1. 引言
关于圆 [1] 和椭圆 [2] ,人们对其定义、几何性质、物理意义及其成因已有非常丰富的认识 [3] 。而对卵圆和卵形曲线的认识和研究相对滞后,对卵形线的深入研究很有必要。
对圆按一定方向一定比例作压缩或拉伸变换可以得到椭圆 [4] 。本文对椭圆进行一种纵向上压下拉变换,得到一类由椭圆变换成的曲线,简称为椭变曲线。对椭变曲线进行绘图实验和定形分析,发现它其实是卵圆或心形线,并推导出这类椭变曲线所围图形的面积、所围图形的质心、所围图形转动惯量、所围图形的旋转卵形体的体积等重要公式。
2. 定义
定义1:设
(1)
(2)
则称(2)的图形曲线为椭变曲线,称坐标系原点为的中心,三个参数e,c,k分别称为的轴半径、对称半径、定形系数,当
时称为椭变卵圆,当
时称为椭变心形线。
3. 椭变曲线的定形分析
通过对(2)中的参数e,c,k的数值有规律的改变,得到其曲线的不同图形。通过绘图实验,得到曲线不同参数下的形状和变化趋势,分析总结曲线的形状及其性质。
先限定轴半径e和对称半径c,而定形系数k则从0不断增大,来观察(2)曲线的图形变化。
现取
,
,而k分别取三组数值进行绘图实验:
①
,曲线形状变化情况如图1所示;
②
,曲线形状变化情况如图2所示;
③
,曲线形状变化情况如图3所示。
当
时,则(2)变成
(3)
显然(3)为长半轴为e,短半轴为c的椭圆方程。
由图1可以发现,随着k值的增大,曲线图形整体逐渐下移,曲线顶端上凸曲率逐渐变小,曲线形状呈卵圆形,当
时,曲线顶端局部呈直线状。
由图2可以发现,
后,曲线图形继续整体下移,曲线顶端形状发生凹陷,随着k值的增大,曲线顶端凹陷越来越明显,曲线形状呈心形状。
由图3可以发现,当
后,曲线形状还是呈心形状,曲线顶端凹陷的谷底越过x轴,随着k值的增大,曲线整体被向下拉长。
Figure 1. Limited axis radius e = 4, symmetric radius c = 3, shaping coefficient k = 0.1, 0.2, 0.3, 0.5, curve shape change
图1. 限定轴半径e = 4,对称半径c = 3,定形系数k = 0.1,0.2,0.3,0.5,曲线形状变化情况
Figure 2. Limited axis radius e = 4, symmetric radius c = 3, shaping coefficient k = 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, curve shape change
图2. 限定轴半径e = 4,对称半径c = 3,定形系数k = 0.6,0.7,0.8,0.9,曲线形状变化情况
Figure 3. Limited axis radius e = 4, symmetric radius c = 3, shaping coefficient k = 1.0, 1.3, 1.7, 2.0, curve shape change
图3. 限定轴半径e = 4,对称半径c = 3,定形系数k = 1.0,1.3,1.7,2.0,曲线形状变化情况
通过绘图实验可以总结出,椭变曲线(2)可通过对椭圆(3)按定形系数k的纵向上压下拉法的变换(简称为H变换)而得到,且y轴是椭变曲线(2)的对称轴,变化过程中,曲线在x轴上的端点保持不动。可以得出当
时,H变换把椭圆(3)变换成卵圆;当时,H变换把椭圆(3)变换成心形线。
取
,当
时的曲线整体形状随k值的变化规律如图4所示。
Figure 4. Curve shape changes with the change of k value
图4. 随k值改变,曲线形状整体变化情况
从图4看出,对椭圆(3)实施H变换的实质,是使椭圆(3)在y轴上的上、下两个端点位置同时向下移动ke单位,但椭变曲线的长轴长度2e保持不变,在x轴上的短轴及端点位置保持不变,椭圆图形被上压下拉。随k值的增大,在变形过程中形成卵圆和心形线。而椭圆则是卵圆的特殊形式 [5] 。
4. 椭变曲线的面积
定理1:设椭变曲线(2)的轴半径为e,对称半径为c,所围图形面积为S,则
(4)
证明:由文献( [6] , p. 204),知
(5)
将(2)及其导数代入(5)并化简,得
而
故
,即(4)成立。
注1:以e,c为长、短半轴的椭圆面积为
,而对椭圆(3)实施H变换后得到椭变曲线(2),但其面积仍为
,与k无关,故H变换为“等积变换”。
5. 椭变曲线所围图形的质心
定理2:设椭变曲线(2)的轴半径为e,对称半径为c,定形系数为k,曲线所围图形的质心为
,则
(6)
证明:由对称性显然有
。
设椭变曲线(2)的上半部为
,下半部为
,则由(2)可得
(7)
(8)
又设卵形曲线(2)所围图形对x轴的静力矩为
,则由文献( [7] , p. 229)知
(9)
将(7)和(8)代入(9)并化简,得
上式中令
,换元积分之,得
(10)
又
(11)
将(4)和(10)代入(11)得
,故(6)成立。
6. 椭变曲线所围图形的转动惯量
定理3:设椭变曲线(2)的轴半径为e,对称半径为c,定形系数为k,曲线所围图形绕y轴的转动惯量为
,则
(12)
其中
(13)
是面密度为常数
的卵形曲线薄片的质量。
证明:由文献( [7] , p. 239)知
(14)
将(7)和(8)代入(14)并化简,得
其中
。
7. 椭变曲线旋转卵形体的体积
定理4:设椭变曲线(2)的轴半径为e,对称半径为c,定形系数为k,曲线所围图形绕y轴旋转而成的旋转卵形体的体积为V,则
(15)
证明:由文献( [8] , p. 278)及(2)知,旋转卵形体的体积
故(15)成立。
注2:由(15)知,其体积与定形系数k无关,即与椭圆(3)绕y轴旋转而成的椭球的体积是相同的,这又一次佐证了H变换是“等积变换”。
8. 椭变曲线的周长
定理8:设椭变曲线(2)的轴半径为e,对称半径为c,定形系数为k,椭变曲线的周长为l,则
(16)
证明:由文献( [7] , p. 166)的弧长公式
(17)
将(2)的导数代入(17)并化简即得(16)。
注3:当
时,(16)变成
(18)
(18)正是长半轴为e,短半轴为c的椭圆的周长公式,这也佐证了公式(16)的正确性。
9. 结语
众所周知,圆、椭圆、双曲线、抛物线等二次曲线已被研究得十分完善,相对来说,人们对卵圆的研究进展较为缓慢。时至今日,对卵圆还没有公认的明确的统一定义。对圆按一定方向一定比例做压缩或拉伸变换可以得到椭圆,椭圆是圆的一个扩展,根据这一思路,本文对椭圆再进行单向压反向拉的H变换,提出一类参数方程,通过绘图实验和分析,得到了面积不变的卵圆或心形线,并获得了这类曲线的面积、周长、质心坐标、转动惯量、旋转卵形体的体积等重要公式,给卵圆和心形线的研究提出一种新思路、新方法。
参考文献
NOTES
*通讯作者。