1. 引言
预李代数也称为左对称代数,是一类非结合代数。是由Gerstenhaber在研究结合环的上同调结构中提出的 [1] ,它在几何和代数的理论中有着广泛的应用。Zinbiel代数是Loday在文献 [2] 中引入的。Aguiar在 [3] 中通过将Zinbiel代数与预李代数结合在一起,满足一些相容条件后,引入了预泊松代数,本文将通过类似方法引入转置预泊松代数的概念。转置预泊松代数与转置泊松代数之间有着一定联系,转置泊松代数是文献 [4] 中作者通过交换泊松代数的莱布尼茨规则中两个二元运算引入的,它也是当下研究的重要课题。在文献 [5] 中作者给出了转置泊松代数的分类。本文将研究转置泊松代数和转置预泊松代数的联系,并研究二维转置预泊松代数在同构意义下的分类。
2. 预备知识
定义2.1 [4] 设A是复数域上的向量空间,
是A上的双线性运算,若
是交换结合代数,
是李代数,且满足相容条件
,(2.1)
则称
为转置泊松代数。
定义2.2 [2] 设A是复数域上的向量空间,且有双线性运算
,若
满足
, (2.2)
则称
为Zinbiel代数。
定义2.3 [6] 设
是交换结合代数,V是线性空间,
是A到
的线性映射,若满足
, (2.3)
则称
是交换结合代数
的表示。
命题2.1设
是Zinbiel代数,
为A关于
的左乘运算,在A上定义
, (2.4)
则
(1)
为交换结合代数;
(2)
是交换结合代数
的表示。
证(1). 由(2.4)式知,
则
为交换代数。
任取
,下面验证
是否成立,由
和
运算满足 式,直接计算可知
,
.
由
是Zinbiel代数,可知
满足 式,故
,则
为结合代数。
综上可知,
为交换结合代数。
(2). 由(1)知
为交换结合代数,设
为A关于
的左乘运算,则对
,有
,
,
由
是Zinbiel代数,可知
满足(2.2)式,故
满足(2.3)式,根据定义1.3可知
是交换结合代数
的表示。
定义1.4 [1] 设A是复数域上的向量空间,且有双线性运算
,若
满足
, (2.5)
则称
为预李代数。
命题2.2 [7] [8] 设A是预李代数,
为A关于
的左乘运算,在A上定义
,
则
(1)
为李代数;
(2)
是李代数
的表示。
定理2.1 [9] 若为二维Zinbiel代数,则存在的一组基
,满足
。
定理2.2 [10] 设是复数域上的二维左对称代数,则一定同构于下面的(互不同构)左对称代数:
定义2.5 [11] 设
是一个转置泊松代数,V是线性空间,
是A到
的线性映射,若有
是交换结合代数
表示,
是李代数
的表示,且满足
其中
,则称
是转置泊松代数
的表示。
3. 转置预泊松代数与转置泊松代数的关系
定义3.1设A是向量空间,
是A上的双线性运算,若
是Zinbiel代数,
是预李代数,且满足
, (3.1)
, (3.2)
其中
,则称
为转置预泊松代数。
定理3.1设
为转置预泊松代数。在A上定义
,
则
是转置泊松代数。
证由
为转置预泊松代数,可知
是Zinbiel代数,
是预李代数,根据命题1.1的(1)可知
是交换结合代数,根据命题2.2的(1)可知
是李代数。
由定义3.1知,对
,
满足(3.1)与(3.2)式,直接计算得
可知
满足 式,故
是转置泊松代数。
设
为转置预泊松代数,用
分别表示A关于
的左乘运算,即
.
定理3.2设
是转置预泊松代数,在A上定义
,
则是转置泊松代数
的表示。
证根据定理2.1知是转置泊松代数。由
为Zinbiel代数,则根据命题2.1的(2)可知
是交换结合代数
的表示,由
为预李代数,根据命题2.2的(2)可知
是李代数
的表示。
再由
是转置预泊松代数,根据定理3.1可知在A上有(3.1)式成立,对
,则有
即
满足等式(2.6)。
同时,在A上有(3.2)式成立,因此
即
满足等式(2.7)。
综上所述可知
是转置泊松代数
的表示。
定义3.2设
与
是转置预泊松代数,
为线性映射,若
满足
,
则称
为
到
的同态映射。
特别地,若
为双射,则称
为
和
的同构映射. 显然,若两个转置预泊松代数
和
同构,则作为Zinbiel代数,
和
同构,作为预李代数,
和
同构。
4. 二维转置预泊松代数上关于预李代数的左乘运算
定理4.1设
是二维转置预泊松代数,则存在A的一组基
,使得
,且
其中
,且
,
。
证设
是二维转置预泊松代数,由定理2.1知,存在A的一组基
,满足
. 从而
关于
的左乘运算在
下对应的矩阵为:
设
在
下对应的矩阵为
,
根据转置预泊松代数的定义,由(3.1),(3.2)式知,对
,关于
的左乘运算需满足
(4.1)
(4.2)
对(4.1)式考虑
分别取
的情况:
(a) 若
,则有
即
则有
(b) 若
,则有
即
故对任意
,等式恒成立。
(c) 若
,则有
即
计算得
。
(d)
,则有
即
,故等式左右两端都为0,等式恒成立。
对(4.2)式考虑
分别取
的情况:
(a) 若
或
,则
显然等式左右两端都为0,等式恒成立。
(b) 若
,则
即
,
此时,等式恒成立。
(c) 若
,则
,
即
,
此时,等式恒成立。
此外,根据预李代数的定义,由(1.3)式知,对
,A关于
的运算需要满足条件:
. (4.3)
对(4.3)式考虑
分别取
的情况:
(a) 若
或
,则有
,
显然等式左右两端都为0,等式恒成立。
(b) 若
,则
即
计算得
。
(c) 若
,则
即
计算得
。
综上所述,得
取
,则有
,
其中
,且
,
。
5. 二维转置预泊松代数的类型
定理5.1设
是二维转置预泊松代数,则存在A的基
,使
,此时
中的运算
取以下几种类型:
(1)
,
同构于A4型的预李代数。
(2)
,
同构于A5型的预李代数。
(3)
,
同构于A8型的预李代数。
(4)
,
同构于A9型的预李代数。
(5)
,同构于A7型的预李代数。
(6)
,
同构于A7型的预李代数。
证明:设
是二维转置预泊松代数,由定理1.1知,存在A的一组基
使得
,且根据定理3.1知,
中关于
的运算为:
,
其中
,且
,
。下面进行分情况讨论。
<1> 若
,由
,可知
,此时
,
下面讨论
的取值:
(a) 若
,则
此时
同构于A4型的预李代数。
(b) 若
,则
作非退化线性替换
,则
此时
同构于A5型的预李代数。
(c)
,则有
作非退化线性替换
,则
此时
同构于A8型的预李代数。
(d)
,则有
作非退化线性替换
,则
此时
同构于A9型的预李代数。
<2> 若
,由
可知
,再由
可知
,此时
,
下面讨论
的取值:
(a) 若
,则有
作非退化线性替换
,则
此时
同构于A7型的预李代数。
(b) 若
,则有
作非退化线性替换
,则
此时
同构于A7型的预李代数。
6. 二维转置预泊松代数在同构意义下的分类
定理6.1设
是二维转置预泊松代数,
为A的一组基,则
在同构意义下有以下6种:
(1)
;
(2)
;
(3)
;
(4)
;
(5)
;
(6)
。
其中,
,且
。
证设
是二维转置预泊松代数。由定理5.1知A关于
的运算有6种情况,且定理5.1中(1),(2),(3),(4)和(5),(6)对应的预李代数互相不同构,因此其对应的转置预泊松代数也互相不同构,此时只需考虑定理5.1中的(5),(6)两种转置预泊松代数是否同构。
设
为定理5.1中第(5)种转置预泊松代数,取
为满足定理5.1中第(5)种转置预泊松代数
的一组基;
为定理5.1中第(6)种转置预泊松代数,取
为满足定理5.1中第(6)种转置预泊松代数
的一组基。
用反证法,若(5),(6)两种转置预泊松代数同构,f为其同构映射,则f为
到
的可逆线性变换,满足
.
设线性变换f在基
下的矩阵为
,其中
,即
.
一方面,f是Zinbiel代数
到
上的同构映射,因此f需满足:
,
,
,
.
计算可得
。此时
.
另一方面,f为预李代数
到
的同构需要满足以下4个方程:
,
,
,
.
直接计算可知。此时
,故F不可逆,可知f不是同构映射,即
,
不同构。
7. 总结与展望
本文通过将Zinbiel代数与预李代数结合在一起,满足特定相容条件后,引入了转置预泊松代数概念,讨论转置泊松代数与转置预泊松代数的关系,再根据二维Zinbiel代数,预李代数的分类结果,通过具体计算讨论二维转置预泊松代数在同构意义下的分类。
代数分类问题对数学,物理以及其他领域都有重要作用。在本文研究基础上,可继续进行三维转置预泊松代数的分类研究。