具有Neumann边界条件的抛物型方程解的估计

Estimation of Solutions to Parabolic Equations with Neumann Boundary Conditions

摘要: 研究了具有Neumann边界条件的一类抛物型方程解的估计，通过微分方法，选取合适的辅助函数和利用极值原理来进行证明。

Abstract: This paper studies the estimation of the solutions of a class of parabolic equations with Neumann boundary conditions, through the differential method, selects the appropriate auxiliary function and uses the extreme value principle to make the proof.

1. 引言

抛物型方程是数学物理中非常重要的方程之一，是描述许多自然物理现象的基本方程。在数学物理方程的研究中，边值问题解的存在性是很重要的问题，而先验估计是其研究的关键。目前来说，边值问题的分类主要有Dirichlet问题、Neumann问题及罗宾问题，又称第一、二、三边值问题。

1996年，Guan [1] 研究了当 $n\ge 2$ 时，下面的预定夹角边界值条件的抛物型方程

$\{\begin{array}{l}{u}_t-{\displaystyle \underset{i,j=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{ij}\left(Du\right)u_{ij}}=-f\left(x,u\right),\text{in}\Omega \times \left[0,\infty \right),\\ \langle \gamma ,v\rangle =\phi \left(x,u\right),\text{on}\partial \Omega \times \left(0,\infty \right),\\ u\left(x,0\right)=u_0\left(x\right)\text{,in}\Omega .\end{array}$

并证明了在 $\frac{\partial f}{\partial \tau }\ge 0$ 条件下解的长时间存在性和收敛性。Ma等 [2] 人研究了严格凸区域上的常平均曲率曲面和非零Neumann边界条件的平均曲率流。

2014年，对于带Neumann边界的平均曲率方程

$\{\begin{array}{l}\mathrm{div}\left(\frac{Du}{\sqrt{1+{\left|Du\right|}^2}}\right)=f\left(x,u\right),\text{in}\Omega ,\\ \frac{\partial u}{\partial \gamma }=\psi \left(x,u\right),\text{on}\partial \Omega .\end{array}$

Ma-Xu [3] 通过引入一个特殊标架，构造了一个新的辅助函数，利用极大值原理得到了平均曲率方程Neumann问题解的梯度估计。证明过程主要利用了Simon-Spruck [4] 、Ural’tseva [5] 、Liberman [6] 、Wang [7] 、Spruck [8] 等人的技巧，首次给出平均曲率方程Neumann问题解的梯度估计。

2019年，Xu [9] 考虑了Neumann边界下的平均曲率流方程

$\{\begin{array}{l}{u}_t-{\displaystyle \underset{i,j=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{ij}\left(Du\right)u_{ij}}=-f\left(x,u,Du\right)\text{in}\Omega \times \left[0,T\right],\\ \frac{\partial u}{\partial \gamma }=\psi \left(x,u\right)\text{on}\partial \Omega \times \left(0,T\right),\\ u\left(x,0\right)=u_0\text{on}\Omega ,\end{array}$

其中 $f_z\left(x,z,p\right)\ge 0$ ， $\Omega \subset R^n$ 为有界的 $C^3$ 区域， $n\ge 2$ ，T为固定的正常数，并且得到梯度估计

$\underset{{\bar{\Omega }}_{{\mu }_0}\times \left[0,T\right]}{\sup }\left|Du\right|\le C$ .

朱洁 [10] 研究了如下具有Neumann边界条件的抛物型方程

$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{u_{xx}}{{\left[1+{\left(u_x\right)}^2\right]}^{\frac{3}{2}}}{\left(\sqrt{1+{\left(u_x\right)}^2}\right)}^{\beta }-f\left(x,u\right)$ ,

其中 $\beta \le 3$ ，且 $f\left(x,u\right)$ 是定义在 $\left[0,1\right]\times R$ 上的光滑函数。得到了一类边值问题解的梯度估计，从而得到了相应的曲线曲率演化方程解的存在性定理。

受此启发，本文研究具有如下形式的一类抛物型方程

$\frac{\partial u}{\partial t}=u_{xx}-f\left(x,u,Du\right)$ ,

其中 $f\left(x,u,Du\right)$ 是定义在 $\left[0,1\right]\times R\times R^n$ 上的光滑函数，利用极值原理和微分方法讨论方程解的一阶导数估计。一般我们需要先得到u的 $C^0$ 估计，再讨论u的 $C^1$ 估计，特别地，对于抛物型方程要考虑u关于t的 $C^1$ 估计。对于u的 $C^1$ 估计分三种情形证明：

情形1：若 $x_0\in \partial {\Omega }_{{\mu }_0}$ ，由Hopf引理得到 $\left|Du\right|\left(x_0\right)$ 有界；

情形2：若 $x_0\in \partial {\Omega }_{{\mu }_0}\cap {\Omega }_{{\mu }_0}$ ，可归结为内部梯度估计；

情形3：若 $x_0\in {\Omega }_{{\mu }_0}$ ，可利用极大值原理证明 $\left|Du\right|\left(x_0\right)$ 有界。

在情形3的证明中，通过引入一个特殊标架，构造合适的辅助函数，再利用极值原理、基本对称函数的性质以及函数在极大值点的性质，得到抛物型方程的一阶导数估计。

综合三种情形结果，总结出 $\left|Du\right|\left(x_0\right)$ 的上界，讨论得出方程解的 $C^1$ 估计。

2. 主要结果

定理1 假设 $\Omega =\left[0,1\right]$ ，f是定义在 $\Omega \times R\times R^n$ 上的光滑函数， $u\left(x,t\right)$ 是下面方程的一个解

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial t}=u_{xx}-f\left(x,u,Du\right),\left(x,t\right)\in \Omega \times \left[0,T\right],\\ u\left(x,0\right)=u_0\left(x\right),\left(x,t\right)\in \Omega \times \left\{0\right\},\\ u_x\left(0,t\right)=a,\left(x,t\right)\in \left\{x=0\right\}\times \left[0,T\right],\\ u_x\left(1,t\right)=b\left(x,t\right)\in \left\{x=1\right\}\times \left[0,T\right].\end{array}$ (1)

其中，设存在正常数 $L_1$ ，使得 $f\left(x,z,p\right)$ 满足

$f_z\left(x,z,p\right)\ge -\kappa ,\kappa \ge 0$ ，在 $\Omega \times \left[0,T\right]\times R^n$ 内，

$\left|f\left(x,z,p\right)\right|+\left|f_x\left(x,z,p\right)\right|+\left|{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{u}_{x_l}{u}_{x_i}{\nu }^{-1}{f}_p\left(x,z,p\right)}\right|\le \frac{L_2}{\nu }$ ，在 $\Omega \times \left[0,T\right]\times R^n$ 内，

这里 $p=\left(p_1,p_2,\cdots ,p_n\right)=Du$ ， $v=\sqrt{1+{\left(u_x\right)}^2}$ 则对于 $t\in \left[0,T\right]$ ，

$\left|u_x\left(x,t\right)\right|\le C$ ,

其中 $C=C\left(T,\lambda ,\kappa ,{\left|f\right|}_{C^0\left(\left[0,1\right]\times R^n\right)},{\left|D_{x}f\right|}_{C^0\left(\left[0,1\right]\right)}\right)$ 。

我们将通过详细的计算先得到 $u_t$ 估计和u的 $C^0$ 估计，然后再求u关于x的 $C^1$ 估计。证明过程中通过利用微分方法、极值原理和分三种情形证明出定理1。

3. 证明定理1

证明 第一步先给出 $u_t$ 估计和u的 $C^0$ 估计：

由(1)式，有

$\frac{\partial u}{\partial t}=u_{xx}-f\left(x,u,Du\right)$ ,

方程两边关于t求导，得

$\frac{\partial u_t}{\partial t}=u_{xxt}-f_z\left(x,u,Du\right)u_t-f_{p_i}\left(x,u,Du\right)u_{it}$ .(2)

而

$\frac{\partial \left({\text{e}}^{-\kappa t}{u}_t\right)}{\partial t}=-\kappa {\text{e}}^{-\kappa t}{u}_t+{\text{e}}^{-\kappa t}{u}_{tt}$ . (3)

将(2)式代入(3)式得

$\frac{\partial \left({\text{e}}^{-\kappa t}{u}_t\right)}{\partial t}={\text{e}}^{-\kappa t}{u}_{xxt}-\left(\kappa +f_z\right){\text{e}}^{-\kappa t}{u}_t-f_{p_i}\left(x,u,Du\right)u_{it}{\text{e}}^{-\kappa t}$ .

根据强极值原理，得 ${\text{e}}^{-\kappa t}{u}_t$ 的非负极大值和非正极小值均在边界达到，除非 ${\text{e}}^{-\kappa t}{u}_t$ 在 $\Omega$ 内恒为常数。所以假设 ${\text{e}}^{-\kappa t}{u}_t$ 的非负极大值在 $\left(x_0,t_0\right)$ 处达到，那么 $\left(x_0,t_0\right)$ 仅有以下三种情况：

(A₁) $t_0=0$ ；

(A₂) $t_0>0$ 且 ${\text{e}}^{-\kappa t}{u}_t$ 在 $\Omega \times \left[0,t_0\right]$ 恒为常数(等于 $u_t\left(x,0\right)$ )；

(A₃) $t_0>0$ 且 $x_0=1$ 或 $x_0=\text{0}$ 。

下面依次讨论这三种情况：

对于(A₁) $t_0=0$ ，即 ${\text{e}}^{-\kappa t}{u}_t$ 在 $\left(x_0,0\right)$ 处达到非负极大值，故

${\text{e}}^{-\kappa t}{u}_t\left(x,t\right)\le {\text{e}}^0{u}_t\left(x_0,0\right)=u_t\left(x_0,0\right)$ .

从而

$u_t\left(x,t\right)\le {\text{e}}^{\kappa t}{u}_t\left(x_0,0\right)$ .

因此

$u_t\left(x,t\right)\le \underset{\Omega }{\sup }\left({\text{e}}^{\kappa t}{u}_t\left(x_0,0\right)\right)$ .

可以得到 $u_t\left(x,t\right)$ 的范围为

$u_t\left(x,t\right)\le \max \left\{\underset{x\in \Omega }{\sup }\left({\text{e}}^{\kappa t}{u}_t\left(x_0,0\right)\right),0\right\}$ .

下面假设 ${\text{e}}^{-\kappa t}{u}_t$ 的非正极小值在 $\left(x_0,0\right)$ 处取得，同理可得

$u_t\left(x,t\right)\ge \min \left\{\underset{x\in \Omega }{\sup }\left({\text{e}}^{\kappa t}{u}_t\left(x_0,0\right)\right),0\right\}$ .

因此

$\left|u_t\right|\le C$ .

对于(A₂)由 ${\text{e}}^{-\kappa t}{u}_t=C$ (C为常数)，结合指数函数性质和 $\kappa \ge 0$ ，则 ${\text{e}}^{-\kappa t}\in \left(0,1\right]$ ，因此 $\left|u_t\right|\le C$ 。

对于(A₃)若 $t_0>0$ 且 $x_0=1$ 或 $x_0=\text{0}$ ，则根据Hopf引理得 $u_{t\nu }<0$ 。然而根据方程的边值条件知 $u_{t\nu }=0$ 。因此该情况不成立。综上分析得 $u_t$ 有界。

对于u的 $C^0$ 估计，利用微分中值定理得

$\left|u\left(x,t\right)-u\left(x,0\right)\right|=\left|u\left(x,t\right)-u_0\left(x\right)\right|=\left|u_t\left(x,t\right)\left(t-0\right)\right|\le t{\text{e}}^{\kappa t}\left|\underset{x\in \Omega }{\sup }{u}_t\left(x_0,0\right)\right|$ .

因此，存在一个常数C，使得

$\left|u\left(x,t\right)-u_0\left(x\right)\right|\le Ct{\text{e}}^{\kappa t}$ ,

其中 $C=\left|\underset{x\in \Omega }{\sup }{u}_t\left(x_0,0\right)\right|$ 且仅依赖于 $u_0,f$ 。

第二步讨论给出 $\left|Du\right|$ 估计：

首先考虑辅助函数

$\Phi =\log {\left|u_x\right|}^2+g\left(x\right)-\lambda t$ ,

其中 $g\left(x\right)=x^2-x$ ， $\lambda$ 在后面会给出定义。

设 $\Phi \left(x,t\right)$ 在 $\left(x_0,t_0\right)$ 处达到非负极大值，其中 $x_0\in \left[0,1\right]$ 。

下面分三种情况进行讨论：

情形1： $x_0=1$ 或 $x_0=\text{0}$ 。根据 $u_x\left(0,t\right)=a$ ， $u_x\left(1,t\right)=b$ ，可得

$\underset{\left\{0\right\}\cup \left\{1\right\}\times \left[0,T\right]}{\max }\left|u_x\right|\le C$ .

情形2： $t_0=0$ ，显然存在一个正常数 $C=C\left(u_x\left(x_0,0\right)\right)$ ，使得

$\underset{\left[0,1\right]\times \left\{0\right\}}{\max }\left|u_x\right|\le C$ .

情形3： $\left(x_0,t_0\right)\in \left(0,1\right)\times \left[0,T\right]$ ，

${\Phi }_t\left(x_0,t_0\right)=\frac{{\left|u_{xx}\right|}_t^2}{{\left|u_x\right|}^2}-\lambda$ .

由极值原理得

${\Phi }_x\left(x_0,t_0\right)=\frac{2u_{xx}}{u_x}+g^{\prime }=0$ , (4)

$\text{0}\ge {\Phi }_{xx}\left(x_0,t_0\right)=\frac{2u_{xxx}}{u_x}-\frac{2u_{xx}^2}{u_x^2}+g^{″}$ , $0\ge {\Phi }_{xx}-{\Phi }_t=\left(\frac{2u_{xxx}}{u_x}-\frac{2u_{xx}^2}{u_x^2}+g^{″}\right)-\frac{2u_{xt}}{u_x}+\lambda$ , (5)

其中 $u_t=u_{xx}-f\left(x,u,Du\right)$ 。

因此

$-\frac{2u_{tx}}{u_x}=-\frac{2u_{xxx}}{u_x}+\frac{2}{u_x}{f}_x+2f_z+\frac{2}{u_x}{f}_{p_i}{u}_{ix}$ . (6)

由于 $u_{xx}=-\frac{u_x{g}^{\prime }}{2}$ ， ${g^{\prime }}^{\prime }=2$ ，将(6)代入(5)得

$0\ge {\Phi }_{xx}-{\Phi }_t=-\frac{2u_{xx}^2}{u_x^2}+2+\frac{2}{u_x}{f}_x+2f_z+\frac{2}{u_x}{f}_{p_i}{u}_{ix}+\lambda =I_1+I_2$ ,

其中

$I_1=-\frac{2u_{xx}^2}{u_x^2}$ ,

$I_2=2+\frac{2}{u_x}{f}_x+2f_z+\frac{2}{u_x}{f}_{p_i}{u}_{ix}+\lambda$ .

不妨假设 $u_x$ 足够大，否则u的 $C^{\text{1}}$ 估计已证，则

$I_1=-\frac{{g^{\prime }}^2}{2}$ , (7)

由于条件

$f_z\left(x,z,p\right)\ge -\kappa$ , $\kappa \ge 0$ ,

与条件

$\left|f\left(x,z,p\right)\right|+\left|f_z\left(x,z,p\right)\right|+\left|{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{u}_{x_l}{u}_{x_i}}{v}^{-1}{f}_{p_i}\left(x,z,p\right)\right|\le \frac{L_1}{v}$ ,

可得

$I_2\ge 2+\frac{2}{u_x}{f}_x-2\kappa -\frac{2L_1}{\nu }+\lambda$ .

故

$0\ge I_1+I_2\ge \left(\text{2}-\frac{{g^{\prime }}^2}{2}\right)+\frac{2}{u_x}{f}_x-2\kappa -\frac{2L_1}{v}+\lambda$ .

由于 $x\in \left[0,1\right]$ ，根据二次函数的性质知， $\text{2}-\frac{{g^{\prime }}^2}{2}\in \left[\frac{3}{2},2\right]$ ，即 $2-\frac{{g^{\prime }}^2}{2}\ge 0$ 。

则

$0\ge I_1+I_2\ge \frac{2}{u_x}{f}_x-2\kappa -\frac{2L_1}{v}+\lambda$ ,

记 $\lambda =2\kappa +6$ ，由于 $u_x$ 足够大，则 $\nu$ 与 $u_x$ 等价，因此由上式可得

$0\ge \frac{2f_x}{u_x}{v}^2+\left(\lambda -2\kappa \right)v^2-2L_{1}v$ ,

则

$\frac{2\left(\sup \left|f_x\right|+L_1\right)}{u_x}{v}^2\ge -\frac{2\left(f_x-L_1\right)}{u_x}{v}^2\ge \left(\lambda -2\kappa \right)v^2$ ,

$v\left(x_0,t_0\right)\le \frac{\sup \left|f_x\right|+L_1}{3}$ ,

即

$v\left(x_0,t_0\right)\le C_1$ ,

其中 $C_1$ 与T无关的常数。

由于 $\Phi \left(x,t\right)$ 的最大值在点 $\left(x_0,t_0\right)$ 处取得，故对任意的 $\left(x,t\right)$ 有

$\Phi \left(x,t\right)\le \Phi \left(x_0,t_0\right)=\log {\left(u_x\right)}^2\left(x_0,t_0\right)+g\left(x_0\right)-\lambda t_0\le \log {\left(c_1\right)}^2+g\left(x_0\right)-\lambda t_0$ ,

即

$\log {\left(u_x\right)}^2+g\left(x\right)-\lambda t\le \log {\left(c_1\right)}^2+g\left(x_0\right)-\lambda t_0$ ,

故

$\log {\left(u_x\right)}^2\le \log {\left(c_1\right)}^2+g\left(x_0\right)-g\left(x\right)+\lambda \left(t-t_0\right)\le C$ ,

其中C与T有关的常数。综上分析，得到了u的 $C^1$ 估计，完成了定理1的证明。

基金项目

国家自然科学基金项目(12061078)。