新课标下数学文化在高考中的渗透研究

Research on the Penetration of Mathematics Culture in College Entrance Examination under the New Curriculum Standard

摘要: 自《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》出版以来，数学课程对数学文化的体现就日益深厚。新课标强调要注重数学文化的渗透，不仅体现在数学的教学活动中，更要体现在高考命题之中。本研究就数学文化的内涵展开，分别从数学史、数学美、数学应用与数学语言四个方面，对数学文化在2020~2023年四年的新高考试题中的渗透程度与方式进行相关举例论述，并对其题干进行数学文化类型的分类与简要分析，发现并总结高考题在数学文化方面的命题规律，最后对数学文化体现在高考试题中的必要性进行自问自答并从数学文化的内涵与根本目的方面进行思考与解释。

Abstract: Since the publication of Mathematics Curriculum Standards for Senior High Schools (2017 edit on, 2020 revision), the mathematics curriculum has increasingly embodied the mathematics culture. The new curriculum emphasizes that we should pay attention to the infiltration of mathematics culture, which is not only reflected in the teaching activities of mathematics, but also reflected in the proposition of college entrance examination. In this study, the connotation of mathematical culture is carried out. Four aspects, namely, the history of mathematics, the beauty of mathematics, the application of mathematics and the language of mathematics, and the penetration degree and mode of mathematical culture in the new college entrance examination questions from 2020 to 2023 are discussed with relevant examples, and the types of mathematical culture are classified and briefly analyzed. This paper finds and summarizes the propositional laws of the college entrance examination questions in the aspect of mathematical culture, and finally asks yourself and answer the necessity of the mathematical culture reflected in the college entrance examination questions, and thinks and explains from the connotation and fundamental purpose of mathematical culture.

1. 研究背景

自《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》出版以来，数学课程对数学文化的体现就日益深厚。课程性质中指出，“数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言，数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分 [1] 。”《标准》中还明确指出，要加强数学文化在课程教学中的体现，主要表现在课后拓展对数学家、数学史以及数学名著的相关介绍以及课后实践活动要求学生查阅相关资料来了解数学发展史等等。因此教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学之中，引导学生了解数学的发展历程，感悟数学的价值 [1] 。

2. 数学文化的内涵

在观察数学文化在高考题中是如何体现之前，本文先来探讨一下什么是数学文化。狭义的数学文化就是指数学的思想、精神、方法、观点、语言以及它们的形成与发展。而广义的数学文化还包含了数学家、数学史、数学美、数学教育，数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系 [2] 。众所周知，数学文化在历史的长河中一直不断地流淌着，它不仅体现在数学史的发展，还体现在数学对人们的文化价值上，比如它激励了数学家们永不放弃的精神，也给一代又一代奋战在数学前沿的学者以心灵的慰藉。

3. 数学文化在高考试题中的渗透

很多时候一提到数学文化，大家会首先想到数学史，诚然，数学史是数学文化的主要载体，但也仅仅是其中的一部分。这里，本文查阅了一些文献，参考了郑强、郑庆全对数学文化的分类，将数学文化分为了以下四类，分别是数学史、数学美、数学应用和数学语言 [3] 。本文也将从这四个方面分别介绍其在新高考试题中的考查。这里本文选择了新高考实行以来，从2020~2023年四年的全国各地高考数学试题来简单分析它们是如何体现数学文化的。

3.1. 数学史方面

顾名思义，数学史主要包含了数学相关的历史，比如数学家的生平，重大的数学史故事，以及一些数学名著中的名题等。在2020~2022年的浙江卷中，连续三年都在填空题第11题的位置出现数学史相关试题(见表1)。

Table 1. Mathematical history test questions analysis

表1. 数学史试题分析

3.2. 数学美方面

数学美表现为一种抽象、严谨而又含蓄的理性之美。数学美在内容上可以分为结构美、语言美与方法美；其在形式上又可以分为外在的形态美和内在的理性美。数学美在高考试题中出现较少，主要体现在一些图片题和几何问题之中(见表2)。

Table 2. Mathematical beauty test questions analysis

表2. 数学美试题分析

3.3. 数学应用方面

Table 3. Mathematical application test questions analysis

表3. 数学应用试题分析

随着国家新课标改革下对学生应用意识和应用能力的重视，数学应用作为数学文化的一部分，已经成为高考试题中不可或缺且占比日益增大的一部分 [4] 。同时，以实际生活为背景的数学应用也是数学文化在高考题中最常见的表现方式。查阅试题不难发现在近四年的新高考全国卷以及北京卷和上海卷中，数学应用的试题体现尤为突出(见表3)。

从这两道试题可以看出，通过设计真实问题，一方面使学生对解题充满兴趣与动力，有更强的参与感；另一方面展示了我国发展的伟大成就，引领学生坚定理想信念，践行社会主义核心价值观。这也深深体现出数学文化的积极作用。

3.4. 数学语言方面

数学语言，顾名思义，作为人类语言的一种高级形态，是一种可以跨越国家与历史的全球性语言。数学语言可以分为抽象性数学语言和直观性数学语言，包括数学概念、术语、符号、式子、图形等。这里我们所探讨的体现在数学高考试题中的数学语言主要就是指超出学生所学过的数学符号、公式和概念等。

真题1. (2023年新高考Ⅱ卷12题——题干)在信道内传输0, 1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为α (0 < α < 1)，收到0的概率为1−α；发送1时，收到0的概率为β (0 < β < 1)，收到1的概率为1−β。考虑两种传输方案；单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次。收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1, 0, 1，则译码为1)。

真题2. (2021年新高考Ⅱ卷12题)设整数 $n=a_0\cdot 2^0+a_1\cdot 2^1+\cdots +a_{k-1}\cdot 2^{k-1}+a_k\cdot 2^k$ ，其中 $a_i\in \left\{0,1\right\}$ ，记 $\omega \left(n\right)=a_0+a_1+\cdots +a_k$ ，则( )。

(A) $\omega \left(2n\right)=\omega \left(n\right)$ (B) $\omega \left(2n+3\right)=\omega \left(n\right)+1$

(C) $\omega \left(8n+5\right)=\omega \left(4n+3\right)$ (D) $\omega \left(2^n-1\right)=n$

真题3. (2020年上海卷21题——题干)有限数列 $\left\{a_n\right\}$ ，若满足 $\left|a_1-a_2\right|\le \left|a_1-a_3\right|\le \cdots \le \left|a_1-a_m\right|$ ，m是项数，则称 $\left\{a_n\right\}$ 满足性质p。

真题4. (2021年上海卷21题——题干)已知 $f\left(x\right)$ 是定义在R上的函数，若对任意的 $x_1,x_2\in R$ ， $x_1-x_2\in S$ ，均有 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\in S$ ，则称 $f\left(x\right)$ 是S关联。

通过查阅近四年的高考试题，本文发现数学语言的考查主要体现在上海卷和新高考卷中，考查的题型有选择题与解答题。例如，真题1在题干中给出传输信号0和1所对应的单次传输方法和三次传输方法让考生来讨论某一次信号传输的译码的准确性；真题2在题干中记 $\omega \left(n\right)=a_0+a_1+\cdots +a_k$ 让学生来讨论 $\omega \left(n\right)$ 的相关取值和性质；真题3则是在数列的背景下给出性质P的新概念，以此为依据设置问题；2021年的上海卷则延续了前一年的传统，依旧在21题的位置渗透了数学语言的考查，在题干给出一个新定义——函数 $f\left(x\right)$ 的S关联，再让考生来判断和证明函数是否关联或者根据关联的性质和特征来进行应用。通过简单观察，可以发现这三道题都是通过给出考生没有接触过的、但是是在已有知识基础上的新定义来进行运算或证明，考查了学生的探究能力和数学学习能力。这里题目中的新定义往往是属于数列或者函数相关的知识，同时也侧面证明了数列也是一种特殊的函数。而这种渗透了新概念、新定义、新公式的数学语言表达也满足了新高考对数学文化的相关考查要求，也必将成为今后高考重点关注的题型。

4. 对于数学文化的思考

那么为什么一定要让数学文化在高考题中有所体现呢？

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。数学源于对现实世界的抽象，但学生要学习数学就不能从抽象的一面来进行学习，否则这种不符合学生生活经验和认知水平的知识，学生是没有办法消化并化为己用的。于是，在创设有利于学生接收到学习情境之时，数学文化的展示就发挥了重要的作用。《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《标准》)中就明确提到了要加强数学文化在课程教学中的体现，主要表现在课后拓展对数学家、数学史以及数学名著的相关介绍以及课后实践活动要求学生查阅相关资料来了解数学发展史等等。既然数学文化在《标准》中已经有了比较系统的体现，那么为了配合教材与大纲的改变，高考也必然会将这种数学文化的渗透融入其中，逐步构建起“教材–课程–试题”这样三位一体的数学文化教学融入过程，更能体现出数学的应用价值。

尽管如此，在命制高考试题时也不能为了融入数学文化而去刻意增加数学试题的历史背景，或者生硬地引入一些数学家与题目联系在一起，而是要时刻记住数学文化归根到底是为了数学本身而服务的。要在体现试题的基础性、应用性和创新性这一主线的基础上，将与人类文化和生活实际息息相关的数学文化融入试题，培养学生的“四基四能”和“三会”，促进学生的全面发展 [5] 。通过这些试题的设置，可以引导教学以发展叙述数学学科核心素养为导向，激发学生的学习兴趣，引导学生感悟数学的价值，从而提高数学课程的教育质量，培养出更加优秀的数学人才。

基金项目

株洲市教育科学“十四五”规划2021年度课题“新课标背景下高中数学核心素养培养研究”(课题编号：ZJGH21-170)。