带扰动算子的Landweber迭代在Hanke-Raus准则下的收敛阶分析

Convergence Order Analysis of a Landweber Iteration with Perturbed Operators under the Hanke-Raus Rule

摘要: 本文针对带有扰动算子的非线性反问题提出了一种基于Hanke-Raus启发式停止准则的Landweber迭代法，并在一定的假设条件下分析了此迭代法的收敛阶。

Abstract: In this paper, a Landweber iteration based on the Hanke-Raus rule for nonlinear inverse problems with perturbed operators is proposed, and the convergence order of this method is analyzed under certain reasonable assumptions.

1. 引言

许多反问题都可以被建模成不适定方程

$F\left(x\right)=y,$ (1.1)

其中， $F:D\left(F\right)\subset X\to Y$ 是一个连续且Fréchet可微的非线性算子， $X,Y$ 是Hilbert空间。在实际中，我们一般不会获得精确数据y，而是需要处理满足下式的噪音数据 $y^{\delta }$ ：

$\Vert y^{\delta }-y\Vert \le \delta ,$ (1.2)

其中 $\delta >0$ 为噪音水平。因为方程(1.1)是不适定的，即解不连续依赖于数据，直接求解往往导致近似解严重偏离真实解，所以需要正则化方法来获得解的合理近似。而Landweber迭代法 [1] 就是一种有效的正则化方法，其经典格式为

$x_{k+1}^{\delta }=x_k^{\delta }+F^{\prime }{\left(x_k^{\delta }\right)}^{*}\left(y^{\delta }-F\left(x_k^{\delta }\right)\right),$ (1.3)

其中， $x_k^{\delta },x_{k+1}^{\delta }$ 为迭代变量， $x_0^{\delta }=x_0$ 是初始迭代点，包含着对方程(1.1)精确解 $x^{+}$ 的先验信息。到目前为止，Landweber迭代已被广泛研究，例如 [2] - [8] 。但是这些文献所考虑的向前算子F大部分都是精确的，而实际中算子一般是带有扰动的，从而方程(1.1)就变成了

$F_h\left(x\right)=y^{\delta },$ (1.4)

其中 $F_h$ 为F的扰动算子。因此，本文针对不适定的非线性方程(1.4)，在经典Landweber迭代法的基础上构建如下Landweber迭代

$x_{k+1}^{\delta ,h}=x_k^{\delta ,h}+w{F}_h{}^{\prime }{\left(x_k^{\delta ,h}\right)}^{*}\left(y^{\delta }-F_h\left(x_k^{\delta ,h}\right)\right),$ (1.5)

其中 $w>0$ 是一个被合适选择的固定步长。

需要指出的是，对方程(1.4)的研究已出现一些文献：1994年，陈宏和侯宗义 [9] 提出了方程(1.4)在线性情况下的Tikhonov正则化方法；2000年，Q。Jin [10] 提出了非线性方程(1.4)在离散后求解的迭代正则化高斯–牛顿方法，该问题中扰动算子是通过有限维的子空间去逼近函数空间形成的；2002年，韩波，刘家琦等 [11] 提出了求解非线性方程(1.4)的Landweber迭代法；文献 [12] [13] [14] 给出了Banach空间中当算子带统计误差数据时变分正则化方法的收敛阶；文献 [15] 推导了在Hilbert空间和Banach空间中两种算子噪音模型的收敛速度；文献 [16] 给出了当扰动算子具有一般数据拟合项时变分正则化的误差界；文献 [17] 提供了推导带扰动算子变分正则化误差界的一般框架。

由于反问题的内在不适定性，Landweber迭代序列呈现出半收敛现象。因此，大部分文献(比如 [2] - [8] [10] [11] )采用最经典的偏差原则作为Landweber迭代的停止准则。但是偏差原则严重依赖于噪音水平 $\delta$ ，而实际应用中噪音水平往往是不可获得或不可靠的，所以不依赖噪音水平的启发式停止准则被提出：1996年，Martin Hanke与Toomas Raus [18] 首次对多种正则化方法提出了一种选择适当正则化参数的启发式方法，即Hanke-Raus准则；2011年，Bangti Jin与Dirk A. Lorenz [19] 导出并推广了二次变分正则化的两个启发式参数选取准则，即Hanke-Raus准则和拟最优性准则；2016年，Qinian Jin [20] 将关于二次变分正则化的Hanke-Raus启发式准则推广到求解Banach空间不适定反问题的一般变分正则化；2018年，Zhengqiang Zhang与Qinian Jin [21] 针对Banach空间中非平稳迭代Tikhonov正则化方法提出了Hanke-Raus准则；之后，Qinian Jin与Wei Wang [22] ，Zhenwu Fu等人 [23] 分别针对Hilbert空间和Banach空间中的高斯–牛顿方法提出了启发式参数选取准则；2022年，Simon Hubmer与Ekaterina Sherina等人 [24] 对Landweber迭代法的若干启发式停止准则进行了比较。本文为Landweber迭代(1.5)提出以下Hanke-Raus准则：

$k_{*}:=\in \underset{k\in \left(0,k_{\infty }\right]}{\arg \min }\left\{\theta \left(k;y^{\delta },F_h\right):=\left(k+a\right)\Vert F_h\left(x_k^{\delta }\right)-y^{\delta }\Vert \right\},$ (1.6)

其中， $a>0$ 为一固定的常数， $k_{\infty }:=k_{\infty }\left(y^{\delta }\right)$ 满足 $\forall 0\le k\le k_{\infty }$ ，有 $x_k^{\delta }\in D\left(F\right)$ 。

下面将分析Landweber迭代(1.5)在Hanke-Raus准则(1.6)下的收敛阶。

2. 主要假设条件

本节介绍对Landweber迭代(1.5)进行收敛阶证明的一些假设条件，部分细节可参考 [4] [25] 。

假设2-1 假设扰动算子及其导算子在方程(1.1)的精确解 $x^{+}$ 处的误差估计为：

$\{\begin{array}{l}\Vert F\left(x^{+}\right)-F_h\left(x^{+}\right)\Vert \le h_F,\\ \Vert F^{\prime }\left(x^{+}\right)-{F^{\prime }}_h\left(x^{+}\right)\Vert \le h_{F^{\prime }}.\end{array}$ (2.1)

在下面的理论分析中，令 $\delta :=\Vert y^{\delta }-y\Vert$ ， $h_F:=\Vert F_h\left(x^{+}\right)-F\left(x^{+}\right)\Vert$ ，注意此噪声水平 $\delta$ 不用于实际计算。为使Landweber迭代法(1.5)在Hanke-Raus准则下收敛，我们还需要对 $\delta +h_F$ 附加假设条件。

假设2-2 存在一个常数 $0<\kappa <1$ ，使得对于任意的 $v\in \left\{F_h\left(x\right):x\in S\left(y^{\delta },F_h\right)\right\}$ ，有

$\Vert y^{\delta }-v\Vert \ge \kappa \left(\delta +h_F\right).$

其中， $S\left(y^{\delta },F_h\right):=\left\{x_k^{\delta ,h}:0\le k\le k_{\infty }\right\}$ 。

下面给出对迭代正则化方法进行收敛阶证明的一些常用的假设条件。

假设2-3 存在 $\rho >0$ ，使得方程(1.1)在 $B_{\rho }\left(x_0\right)\subset D\left(F\right)$ 有一个解 $x^{+}$ ，其中 $B_{\rho }\left(x_0\right):=\left\{x\in X:\Vert x-x_0\Vert \le \rho \right\}$ 。

切锥条件：存在 $0<\eta \le \frac{1}{2}$ ，使得

$\Vert F_h\left(x\right)-F_h\left(y\right)-{F^{\prime }}_h\left(x\right)\left(x-y\right)\Vert \le \eta \Vert F_h\left(x\right)-F_h\left(y\right)\Vert ,\forall x,y\in B_{2\rho }\left(x_0\right).$ (2.2)

扰动算子的导算子的一致有界性：

$w{\Vert {F^{\prime }}_h\left(x\right)\Vert }^2\le 1,\forall x\in B_{2\rho }\left(x_0\right).$ (2.3)

存在一类有界线性算子 $\left\{R_x:x\in B_{2\rho }\left(x_0\right)\right\}$ 使得对于某个正常数 $C>0$ ，有

${F^{\prime }}_h\left(x\right)=R_x{F^{\prime }}_h\left(x^{+}\right);\Vert R_x-I\Vert \le C\Vert x-x^{+}\Vert ,x\in B_{2\rho }\left(x_0\right).$ (2.4)

源条件：存在 $f\in X$ ，使得

$x^{+}-x_0={F^{\prime }}_h{\left(x^{+}\right)}^{*}f.$ (2.5)

3. 收敛阶分析

本节将会给出迭代法(1.5)收敛阶的分析过程。为了简化符号，我们令 $e_k:=x_k^{\delta ,h}-x^{+}$ ， $K_h:={F^{\prime }}_h\left(x^{+}\right)$ ， $K=F^{\prime }\left(x^{+}\right)$ 。

引理3-1 令假设2-3中条件1)，2)，3)成立。 $k_{\delta }$ 是由偏差原则

$\Vert y^{\delta }-F_h\left(x_{k_{\delta }}^{\delta ,h}\right)\Vert \le \tau \left(\delta +h_F\right)<\Vert y^{\delta }-F_h\left(x_k^{\delta ,h}\right)\Vert ,0\le k<k_{\delta },$

所定义的，其中 $\tau >2\frac{1+\eta }{1-\eta }$ 。那么 $k_{\delta }$ 是个有限数且对于任意的 $0\le k\le k_{\delta }$ ， $x_k^{\delta ,h}\in B_{2\rho }\left(x_0\right)$ 。进一步若源条件(2.5)成立，且 $\Vert f\Vert$ 充分小，那么

$k_{\delta }\le c_1{w}^{-1}\left(\frac{\Vert f\Vert }{\delta +h_F}\right),$

其中， $c_1$ 是仅依赖于 $w,\eta ,\tau$ 的某个正常数。

证明：采用与文献 [1] 收敛阶证明过程类似的方法，即可证得结论。

引理3-2 令假设2-3中条件1)，2)，3)成立。 $k_{*}:=k_{*}\left(y^{\delta },F_h\right)$ 是由Hanke-Raus准则(1.6)所确定的。进一步若源条件(2.5)成立，且 $\Vert f\Vert$ 充分小，那么

${\left(k_{*}+a\right)}^{-1}\ge \frac{w\left(\delta +h_F\right)}{c_2\Vert f\Vert },$ (3.1)

其中 $c_2$ 仅依赖于 $w,\eta ,\tau ,\kappa ,a$ 。

证明：可参考文献 [25] 的引理4.3.1的证明过程，其中需要用到本文中的引理3-1。

引理3-3 ( [4] 引理2.9)假设 $p,q$ 是正的，存在一个与k无关的正常数 $c\left(p,q\right)$ 使得

${\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k-1}{\sum }}{\left(j+1\right)}^{-p}{\left(k-j\right)}^{-q}}\le c\left(p,q\right){\left(k+1\right)}^{1-p-q}\{\begin{array}{l}1,\max \left\{p,q\right\}<1,\\ \ln \left(k+1\right)\text{,}\max \left\{p,q\right\}=1,\\ {\left(k+1\right)}^{\max \left\{p,q\right\}-1},\max \left\{p,q\right\}>1,\end{array}$

其中 $c\left(p,q\right)$ 是一个仅依赖于 $p,q$ 的正常数。

引理3-4 ( [4] 引理2.10)令 $T\in L\left(X,Y\right)$ ， $w>0$ ，使得 $w{\Vert T\Vert }^2\le 1$ ，且设 $s\in \left[0,1\right]$ ， $k\in N$ ，那么有下面的不等式成立：

$\begin{array}{l}\Vert {\left(I-w{T}^{*}T\right)}^k{\left(T^{*}T\right)}^s\Vert \le w^{-s}{\left(k+1\right)}^{-s},\\ \Vert {\left(I-w{T}^{*}T\right)}^k{T}^{*}\Vert \le w^{-\frac{1}{2}}{\left(k+1\right)}^{-\frac{1}{2}},\\ \Vert w{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k-1}{\sum }}{\left(I-wT{T}^{*}\right)}^j}{\left(T{T}^{*}\right)}^s\Vert \le {\left(wk\right)}^{1-s}.\end{array}$

引理3-5 令引理3-2的所有条件都成立。若源条件(2.5)成立，且 $\Vert f\Vert$ 充分小，那么对于任意的 $0\le k<k_{*}$ ，有

$\begin{array}{l}\Vert e_k\Vert \le c_w\Vert f\Vert {\left(w\left(k+1\right)\right)}^{-\frac{1}{2}};\Vert K_h{e}_k\Vert \le c_w\Vert f\Vert {\left(w\left(k+1\right)\right)}^{-1},\\ \Vert F_h\left(x_k^{\delta ,h}\right)-y^{\delta }\Vert \le \left(c_2+2c_w\right)\Vert f\Vert {\left(k+1\right)}^{-1},\end{array}$

其中， $c_w$ 是一个仅依赖于 $w,\eta ,\tau ,\kappa ,C$ 。

证明：首先我们需要找到对于任意的 $0\le k\le k_{*}$ ， $e_k$ 和 $K_h{e}_k$ 的表达式，根据迭代法(1.5)，可得

$\begin{array}{c}{e}_{k+1}=e_k-w{F^{\prime }}_h{\left(x_k^{\delta ,h}\right)}^{*}\left(F_h\left(x_k^{\delta ,h}\right)-y^{\delta }\right)+w{F^{\prime }}_h{\left(x^{+}\right)}^{*}\left(\left[F_h\left(x_k^{\delta ,h}\right)-y^{\delta }\right]-\left[F_h\left(x_k^{\delta ,h}\right)-F_h\left(x^{+}\right)\right]+\left[y^{\delta }-F_h\left(x^{+}\right)\right]\right)\\ =e_k-w{\left({F^{\prime }}_h\left(x_k^{\delta ,h}\right)-{F^{\prime }}_h\left(x^{+}\right)\right)}^{*}\left(F_h\left(x_k^{\delta ,h}\right)-y^{\delta }\right)-w{F^{\prime }}_h{\left(x^{+}\right)}^{*}(F_h\left(x_k^{\delta ,h}\right)-F_h\left(x^{+}\right)-{F^{\prime }}_h\left(x^{+}\right)\left(x_k^{\delta ,h}-x^{+}\right)\\ +{F^{\prime }}_h\left(x^{+}\right)\left(x_k^{\delta ,h}-x^{+}\right))+w{F^{\prime }}_h{\left(x^{+}\right)}^{*}\left(y^{\delta }-F_h\left(x^{+}\right)\right).\end{array}$

利用(2.4)，可得

$\begin{array}{c}{e}_{k+1}=\left(I-w{K}_h^{*}{K}_h\right)e_k+w{K}_h^{*}(\left[I-R_{x_k^{\delta ,h}}^{*}\right]\left(F_h\left(x_k^{\delta ,h}\right)-y^{\delta }\right)\\ -\left[F_h\left(x_k^{\delta ,h}\right)-F_h\left(x^{+}\right)-{F^{\prime }}_h\left(x^{+}\right)\left(x_k^{\delta ,h}-x^{+}\right)\right])+w{K}_h^{*}\left(y^{\delta }-F_h\left(x^{+}\right)\right).\end{array}$ (3.2)

令

$z_k=\left(I-R_{x_k^{\delta ,h}}^{*}\right)\left(F_h\left(x_k^{\delta ,h}\right)-y^{\delta }\right)-R\left(x_k^{\delta ,h},x^{+}\right),$ (3.3)

其中 $R\left(x_k^{\delta ,h},x^{+}\right)=F_h\left(x_k^{\delta ,h}\right)-F_h\left(x^{+}\right)-{F^{\prime }}_h\left(x^{+}\right)\left(x_k^{\delta ,h}-x^{+}\right)$ 。结合(3.2)和(3.3)，可得

$e_{k+1}=\left(I-w{K}_h^{*}{K}_h\right)e_k+w{K}_h^{*}{z}_k+w{K}_h^{*}\left(y^{\delta }-F_h\left(x^{+}\right)\right).$

由 $e_0=x_0-x^{+}=-K^{*}f=-K_h^{*}f-\left(K^{*}-K_h^{*}\right)f$ ，通过归纳假设，我们可以得到对于 $0\le k\le k_{*}$ ，有

$\begin{array}{c}{e}_k={\left(I-w{K}_h^{*}{K}_h\right)}^k{e}_0+w{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k-1}{\sum }}\left\{{\left(I-w{K}_h^{*}{K}_h\right)}^j{K}_h^{*}\right\}{z}_{k-j-1}}+\left\{w{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k-1}{\sum }}{\left(I-w{K}_h^{*}{K}_h\right)}^j{K}_h^{*}}\right\}\left(y^{\delta }-F_h\left(x^{+}\right)\right)\\ ={\left(I-w{K}_h^{*}{K}_h\right)}^k\left(-K_h^{*}f\right)+{\left(I-w{K}_h^{*}{K}_h\right)}^k\left(-\left[K^{*}-K_h^{*}\right]f\right)\\ +w{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k-1}{\sum }}\left\{{\left(I-w{K}_h^{*}{K}_h\right)}^j{K}_h^{*}\right\}{z}_{k-j-1}}+\left\{w{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k-1}{\sum }}{\left(I-w{K}_h^{*}{K}_h\right)}^j{K}_h^{*}}\right\}\left(y^{\delta }-F_h\left(x^{+}\right)\right),\end{array}$

与

$\begin{array}{c}{K}_h{e}_k={\left(I-w{K}_h{K}_h^{*}\right)}^k{K}_h{e}_0+w{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k-1}{\sum }}\left\{{\left(I-w{K}_h{K}_h^{*}\right)}^j{K}_h{K}_h^{*}\right\}{z}_{k-j-1}}\\ +\left\{w{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k-1}{\sum }}{\left(I-w{K}_h{K}_h^{*}\right)}^j{K}_h{K}_h^{*}}\right\}\left(y^{\delta }-F_h\left(x^{+}\right)\right)\\ ={\left(I-w{K}_h{K}_h^{*}\right)}^k{K}_h{e}_0+w{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k-1}{\sum }}\left\{{\left(I-w{K}_h{K}_h^{*}\right)}^j{K}_h{K}_h^{*}\right\}{z}_{k-j-1}}+\left\{I-{\left(I-w{K}_h{K}_h^{*}\right)}^k\right\}\left(y^{\delta }-F_h\left(x^{+}\right)\right)\\ ={\left(I-w{K}_h^{*}{K}_h\right)}^k{K}_h\left(-K_h^{*}f\right)+{\left(I-w{K}_h^{*}{K}_h\right)}^k{K}_h\left(-\left[K^{*}-K_h^{*}\right]f\right)\\ +w{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k-1}{\sum }}\left\{{\left(I-w{K}_h{K}_h^{*}\right)}^j{K}_h{K}_h^{*}\right\}{z}_{k-j-1}}+\left\{I-{\left(I-w{K}_h{K}_h^{*}\right)}^k\right\}\left(y^{\delta }-F_h\left(x^{+}\right)\right).\end{array}$

接下来，我们将证明对于 $0\le j<k_{*}$ ，有

$\Vert e_j\Vert \le c_w\Vert f\Vert {\left(w\left(j+1\right)\right)}^{-\frac{1}{2}};\Vert K_h{e}_j\Vert \le c_w\Vert f\Vert {\left(w\left(j+1\right)\right)}^{-1}.$ (3.4)

对于 $j=0$ ，结合(2.1)，(2.3)与(2.5)，有 $c_w=1+w^{\frac{1}{2}}{h}_{F^{\prime }}$ ，所以(3.4)成立是显然的。我们采用数学归纳法，假设对于 $0\le j<k<k_{*}$ ，(3.4)成立，只需要证明 $j=k$ 时结论成立即可。应用(2.4)我们可以得到

$\Vert F_h\left(x\right)-F_h\left(x^{+}\right)-K_h\left(x-x^{+}\right)\Vert \le \frac{C}{2}\Vert K_h\left(x-x^{+}\right)\Vert \Vert x-x^{+}\Vert .$ (3.5)

通过三角不等式，(2.2)，(3.1)与(3.4)，可得 $\forall 0\le j<k$ ，有

$\begin{array}{c}\Vert F_h\left(x_j^{\delta ,h}\right)-y^{\delta }\Vert \le \delta +h_F+\frac{1}{1-\eta }\Vert K_h{e}_j\Vert \le \delta +h_F+2\Vert K_h{e}_j\Vert \\ \le c_2{w}^{-1}{\left(j+1\right)}^{-1}\Vert f\Vert +2c_w{w}^{-1}\Vert f\Vert {\left(j+1\right)}^{-1}\\ =\left(c_2+2c_w\right)\Vert f\Vert {\left(w\left(j+1\right)\right)}^{-1}.\end{array}$

将上式结合(2.4)，(3.5)与(3.4)，则 $\forall 0\le j<k$ 我们有

$\begin{array}{c}\Vert z_j\Vert =\Vert \left(I-R_{x_j^{\delta ,h}}^{*}\right)\left(F_h\left(x_j^{\delta ,h}\right)-y^{\delta }\right)\Vert +\Vert R\left(x_j^{\delta ,h},x^{+}\right)\Vert \\ \le C\Vert e_j\Vert \Vert F_h\left(x_j^{\delta ,h}\right)-y^{\delta }\Vert +\frac{C}{2}\Vert e_j\Vert \Vert K_h{e}_j\Vert \\ \le C{c}_w\left(c_2+\frac{5}{2}{c}_w\right){\Vert f\Vert }^2{\left(w\left(j+1\right)\right)}^{-\frac{3}{2}}\\ =c_3{\Vert f\Vert }^2{\left(w\left(j+1\right)\right)}^{-\frac{3}{2}},\end{array}$

其中 $c_3=C{c}_w\left(c_2+\frac{5}{2}{c}_w\right)$ 。通过上式以及引理3-3，令 $\bar{c}=c_3\max \left\{c\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right),c\left(1,\frac{3}{2}\right)\right\}$ ，可得

$\{\begin{array}{l}{w}^{\frac{1}{2}}{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k-1}{\sum }}{\left(j+1\right)}^{-\frac{1}{2}}\Vert z_{k-j-1}\Vert }\le \bar{c}{w}^{-1}{\Vert f\Vert }^2{\left(k+1\right)}^{-\frac{1}{2}},\\ {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k-1}{\sum }}{\left(j+1\right)}^{-1}\Vert z_{k-j-1}\Vert }\le \bar{c}{w}^{-\frac{3}{2}}{\Vert f\Vert }^2{\left(k+1\right)}^{-1}.\end{array}$

因为 $\Vert f\Vert$ 充分小，所以存在一个常数 $c^{\prime }>0$ ，使得 $\forall 0\le k<k_{*}$ ，有

${\left(w\left(k+1\right)\right)}^{-\frac{1}{2}}{h}_{F^{\prime }}\Vert f\Vert \le c^{\prime }\left(\delta +h_F\right).$ (3.6)

基于以上的断言，通过引理3-2，引理3-4与(2.1)，可得

$\begin{array}{c}\Vert e_k\Vert \le {\left(w\left(k+1\right)\right)}^{-\frac{1}{2}}\Vert f\Vert +h_{F^{\prime }}\Vert f\Vert +w^{\frac{1}{2}}{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k-1}{\sum }}{\left(j+1\right)}^{-\frac{1}{2}}\Vert z_{k-j-1}\Vert }+{\left(wk\right)}^{\frac{1}{2}}\left(\delta +h_F\right)\\ =\left(1+c^{\prime }{c}_2+\bar{c}{w}^{-\frac{1}{2}}\Vert f\Vert +c_2\right)\left(\Vert f\Vert w^{-\frac{1}{2}}{\left(k+1\right)}^{-\frac{1}{2}}\right)\end{array}$

与

$\begin{array}{c}\Vert K_h{e}_k\Vert \le {\left(w\left(k+1\right)\right)}^{-1}\Vert f\Vert +{\left(w\left(k+1\right)\right)}^{-\frac{1}{2}}{h}_{F^{\prime }}\Vert f\Vert +{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k-1}{\sum }}{\left(j+1\right)}^{-\frac{1}{2}}}\Vert z_{k-j-1}\Vert +\left(\delta +h_F\right)\\ =\left(1+c^{\prime }{c}_2+\bar{c}{w}^{-\frac{1}{2}}\Vert f\Vert +c_2\right)\left(\Vert f\Vert {\left(w\left(k+1\right)\right)}^{-1}\right).\end{array}$

令 $c_w=1+c^{\prime }{c}_2+\bar{c}{w}^{-\frac{1}{2}}\Vert f\Vert +c_2$ ，结论成立。

定理3-1 令假设2-3中条件1)，2)，3)成立， $k_{*}:=k_{*}\left(y^{\delta },F_h\right)$ 是由Hanke-Raus准则(1.6)所确定的。进一步若源条件(2.5)成立，且 $\Vert f\Vert$ 充分小，那么

$\Vert x_{k_{*}}^{\delta ,h}-x^{+}\Vert \le C_{*}{\Vert f\Vert }^{1/2}{\left(\delta +h_F+{\delta }_{*}\right)}^{\frac{1}{2}}\text{,}$

其中的 $C_{*}$ 仅依赖于 $w,\eta ,\tau ,\kappa ,a$ 且 ${\delta }_{*}:=\Vert F_h\left(x_{k_{*}}^{\delta ,h}\right)-y^{\delta }\Vert$ 。

证明：通过引理3-5证明的 $e_k,K_h{e}_k$ 的表达式，可得

$\begin{array}{l}{e}_{k_{*}}=K_h^{*}{f}_{k_{*}}-{\left(I-w{K}_h^{*}{K}_h\right)}^{k_{*}}\left(K^{*}-K_h^{*}\right)f+\left\{w{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k_{*}-1}{\sum }}{\left(I-w{K}_h^{*}{K}_h\right)}^j}{K}_h^{*}\right\}\left(y^{\delta }-F_h\left(x^{+}\right)\right),\\ K_h{e}_{k_{*}}=K_h{K}_h^{*}{f}_{k_{*}}-K_h{\left(I-w{K}_h^{*}{K}_h\right)}^{k_{*}}\left(K^{*}-K_h^{*}\right)f+\left(I-{\left(I-w{K}_h{K}_h^{*}\right)}^{k_{*}}\right)\left(y^{\delta }-F_h\left(x^{+}\right)\right),\end{array}$

其中 $f_{k_{*}}=-{\left(I-w{K}_h{K}_h^{*}\right)}^{k_{*}}f+w{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k_{*}-1}{\sum }}{\left(I-w{K}_h{K}_h^{*}\right)}^j{z}_{k_{*}-j-1}}$ 。

由于引理3-5成立，再根据引理3-5中 $\Vert z_j\Vert$ 的估计证明过程，可知 $\forall 0\le j<k_{*}$ ， $\Vert z_j\Vert$ 估计成立。

因此应用引理3-4以及 $\Vert f\Vert$ 充分小(可认为 $\Vert f\Vert \le 1$ )，可得

$\Vert f_{k_{*}}\Vert \le \Vert {\left(I-w{K}_h{K}_h^{*}\right)}^{k_{*}}f\Vert +\Vert w{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k_{*}-1}{\sum }}\left\{{\left(I-w{K}_h{K}_h^{*}\right)}^j\right\}{z}_{k_{*}-j-1}}\Vert \le \left(1+\tilde{c}\right)\Vert f\Vert .$

其中 $\tilde{c}=c_3{w}^{-\frac{1}{2}}c\left(0,\frac{3}{2}\right)$ 。

基于 $K_h{e}_{k_{*}}$ 的表达式，应用引理3-4，(2.1)，(2.2)以及(3.6)可得

$\begin{array}{c}\Vert K_h{K}_h^{*}{f}_{k_{*}}\Vert =\Vert K_h{e}_{k_{*}}+K_h{\left(I-w{K}_h^{*}{K}_h\right)}^{k_{*}}\left(K^{*}-K_h^{*}\right)f+\left(I-{\left(I-w{K}_h{K}_h^{*}\right)}^{k_{*}}\right)\left(F_h\left(x^{+}\right)-y^{\delta }\right)\Vert \\ \le \Vert F_h\left(x_{k_{*}}^{\delta ,h}\right)-F_h\left(x^{+}\right)-K_h{e}_{k_{*}}\Vert +\Vert F_h\left(x_{k_{*}}^{\delta ,h}\right)-F_h\left(x^{+}\right)\Vert +h_{F^{\prime }}{\left(k_{*}+1\right)}^{-\frac{1}{2}}\Vert f\Vert +\left(\delta +h_F\right)\\ \le \left(1+\eta \right)\left(\Vert F\left(x_{k_{*}}^{\delta ,h}\right)-y^{\delta }\Vert +\Vert F_h\left(x^{+}\right)-y^{\delta }\Vert \right)+h_{F^{\prime }}{\left(k_{*}+1\right)}^{-\frac{1}{2}}\Vert f\Vert +\left(\delta +h_F\right)\\ \le M\left(\delta +h_F+{\delta }_{*}\right),\end{array}$

其中 $M>0$ 。

由插值不等式以及上面的断言可得

$\begin{array}{c}\Vert K_h^{\ast }{f}_{k_{*}}\Vert \le {\Vert K_h{K}_h^{\ast }{f}_{k_{*}}\Vert }^{\frac{1}{2}}{\Vert f_{k_{*}}\Vert }^{\frac{1}{2}}\\ \le {\left[M\left(\delta +h_F+{\delta }_{*}\right)\right]}^{\frac{1}{2}}{\left[\left(1+\tilde{c}\right)\Vert f\Vert \right]}^{\frac{1}{2}}\\ \le c_4{\Vert f\Vert }^{\frac{1}{2}}{\left(\delta +h_F+{\delta }_{*}\right)}^{\frac{1}{2}}.\end{array}$

其中 $c_4={\left[M\left(1+\tilde{c}\right)\right]}^{\frac{1}{2}}$ 。

基于 $e_{k_{*}}$ 的表达式，根据以上的断言，引理3-4与(2.1)，可得

$\Vert e_{k_{*}}\Vert \le c_4{\Vert f\Vert }^{\frac{1}{2}}{\left(\delta +h_F+{\delta }_{*}\right)}^{\frac{1}{2}}+h_{F^{\prime }}\Vert f\Vert +{\left(w{k}_{*}\right)}^{\frac{1}{2}}\left(\delta +h_F\right),$

根据(3.1)以及(3.6)，可得

$h_{F^{\prime }}\Vert f\Vert \le c^{\prime }\sqrt{c_2}{\left(\left(\delta +h_F\right)\Vert f\Vert \right)}^{\frac{1}{2}}$

以及

$w^{\frac{1}{2}}\sqrt{k_{*}}\left(\delta +h_F\right)\le w^{\frac{1}{2}}{\left(k_{*}+a\right)}^{1/2}\left(\delta +h_F\right)\le {\left(c_2\Vert f\Vert \right)}^{\frac{1}{2}}{\left(\delta +h_F\right)}^{\frac{1}{2}}.$

所以结论得证。

4. 总结与展望

本文针对带有扰动算子的非线性反问题提出了一种Landweber迭代法，并在一定的假设条件下，证明了此迭代法在不依赖于噪音水平的Hanke-Raus准则下的收敛阶。由于该方法在每步迭代过程中需要计算 ${F^{\prime }}_h\left(x_k^{\delta ,h}\right)$ ，我们可借鉴文献 [7] 简化的思想，将每步计算的导数固定为某个合适的导数来减少计算量。另一方面，我们也可引入加速收敛的策略(比如采用文献 [8] 的两点梯度格式等)提出新的Landweber迭代格式。证明这些迭代法在Hanke-Raus准则下的收敛阶将是我们后续的工作。

基金项目

国家自然科学基金(批准号：12071184)资助项目。

参考文献