(p, m)-凸函数及其Hermite-Hadamard型不等式

(p, m)-Convex Function and Its Hermite-Hadamard Type Inequality

摘要: 本文定义了一类(p, m)-凸函数，给出了两个判定此类函数的充要条件，推导了与之相关的 Hermite-Hadamard型不等式，并将其应用到中学数学教学的具体场景中。

Abstract: A class of (p, m)-convex functions are defined. Then, two necessary and sufficient conditions are given to judge this kind of function. Moreover, a Hermite-Hadamard type inequality on the (p, m)-convex functions is derived. At last, two application cases of middle school mathematics teaching are given.

1. 引言及预备知识

由于在控制与优化、中学数学教学等领域的应用十分广泛，关于凸函数和广义凸函数的研究异常丰富。首先，我们引进一些需要用到的概念和已有研究结果。

定义1.1 [1] 设函数 $f:I\subseteq R=\left(-\infty ,+\infty \right)\to R$ ，若对任意的 $x_1,x_2\in I$ 和任意的 $\lambda \in \left[0,1\right]$ ，有

$f\left(\lambda x_1+\left(1-\lambda \right)x_2\right)\le \lambda f\left(x_1\right)+\left(1-\lambda \right)f\left(x_2\right),$ (1.1)

则称f为I上的凸函数。若不等式(1.1)的反向不等式成立，则称f为I上的凹函数。

1985年，G. Toader首先提出了m-凸函数的定义。

定义1.2 [2] 设 $f:\left[0,b\right]\to R\left(0>b\right)$ ， $m\in \left(0,1\right]$ ，若对任意的 $x_1,x_2\in \left[0,b\right]$ ， $\lambda \in \left[0,1\right]$ ，有

$f\left(\lambda x_1+m\left(1-\lambda \right)x_2\right)\le \lambda f\left(x_1\right)+m\left(1-\lambda \right)f\left(x_2\right),$ (1.2)

则称f为 $\left[0,b\right]$ 上的m-凸函数。

2007年，文 [3] 给出了p-凸函数的定义。

定义1.3 [3] 设 $f\left(x\right)$ 是定义在区间 $I\subseteq \left(-\infty ,+\infty \right)$ 的函数上，对任意 $x_1,x_2\in I$ 和 $t\in \left(0,1\right)$ ，若存在 $p=2k+1$ 或 $p=\frac{n}{m}$ $\left(n=2r+1,m=2s+1,k,r,s\in N\right)$ 使得

$f\left({\left[t{x}_1^p+\left(1-t\right)x_2^p\right]}^{\frac{1}{p}}\right)\le tf\left(x_1\right)+\left(1-t\right)f\left(x_2\right),$ (1.3)

则称 $f\left(x\right)$ 为I上的p-凸函数；若不等号反向，则称 $f\left(x\right)$ 为I上的p-凹函数。

在文 [4] 中，建立了如下的m-凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式。

定理1.1 [4] 设 $f:R_0=\left[0,+\infty \right)\to R$ 是m-凸函数， $m\in \left(0,1\right]$ 。若对 $0\le a<b<+\infty$ ，若 $f^{\prime }\in \left(\left[a,b\right]\right)$ ，则

$\frac{1}{b-a}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}\le \min \left\{\frac{f\left(a\right)+mf\left(b/m\right)}{2},\frac{mf\left(a/m\right)+f\left(b\right)}{2}\right\}.$ (1.4)

2011年，宋振云和涂琼霞在文 [5] 中给出了关于p-凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式。

定理1.2 [5] 设 $f\left(x\right)$ 是 $I\in R^{+}$ 上的连续函数，若 $f\left(x\right)$ 是 $\left[a,b\right]\subseteq I$ 上的p-凸函数，则

$f\left(S_P\left(a,b\right)\right)\le \frac{1}{b-a}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}\le \frac{b^{p}f\left(b\right)-a^{p}f\left(a\right)}{b-a}-\frac{\left(f\left(b\right)-f\left(a\right)\right)J_p\left(a,b\right)}{b-a}.$ (1.5)

其中 $S_P\left(a,b\right)$ 和 $J_p\left(a,b\right)$ 分别是正数 $a,b$ 的p次Stolarsky平均 [6] 和广义单参数平均 [7] ，即

$S_P\left(a,b\right)={\left(\frac{a^{p+1}-b^{p+1}}{\left(p+1\right)\left(a-b\right)}\right)}^{\frac{1}{p}},J_p\left(a,b\right)=\frac{p\left(b^{p+1}-a^{p+1}\right)}{\left(p+1\right)\left(b^p-a^p\right)}.$

一个很自然的问题是，m-凸函数与p-凸函数之间有什么联系呢？鉴于此，本文试图构建一类兼具m-凸函数与p-凸函数特性的新的广义凸函数来系统研究，希望能给中学数学的教与学提供一些有益参考。

2. 定义及判别方法

定义2.1 设 $f\left(x\right)$ 是定义在区间 $I\subseteq \left(-\infty ,+\infty \right)$ 的函数上，若对任意 $x_1,x_2\in I$ ， $t\in \left(0,1\right)$ ， $m\in \left(0,1\right]$ ，存在 $p=2k+1$ 或 $p=\frac{n}{m}\left(n=2r+1,m=2s+1,k,r,s\in N\right)$ 使得

$f\left({\left[t{x}_1^p+m\left(1-t\right)x_2^p\right]}^{\frac{1}{p}}\right)\le tf\left(x_1\right)+m\left(1-t\right)f\left(x_2\right),$ (2.1)

则称 $f\left(x\right)$ 为I上的 $\left(p,m\right)$ -凸函数。

注1 当 $m=1$ 时， $f\left(x\right)$ 为区间I上的p-凸函数。

注2 当 $m=1,p=1$ 时， $f\left(x\right)$ 为区间I上的凸函数。

以下假定 $I=\left(a,b\right)$ ， $b>a$ ， $I^p=\left(\underset{x\in I}{\inf }\left\{x^p\right\},\underset{x\in I}{\sup }\left\{x^p\right\}\right)$ 和 $t\in \left(0,1\right)$ 。

定理2.1 $f\left(x\right)$ 为I上的 $\left(p,m\right)$ -凸函数的充要条件是 $f\left(x^{\frac{1}{p}}\right)$ 为 $I^p$ 上的m-凸函数。

证明：(充分性)设 $f\left(x^{\frac{1}{p}}\right)$ 为 $I^p$ 上的m-凸函数， $x_1,x_2\in I$ ， $x_1^p,x_2^p\in I^p$ ，令 $x=t{x}_1^p+m\left(1-t\right)x_2^p$ ，得

$\begin{array}{c}f\left(x^{\frac{1}{p}}\right)=f\left({\left[t{x}_1^p+m\left(1-t\right)x_2^p\right]}^{\frac{1}{p}}\right)\\ \le tf\left[{\left(x_1^p\right)}^{\frac{1}{p}}\right]+m\left(1-t\right)f\left[{\left(x_2^p\right)}^{\frac{1}{p}}\right]\\ =tf\left(x_1\right)+m\left(1-t\right)f\left(x_2\right).\end{array}$

由定义2.1易知， $f\left(x\right)$ 为I上的 $\left(p,m\right)$ -凸函数。

(必要性)设 $x_1,x_2\in I$ ， $x_1^p,x_2^p\in I^p$ ，由 $f\left(x\right)$ 为I上的 $\left(p,m\right)$ -凸函数，则

$f\left({\left[t{\left(x_1^{\frac{1}{p}}\right)}^p+m\left(1-t\right){\left(x_2^{\frac{1}{p}}\right)}^p\right]}^{\frac{1}{p}}\right)\le tf\left(x_1^{\frac{1}{p}}\right)+m\left(1-t\right)f\left(x_2^{\frac{1}{p}}\right).$

即

$f\left({\left[t{x}_1+m\left(1-t\right)x_2\right]}^{\frac{1}{p}}\right)\le tf\left(x_1^{\frac{1}{p}}\right)+m\left(1-t\right)f\left(x_2^{\frac{1}{p}}\right).$

由定义1.2易知， $f\left(x^{\frac{1}{p}}\right)$ 为 $I^p$ 上的m-凸函数。

定理2.2 设 $I\subseteq \left(-\infty ,+\infty \right)$ ， $f:I\to \left(-\infty ,+\infty \right)$ ， $\forall x_1,x_2,x_3\in I$ ， $x_1<x_2<x_3$ ，则 $f\left(x\right)$ 为I上的 $\left(p,m\right)$ -凸函数的充要条件是

$\left(x_1-m{x}_3\right)\left[f\left(x_2^{\frac{1}{p}}\right)-f\left(x_1^{\frac{1}{p}}\right)\right]-\left(x_2-x_1\right)\left[f\left(x_1^{\frac{1}{p}}\right)-mf\left(x_3^{\frac{1}{p}}\right)\right]\le 0.$ (2.2)

证明：(充分性)由 $\left(x_1-m{x}_3\right)\left[f\left(x_2^{\frac{1}{p}}\right)-f\left(x_1^{\frac{1}{p}}\right)\right]-\left(x_2-x_1\right)\left[f\left(x_1^{\frac{1}{p}}\right)-mf\left(x_3^{\frac{1}{p}}\right)\right]\le 0$ ，得

$f\left(x_2^{\frac{1}{p}}\right)-f\left(x_1^{\frac{1}{p}}\right)\le \frac{x_2-x_1}{x_1-m{x}_3}\left[f\left(x_1^{\frac{1}{p}}\right)-mf\left(x_3^{\frac{1}{p}}\right)\right].$

即有

$f\left(x_2^{\frac{1}{p}}\right)\le \frac{x_2-m{x}_3}{x_1-m{x}_3}f\left(x_1^{\frac{1}{p}}\right)-m\frac{x_2-x_1}{x_1-m{x}_3}f\left(x_3^{\frac{1}{p}}\right).$

令

$t=\frac{x_2-m{x}_3}{x_1-m{x}_3},1-t=\frac{x_1-x_2}{x_1-m{x}_3},x_2=t{x}_1+m\left(1-t\right)x_3,$

因此

$f\left(x_2^{\frac{1}{p}}\right)\le tf\left(x_1^{\frac{1}{p}}\right)+m\left(1-t\right)f\left(x_3^{\frac{1}{p}}\right).$

于是有

$f\left({\left[t{x}_1+m\left(1-t\right)x_3\right]}^{\frac{1}{p}}\right)\le tf\left(x_1^{\frac{1}{p}}\right)+m\left(1-t\right)f\left(x_3^{\frac{1}{p}}\right).$

由定义2.1易知， $f\left(x\right)$ 为I上的 $\left(p,m\right)$ -凸函数。

(必要性)若 $f\left(x\right)$ 为I上的 $\left(p,m\right)$ -凸函数，令

$t=\frac{x_2-m{x}_3}{x_1-m{x}_3},x_1,x_2,x_3\in I,x_1<x_2<x_3,1-t=\frac{x_1-x_2}{x_1-m{x}_3},x_2=t{x}_1+m\left(1-t\right)x_3,$

得

$\begin{array}{c}f\left(x_2^{\frac{1}{p}}\right)=f\left({\left[t{x}_1+m\left(1-t\right)x_3\right]}^{\frac{1}{p}}\right)\\ =f\left({\left[t{\left(x_1^{\frac{1}{p}}\right)}^p+m\left(1-t\right){\left(x_3^{\frac{1}{p}}\right)}^p\right]}^{\frac{1}{p}}\right)\\ \le \frac{x_2-m{x}_3}{x_1-m{x}_3}f\left(x_1^{\frac{1}{p}}\right)+m\frac{x_1-x_2}{x_1-m{x}_3}f\left(x_3^{\frac{1}{p}}\right).\end{array}$

即

$f\left(x_2^{\frac{1}{p}}\right)-f\left(x_1^{\frac{1}{p}}\right)\le \frac{x_2-x_1}{x_1-m{x}_3}\left[f\left(x_1^{\frac{1}{p}}\right)-mf\left(x_3^{\frac{1}{p}}\right)\right].$

于是

$\left(x_1-m{x}_3\right)\left[f\left(x_2^{\frac{1}{p}}\right)-f\left(x_1^{\frac{1}{p}}\right)\right]-\left(x_2-x_1\right)\left[f\left(x_1^{\frac{1}{p}}\right)-mf\left(x_3^{\frac{1}{p}}\right)\right]\le 0.$

证毕。

3. (p, m)-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式

现在建立 $\left(p,m\right)$ -凸函数的Hermite-Hadamard型不等式。

定理3.1 设 $m\in \left(0,1\right]$ ，f是 $\left[0,+\infty \right]$ 上的 $\left(p,m\right)$ -凸函数。当 $0\le a<b$ 时，若f在 $\left[ma,b\right]$ 上可积，则有

$\frac{1}{b-ma}{\displaystyle {\int }_{ma}^{b}f\left(x\right)\text{d}x}\le \frac{bf\left(b\right)-m^{1+\frac{1}{p}}af\left(a\right)}{b-ma}-\frac{\left[f\left(b\right)-mf\left(a\right)\right]J_p\left(ma,b\right)}{b-ma},$ (3.1)

其中

$J_p\left(ma,b\right)=\frac{p}{1+p}\cdot \frac{b^{1+p}-m^{1+\frac{1}{p}}\cdot a^{1+p}}{b^p-m{a}^p}\left(a\ne b,p\ne -1,0\right).$

证明：令 $x={\left[t{b}^p+m\left(1-t\right)a^p\right]}^{\frac{1}{p}}$ ，利用定义2.1中的不等式(2.1)和分部积分公式，易得

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{ma}^{b}f\left(x\right)\text{d}x}={\displaystyle {\int }_0^{1}f{\left[t{b}^p+m\left(1-t\right)a^p\right]}^{\frac{1}{p}}\text{d}{\left[t{b}^p+m\left(1-t\right)a^p\right]}^{\frac{1}{p}}}\\ \le {\displaystyle {\int }_0^1\left[tf\left(b\right)+m\left(1-t\right)f\left(a\right)\right]\text{d}{\left[t{b}^p+m\left(1-t\right)a^p\right]}^{\frac{1}{p}}}\\ ={\left\{\left[tf\left(b\right)+m\left(1-t\right)f\left(a\right)\right]\left[{\left[t{b}^p+m\left(1-t\right)a^p\right]}^{\frac{1}{p}}\right]\right\}|}_0^1\\ -{\displaystyle {\int }_0^1{\left[t{b}^p+m\left(1-t\right)a^p\right]}^{\frac{1}{p}}\text{d}\left[tf\left(b\right)+m\left(1-t\right)f\left(a\right)\right]}\\ =bf\left(b\right)-mf\left(a\right)\cdot {\left(m{a}^p\right)}^{\frac{1}{p}}-\left[f\left(b\right)-mf\left(a\right)\right]{\displaystyle {\int }_0^1{\left[t{b}^p+m\left(1-t\right)a^p\right]}^{\frac{1}{p}}\text{d}t}.\end{array}$

令 $u=t{b}^p+m\left(1-t\right)a^p$ ，经简单的定积分计算，上述式子可变为

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{ma}^{b}f\left(x\right)\text{d}x}\le \left[bf\left(b\right)-m^{1+\frac{1}{p}}af\left(a\right)\right]-\left[f\left(b\right)-mf\left(a\right)\right]{\displaystyle {\int }_{m{a}^p}^{b^p}{u}^{\frac{1}{p}}\frac{1}{b^p-m{a}^p}\text{d}u}\\ =\left[bf\left(b\right)-m^{1+\frac{1}{p}}af\left(a\right)\right]-\left[f\left(b\right)-mf\left(a\right)\right]\cdot \frac{1}{b^p-m{a}^p}{\displaystyle {\int }_{m{a}^p}^{b^p}{u}^{\frac{1}{p}}\text{d}u}\\ =\left[bf\left(b\right)-m^{1+\frac{1}{p}}af\left(a\right)\right]-\left[f\left(b\right)-mf\left(a\right)\right]\frac{1}{b^p-m{a}^p}\cdot \frac{{\left(b^p\right)}^{\frac{1}{p}+1}-{\left(m{a}^p\right)}^{\frac{1}{p}+1}}{\frac{1}{p}+1}\\ =\left[bf\left(b\right)-m^{1+\frac{1}{p}}af\left(a\right)\right]-\left[f\left(b\right)-mf\left(a\right)\right]\frac{p\left(b^{1+p}-m^{1+\frac{1}{p}}\cdot a^{1+p}\right)}{\left(1+p\right)\cdot \left(b^p-m{a}^p\right)}.\end{array}$

其中

$J_p\left(ma,b\right)=\frac{p}{1+p}\cdot \frac{b^{1+p}-m^{1+\frac{1}{p}}\cdot a^{1+p}}{b^p-m{a}^p}\left(a\ne b,p\ne -1,0\right),$

即

$\frac{1}{b-ma}{\displaystyle {\int }_{ma}^{b}f\left(x\right)\text{d}x}\le \frac{bf\left(b\right)-m^{1+\frac{1}{p}}af\left(a\right)}{b-ma}-\frac{\left[f\left(b\right)-mf\left(a\right)\right]J_p\left(ma,b\right)}{b-ma}.$

注： $\left(p,m\right)$ -凸函数作为p-凸函数和m-凸函数的推广，它的Hermite-Hadamard型不等式(3.1)也可以看成是定理1.1和定理1.2的结论(1.4)和(1.5)的推广。

4. 应用举例

中学数学教学中，尤其是中学数学竞赛教学中，经常会遇到一些与凸函数和广义凸函数相关的一些不等式证明题。下面列举两个应用场景来说明上述 $\left(p,m\right)$ -凸函数的Hermite-Hadamard型不等式的应用。

例1 已知 $0<x_1<x_2$ ，证明： ${\text{e}}^{\sqrt{\frac{1}{2}{x}_1^2+\frac{1}{4}{x}_2^2}}\le \frac{1}{2}{\text{e}}^{x_1}+\frac{1}{4}{\text{e}}^{x_2}$ 。

证明：构造辅助函数 $f\left(x\right)={\text{e}}^x$ ，由定理2.2容易得到 $f\left(x\right)$ 是 $x\in R$ 上的 $\left(p,m\right)$ -凸函数，令 $m=t=\frac{1}{2}$ ， $p=2$ ，代入 $\left(p,m\right)$ -凸函数的定义式中，若 $0<x_1<x_2$ ，可证得

${\text{e}}^{\sqrt{\frac{1}{2}{x}_1^2+\frac{1}{4}{x}_2^2}}\le \frac{1}{2}{\text{e}}^{x_1}+\frac{1}{4}{\text{e}}^{x_2}$

所以原不等式成立。

例2求证： $\frac{\left(b+a\right)\left(\sqrt{b^3}-\sqrt{a^3}\right)}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}\le \frac{2\left(b^3-a^3\right)}{b-a}$ 其中 $0<\frac{a}{2}<b$ 。

证明：构造辅助函数 $f\left(x\right)=x^2$ ，根据定理2.2容易得到 $f\left(x\right)$ 是区间 $\left[\frac{a}{2},b\right]$ 上的 $\left(p,m\right)$ -凸函数，令 $p=\frac{1}{2}$ ， $m=1$ ，代入 $\left(p,m\right)$ -凸函数的Hermite-Hadamard型不等式中可得

$\frac{1}{b-a}{\displaystyle {\int }_a^b{x}^2\text{d}x}\le \frac{b^3-a^3}{b-a}-\frac{\left(b^2-a^2\right)J_p\left(a,b\right)}{b-a},$

其中

$J_p\left(a,b\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{b^{1+\frac{1}{2}}-a^{1+\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}-a^{\frac{1}{2}}},$

化简得

$\frac{\left(b+a\right)\left(\sqrt{b^3}-\sqrt{a^3}\right)}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}\le \frac{2\left(b^3-a^3\right)}{b-a}$

所以原不等式成立。

注：中考、高考和中学数学竞赛中，不等式是必考内容。近年来的趋势是将不等式和一些初等函数，尤其是凸函数相结合来考察学生的综合运用能力、应变能力和创新发现能力。例1就是将指数函数与凸函数结合的一个典型例子。一般的解法是通过构造合适的函数，运用导数来研究该函数的单调性，进而得到所需要的不等式。现在运用与 $\left(p,m\right)$ -凸函数相关的Hermite-Hadamard型不等式来证明，非常简洁。例2是选自湖北黄冈的一道中考模拟试题，主要考察学生立方差公式、代数式计算和基本不等式等知识的综合运用能力。一般的证明方法过程比较繁琐。现在运用与 $\left(p,m\right)$ -凸函数相关的Hermite-Hadamard型不等式进行证明，就很简单。

基金项目

湖南省大学生创新创业训练项目“与几类广义凸函数相关的不等式及其应用”(S202110546020)。

致谢

感谢阳志锋教授的悉心指导！

参考文献