小议向量组线性相关性的判别方法

A Brief Discussion on Discriminant Methods of Linear Dependentof Vector Sets

摘要: 判断向量组的线性相关性是线性代数课程的重点内容之一。本文以一个向量组为例介绍几种判别线性相关性的方法。

Abstract: Judging the linear dependent of vector sets is a key content in linear algebra. In this article, taking a vector set as an example, we present several methods for distinguishing linear dependent of vector sets.

1. 引言

本文所涉及的向量均指列向量， $m,n\ge 2$ ，所涉及的概念可参见 [1] [2] 。

判断向量组的线性相关性，即确定向量组是线性相关还是线性无关，是线性代数课程的重点内容之一。如何判断一个向量组的线性相关性呢？关于这方面的讨论可参见 [3] [4] [5] 。本文将以下面的向量组为例介绍几种判别线性相关性的方法。

例1：判断向量组 ${\alpha }_1={\left(0,1,1,-1\right)}^{\text{T}}$ ， ${\alpha }_2={\left(1,0,-1,1\right)}^{\text{T}}$ ， ${\alpha }_3={\left(1,-1,0,1\right)}^{\text{T}}$ ， ${\alpha }_4={\left(-1,1,1,0\right)}^{\text{T}}$ 的线性相关性。

记 $A=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& -1\\ 1& 0& -1& 1\\ 1& -1& 0& 1\\ -1& 1& 1& 0\end{array}\right)$ 。则 ${\alpha }_1={\left(0,1,1,-1\right)}^{\text{T}}$ ， ${\alpha }_2={\left(1,0,-1,1\right)}^{\text{T}}$ ， ${\alpha }_3={\left(1,-1,0,1\right)}^{\text{T}}$ ，

${\alpha }_4={\left(-1,1,1,0\right)}^{\text{T}}$ 是矩阵A的列向量组。

下文将以例1中的向量组为例分别介绍如何用线性向量组、向量组的秩、初等变换、行列式、特征值、二次型判断向量组的线性相关性。

2. 利用线性方程组判断向量组的线性相关性

由线性无关的定义可知，向量组 ${\alpha }_1={\left(a_{11},a_{21},\cdots ,a_{m1}\right)}^{\text{T}},{\alpha }_2={\left(a_{12},a_{22},\cdots ,a_{m2}\right)}^{\text{T}},\cdots ,{\alpha }_n={\left(a_{1n},a_{2n},\cdots ,a_{mn}\right)}^{\text{T}}$ 线性无关当且仅当向量方程 $x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3{\alpha }_3+\cdots +x_n{\alpha }_n=0$ 只有零解，当且仅当齐次线性方程组

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_1+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_1+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_1+\cdots +a_{mn}{x}_n=0\end{array}$ (1)

只有零解。于是， ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 的线性相关性可由(1)是否有非零解进行判断。

命题2 向量组 ${\alpha }_1={\left(a_{11},a_{21},\cdots ,a_{m1}\right)}^{\text{T}},{\alpha }_2={\left(a_{12},a_{22},\cdots ,a_{m2}\right)}^{\text{T}},\cdots ,{\alpha }_n={\left(a_{1n},a_{2n},\cdots ,a_{mn}\right)}^{\text{T}}$ 线性无关当且仅当(1)只有零解。

命题2给出了用线性方程组判断向量组线性相关性的方法。即，先用克莱姆法则判断对应的齐次线性方程组(1)是否有非零解，进而用命题2得到向量组是否线性相关。当(1)只有零解时，该向量组线性无关；当(1)有非零解时，该向量组线性相关。

例1的解法一：考虑齐次线性方程组

$\{\begin{array}{l}{x}_2+x_3-x_4=0\\ x_1-x_3+x_4=0\\ x_1-x_2+x_4=0\\ -x_1+x_2+x_3=0\end{array}$ (2)

易知，方程组(2)的系数行列式不等于0，故由克莱姆法则知(2)只有零解。因此，由命题1知 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性无关。

3. 利用向量组的秩

向量组的秩是指它的极大无关组中向量的个数。由此可知，线性无关向量组的秩等于它的向量个数，而线性相关向量组的秩小于它的向量个数，所以有下一结论。

命题3 向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性相关当且仅该向量组的秩小于n。

命题3给出了用向量组的秩判断其线性相关性的方法。即，先用该向量组的性质(比如，它与其它向量组的关系等)确定它的秩，进而用命题3得到向量组是否线性相关。当该向量组的秩等于个数时，该向量组线性无关；否则，该向量组线性相关。

例1的解法三：设 ${\epsilon }_1={\left(1,0,0,0\right)}^{\text{T}}$ ， ${\epsilon }_2={\left(0,1,0,0\right)}^{\text{T}}$ ， ${\epsilon }_3={\left(0,0,1,0\right)}^{\text{T}}$ ， ${\epsilon }_4={\left(0,0,0,1\right)}^{\text{T}}$ ，而

$A=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& -1\\ 1& 0& -1& 1\\ 1& -1& 0& 1\\ -1& 1& 1& 0\end{array}\right)$ ,

则

$\left({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3,{\epsilon }_4\right)=\frac{1}{3}A\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 1& -1\\ 1& 2& -1& 1\\ 1& -1& 2& 1\\ -1& 1& 1& 2\end{array}\right)$ .

由此可见， ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3,{\epsilon }_4$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性表示。显然， ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 也可由 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3,{\epsilon }_4$ 线性表示。所以， ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3,{\epsilon }_4$ 与 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 等价，进一步得知两个向量组有相同的秩。而 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3,{\epsilon }_4$ 是线性无关的，即该向量组的秩为4，于是向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 的秩也是4。因此，由命题3可得 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性无关。

4. 利用初等变换

对于向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ ，令 $B=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)$ 。因为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 的秩等于矩阵B的秩，所以由命题3立得下一命题。

命题4 向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性相关当且仅当 $B=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)$ 的秩小于n。

命题4给出了用初等变换判断向量组线性相关性的方法。即，先将该向量组按列(或行)排成一个矩阵，然后对矩阵进行初等变换将其化为行阶梯形矩阵。于是，由行阶梯形矩阵的非零行个数可以确定该矩阵的秩，进而确定出原向量组的秩。最后，再根据命题4判断向量组是否线性相关。当矩阵的秩等于向量组中向量的个数时，该向量组线性无关；否则，该向量组线性相关。

例1的解法四：对 $A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& -1\\ 1& 0& -1& 1\\ 1& -1& 0& 1\\ -1& 1& 1& 0\end{array}\right)$ 作初等行变换，得

$A\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& -1\\ 1& -1& 0& 1\\ -1& 1& 1& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& -1\\ 0& -1& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& -1\\ 0& 0& 2& -1\\ 0& 0& -1& 2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& -1\\ 0& 0& 2& -1\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$

由此可见A的秩为4，进而由命题4知 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性无关。

5. 利用行列式

对于n维向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ ，令 $B=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)$ 。因为方阵B可逆(即B的秩等于n)当且仅当B的行列式不为零，所以由命题4进一步得到下一结论。

命题5 n维向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性无关当且仅 $\det \left(B\right)\ne 0$ ，其中 $B=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)$ 。

当向量组中向量的个数等于维数时，命题5给出了用行列式判断向量组线性相关性的方法。即，先将该向量组按列(或行)排成一个行列式，然后计算出行列式的值。最后，再根据命题5判断向量组是否线性相关。当行列式的值为零时，该向量组线性相关；否则，该向量组线性无关。

例1的解法五：设 $D=\det \left(A\right)=\left|\begin{array}{cccc}0& 1& 1& -1\\ 1& 0& -1& 1\\ 1& -1& 0& 1\\ -1& 1& 1& 0\end{array}\right|$ ，则

$\begin{array}{c}D=-\left|\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& -1\\ 1& -1& 0& 1\\ -1& 1& 1& 0\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& -1\\ 0& -1& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\end{array}\right|\\ =-\left|\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& -1\\ 0& 0& 2& -1\\ 0& 0& -1& 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& -1\\ 0& 0& -1& 2\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right|=-3\ne 0\end{array}$

所以，由命题5知 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性无关。

6. 利用矩阵的特征值

由于相似变换不改变矩阵的秩，故由命题4立得下一结论。

命题6 n维实向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性无关当且仅矩阵 $B=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)$ 的特征值均不为零。

当向量组中向量的个数等于维数时，命题6给出了用特征值判断向量组线性相关性的方法。即，先将该向量组按列(或行)排成一个方阵，然后确定出方阵的所有特征值。最后，再根据命题6判断向量组是否线性相关。当方阵的所有特征值均不为零时，该向量组线性无关；否则，该向量组线性相关。

例1的解法六：因为A的特征多项式为 $\det \left(\lambda I-A\right)={\left(\lambda -1\right)}^3\left(\lambda +3\right)$ ，所以A的全部特征值为1，1，1， 3。故由命题6得知 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性无关。

7. 利用二次型

对于n维向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ ，令 $B=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)$ 。如果B是对称矩阵，则B可逆(即B的秩等于n)当且仅当它的二次型 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)=XB{X}^{\text{T}}$ 的惯性指数为n，其中 $X={\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)}^{\text{T}}$ 。故由命题4立得下一结论。

命题7 设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 是n维向量组，且 $B=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)$ 是对称矩阵。则 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性无关当且仅二次型 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)=XB{X}^{\text{T}}$ 的惯性指数为n。

命题7给出了用二次型判断向量组线性相关性的方法。如果向量组中向量的个数等于维数，且该向量组按列(或行)排成的方阵是对称矩阵，则对称矩阵对应于一个二次型。先将二次型用可逆线性变化化为标准形，从而确定该二次型的惯性指数。于是由命题7判断原向量组是否线性相关。当二次型的惯性指数等于向量组中向量的个数时，该向量组线性无关；否则，该向量组线性相关。

例1的解法七：显然，A的二次型为

$f\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=2x_1{x}_2+2x_1{x}_3-2x_1{x}_4-2x_2{x}_3+2x_2{x}_4+2x_3{x}_4$ .

先对 $f\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)$ 作非退化线性变换

$\{\begin{array}{l}{x}_1=y_1+y_2\\ x_2=y_1-y_2\\ x_3=y_3\\ x_4=y_4\end{array}$

可得 $f\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=2y_1^2-2y_2^2+4y_2{y}_3-4y_2{y}_4+2y_3{y}_4$ 。再作非退化线性变换

$\{\begin{array}{l}{y}_1=z_1\\ y_2=z_2+z_3-\frac{1}{2}{z}_4\\ y_3=z_3+\frac{1}{2}{z}_4\\ y_4=z_4\end{array}$

可得 $f\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=2z_1^2-2z_2^2+2z_3+\frac{3}{2}{z}_4$ 。由于该二次型的惯性指数为4，故而由命题7得知 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性无关。

基金项目

江西省教育厅基金项目GJJ2200841。