为 $A\left(G\right)$ 的简单连通图。则

$E\left(G\right)\ge \frac{4m}{s\left[A\left(G\right)\right]}$ , (7)

当 $G\cong K_n$ 和 $G\cong K_{\frac{n}{2},\frac{n}{2}}$ 时等号成立。

4. 主要结果及其证明

在下面的定理中，我们用 $\sigma ,n,m$ 和邻接矩阵 $A\left(G_S\right)$ 建立了自环图的能量 $E\left(G_S\right)$ 的下界。

定理3 令 $G_S$ 是一个阶为n，边数为m，并且有 $\sigma$ 个自环和邻接矩阵为 $A\left(G_S\right)$ 的图。则有

$E\left(G_S\right)\ge \frac{2\left(2m+\sigma -\frac{{\sigma }^2}{n}\right)}{s\left[A\left(G_S\right)\right]}$ . (8)

证明 设 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 和 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 是两个实数序列，其中 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 满足

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left|x_i\right|}=1,{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_i=0}$ . (9)

对于这样的序列，在专著 [17] 中证明了以下不等式

$\left|{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_i{x}_i}\right|\le \frac{1}{2}\left(\underset{1\le i\le n}{\max }\left(a_i\right)-\underset{1\le i\le n}{\min }\left(a_i\right)\right)$ . (10)

设 $a_i={\lambda }_i\left(G_S\right)-\frac{\sigma }{n}$ ， $x_i=\frac{{\lambda }_i\left(G_S\right)-\frac{\sigma }{n}}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left|{\lambda }_i\left(G_S\right)-\frac{\sigma }{n}\right|}}$ ，其中 $i=1,\cdots ,n$ 。则有

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_i=\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left({\lambda }_i\left(G_S\right)-\frac{\sigma }{n}\right)}}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left|{\lambda }_i\left(G_S\right)-\frac{\sigma }{n}\right|}}}=0$ ,

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left|x_i\right|=\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left|{\lambda }_i\left(G_S\right)-\frac{\sigma }{n}\right|}}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left|{\lambda }_i\left(G_S\right)-\frac{\sigma }{n}\right|}}=1}$ . (11)

满足了等式(9)的条件。因此，根据引理1和自环图的能量的定义，我们有

$\frac{2m+\sigma -\frac{{\sigma }^2}{n}}{E\left(G_S\right)}=\left|\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left({\lambda }_i\left(G_S\right)-\frac{\sigma }{n}\right)}^2}}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left|{\lambda }_i\left(G_S\right)-\frac{\sigma }{n}\right|}}\right|\le \frac{1}{2}\left(\underset{1\le i\le n}{\max }\left({\lambda }_i\left(G_S\right)-\frac{\sigma }{n}\right)-\underset{1\le i\le n}{\min }\left({\lambda }_i\left(G_S\right)-\frac{\sigma }{n}\right)\right)$ , (12)

进一步我们得到

$\frac{2m+\sigma -\frac{{\sigma }^2}{n}}{E\left(G_S\right)}\le \frac{1}{2}\left(\max \left({\lambda }_i\left(G_S\right)\right)-\min \left({\lambda }_i\left(G_S\right)\right)\right)=\frac{1}{2}s\left[A\left(G_S\right)\right]$ , (13)

经过移项得到

$E\left(G_S\right)\ge \frac{2\left(2m+\sigma -\frac{{\sigma }^2}{n}\right)}{s\left[A\left(G_S\right)\right]}$ . (14)

特别地，当 $\sigma =0$ 时，即为定理2。

结合定理1和定理3可以直接得到如下结论。

推论1 令 $G_S$ 是一个阶为n，边数为m，并且有 $\sigma$ 个自环和邻接矩阵为 $A\left(G_S\right)$ 的图。则有

$\frac{2\left(2m+\sigma -\frac{{\sigma }^2}{n}\right)}{s\left[A\left(G_S\right)\right]}\le E\left(G_S\right)\le \sqrt{n\left(2m+\sigma -\frac{{\sigma }^2}{n}\right)}$ . (15)

5. 总结和讨论

在本文中，我们利用分析不等式的方法得到了自环图能量的下界，但这仅仅局限于分析不等式。对于图能量的研究方法还有很多，比如代数方法、矩阵论等方法，未来可以尝试利用这些方法探索出不同的上下界。对图能量的研究大多倾向于图的结构，而对它的应用研究得少，当然也有学者在图能量应用方面做了一些研究，如文献 [18] 探讨了图的能量在定量结构–性质/活性关系(QSPR/QSAR)中发挥的作用；文献 [19] 探讨了图的能量与熵有关。同样的，也可以将其类比到自环图的能量中，自环图的能量也可以作为一种有用的分子描述符，因为分子描述符是分子结构和物理化学性质的数学表示，这可以使研究人员更好地理解它的性质和行为。今后我们将倾向于探索自环图的应用，如探讨自环图的能量在定量结构–性质/活性关系(QSPR/QSAR)中发挥的作用和自环图能量与熵的关系等。

基金项目

国家自然科学基金(12101126)；福建省自然科学基金(2023J01539)。