1. 引言
在本文中,所有实数的集合表示为
,n维欧式空间表示为
,令
,
,
。
令
是一个m阶n维实张量,一个m阶n维张量称为对称张量,如果在下标的任何排列下它的项
都是不变的。显然,每个m阶n维对称张量
都定义了具有n个变量的m次齐次多项式
,反之亦然。
是一个n维实向量,
,对
,我们定义
.
表示一个向量,并且其第i个元素表示为
.
定义1 ( [1] [2] )一个实数
称为m阶n维张量
的一个H-特征值,如果齐次多项式方程组
(1)
即
有非零实数解
,向量
称为
的对应于
的H-特征向量。并且,
的H-特征值
称为
的H+-特征值(H++-特征值),如果它的H-特征向量
(
)。
对一个m阶n维实张量
,我们考虑如下系统:
(2)
张量Pareto H-特征值的概念首先在Song [3] 中被引入介绍。根据Qi [1] (张量
的H-特征值)和Seeger [4] (矩阵A的Pareto特征值),对于m阶n维张量
,实数
称为张量
的Pareto H-特征值,如果存在满足系统(2)的非零向量
。非零向量
称为张量
对应
的Pareto H-特征向量。另外,值得注意的是,
的Pareto H-特征值与
的H(H+)-特征值密切相关。Song [3] 也表明了2维张量的Pareto H -特征值与H++-特征值存在一定联系。
对于张量的Pareto特征值现在已经有了大量的研究,见 [3] [5] [6] [7] 。特别是张量特征值互补问题,例如,在 [5] 中,作者还介绍和研究了两类更一般的张量特征值互补问题,同时,作者还讨论了张量的Pareto特征值的一些性质,并发现研究张量的Pareto特征值的包含区间是很重要的。另外,从 [8] [9] 可以看出,利用张量特征值的包含集,可以更好检验张量的一些结构化性质。但是目前对于Pareto-H特征值的研究还比较欠缺。Song [3] 指出,对称张量
是严格协正的当且仅当其Pareto-H特征值是正的,另外,通过张量的Pareto-H特征值还可以求解其对应的齐次多项式的约束优化问题。
1952年,Motzkin [10] 引入了协正矩阵这一概念。2013年,Qi [11] 第一次把协正矩阵这一概念扩展到协正张量,协正张量是一种重要的结构张量,它在真空稳定性 [12] [13] [14] 、多项式优化 [3] 、超图谱理论 [15] 、互补问题 [5] [6] [16] [17] [18] 等方面都有着广泛的应用,成为近年来新兴的研究课题。因此,对协正张量的研究成为张量理论研究的一个重要部分。虽然对张量协正性的研究已有很多,但因为实际问题,如一些场的一般标量势的真空稳定性,需要精确的表达式,所以有必要求出对称张量严格协正性的解析表达式。
基于以上研究的启示,本文考虑张量的Pareto-H特征值问题与协正性问题,在回顾一些相关性质定理之后,建立了H+-特征值、H++-特征值以及Pareto H-特征值的具体解析式,最后给出一个判定张量协正性的充分解析式。
本文的其余部分组织如下。在第2节中,我们回顾了一些基本的性质结果。在第3节中,给出了计算3阶2维对称张量的H+-特征值的直接方法。在第4节中,我们给出了定理1的计算过程,并分别建立了3阶2维对称张量的H+-特征值、H++-特征值以及Pareto H-特征值的具体解析式。在5节中,我们利用Pareto H-特征值与张量协正性之间的关系,给出了判定3阶2维对称张量协正性的充分条件。最后,第6节是本文总结。
2. 预备知识
令N是
的子集,
是m阶n维张量。在齐次多项式
中,我们让某些(不是全部)分量
,即对
,
,
,
表示N的基数,那么我们会得到一个变量更少的齐次多项式,而该多项式就定义了一个新的低维张量,我们称这样一个低维张量
为
的主子张量。所以,
是一个m阶
维张量,当
时,主子张量
就等于
本身。
定义2 ( [11] )若对所有的非负实向量
,满足
,
则称
是协正张量;若对所有的非负和非零实向量
,满足
,
则称
是严格协正张量。
引理1 ( [3] )对称张量
总存在Pareto H-特征值;且
是协正(严格协正)的当且仅当其所有Pareto H-特征值是非负(正)的。
引理2 ( [3] )实数
是
的Pareto H-特征值当且仅当存在一个
的
维主子张量,使得
是该主子张量的H++-特征值,其对应的H -特征向量
满足
.
3. 3阶2维对称张量的H+-特征值
在本节中,我们会给出关于3阶2维对称张量的H+-特征值定理。
定理1 设
是3阶2维对称张量,关于其H+-特征值及对应的H+-特征向量,我们有如下结果:
若
,则
是
的一个H+-特征值,对应的H+-特征向量为
。若
,则
是
的一个H+-特征值,对应的H+-特征向量为
。
若
,
,对下列方程的任意非负实根u:
, (3)
是
对应于H+-特征向量
的一个H+-特征值。
证明 令
是
的H+-特征对,则(1)式的具体形式为
. (4)
设
,
,则(4)变为
.
因为
,显然,
是
的一个H+-特征值,对应的H+-特征向量为
。
同理,
,
时,
是
的一个H+-特征值,对应的H+-特征向量为
。
设
,
,(4)式两个方程分别除以
、
,得到
.
令
,两方程联立得
此时
是
对应于H+-特征向量
的一个H+-特征值。证毕
4. 3阶2维对称张量的Pareto H-特征值
从定理1中我们可以看出,为了找到所有的H+-特征值和相关的H+-特征向量,我们需要求解一个一元四次方程。通过对(3)式的计算求解,我们可以得到定理1 (ii)的具体表达式。
定理2 设
是一个3阶2维对称张量,
,
,
当
时,若
,则
是
对应于
的一个H+-特征值,
,
;
当
时,若
,则
是
对应于
的一个H+-特征值,
,
;
当
时,若
,
,则
是
对应于
的一个H+-特征值,若
,
,则
是
对应于
的一个H+-特征值,
,
;
当
时,若
,则
是
对应于
的一个H+-特征值,
,
当
时,
若
,
,则
是
对应于
的一个H+-特征值,
,
;
若
,
,则
是
对应于
的一个H+-特征值,
,
其中,
证明 首先,令
. (5)
将(5)重写为
,
其中,
判别式
。
因为
是实数,所以接下来我们只讨论
有实根的情况。
由天珩公式,令
当
时,
有一个四重实根。
,
而
,矛盾。
当
时,
,
此时
.
即
时,
有四个实根,其中一个三重根,
,
若
,则
是
对应于
的一个H+-特征值,
。
当
时,
有两对二重实根,
,
若
,则
是
对应于
的一个H+-特征值,
。
当
时,
有一对二重实根
、
,若
,则其余两根
、
为不等实根。
因为
,所以
即
时,
有实根
、
,
即
时,
有实根
、
、
、
。
即当
时,若
,
,则
是
对应于
的一个H+-特征值,若
,
,则
是
对应于
的一个H+-特征值,
。
当
时,
有两个不等实根。
令
则
其中,
.
即当
时,若
,则
是
对应于
的一个H+-特征值,
。
当
时,
有四个不等实根。
若
,则四根为
,
若
,则
是
对应于
的一个H+-特征值,
。
若
,令
则四根为
.
若
,则
是
对应于
的一个H+-特征值,
。证毕
由定义1可知,只要让
的H+-特征值定理中的相关特征向量
,就可以得到其H++-特征值定理。而定理2中的特征向量均大于0,所以定理2可以写成
的H++-特征值定理如下。
定理3 设
是一个3阶2维对称张量,
,
,
当
时,若
,则
是
对应于
的一个H++-特征值,
,
;
当
时,若
,则
是
对应于
的一个H++-特征值,
,
;
当
时,若
,
,则
是
对应于
的一个H++-特征值,若
,
,则
是
对应于
的一个H++-特征值,
,
;
当
时,若
,则
是
对应于
的一个H++-特征值,
,
当
时,
若
,
,则
是
对应于
的一个H++-特征值,
,
;
若
,
,则
是
对应于
的一个H++-特征值,
,
其中,
由定理2给出。
由引理2,显然,当
时,张量的Pareto H-特征值与H++-特征值是等价的,所以对于3阶2维对称张量,我们可以由定理3直接得出它的Pareto H-特征值表达式。
定理4 设
是一个3阶2维对称张量,
,
,
当
时,若
,则
是
对应于
的一个Pareto H-特征值,
,
;
当
时,若
,则
是
对应于
的一个Pareto H-特征值,
,
;
当
时,若
,
,则
是
对应于
的一个Pareto H-特征值,若
,
,则
是
对应于
的一个Pareto H-特征值,
,
;
当
时,若
,则
是
对应于
的一个Pareto H-特征值,
,
当
时,
若
,
,则
是
对应于
的一个Pareto H-特征值,
,
;
若
,
,则
是
对应于
的一个Pareto H-特征值,
,
其中,
由定理2给出。
下面给出一个具体算例。
例1
是一个3阶2维对称张量,其中,
通过计算可得
由定理4,
所以
的Pareto H-特征值
,对应的Pareto H-特征向量
。
5. 对称张量的协正性
由定理4及引理2可知,只需要让定理4中的所有Pareto H-特征值
,很容易就可以得到3阶2维对称张量的协正性充分条件。
定理5 设
是一个3阶2维对称张量,
,
,
当
,
时,
当
,
时,
;
当
时,若
,
,
,若
,
,
,
,
当
时,若
,则
当
时,
若
,
,
;
若
,
,
那么,
是协正的。其中,
由定理2给出。
6. 结论
本文给出了计算3阶2维对称张量的H+-特征值的直接方法,分别建立了3阶2维对称张量的H+-特征值、H++-特征值以及Pareto H-特征值的具体解析式。并利用Pareto H-特征值与张量协正性之间的关系,给出了判定3阶2维对称张量协正性的充分条件。可以考虑进一步的研究,如利用降阶的方法可得出4阶2维对称张量协正性的充分条件,也可继续研究3维情况下的Pareto H-特征值表达式与协正性条件,以求得更为精简的解析表达式。
参考文献