两个度量的Gromov双曲性和强双曲性

Gromov Hyperbolicity and Strong Hyperbolicity of Two Metrics

摘要: 本文提出了在同一空间上的两个度量是sign-型的概念，研究了两个sign-型的Gromov双曲度量的和也具有Gromov双曲性，并推广至其线性组合的Gromov双曲性。在Ptolemy空间中，我们构造了一种强双曲度量。

Abstract: We introduce the notion of sign-likeness of two metrics on the same space, and study the Gromov hyperbolicity of the sum of two sign-like metrics which is generalized to the Gromov hyperbolicity of their linear combinations. In a Ptolemy space, we also construct a strongly hyperbolic metric.

1. 引言

设 $\left(D,d\right)$ 是一个度量空间，若存在 $\delta \ge 0$ ，对于任意的 $x,y,z,t\in D$ ，都有：

${\left(x|y\right)}_t\ge {\left(x|z\right)}_t\wedge {\left(y|z\right)}_t-\delta$ (1)

其中 ${\left(x|y\right)}_t=\frac{1}{2}\left[d\left(x,t\right)+d\left(y,t\right)-d\left(x,y\right)\right]$ ，则称度量空间 $\left(D,d\right)$ 为 $\delta$ -双曲空间或Gromov双曲空间。式

(1)等价于如下四点不等式：

$d\left(x,y\right)+d\left(z,t\right)\le \left(d\left(x,z\right)+d\left(y,t\right)\right)\vee \left(d\left(x,t\right)+d\left(y,z\right)\right)+2\delta$ ，

其中：对于任意的实数r和s， $r\vee s=\max \left\{r,s\right\}$ ， $r\wedge s=\min \left\{r,s\right\}$ 。

Gromov双曲性 [1] 是Gromov在研究抽象度量空间的“负曲率”弯曲时引入的一个重要概念。如果一个度量空间中的点都可以用测地线段相互连结，并且如果存在某个一致的常数 $\delta$ ，使得对任何以测地线段为边的三角形，都存在某点到三边的距离都小于 $\delta$ ，那么在这个空间中，边再长的三角形也还是显得比较瘦。具有这种瘦三角形性质的测地度量空间就称为 $\delta$ -双曲空间，也就是Gromov双曲空间。Gromov双曲性被广泛应用于几何、分析和拓扑等领域的研究中，尤其是与几何群论、微分几何等领域有密切的联系 [2] [3] [4] 。

双曲度量和双曲型度量是推动几何函数论发展的重要工具，许多在几何函数论中有重要应用的双曲型度量也具有Gromov双曲性，例如拟双曲度量 [5] 、Cassinian度量 [6] 、三角比度量 [7] 以及Ibragimov度量 [8] 等。Aksoy等 [9] 构造了两个单点型伸缩不变Cassinian度量的平均并证明了它们的Gromov双曲性，文中也举例说明了一般情况下两个Gromov双曲度量的和度量不一定具有Gromov双曲性。

Nica [10] 在2016年提出了强双曲空间的概念。设 $\left(D,d\right)$ 是一个度量空间，若存在 $\delta \ge 0$ ，对于任意的 $x,y,z,t\in D$ ，都有：

${\text{e}}^{-\epsilon {\left(x|y\right)}_t}\le {\text{e}}^{-\epsilon {\left(x|z\right)}_t}+{\text{e}}^{-\epsilon {\left(z|y\right)}_t}$ (2)

成立，则称度量空间 $\left(D,d\right)$ 为 $\epsilon$ -双曲空间或强双曲空间。式(2)等价于如下四点不等式：

${\text{e}}^{\frac{\epsilon }{2}\left(d\left(x,y\right)+d\left(z,t\right)\right)}\le {\text{e}}^{\frac{\epsilon }{2}\left(d\left(x,z\right)+d\left(y,t\right)\right)}+{\text{e}}^{\frac{\epsilon }{2}\left(d\left(x,t\right)+d\left(y,z\right)\right)}$

由于某些分析性质的研究需要，空间的Gromov双曲性是不够的，强双曲性提供了一种空间的强化。强双曲空间是一类在无穷远处具有良好的度量性质的Gromov双曲空间，例如，CAT(-1)空间和双曲平面H²空间都是参数为1的强双曲空间 [10] 。因此，构造一些合适的强双曲空间是非常有意义的 [11] [12] ，这将有助于完善对强双曲空间的研究工作。

既然两个一般的Gromov双曲度量空间之和不一定仍是Gromov双曲的,那么自然地我们要问什么样的度量空间的和能保持Gromov双曲性呢？为了回答这一问题，本文首先定义一类sign-型的度量，研究sign-型度量之和的Gromov双曲性(定理1)，扩展了Gromov双曲度量的和具有Gromov双曲性这一性质，并进一步证明sign-型度量的线性组合也具有Gromov双曲性(推论1)；其次，在Ptolemy空间中，我们推广一种特殊的构造强双曲空间的方法(定理2)。

2. 主要结论

本文采用的符号如下： $R$ 表示实数集， $R^n$ 表示n维欧氏空间。 $d\left(x,y\right)$ 表示度量空间 $\left(D,d\right)$ 中任意的两点x和y之间的距离， $d\left(x\right)$ 表示x与D的边界 $\partial D$ 之间的距离。当 $D\subseteq R^n$ 时， $\left|x-y\right|$ 表示x和y之间的欧氏距离。

设 $\left(D,d_1\right)$ 和 $\left(D,d_2\right)$ 是两个度量空间，对于任意的 $x,y,z,t\in D$ ，都有：

$\left[d_1\left(x,z\right)+d_1\left(y,t\right)-d_1\left(x,t\right)-d_1\left(y,z\right)\right]\left[d_2\left(x,z\right)+d_2\left(y,t\right)-d_2\left(x,t\right)-d_2\left(y,z\right)\right]\ge 0$ (3)

则称d₁和d₂是sign-型度量。例如，当d₁和d₂是线性关系时，那么d₁和d₂是sign-型度量。

下面给出sign-型度量求和的Gromov双曲性的结论。

定理1设 $\left(D,d_1\right)$ 和 $\left(D,d_2\right)$ 是两个Gromov双曲空间，如果d₁和d₂是sign-型度量，那么空间 $\left(D,d\right)$ ， $d=d_1+d_2$ 是Gromov双曲空间。

设 $\left(D,d\right)$ 是一个度量空间，若对于所有的 $x,y,z,t\in D$ ，都有

$d\left(x,y\right)d\left(z,t\right)\le d\left(x,z\right)d\left(y,t\right)+d\left(x,t\right)d\left(y,z\right)$ ，

则称 $\left(D,d\right)$ 是Ptolemy空间。在Ptolemy空间中，我们构造出如下形式的强双曲空间。

定理2设 $\left(D,d\right)$ 是一个Ptolemy空间，设 $d^{\prime }=d+\sqrt{2}\mathrm{sgn}\left(d\right)$ ，sgn为符号函数，那么度量空间 $\left(D,\log \sqrt{1+{d^{\prime }}^2}\right)$ 是带有参数2的强双曲空间。

3. 定理的证明及推论

3.1. 定理1的证明及推论

引理1设 $\left(D,d_1\right)$ 和 $\left(D,d_2\right)$ 是两个度量空间，对于任意的 $x,y,z,t\in D$ ，设

$T=\left(d_1\left(x,z\right)+d_1\left(y,t\right)+d_2\left(x,z\right)+d_2\left(y,t\right)\right)\vee \left(d_1\left(x,t\right)+d_1\left(y,z\right)+d_2\left(x,t\right)+d_2\left(y,z\right)\right)$

那么我们有

$d_1\left(x,z\right)+d_1\left(y,t\right)+d_2\left(x,t\right)+d_2\left(y,z\right)\le T$ (4)

$d_1\left(x,t\right)+d_1\left(y,z\right)+d_2\left(x,z\right)+d_2\left(y,t\right)\le T$ (5)

当且仅当d₁和d₂是sign-型的。

证明首先我们先证明必要性，假设d₁和d₂是sign-型的，那么根据T的选择可以分成两种情况：

i) $T=d_1\left(x,z\right)+d_1\left(y,t\right)+d_2\left(x,z\right)+d_2\left(y,t\right)$ 时，由d₁和d₂是sign-型的，我们可以得出

$d_1\left(x,z\right)+d_1\left(y,t\right)\ge d_1\left(x,t\right)+d_1\left(y,z\right)$

$d_2\left(x,z\right)+d_2\left(y,t\right)\ge d_2\left(x,t\right)+d_2\left(y,z\right)$

因此，可以推出(4) (5)成立。

ii) $T=d_1\left(x,t\right)+d_1\left(y,z\right)+d_2\left(x,t\right)+d_2\left(y,z\right)$ 时，由d₁和d₂是sign-型的，我们可以得出

$d_1\left(x,z\right)+d_1\left(y,t\right)\le d_1\left(x,t\right)+d_1\left(y,z\right)$

$d_2\left(x,z\right)+d_2\left(y,t\right)\le d_2\left(x,t\right)+d_2\left(y,z\right)$

因此，可以推出(4) (5)成立。

同理，考虑上面T的两种情况，充分性显然成立。 □

定理1的证明设空间 $\left(D,d_1\right)$ 为 ${\delta }_1$ -双曲空间、空间 $\left(D,d_2\right)$ 为 ${\delta }_2$ -双曲空间，对于任意的 $x,y,z,t\in D$ ，由四点不等式，我们有

$d_1\left(x,y\right)+d_1\left(z,t\right)\le \left(d_1\left(x,z\right)+d_1\left(y,t\right)\right)\vee \left(d_1\left(y,z\right)+d_1\left(x,t\right)\right)+2{\delta }_1$ ，

$d_2\left(x,y\right)+d_2\left(z,t\right)\le \left(d_2\left(x,z\right)+d_2\left(y,t\right)\right)\vee \left(d_2\left(y,z\right)+d_2\left(x,t\right)\right)+2{\delta }_2$ ，

这两个不等式意味着

$\begin{array}{c}d\left(x,y\right)+d\left(z,t\right)=d_1\left(x,y\right)+d_2\left(x,y\right)+d_1\left(z,t\right)+d_2\left(z,t\right)\\ \le [\left(d_1\left(x,z\right)+d_1\left(y,t\right)+d_2\left(x,z\right)+d_2\left(y,t\right)\right)\\ \vee \left(d_1\left(x,z\right)+d_1\left(y,t\right)+d_2\left(y,z\right)+d_2\left(x,t\right)\right)\\ \vee \left(d_1\left(y,z\right)+d_1\left(x,t\right)+d_2\left(x,z\right)+d_2\left(y,t\right)\right)\\ \vee \left(d_1\left(y,z\right)+d_1\left(x,t\right)+d_2\left(y,z\right)+d_2\left(x,t\right)\right)]+2\left({\delta }_1+{\delta }_2\right)\end{array}$

根据引理1

$\begin{array}{c}d\left(x,y\right)+d\left(z,t\right)\le [\left(d_1\left(x,z\right)+d_1\left(y,t\right)+d_2\left(x,z\right)+d_2\left(y,t\right)\right)\\ \vee \left(d_1\left(y,z\right)+d_1\left(x,t\right)+d_2\left(y,z\right)+d_2\left(x,t\right)\right)]+2\left({\delta }_1+{\delta }_2\right)\\ =\left(d\left(x,z\right)+d\left(y,t\right)\right)\vee \left(d\left(x,t\right)+d\left(y,z\right)\right)+2\left({\delta }_1+{\delta }_2\right)\end{array}$

因此，空间 $\left(D,d\right)$ 是 $\left({\delta }_1+{\delta }_2\right)$ -双曲空间。

推论1设 $\left(D,d_1\right)$ 和 $\left(D,d_2\right)$ 是两个Gromov双曲空间，如果d₁和d₂是sign-型度量，那么它们的线性组合也是Gromov双曲的。即空间 $\left(D,d\right)$ ， $d=\alpha d_1+\beta d_2,\alpha \ge 0,\beta \ge 0$ 是Gromov双曲空间。

证明显然，当 $\alpha =0$ 或 $\beta =0$ 时，由四点不等式，空间 $\left(D,d\right)$ 一定是Gromov双曲空间。当 $\alpha >0,\beta >0$ 时，设 ${d^{\prime }}_1=\alpha d_1$ 和 ${d^{\prime }}_2=\beta d_2$ ，那么 $\left(D,{d^{\prime }}_1\right)$ 和 $\left(D,{d^{\prime }}_2\right)$ 是Gromov双曲空间。又由于d₁和d₂是sign-型度量，这意味着 ${d^{\prime }}_1$ 和 ${d^{\prime }}_2$ 也是sign-型的，因此，由定理1可以得出空间 $\left(D,d\right)$ 是Gromov双曲空间。

3.2. 定理2的证明

引理2设 $x^2\ge 4m$ 和 $y^2\ge 4n$ ，那么

$\sqrt{1+{\left(m+n\right)}^2+\frac{{\left(x+y\right)}^2}{2}}\le \sqrt{1+x^2-2m+m^2}+\sqrt{1+y^2-2n+n^2}$

证明将上式两边同时平方化简，等价于如下形式

$-\frac{1}{2}{\left(x-y\right)}^2+2\left(1+m\right)\left(1+n\right)-3\le 2\sqrt{\left(1+x^2-2m+m^2\right)\left(1+y^2-2n+n^2\right)}$ (6)

注意到 $x^2\ge 4m$ 和 $y^2\ge 4n$ ，因此我们有

$\begin{array}{c}\left(1+m\right)\left(1+n\right)\le \sqrt{\left({\left(1+m\right)}^2+x^2-4m\right)\left({\left(1+n\right)}^2+x^2-4n\right)}\\ =\sqrt{\left(1+x^2-2m+m^2\right)\left(1+y^2-2n+n^2\right)}\end{array}$

并且对于任意 $x,y$ ，有 $-\frac{1}{2}{\left(x-y\right)}^2-3\le 0$ ，这就得出(6)式成立，完成了证明。

推论2一个Ptolemy空间 $\left(D,d\right)$ ，具有如下性质:

$\sqrt{\left(1+d_{12}^2\right)\left(1+d_{34}^2\right)}\le \sqrt{\left(1+d_{13}^2\right)\left(1+d_{24}^2\right)}+\sqrt{\left(1+d_{23}^2\right)\left(1+d_{14}^2\right)}$

其中 $d_{ij}:=d\left(x_i,x_j\right),x_i,x_j\in D$ 。

证明注意到 $\left(D,d\right)$ 是度量空间，由三角不等式，我们有

$d_{12}\le d_{13}+d_{32},d_{12}\le d_{14}+d_{42}$

$d_{34}\le d_{31}+d_{14},d_{34}\le d_{32}+d_{24}$

整理可得

$d_{12}\le \frac{d_{13}+d_{14}+d_{23}+d_{24}}{2},d_{34}\le \frac{d_{13}+d_{14}+d_{23}+d_{24}}{2}$

因此，可以得到

$d_{12}^2+d_{34}^2\le \frac{{\left(d_{13}+d_{14}+d_{23}+d_{24}\right)}^2}{2}$

下面记

$m=d_{13}{d}_{24},x=d_{13}+d_{24},n=d_{14}{d}_{23},y=d_{14}+d_{23}$

由 $\left(D,d\right)$ 是Ptolemy空间和引理2，我们有

$\begin{array}{c}\sqrt{\left(1+d_{12}^2\right)\left(1+d_{34}^2\right)}=\sqrt{1+d_{12}^2{d}_{34}^2+\left(d_{12}^2+d_{34}^2\right)}\\ \le \sqrt{(1+{\left(d_{13}{d}_{24}+d_{14}{d}_{23}\right)}^2+\frac{{\left(d_{13}+d_{14}+d_{23}+d_{24}\right)}^2}{2}}\\ \le \sqrt{1+{\left(d_{13}+d_{24}\right)}^2-2d_{13}{d}_{24}+d_{13}^2{d}_{24}^2}+\sqrt{1+{\left(d_{14}+d_{23}\right)}^2-2d_{14}{d}_{23}+d_{14}^2{d}_{23}^2}\\ =\sqrt{\left(1+d_{13}^2\right)\left(1+d_{24}^2\right)}+\sqrt{\left(1+d_{23}^2\right)\left(1+d_{14}^2\right)}\end{array}$

完成了证明。

引理3如果 $\left(D,d\right)$ 是一个度量空间，那么 $\left(D,d+t\mathrm{sgn}\left(d\right)\right),t\ge 0$ 也是一个度量空间。

证明需要证明 $d^{\prime }=d+t\mathrm{sgn}\left(d\right),t\ge 0$ 是一个度量。显然，对任意 $x,y\in D$ ， $d^{\prime }\left(x,y\right)\ge 0$ ， $d^{\prime }\left(x,y\right)=d^{\prime }\left(y,x\right)$ 并且 $d^{\prime }\left(x,y\right)=0$ 当且仅当 $x=y$ 。所以只需要证明三角不等式即可。也就是说，对任意 $x,y,z\in D$ ，

$d^{\prime }\left(x,y\right)\le d^{\prime }\left(x,z\right)+d^{\prime }\left(z,y\right)$

如果 $x=y$ ，那么我们有

$0=d^{\prime }\left(x,y\right)\le d^{\prime }\left(x,z\right)+d^{\prime }\left(z,y\right)$

如果 $x\ne y$ ，那么有

$\begin{array}{c}{d}^{\prime }\left(x,y\right)=d\left(x,y\right)+t\mathrm{sgn}\left(d\left(x,y\right)\right)\\ =d\left(x,y\right)+t\\ \le d\left(x,z\right)+d\left(z,y\right)+t\\ \le d^{\prime }\left(x,z\right)+d^{\prime }\left(z,y\right)\end{array}$

完成了证明。

引理4如果 $\left(D,d\right)$ 是一个Ptolemy空间，那么 $\left(D,d+t\mathrm{sgn}\left(d\right)\right),t\ge 0$ 也是一个Ptolemy空间。

证明由引理3，我们知道 $d^{\prime }=d+t\mathrm{sgn}\left(d\right)$ 是一个度量。记 $d_{ij}:=d\left(x_i,x_j\right),x_i,x_j\in D$ ，下面我们需要证明

${d^{\prime }}_{12}{d^{\prime }}_{34}\le {d^{\prime }}_{13}{d^{\prime }}_{24}+{d^{\prime }}_{14}{d^{\prime }}_{23}$

显然，当 $x_1=x_2$ 或 $x_3=x_4$ 时，那么有 $0={d^{\prime }}_{12}{d^{\prime }}_{34}\le {d^{\prime }}_{13}{d^{\prime }}_{24}+{d^{\prime }}_{14}{d^{\prime }}_{23}$ 。下面考虑 $x_1\ne x_2$ 和 $x_3\ne x_4$ 的情况。

i) 如果 $x_1=x_3$ 或 $x_2=x_4$ ，那么有 ${d^{\prime }}_{13}{d^{\prime }}_{24}=0$ ，因此

$\begin{array}{c}{d^{\prime }}_{12}{d^{\prime }}_{34}=\left(d_{12}+t\right)\left(d_{34}+t\right)\\ =d_{12}{d}_{34}+\left(d_{12}+d_{34}\right)t+t^2\\ =d_{14}{d}_{23}+\left(d_{14}+d_{23}\right)t+t^2\\ ={d^{\prime }}_{14}{d^{\prime }}_{23}\\ ={d^{\prime }}_{13}{d^{\prime }}_{24}+{d^{\prime }}_{14}{d^{\prime }}_{23}\end{array}$

ii) 如果 $x_1\ne x_3$ 或 $x_2\ne x_4$ ，那么有

$\begin{array}{c}{d^{\prime }}_{12}{d^{\prime }}_{34}=\left(d_{12}+t\right)\left(d_{34}+t\right)\\ =d_{12}{d}_{34}+\left(d_{12}+d_{34}\right)t+t^2\\ \le d_{13}{d}_{24}+d_{14}{d}_{23}+\left(d_{13}+d_{24}+d_{14}+d_{23}\right)t+2t^2\\ =\left(d_{13}{d}_{24}+\left(d_{13}+d_{24}\right)t+t^2\right)+\left(d_{14}{d}_{23}+\left(d_{14}+d_{23}\right)t+t^2\right)\\ ={d^{\prime }}_{13}{d^{\prime }}_{24}+{d^{\prime }}_{14}{d^{\prime }}_{23}\end{array}$

完成了证明。

定理2的证明首先证明 $d^{*}=\log \sqrt{1+{d^{\prime }}^2}$ 是一个度量。对于任意的 $x,y,z\in D$ ，显然 $d^{*}\left(x,y\right)\ge 0$ ， $d^{*}\left(x,y\right)=d^{*}\left(y,x\right)$ ， $d^{*}\left(x,y\right)=0$ 当且仅当 $x=y$ ，因此只需要证明 $d^{*}$ 满足三角不等式。即，

$d^{*}\left(x,y\right)\le d^{*}\left(x,z\right)+d^{*}\left(z,y\right)$ ，

这等价于

$1+{d^{\prime }}^2\left(x,y\right)\le \left(1+{d^{\prime }}^2\left(x,z\right)\right)\left(1+{d^{\prime }}^2\left(z,y\right)\right)$ (7)

注意到

$d^{\prime }\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}d\left(x,y\right)+\sqrt{2}>\sqrt{2},\hfill & x\ne y\hfill \\ 0,\hfill & x=y\hfill \end{array}$

因此 $d^{\prime }\left(x,z\right)d^{\prime }\left(z,y\right)=0$ 或 $d^{\prime }\left(x,z\right)d^{\prime }\left(z,y\right)>2$ ，这意味着

$2d^{\prime }\left(x,z\right)d^{\prime }\left(z,y\right)\le {d^{\prime }}^2\left(x,z\right){d^{\prime }}^2\left(z,y\right)$

由上述讨论可得

$\begin{array}{c}1+{d^{\prime }}^2\left(x,y\right)\le 1+{\left(d^{\prime }\left(x,z\right)+d^{\prime }\left(z,y\right)\right)}^2\\ =1+{d^{\prime }}^2\left(x,z\right)+{d^{\prime }}^2\left(z,y\right)+2d^{\prime }\left(x,z\right)d^{\prime }\left(z,y\right)\\ \le 1+{d^{\prime }}^2\left(x,z\right)+{d^{\prime }}^2\left(z,y\right)+{d^{\prime }}^2\left(x,z\right){d^{\prime }}^2\left(z,y\right)\\ =\left(1+{d^{\prime }}^2\left(x,z\right)\right)\left(1+{d^{\prime }}^2\left(z,y\right)\right)\end{array}$ ，

证得(7)式成立，完成了证明。

下面证明 $\left(D,\log \sqrt{1+{d^{\prime }}^2}\right)$ 是参数为2的强双曲空间。设 $x_1,x_2,x_3,x_4\in D$ ，为书写方便我们记以下记号： ${d^{\prime }}_{ij}:=d^{\prime }\left(x_i,x_j\right),i,j\in 1,2,3,4$ ， ${\rho }_{ij}=\log \sqrt{1+{d^{\prime }}_{ij}^2}$ 。

现在需要证明

${\text{e}}^{{\rho }_{12}+{\rho }_{34}}\le {\text{e}}^{{\rho }_{13}+{\rho }_{24}}+{\text{e}}^{{\rho }_{14}+{\rho }_{23}}$

上式等价于

$\sqrt{\left(1+d_{12}^2\right)\left(1+d_{34}^2\right)}\le \sqrt{\left(1+d_{13}^2\right)\left(1+d_{24}^2\right)}+\sqrt{\left(1+d_{23}^2\right)\left(1+d_{14}^2\right)}$

由推论2可直接得出上式成立，这就完成了证明。 □

4. 结论

单个度量的Gromov双曲性目前已经有广泛的研究，本文主要研究了sign-型度量之和的Gromov双曲性，推广了度量求和具有Gromov双曲性。强双曲性目前研究的结论较少，本文给出了一种构造强双曲空间的方法，将有助于完善对强双曲空间的研究工作。

1) 定义了sign-型度量，研究了sign-型度量的性质，从而得出sign-型度量之和具有Gromov性，并推广到sign-型度量的线性组合也具有Gromov双曲性。

2) 研究了Ptolemy空间的性质，构造出一种新的度量，并证明这种度量具有强双曲性。