1. 引言
数学练习题是永远做不完的,如何让学生跳出题海,减轻学生的学业负担。是数学教学中急需解决的一个重要问题。一题多解,顾名思义,指的是围绕一道题目展开的多角度练习。这是一种十分常见的练习形式。在进行一题多解练习时,学生需要思维发散,结合所学知识从不同角度、不同层面思考问题。教学实践反复证明,巧用一题多解,不仅能够提升学生学习的主动性。还能增强学生数学思维能力,促使学生从机械呆板的做题模式中解脱出来。本文将以一道初中平面几何题为例,来谈一题多解对于促进学生跳出题海包围圈的关键作用 [1] [2] 。
2. 案例分析
问题呈现:如图1,在
中,
,D为AC中点,E为AB上一点,连接ED,BC的延长线交于点F,
,
,
,
。则BC的长为
【试题解析】本题是一道经典的初中平面几何问题,几何是初中数学的重要知识点,几何的许多问题需要借助相似三角形来解决,添加不同的辅助线构造相似三角形往往是学生解题时的第一选择。本题题设条件简明,并且给出多个已知线段长度,学生解题时往往会容易着手。
解法1
【试题分析】如图2,已有的条件不能直接求出线段BC的长度,那么只需构造辅助线即可,过点D做
,根据
相似,求出MD的长度,在由勾股定理得到MC的长度,根据中位线原理
。
过点D做
,交BC于M。易知
得
,
,即
。因为
,
,所以
。在
中,由勾股定理得
,又因为M是BC中点,所以
。
解法2
【试题分析】如图3,过点E作
,交BF与点M,要想求BC的长度,那么只需求BM,MC长度即可。即
,求出MF,ME的长度,再根据勾股定理得到BM的长度。
过点E作
,交BF与点M,即
,因为
,
,
,所以
,
,由勾股定理可得
。由
可得,
,
,即
,
,在
中,
,
,由勾股定理可得
,
。
解法3
【试题分析】如图4,构造辅助线,即过点D作
,交AB于点M。只要求出MD的长度,根据中位线原理,
。
过点D作
,交AB于点M,
。因为
,
,所以
,
。D是AC的中点,设
,
,
,
,
,
。
解法4
【试题分析】如图5,作
,交AC于点M,只要求出AE的长度,根据三角形勾股定理即可求出BC的长度。由
,求出MD的长度。在由勾股定理求出EM长度,进而求出AE的长度。
作
,交AC于点M,即
,由
,
,
,得
,
,得
,得
,
,在
中,
,由勾股定理得
。在
中,
,
,由勾股定理得
,即
,在
中,
,
,由勾股定理得
。
解法5
【试题分析】如图6,构造辅助线,过点C作
,交AB于点M,由勾股定理得
,再根据中位线原理得到
。在由
,即可得到BC的长度。
过点C作
,交AB于点M,即
,由
,
,
,得
,由勾股定理得
,因为D是AC的中点,
,即
,又因为
,所以在
,设
,即
,
,
。
解法6
【试题分析】如图7,构造辅助线,过点C作
,交EF于点M。由
,得到DM长度,再由勾股定理得到CF,MF的长度。进而根据
,得到BC的长度。
过点C作
,交EF于点M,因为
,
,
,所以
(ASA),即
,
。由
,
,
,
可得
,
。又因为
,即
,
,
,
,即
。
解法7
【试题分析】如图8,当学生构造辅助线的方法已用完后,不妨进一步发散思维。已知BE,EF的长度,
,那么根据余弦定理得到BF的长度,进而得到BC的长度。
由
,
,
,可得
,由勾股定理可得
。由
,
,
。根据余弦定理
,可得
,
(舍去)
。
解法8
【试题分析】如图9,解析法是在平面直角坐标系的基础上,把几何问题转化为代数问题。以CF为X轴、CA为Y轴建立平面直角坐标系;其关键在于如何求E、B点的坐标。根据D、F两点坐标求出FE直线方程。再根据A,E求出AB的直线方程。最后即可求出B的坐标,即BC长度。
以C为原点,CF为X轴,CA为Y轴,建立平面直角坐标系。过E作
,即
,
,
,即
。由勾股定理的
,即
,
。设直线FE的方程为
,
得
,直线FE的方程
,当
时,
。即
。设直线AB方程
。由
,
得
,即
,直线AB的方程为
,令
,可得
,
,
。
3. 小结
上述的八种解法不仅用到了三角形勾股定理,余弦定理,全等三角形的判定及性质,还用到了添加辅助线,构造平面直角坐标系等知方法。这种题目,不仅能够帮助学生将所学的知识点联系起来,同时还能培养学生的数学思维能力,提高问题发现能力,问题解决能力,问题探究能力。教师在进行习题的讲解时,应充分引导学生发散思维,如这道题只有一种辅助线构造方法吗?除了辅助线的构造还有别的方法吗?你能借助不一样的知识点来解题吗?这样的教学方法对当下中学生数学思维能力大有益处。
4. 一题多解的价值分析
1) 一题多解有利于促进学生的核心素养
一题多解的教学模式有利于培养学生的数学推理、分析、思考和观察等能力。学生在认识数学、理解数学乃至创造数学的过程中,能建立起积极向上的学习态度,实现用数学的眼光看待现实世界。用数学的语言表达现实世界,用数学的思维分析现实世界,最终使学生的核心素养不断提升 [3] 。
2) 一题多解促进学生知识迁移
一题多解是梳理知识与思想方法的有效方式之一,它不仅可以实现知识的迁移与融会贯通,还可以使学生的解题思路得到发展。学生在学习数学的过程中,不应该单纯地记忆数学公式、概念和定理,还应形成固定的解题方法,从而节约解题时间。由此可见,一题多解不仅能强化基础知识、明晰解题思路,还能提升学习效率 [4] 。
参考文献