Sherman-Morrison公式的五种证明方法

Five Proof Methods for the Sherman-Morrison Formula

摘要: 本文分别用矩阵分解、矩阵的升阶运算、矩阵的初等变换、矩阵方程的求解以及因式分解的方法，给出了Sherman-Morrison公式的五种证明方法，更加明确了Sherman-Morrison公式的构造过程，丰富了高等代数课程教学内容。通过在一题多解的课堂教学中采用针对性的措施活跃学生的解题思维，进一步提高学生的解题能力。

Abstract: This paper provides five proof methods for the Sherman-Morrison formula by using matrix decom-position, ascending order method, matrix elementary transformation, the solution of matrix equa-tions, and factorization methods. Those clarify the construction process of the Sherman-Morrison formula, enrich the teaching content of the course. By adopting targeted measures in classroom teaching with multiple solutions to one problem, students can activate their problem-solving think-ing and further improve their problem-solving abilities.

1. 引言

矩阵的求逆一直是矩阵计算中的热门问题，但是对于矩阵的和的求逆过程往往不太容易。假设 $A$ 是数域 $\mathbb{P}$ 上的n阶可逆矩阵， $\alpha$ 、 $\beta$ 是n维列向量，我们称 ${\left(A+\alpha {\beta }^{\prime }\right)}^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}}{1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha }$ 为Sherman-Morrison

公式，该公式由Sherman和Morrison在1950年提出。因此只需求得 $A^{-1}$ ，即可求出 ${\left(A+\alpha {\beta }^{\prime }\right)}^{-1}$ ，降低了求 ${\left(A+\alpha {\beta }^{\prime }\right)}^{-1}$ 的复杂程度。Sherman-Morrison公式广泛应用于矩阵求逆运算中，它提供了一种更加简洁的判别矩阵的和的可逆性以及求逆矩阵的方法。关于矩阵的求逆，目前取得了丰富的结果。文献 [1] 中，尹小艳从分块矩阵求逆的课本习题出发，给出了一种简便的矩阵求逆的新解法；陈建华等介绍了三对角形矩阵求逆的新思路，见文献 [2] ；李亭亭在文献 [3] 中给出了初等变换法求逆矩阵及其推广；曾聃和徐运阁在文献 [4] 中给出降阶公式的各种变形以及在解题中的应用。本文运用矩阵的分解、升阶法、因式分解法、矩阵方程的求解以及运用行列式降阶定理等方法，给出了证明Sherman-Morrison公式的五种方法，不仅丰富了教师运用“一题多解”的课堂教学内容，并且使学生的逻辑思维能力、运用抽象概念联系实际的能力、将实际数学问题抽象代数化的能力方面都得到提升。通过在一题多解的课堂教学中采用针对性的措施活跃学生的解题思维，可以进一步提高学生的解题能力。本文的符号和术语是标准的，见参考文献 [5] [6] 。

2. 预备知识

我们首先给出下述引理，称为行列式降阶定理。

引理1 [5] 在数域 $\mathbb{P}$ 上，已知 $A$ 是n阶方阵， $D$ 是m阶方阵，其中 $B$ 是 $n\times m$ 阶矩阵， $C$ 是 $m\times n$ 阶矩阵，则：

1) 当 $A$ 为可逆矩阵时， $\left|\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right|=\left|A\right|\left|D-C{A}^{-1}B\right|$ ；

2) 当 $D$ 为可逆矩阵时， $\left|\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right|=\left|D\right|\left|A-B{D}^{-1}C\right|$ 。

引理2 设 $A$ 是数域 $\mathbb{P}$ 上的n阶可逆矩阵， $\alpha$ 、 $\beta$ 是数域 $\mathbb{P}$ 上的n维列向量，则：

$A+\alpha {\beta }^{\prime }$ 可逆当且仅当 $1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \ne 0$ 。

证 先证必要性。

当 $\alpha =0$ 时，显然有 $1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha =1\ne 0$ 成立。

下设 $\alpha \ne 0$ ，用反证法。假设 $1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha =0$ ，则有

$\left(A+\alpha {\beta }^{\prime }\right)A^{-1}\alpha =\alpha +\alpha \left({\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \right)=\alpha \left(1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \right)=0$ .

由于 $A+\alpha {\beta }^{\prime }$ 可逆，因此 $A^{-1}\alpha =0$ 。又因为 $A$ 可逆，故 $\alpha =0$ ，与假设矛盾。因此，

$1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha =1\ne 0$ .

再证充分性。

当 $1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha =1\ne 0$ 时，我们设 $X=A+\alpha {\beta }^{\prime }$ ，以及 $Y=A^{-1}-\frac{A^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}}{1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha }$ 。

计算

$\begin{array}{c}XY=\left(A+\alpha {\beta }^{\prime }\right)\left(A^{-1}-\frac{A^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}}{1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha }\right)\\ =A{A}^{-1}-\frac{A{A}^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}}{1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha }+\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}-\frac{\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}}{1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha }\\ =E_n-\frac{\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}}{1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha }+\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}-\frac{\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}}{1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha }\\ =E_n-\frac{\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}}{1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha }+\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}-\frac{\alpha \left({\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \right){\beta }^{\prime }{A}^{-1}}{1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha }\end{array}$

$\begin{array}{l}=E_n-\frac{\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}}{1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha }+\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}-\left({\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \right)\frac{\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}}{1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha }\\ =E_n+\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}-\left(1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \right)\frac{\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}}{1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha }\\ =E_n+\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}-\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}\\ =E_n\stackrel{}{}\end{array}$

因此， $A+\alpha {\beta }^{\prime }$ 可逆。

引理3 [5] 在数域 $\mathbb{P}$ 上，已知 $A$ 、 $B$ 分别是 $n\times m$ 和 $m\times n$ 阶矩阵， $E_n\pm AB$ 可逆，则 $E_m\pm BA$ 也可逆，且 ${\left(E_m\pm BA\right)}^{-1}=E_m\mp B{\left(E_n\pm AB\right)}^{-1}A$ 。

定义1 [6] 如果 $x\in {ℝ}^{n\times n}$ ，定义 ${\Vert x\Vert }_p={\left({\left|x_1\right|}^p+\cdots +{\left|x_n\right|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}$ $p\ge 1$ 为p-范数。

引理4 [6] 如果 $F\in {ℝ}^{n\times n}$ 并且设 ${\Vert F\Vert }_p<1$ ，则 $E_n-F$ 是可逆矩阵，且 ${\left(E_n-F\right)}^{-1}={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{F}^k}$ 。

引理5 [5] 在数域 $\mathbb{P}$ 上，若 $A^n=0$ ，则 $E-A$ 可逆，并且 ${\left(E-A\right)}^{-1}=E+A+A^2+\cdots +A^{n-1}$ 。

3. Sherman-Morrison公式的五种证明方法

(Sherman-Morrison公式)设 $A$ 是n阶可逆矩阵， $\alpha$ 、 $\beta$ 是n维列向量，且 $1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \ne 0$ ，

证明： $A+\alpha {\beta }^{\prime }$ 可逆，并且 ${\left(A+\alpha {\beta }^{\prime }\right)}^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}}{1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha }$ 。

方法1 由引理2可知，当 $1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \ne 0$ 时， $A+\alpha {\beta }^{\prime }$ 可逆，即

$A+\alpha {\beta }^{\prime }=A\left(E_n-\left(A^{-1}\alpha \right)\left(-{\beta }^{\prime }\right)\right)$ 可逆，且 ${\left(A+\alpha {\beta }^{\prime }\right)}^{-1}={\left(E_n-\left(A^{-1}\alpha \right)\left(-{\beta }^{\prime }\right)\right)}^{-1}{A}^{-1}$ ， (1)

再根据引理3可得

${\left(E_n-\left(A^{-1}\alpha \right)\left(-{\beta }^{\prime }\right)\right)}^{-1}=E_n+\left(A^{-1}\alpha \right){\left(1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \right)}^{-1}\left(-{\beta }^{\prime }\right)=E_n-\frac{1}{1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha }{A}^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }$ ,

将其代入(1)式可得 ${\left(A+\alpha {\beta }^{\prime }\right)}^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}}{1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha }$ 。证毕。

此种方法对于数学基本功有一定的要求，需要借助于引理2和引理3的结论方可证明。

下面我们运用升阶法，直接对升阶的矩阵做初等变换来证明Sherman-Morrison公式，这种方法比第一种方法更为初等，可以更直观的理解Sherman-Morrison公式的构造过程。

方法2 将 $A+\alpha {\beta }^{\prime }$ 升阶为 $n+1$ 阶方阵，然后对其进行初等变换求逆矩阵：

$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{cccc}A+\alpha {\beta }^{\prime }& 0& E_n& 0\\ -{\beta }^{\prime }& 1& 0& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}A& \alpha & E_n& \alpha \\ -{\beta }^{\prime }& 1& 0& 1\end{array}\right)\\ \to \left(\begin{array}{cccc}A& \alpha & E_n& \alpha \\ 0& 1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha & {\beta }^{\prime }{A}^{-1}& 1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \end{array}\right)\\ \to \left(\begin{array}{cccc}A& \alpha & E_n-{\left(1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \right)}^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}& 0\\ 0& 1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha & {\beta }^{\prime }{A}^{-1}& 1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \end{array}\right)\\ \to \left(\begin{array}{cccc}{E}_n& 0& A^{-1}-{\left(1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \right)}^{-1}{A}^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}& 0\\ 0& 1& {\left(1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \right)}^{-1}{\beta }^{\prime }{A}^{-1}& 1\end{array}\right),\end{array}$

故

$M^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}-{\left(1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \right)}^{-1}{A}^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}& 0\\ {\left(1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \right)}^{-1}{\beta }^{\prime }{A}^{-1}& 1\end{array}\right)$ .

所以

$M{M}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}A+\alpha {\beta }^{\prime }& 0\\ -{\beta }^{\prime }& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{A}_1& B_1\\ C_1& D_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{E}_n& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ ,

即 $\left(A+\alpha {\beta }^{\prime }\right)A_1=E_n$ 。因此 $A+\alpha {\beta }^{\prime }$ 可逆，且 ${\left(A+\alpha {\beta }^{\prime }\right)}^{-1}=A_1=A^{-1}-\frac{A^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}}{1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha }$ 。证毕。

接下来运用分块矩阵的方法来证明Sherman-Morrison公式。分块矩阵在矩阵计算中是一种重要的工具和方法，通过合理的划分矩阵，可以使矩阵的结构更加清晰，具有优化计算、便于分析和提高运算效率等优点。

方法3 由于 $A+\alpha {\beta }^{\prime }$ 可逆当且仅当其行列式不为0，即

$\left|A+\alpha {\beta }^{\prime }\right|=\left|\begin{array}{cc}A+\alpha {\beta }^{\prime }& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& -\alpha \\ {\beta }^{\prime }& 0\end{array}\right|=\left|A\right|\left|1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \right|\ne 0$ .

已知 $A$ 可逆，因此 $\left|A\right|\ne 0$ ；又因为 $1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \ne 0$ ，所以 $\left|A+\alpha {\beta }^{\prime }\right|\ne 0$ ，故 $A+\alpha {\beta }^{\prime }$ 可逆。

我们令 ${\left(\begin{array}{cc}A& -\alpha \\ {\beta }^{\prime }& 1\end{array}\right)}^{-1}={\left(\begin{array}{cc}A& X\\ Y& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}C& D\\ E& F\end{array}\right)$ ，那么

$\left(\begin{array}{cc}A& X\\ Y& B\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}C& D\\ E& F\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}C& D\\ E& F\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& X\\ Y& B\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{E}_n& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ ,

由矩阵的运算得到下述方程组：

$\{\begin{array}{l}AC+XE=E_n\\ AD+XF=0\\ YC+BE=0\\ YD+BF=1\end{array}$ ,

以及

$\{\begin{array}{l}CA+DY=E_n\\ CX+DB=0\\ EA+FY=0\\ EX+FB=1\end{array}$ ,

解得

$\{\begin{array}{l}D=A^{-1}X{\left(Y{A}^{-1}X-B\right)}^{-1}\\ E=B^{-1}Y{\left(X{B}^{-1}Y-A\right)}^{-1}\\ C=A^{-1}-A^{-1}X{\left(Y{A}^{-1}X-B\right)}^{-1}Y{A}^{-1}\end{array}$ ,

由 $YC+BE=0$ 得 $Y\left(A^{-1}-A^{-1}X{\left(Y{A}^{-1}X-B\right)}^{-1}Y{A}^{-1}\right)+Y{\left(X{B}^{-1}Y-A\right)}^{-1}=0$ , (2)

将 $X=-\alpha$ ， $Y={\beta }^{\prime }$ ， $B=1$ 代入(2)式得：

${\beta }^{\prime }\left(A^{-1}-A^{-1}\left(-\alpha \right){\left({\beta }^{\prime }{A}^{-1}\left(-\alpha \right)-1\right)}^{-1}{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\right)+{\beta }^{\prime }{\left(-\alpha {\beta }^{\prime }-A\right)}^{-1}=0$ ,

于是

${\left(A+\alpha {\beta }^{\prime }\right)}^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}}{1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha }$ .

接下来，利用矩阵方程求解的思想证明Sherman-Morrison公式。这种方法简单易懂，缺点是计算复杂度较高。

方法4 由引理2可知，当 $1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \ne 0$ 时，则 $A+\alpha {\beta }^{\prime }$ 可逆。

考虑矩阵方程 $\left(E_n+\alpha {\beta }^{\prime }\right)X=B$ ，其中 $B$ 是数域 $\mathbb{P}$ 上的n阶可逆矩阵，解出 $X$ 即可以得到 ${\left(E_n+\alpha {\beta }^{\prime }\right)}^{-1}$ 的公式。

由矩阵运算， $E_{n}X+\alpha {\beta }^{\prime }X=B$ ，记 $\gamma ={\beta }^{\prime }X$ ，有

$X+\alpha \gamma =B$ . (3)

(3)式左右两边同时左乘 ${\beta }^{\prime }$ ，得到 ${\beta }^{\prime }X+{\beta }^{\prime }\alpha \gamma ={\beta }^{\prime }B$ ，即 $\gamma +{\beta }^{\prime }\alpha \gamma ={\beta }^{\prime }B$ ，解得 $\gamma ={\left(1+{\beta }^{\prime }\alpha \right)}^{-1}{\beta }^{\prime }B$ 。那么，由(3)式得 $X=B-\alpha \gamma =B-\alpha \frac{{\beta }^{\prime }B}{1+{\beta }^{\prime }\alpha }=B-\frac{\alpha {\beta }^{\prime }}{1+{\beta }^{\prime }\alpha }B=\left(E_n-\frac{\alpha {\beta }^{\prime }}{1+{\beta }^{\prime }\alpha }\right)B$ ，因此得到 $\left(E_n+\alpha {\beta }^{\prime }\right)X=\left(E_n+\alpha {\beta }^{\prime }\right)\left(E_n-\frac{\alpha {\beta }^{\prime }}{1+{\beta }^{\prime }\alpha }\right)B=B$ ，所以 $\left(E_n+\alpha {\beta }^{\prime }\right)\left(E_n-\frac{\alpha {\beta }^{\prime }}{1+{\beta }^{\prime }\alpha }\right)=E_n$ 即

${\left(E_n+\alpha {\beta }^{\prime }\right)}^{-1}=E_n-\frac{\alpha {\beta }^{\prime }}{1+{\beta }^{\prime }\alpha }$ , (4)

最终，将 $\alpha$ 替换为 $A^{-1}\alpha$ ，由于 $\alpha$ 和 $A^{-1}\alpha$ 都是n维列向量，所以(4)式可变为

${\left(E_n+A^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }\right)}^{-1}=E_n-\frac{A^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }}{1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha }$ ,

由于 $A+\alpha {\beta }^{\prime }=A\left(E_n+A^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }\right)$ 可逆，并且

${\left(A+\alpha {\beta }^{\prime }\right)}^{-1}={\left(E_n+A^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }\right)}^{-1}{A}^{-1}=\left(E_n-\frac{A^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }}{1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha }\right)A^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}}{1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha }$ .

最后运用因式分解的方法来证明Sherman-Morrison公式。其中方法5由引理4的思想，简化后运用引理5进行证明，此种证明方法过程简练而且计算较为简单，但是对学生的逻辑推理能力以及对于高等代数的知识储备要求较高。

方法5 由引理2可知，当 $1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \ne 0$ 时，则 $A+\alpha {\beta }^{\prime }$ 可逆，即

$A+\alpha {\beta }^{\prime }=A\left(E_n+A^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }\right)$ 可逆，并且 ${\left(A+\alpha {\beta }^{\prime }\right)}^{-1}={\left(E_n+A^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }\right)}^{-1}{A}^{-1}$ ， (5)

由引理5， ${\left(E_n+A^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }\right)}^{-1}={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\left(-1\right)}^i{\left(A^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }\right)}^i}$ ； ${\left(1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \right)}^{-1}=\frac{1}{1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha }={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\left(-1\right)}^i{\left({\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \right)}^i}$ ，进一步，将(5)代入得：

$\begin{array}{c}{\left(A+\alpha {\beta }^{\prime }\right)}^{-1}={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\left(-1\right)}^i{\left(A^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }\right)}^i}{A}^{-1}\\ =A^{-1}-A^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}+A^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}-A^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}+\cdots +{\left(-1\right)}^i{\left(A^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }\right)}^i{A}^{-1}\\ =A^{-1}-\left(A^{-1}\alpha \right)\left({\beta }^{\prime }{A}^{-1}\right)+\left(A^{-1}\alpha \right){\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \left({\beta }^{\prime }{A}^{-1}\right)-\left(A^{-1}\alpha \right){\left({\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \right)}^2\left({\beta }^{\prime }{A}^{-1}\right)+\cdots \\ +{\left(-1\right)}^i\left(A^{-1}\alpha \right){\left({\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \right)}^i\left({\beta }^{\prime }{A}^{-1}\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}=A^{-1}-\left(A^{-1}\alpha \right){\displaystyle \underset{i=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\left(-1\right)}^i{\left({\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \right)}^i}\left({\beta }^{\prime }{A}^{-1}\right)\\ =A^{-1}-\left(A^{-1}\alpha \right){\left(1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha \right)}^{-1}\left({\beta }^{\prime }{A}^{-1}\right)\\ =A^{-1}-\frac{A^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}}{1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha }\end{array}$

4. 结语

本文通过多角度、多维度、多层次，分别运用矩阵分解、矩阵的升阶法、因式分解法、矩阵方程的求解以及行列式降阶定理的方法对Sherman-Morrison公式的证明进行分析与处理，得到数学问题的多种解答方法，从而开阔学生解题思路，发散学生数学思维，使学生能够在之后处理类似问题时优选最佳的办法，为学生积累解题经验和解题技巧，进一步提高解题效率。由此发现，各个公式之间存在着密切的联系，通过运用不同的方法对Sherman-Morrison公式进行证明，加深了对于Sherman-Morrison公式的直观理解，提升学生数学思维的敏捷性。通过数学思维品质的培养，学生对数学知识的理解与运用也能够得到有效提升。教师在高等代数课程教学中要注重构建学生的数学知识体系，挖掘不同的数学模块及基础知识之间的内在联系，促进学生数学思想方法之间的渗透与沟通，实现数学知识的巧妙转化与合理运用，从而培养学生思维的广度与深度，拓展数学教学的价值。

基金项目

山西省基础研究计划(自由探索类)青年项目：202103021223328。