具有Hadamard缺项幂级数的双曲完备极小曲面

Hyperbolic Complete Minimal Surfaces with Power Series of Hadamard Gaps

摘要: 对具有Hadamard间隙的某缺项幂级数增加或减弱适当的条件，利用Brito构造R³中位于两个平行平面间完备极小曲面族的方法，将和式拆分为三项估计项，利用Cauchy-Schwarz不等式对估计项进行放缩，修正并进一步精确范围以继续构造极小曲面，给出实例。在此基础上利用Weierstrass表示对寻找R³中一个完备极小曲面的Gauss映射。

Abstract: For a special power series with Hadamard gaps increasing or decreasing appropriate conditions, using Brito’s method of constructing a complete minimal surface family between two parallel planes in R³, the sum was split into three estimated terms, and Cauchy-Schwarz inequality was used to scale the estimated terms. The range was modified and further refined to continue the construction of minimal surfaces. Examples were given. On this basis, Weierstrass representation pair was used to find a Gauss map of a complete minimal surface in R³.

1. 引言

极小曲面的研究与发展有着其独特的魅力，例如Plateau的肥皂膜实验，引发了许多数学家对该问题不断地探索与发现。我们普遍认为极小曲面的研究开始于Lagrange和Euler寻找平面上某区域给定边界值的极小图并给出方程。随后极小曲面开始迅速发展，大致经历了三个黄金发展期，数学家们极大的丰富了极小曲面及其例子，到现在，我们甚至可以在计算机的帮助下找到更多新的嵌入极小曲面的例子，推动数学物理等方面的发展，同时我们也通过复分析、泛函分析、几何测度论等其他数学分支给极小曲面理论提供了新方法。

极小曲面是微分几何中的重要课题，其理论也成为微分几何中内容丰富的分支，推动着共形几何、可积系统等其他数学分支的发展；但是由于极小曲面的许多问题来源于自然界，所以它也有着结论虽易于见到和想象，却很难证明的迷人性质，吸引了许多学者进行深入研究。

1954年，Calabi [1] 提出以下两个猜想：

猜想1 包含于 ${ℝ}^3$ 的半空间中的完备极小曲面一定是平面。

猜想2 ${ℝ}^3$ 中的完备极小曲面是 ${ℝ}^3$ 中的无界子集。

1980年，F. Xavier和L. M. Jorge [2] 证明了 ${ℝ}^3$ 中两个平行曲面间的完全极小曲面的存在性，即在 ${ℝ}^3$ 中存在非平坦的完备极小曲面完全包含在两个平行的平面之间。1996年，N. Nadirashvili [3] 证明了存在极小浸入到 ${ℝ}^3$ 中单位球的具有负Gauss曲率的完备极小曲面。

从而说明Calabi的两个猜想对浸入极小曲面均是错误的，但是他们的证明只是表明存在相应的完备极小曲面，他们的证明过程并没有给出具体的构造此类完备极小曲面的方法。

1992年Francisco. Fortes. De. Brito [4] 巧妙解决了这个难题，他通过使用具有Hadamard间隙的特殊幂级数构造了 ${ℝ}^3$ 中位于两个平行平面间的完备极小曲面族，并给出了实例，因此得到如下定理。

定理1 [4] 若 $h\left(z\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_j{z}^{n_j}}$ 是一个Hadamard缺项幂级数，其中， $z\in ℂ$ ， $j=1,2,\cdots$ ，且满足下列条件：

(a) ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|a_j\right|}$ 收敛；

(b) ${\lim }_{j\to \infty }\left|a_j\right|\min \left\{\left(n_j/n_{j-1}\right),\left(n_{j+1}/n_j\right)\right\}=\infty$ ；

(c) ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|a_j\right|}^2{n}_j}$ 发散；

则对于单位圆盘 $\mathbb{D}$ 内的任意发散曲线 $\gamma$ ，有 ${{{\displaystyle \int }}^{\text{}}}_{\gamma }{\left|h^{\prime }\left(z\right)\right|}^2\left|\text{d}z\right|=\infty$ ，

令Weierstrass表示 [5] 中的 $f=1$ 且 $g=h^{\prime }$ ，即可得到 ${ℝ}^3$ 中两个平行平面间的完备极小曲面族。

但是可以发现定理中条件(b)要求较高，这意味着 $\left|a_j\right|$ 的收敛于零的速度远远慢于 $\min \left\{\left(n_j/n_{j-1}\right),\left(n_{j+1}/n_j\right)\right\}$ 趋于 $\infty$ 的速度，因此限制了 $a_j$ 与 $n_j$ 的取值。2022年，张建肖 [6] 减弱此条件，限定 $n_j$ 后项与前项的比值，并受孙道椿 [7] 证明方法的启发，扩大了条件(b)的范围，得到定理2。

定理2 [6] 若 $h\left(z\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_j{z}^{n_j}}$ 是一个Hadamard缺项幂级数，其中， $z\in ℂ$ ， $j=1,2,\cdots$ ，且满足下列条件：

(a) $\left|\frac{a_{j+1}}{a_j}\right|\le \eta <1$ ， $\left|a_j\right|\ne 0$ ；

(b) 对于充分大的 $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$ ，满足 ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{k-1}{\sum }}\left|a_j\right|n_j}<\frac{1}{4e}\left|a_k\right|n_k$ 且 $\frac{q_k}{2}-\ln q_k\ge 1-\ln \frac{1-\eta }{8\eta }$ ，其中 $q_k=\frac{n_{k+1}}{n_k}$ 且 $q_k>2$ ；

(c) ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|a_j\right|}^2{n}_j}$ 发散；

则对于单位圆盘 $\mathbb{D}$ 内的任意发散曲线 $\gamma$ ，有 ${{{\displaystyle \int }}^{\text{}}}_{\gamma }{\left|h^{\prime }\left(z\right)\right|}^2\left|\text{d}z\right|=\infty$ 。

2023年，董丽丽 [8] 在此基础上进一步做出了改进，得到定理3。

定理3 [8] 若 $h\left(z\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_j{z}^{n_j}}$ 是一个Hadamard缺项幂级数，其中， $z\in ℂ$ ， $j\in {\mathbb{Z}}^{+}$ ， $\frac{n_{k+1}}{n_k}\ge q>1$ ，假设 $\frac{n_{k+1}}{n_k}$ 为 $q_k$ ，且 $h\left(z\right)$ 满足下列条件：

(a) $\left|\frac{a_{j+1}}{a_j}\right|\le \eta <1$ ， $\left|a_j\right|\ne 0$ ；

(b) 对于充分大的 $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$ ，满足 ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{k-1}{\sum }}\left|a_j\right|n_j}<\frac{1}{2e}\left|a_k\right|n_k$ ， $\frac{{\eta }^2}{1-{\eta }^2}\le \frac{q-1}{q\left(q_k+1\right)}\left(\frac{1}{16}{\text{e}}^{\frac{q_k}{2}-1}-\eta q_k\right)$ ；

(c) ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|a_j\right|}^2{n}_j}$ 发散；

则对于单位圆盘 $\mathbb{D}$ 内的任意发散曲线 $\gamma$ ，有 ${{{\displaystyle \int }}^{\text{}}}_{\gamma }{\left|h^{\prime }\left(z\right)\right|}^2\left|\text{d}z\right|=\infty$ 。

继续修正并精确范围得到定理4。

定理4 若 $h\left(z\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_j{z}^{n_j}}$ 是一个Hadamard缺项幂级数，其中， $z\in ℂ$ ， $j\in {\mathbb{Z}}^{+}$ ， $\frac{n_{k+1}}{n_k}\ge q>1$ ，且 $h\left(z\right)$ 满足下列条件：

(a) $\left|\frac{a_{j+1}}{a_j}\right|\le \eta <1$ ， $\left|a_j\right|\ne 0$ ；

(b) 对于充分大的 $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$ ，满足 ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{k-1}{\sum }}\left|a_j\right|n_j}<\frac{1}{4e}\left|a_k\right|n_k$ ， $\frac{\eta }{\sqrt{1-{\eta }^2}}\le \frac{1}{24q}{\text{e}}^{\frac{q^2}{2}-1}\sqrt{\frac{q^2-q}{\left(q^4-q^3+q^2+1\right)+\left(q^2-q\right){\text{e}}^{q^2-q}}}$ ；

(c) ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|a_j\right|}^2{n}_j}$ 发散；

则对于单位圆盘 $\mathbb{D}$ 内的任意发散曲线 $\gamma$ ，有 ${{{\displaystyle \int }}^{\text{}}}_{\gamma }{\left|h^{\prime }\left(z\right)\right|}^2\left|\text{d}z\right|=\infty$ 。

2. 相关定义

设 $\mathbb{D}=\left\{z\in ℂ:\left|z\right|<1\right\}$ 为复平面 $ℂ$ 中的单位圆盘，本文我们讨论 $\mathbb{D}$ 参数化下的完备极小曲面。

定义1 [4] 给定 $h\left(z\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_j{z}^{n_j}}$ 是一个收敛半径为1的幂级数，其中， $z\in ℂ$ ，若 $\frac{n_{j+1}}{n_j}\ge q>1$ ， $j=1,2,\cdots$ ，则称 $h\left(z\right)$ 为Hadamard缺项幂级数。

定义2 [9] ${ℝ}^3$ 中平均曲率 $H\equiv 0$ 的曲面称为极小曲面。

定义3 [9] 设Ω是 ${ℝ}^2$ 中的开子集。称连续曲线 $\gamma :[0,a)\to \Omega$ 是发散的，如果对Ω的任意紧子集K，存在 $t_0<a$ ，使得对任意的 $t\in (t_0,a)$ ， $\gamma \left(t\right)\notin K$ 。

定义4 [9] 设 $I:\Omega \subset {ℝ}^2\to {ℝ}^3$ 是一个浸入，且 $\Omega$ 具有诱导度量，即 ${\Vert v\Vert }_{\text{Ω}}={\Vert I_{*}v\Vert }_{{ℝ}^3}$ ，这里 $I_{*}:T_z\left(\Omega \right)\to T_{I\left(z\right)}\left({ℝ}^3\right)$ 是浸入I的切映射。我们称 $I:\Omega \subset {ℝ}^2\to {ℝ}^3$ 是完备的，如果任意光滑的发散曲线 $\gamma :\left[0,a\right]\to \Omega$ 有无限长度。

定义5 [9] 设 $E:\Omega \to {ℝ}^3$ 是单连通的极小曲面，由黎曼映射定理，可以设Ω共形于 $\mathbb{D}$ 。如果Ω共形于 $\mathbb{D}$ ，则称Ε为双曲的。

3. 定理4证明

对任意 $k\in N$ ，令

$R_k=\left\{z\in \mathbb{D}:1-\frac{1}{n_k}\le \left|z\right|\le 1-\frac{1}{2n_k}\right\}$ (1)

每一个 $R_k$ 是半径为 $\frac{1}{2n_k}$ 的圆环，当k充分大时， $R_k$ 互不相交。

由

$\left|h^{\prime }\left(z\right)\right|=\left|{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_j{n}_j{z}^{n_j-1}}\right|\ge \left|{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_j{n}_j{z}^{n_j}}\right|,z\in \mathbb{D}$ (2)

对任意固定的 $k\in N$ ，令 $A_k=a_k{n}_k{z}^{n_k}$ ， $B_k={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{k-1}{\sum }}{a}_j{n}_j{z}^{n_j}}$ ， $C_k={\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_j{n}_j{z}^{n_j}}$ ，

则有

$\begin{array}{c}\left|h^{\prime }\left(z\right)\right|\ge \left|{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_j{n}_j{z}^{n_j}}\right|=n_k\left|a_k\right|\left|z^{n_k}\right|-\left|{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{k-1}{\sum }}{a}_j{n}_j{z}^{n_j}}\right|-\left|{\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_j{n}_j{z}^{n_j}}\right|\\ =\left|A_k\right|-\left|B_k\right|-\left|C_k\right|,z\in \mathbb{D},k\in N\end{array}$ (3)

现假设k充分大，

当 $z\in R_k$ 时，由(1)，有 $\left|A_k\right|\ge \left|a_k\right|n_k{\left(1-\frac{1}{n_k}\right)}^{n_k}$ 。

因为 ${\lim }_{k\to \infty }{\left(1-\frac{1}{n_k}\right)}^{n_k}=\frac{1}{e}$ ，所以，存在 $k_1\in N$ ， $k\ge k_1$ ，有

$\left|A_k\right|\ge \frac{1}{2e}\left|a_k\right|n_k,k\ge k_1,z\in R_k$ (4)

另一方面，由定理4的条件(b)，存在 $k_2\in N$ ， $k_2\ge k_1$ ，有

$\left|B_k\right|\le {\displaystyle \underset{j=1}{\overset{k-1}{\sum }}\left|a_j\right|n_j}<\frac{1}{4e}\left|a_k\right|n_k,k\ge k_2,z\in R_k$ (5)

当 $0<x<1$ 时， $\ln \left(1-x\right)<-x$ ，所以当 $z\in R_k$ 时，

$\left|C_k\right|={\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|a_j\right|n_j{z}^{n_j}}\le {\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|a_j\right|n_j{\left(1-\frac{1}{2n_k}\right)}^{n_j}}={\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|a_j\right|n_j{\text{e}}^{n_j\ln \left(1-\frac{1}{2n_k}\right)}}\le {\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|a_j\right|n_j{\text{e}}^{-\frac{n_j}{2n_k}}}$ (6)

由定理4条件(a)中的 $\left|\frac{a_{j+1}}{a_j}\right|\le \eta <1$ ，得到

$\left|C_k\right|\le {\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|a_j\right|n_j{\text{e}}^{-\frac{n_j}{2n_k}}}\le \left|a_k\right|{\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{\infty }{\sum }}{\eta }^{j-k}{n}_j{\text{e}}^{-\frac{n_j}{2n_k}}}$ (7)

再由Cauchy-Schwarz不等式 [10] ，有

$\left|C_k\right|\le \left|a_k\right|\sqrt{\left({\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left({\eta }^{j-k}\right)}^2}\right)\cdot \left({\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_j^2{\text{e}}^{-\frac{n_j}{n_k}}}\right)}=\left|a_k\right|\frac{\eta }{\sqrt{1-{\eta }^2}}\sqrt{{\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_j^2{\text{e}}^{-\frac{n_j}{n_k}}}}$ (8)

下面对 ${\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_j^2{\text{e}}^{-\frac{n_j}{n_k}}}$ 进行放缩，

当只提出第 $k+1$ 项时，有

${\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_j^2{\text{e}}^{-\frac{n_j}{n_k}}}=n_{k+1}^2{\text{e}}^{-\frac{n_{k+1}}{n_k}}+{\displaystyle \underset{j=k+2}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_j^2{\text{e}}^{-\frac{n_j}{n_k}}}$ (9)

因为当 $x>n_k$ 时，函数 $x{\text{e}}^{-\frac{x}{n_k}}$ 是单调递减函数，故当 $j=k+1,k+2,\cdots$ 时，

${\displaystyle {\int }_{n_{j-1}}^{n_j}x{\text{e}}^{-\frac{x}{n_k}}\text{d}x}\ge n_j{\text{e}}^{-\frac{n_j}{n_k}}\left(n_j-n_{j-1}\right)=n_j^2{\text{e}}^{-\frac{n_j}{n_k}}\left(1-\frac{n_{j-1}}{n_j}\right)\ge n_j^2{\text{e}}^{-\frac{n_j}{n_k}}\left(1-\frac{1}{q}\right)$

则有

$n_j^2{\text{e}}^{-\frac{n_j}{n_k}}\le \frac{q}{q-1}{\displaystyle {\int }_{n_{j-1}}^{n_j}x{\text{e}}^{-\frac{x}{n_k}}\text{d}x}$

故

${\displaystyle \underset{j=k+2}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_j^2{\text{e}}^{-\frac{n_j}{n_k}}}\le \frac{q}{q-1}{\displaystyle {\int }_{n_{k+1}}^{\infty }x{\text{e}}^{-\frac{x}{n_k}}\text{d}x}$ (10)

又

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{n_{k+1}}^{\infty }x{\text{e}}^{-\frac{x}{n_k}}\text{d}x}=\left(-n_k\right){\displaystyle {\int }_{n_{k+1}}^{\infty }x\text{d}\left({\text{e}}^{-\frac{x}{n_k}}\right)}=\left(-n_k\right)\left({x{\text{e}}^{-\frac{x}{n_k}}|}_{n_{k+1}}^{+\infty }-{\displaystyle {\int }_{n_{k+1}}^{\infty }{\text{e}}^{-\frac{x}{n_k}}\text{d}x}\right)\\ =\left(-n_k\right)\left(0-n_{k+1}{\text{e}}^{-\frac{n_{k+1}}{n_k}}+{n_k{\text{e}}^{-\frac{x}{n_k}}|}_{n_{k+1}}^{+\infty }\right)=n_k\left(n_{k+1}{\text{e}}^{-\frac{n_{k+1}}{n_k}}+n_k{\text{e}}^{-\frac{n_{k+1}}{n_k}}\right)\\ \le \left(n_k{n}_{k+1}+n_k^2\right){\text{e}}^{-q}=n_{k+1}^2\left(\frac{n_k}{n_{k+1}}+\frac{n_k^2}{n_{k+1}^2}\right){\text{e}}^{-q}\le n_{k+1}^2\left(\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}\right){\text{e}}^{-q}\end{array}$ (11)

故

${\displaystyle \underset{j=k+2}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_j^2{\text{e}}^{-\frac{n_j}{n_k}}}\le \frac{1+q}{q^2-q}{n}_{k+1}^2{\text{e}}^{-q}$

${\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_j^2{\text{e}}^{-\frac{n_j}{n_k}}}\le n_{k+1}^2{\text{e}}^{-q}+\frac{1+q}{q^2-q}{n}_{k+1}^2{\text{e}}^{-q}=n_{k+1}^2{\text{e}}^{-q}\frac{q^2+1}{q^2-q}$ (12)

所以

$\left|C_k\right|\le \left|a_k\right|n_{k+1}\frac{\eta }{\sqrt{1-{\eta }^2}}\sqrt{{\text{e}}^{-q}\frac{q^2+1}{q^2-q}}$ (13)

当 $\frac{\eta }{\sqrt{1-{\eta }^2}}\le \frac{1}{16}{\text{e}}^{\frac{q}{2}-1}\sqrt{\frac{1-\frac{1}{q}}{1+q^2}}$ 时，

$\left|C_k\right|\le \frac{1}{16e}\left|a_k\right|n_{k+1}$ (14)

当提出第 $k+1$ 项和第 $k+2$ 项时，有

${\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_j^2{\text{e}}^{-\frac{n_j}{n_k}}}=n_{k+1}^2{\text{e}}^{-\frac{n_{k+1}}{n_k}}+n_{k+2}^2{\text{e}}^{-\frac{n_{k+2}}{n_k}}+{\displaystyle \underset{j=k+3}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_j^2{\text{e}}^{-\frac{n_j}{n_k}}}$ (15)

同理，有

${\displaystyle \underset{j=k+3}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_j^2{\text{e}}^{-\frac{n_j}{n_k}}}\le \frac{q}{q-1}{\displaystyle {\int }_{n_{k+2}}^{\infty }x{\text{e}}^{-\frac{x}{n_k}}\text{d}x}$

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{n_{k+2}}^{\infty }x{\text{e}}^{-\frac{x}{n_k}}\text{d}x}=\left(n_k{n}_{k+2}+n_k^2\right){\text{e}}^{-\frac{n_{k+2}}{n_k}}=\left(n_k{n}_{k+2}+n_k^2\right){\text{e}}^{-\frac{n_{k+1}}{n_k}\cdot \frac{n_{k+2}}{n_{k+1}}}\\ =n_{k+2}^2\left(\frac{n_k}{n_{k+2}}+\frac{n_k^2}{n_{k+2}^2}\right){\text{e}}^{-\frac{n_{k+1}}{n_k}\cdot \frac{n_{k+2}}{n_{k+1}}}\\ =n_{k+2}^2\left(\frac{n_{k+1}}{n_{k+2}}\cdot \frac{n_k}{n_{k+1}}+{\left(\frac{n_{k+1}}{n_{k+2}}\cdot \frac{n_k}{n_{k+1}}\right)}^2\right){\text{e}}^{-\frac{n_{k+1}}{n_k}\cdot \frac{n_{k+2}}{n_{k+1}}}\\ \le n_{k+2}^2\left(\frac{1}{q^2}+\frac{1}{q^4}\right){\text{e}}^{-q^2}\end{array}$ (16)

因此

${\displaystyle \underset{j=k+3}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_j^2{\text{e}}^{-\frac{n_j}{n_k}}}\le \frac{q^2+1}{q^3\left(q-1\right)}{n}_{k+2}^2{\text{e}}^{-q^2}$

${\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_j^2{\text{e}}^{-\frac{n_j}{n_k}}}\le \frac{1}{q^2}{n}_{k+2}^2{\text{e}}^{-q}+n_{k+2}^2{\text{e}}^{-q^2}\left(1+\frac{q^2+1}{q^3\left(q-1\right)}\right)=n_{k+2}^2\left(\frac{1}{q^2}{\text{e}}^{-q}+\frac{q^4-q^3+q^2+1}{q^3\left(q-1\right)}\cdot {\text{e}}^{-q^2}\right)$

$\left|C_k\right|\le \left|a_k\right|n_{k+2}\frac{\eta }{\sqrt{1-{\eta }^2}}\frac{1}{q}\sqrt{{\text{e}}^{-q}+\frac{q^4-q^3+q^2+1}{q^2-q}{\text{e}}^{-q^2}}$ (17)

因为 ${\lim }_{q\to \infty }\frac{\frac{q^4-q^3+q^2+1}{q^2-q}{\text{e}}^{-q^2}}{{\text{e}}^{-q}\frac{q+1}{q^2-q}}={\lim }_{q\to \infty }\frac{q^4-q^3+q^2+1}{q+1}{\text{e}}^{-q^2+q}=0$ ，所以对比(13)和(17)式可知(17)式的结果更为精确，再由定理4条件(b)中 $\frac{\eta }{\sqrt{1-{\eta }^2}}\le \frac{1}{16q}{\text{e}}^{\frac{q^2}{2}-1}\sqrt{\frac{q^2-q}{\left(q^4-q^3+q^2+1\right)+\left(q^2-q\right){\text{e}}^{q^2-q}}}$ ，得到

$\left|C_k\right|\le \frac{1}{16e}\left|a_k\right|n_k$ (18)

由(3)、(4)、(5)、(18)可得，存在 $k_2\in N$ ， $k_2\ge k_1$ 使得

$\left|h^{\prime }\left(z\right)\right|\ge \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{16}\right)\frac{1}{e}\left|a_k\right|n_k=\frac{3}{16}\left|a_k\right|n_k$

取 $\mathbb{D}$ 内的发散曲线 $\gamma$ ，对任意的 $k\ge l$ ， $l\in N$ ， $\gamma$ 必定穿过 $R_k$ ，则

${{{\displaystyle \int }}^{\text{}}}_{\gamma }{\left|h^{\prime }\left(z\right)\right|}^2\left|\text{d}z\right|\ge {\displaystyle \underset{k=l}{\overset{\infty }{\sum }}{{{\displaystyle \int }}^{\text{}}}_{\gamma \cap R_k}{\left|h^{\prime }\left(z\right)\right|}^2\left|\text{d}z\right|}\ge {\displaystyle \underset{k=l}{\overset{\infty }{\sum }}{\left(\frac{3}{16}\left|a_k\right|n_k\right)}^2\frac{1}{2n_k}}>{\displaystyle \underset{k=l}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{9}{512}{\left|a_k\right|}^2{n}_k}=\infty$

虽然定理2与定理3都对条件(b)进行了减弱，但是张建肖的证明方法在对 $C_k$ 进行放缩时速度太快，导致结论误差较大，董丽丽在证明过程中改善了证明方法，但是在对 $C_k$ 的放缩过程中出现了偏差，结果不够精确。因此定理4在董丽丽证明方法的基础上对 $C_k$ 放缩进行修正并进一步精确了范围。

4. 举例说明

设 $h\left(z\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_j{z}^{n_j}}$ ， $z\in ℂ$ 。

当 $a_j={0.5}^j$ ， $n_j={12}^j$ 时，此时 $q=12$ ， $\eta =0.5$ 。此时该例子满足文中 $\frac{\eta }{\sqrt{1-{\eta }^2}}\le \frac{1}{16}{\text{e}}^{\frac{q}{2}-1}\sqrt{\frac{1-\frac{1}{q}}{1+q^2}}$ 条件，但是不满足定理3中的条件(b)。

当 $a_j={0.6}^j$ ， $n_j={12}^j$ 时，此时 $q=12$ ， $\eta =0.6$ 。易得此时 $h\left(z\right)$ 满足定理4中条件(a)~(c)，但不满足文中 $\frac{\eta }{\sqrt{1-{\eta }^2}}\le \frac{1}{16}{\text{e}}^{\frac{q}{2}-1}\sqrt{\frac{1-\frac{1}{q}}{1+q^2}}$ 条件及定理3中的条件(b)。

5. 推论

设 $A\left(D\right)$ 是单位圆盘 $\mathbb{D}$ 中解析函数构成的集合。

推论1 存在 $h\in A\left(D\right)$ ，使得 $h^{\prime }$ 是 ${ℝ}^3$ 中一个完备极小曲面M的Gauss映射，其中M位于 ${ℝ}^3$ 中两平行平面之间。

证明 设M是 ${ℝ}^3$ 中的一个完备极小曲面，取Weierstrass表示中的 $f=1$ ， $g=h^{\prime }$ ，其中h满足定理4条件，则 $h\in A\left(D\right)$ 。由于 $\lambda \left(z\right)\left|\text{d}z\right|=\frac{1}{2}\left(1+{\left|h^{\prime }\left(z\right)\right|}^2\right)\left|\text{d}z\right|$ ，由定理4可得此度量是完备的，所以 $h^{\prime }$ 是 ${ℝ}^3$ 中一个完备极小曲面M的Gauss映射。又由 $x_3\left(z\right)=Re\left(h\left(z\right)\right)\le {\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_j{z}^{n_j}}\le {\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|a_j\right|}<\infty$ ，所以M位于 ${ℝ}^3$ 中两平行平面之间。

注：推论1的证明过程与Brito [4] 的推论相同。