1. 引言
本文所讨论的群皆为有限群。文中所用的符号和概念都是标准的，对未交代的符号和概念，读者可参阅文献[1] 和[2] 。本文中，我们用表示一个群；表示素数的一个集合，为在所有素数集合中的补集(当仅包含一个素数时，我们记作)；为的最大正规-子群，相应地，为的最大正规-子群。
众所周知，早在1939年，O. Ore就在Duke Math上发表文章[3] ，给出子群置换的概念，如果那么群的子群和称为可置换的；如果和的任意子群可置换，那么称为的拟正规子群或置换子群[4] 。作为这一工作的推广，W. E. Deskins和O. Kegel分别在文章[5] 和[6] 引入了-拟正规子群(即和所有Sylow子群可置换的子群)，并得到了一些和子群置换类似的性质和结论。此后，子群各类广义置换性质被不断提出和研究，其中包括王燕鸣在文章[7] 提出的-正规子群；M. Asaad在文章[8] 中提出的- 置换子群；郭文彬等[9] 提出的X-置换子群；苏向盈[10] 和T. Foguel [11] 研究的半正规子群，胡滨等[12] 讨论的-半置换子群；李保军、张志让[13] 研究的-条件置换子群以及A.Ahnmad等[14] 中引入的-正规子群等。近年来，Skiba [15] 利用特定阶的准素子群的弱s-置换性刻画群结构是子群广义置换研究方面的一个出色工作。
对子群置换性质的研究，一个自然的问题是，对于各类广义子群置换子群，它们是否有共同的性质？基于这一问题的思考，李保军[16] 引入了子群-性质和-可补充性质的概念：
定义1.1 [16] ：是群的子群，如果对群的任意主因子，是数，则称在中满足-性质；如果存在的子群使得，并且，其中在中满足-性质，则称在中是-可补充的.
文[16] 的工作表明，子群-性质为众多已有广义置换性质的一个本质特征。利用子群的-性质和- 可补充性质，我们已得到了群结构的一些好的描述(参见[16] [17] )，本文我们将进一步研究-可补充子群与群的幂零性的联系。
2. 一些基本性质和引理
-可补充子群的概念是建立在子群-性质上的，而我们知道-性质是子群的一类重要性质，众多被广泛研究的广义置换子群都具有-性质。
命题2.1：([15] ，命题2.2)设是群，，如果满足下列条件之一，那么在中就具有-性质：
(1)在中是正规的；
(2)在中是拟正规的；
(3)在中是-拟正规的；
(4)在中是与的所有Sylow子群-可置换的，其中是的一个可解正规子群。
回忆，设是群的一个主因子，是的一个子群，若，则称覆盖；若，则称避开；如果覆盖或者避开群的任意一个主因子，则称是群的一个-子群。群的一个正规子群称为超可解超中心的，如果的所有-主因子循环。群的所有这样的正规子群的积称为的超可解超中心，记作。
命题2.2：([15] ，命题2.3)设是群，，当满足下列条件之一时，则在中具有-性质：
(1)是的一个-子群
(2)
我们需要以下引理来证明我们文章的主要结果。
引理2.1：([17] ，引理2.1)设是群，，，则有下面结论：
(1) 如果在中具有-性质，那么在具有-性质；
(2) 如果在中具有-性质，那么在中是-可补充的；
(3)在中是-可补充的，如果或者，那么在是-可补充的；
(4)在中是-可补充的，则在中是-可补充的，对任意。
引理2.2：([17] ，引理2.3)设为的-子群，为的极小正规子群。又设在中是-可补充的。如果正规与的某个Slow-子群，则或1。
引理2.3：设为的正规-子群且。如果，则。
证明：设为的一个极小正规子群。则为的正规-子群且。显然仍成立。因此，由归纳，。于是我们只需证明。设。由定理(参见[2] ，第I章，定理5.7)，同构与的一个子群。但由
于且，因此为-群。由
[1, 1.7.11]知，，即。引理成立。
引理2.4：([17] ，定理1.3)设为一个群为素数且。又设为的一个正规子群满足为-幂零群，为的一个Sylow-子群。如果的所有阶和4阶(当为非交换2-群)子群在中是-可补充的，则为-幂零群。
3. π可补充子群与群的p-幂零性
定理3.1：设为一个群为奇素数且。又设为的一个正规子群满足为-幂零群，为的一个Sylow-子群。如果的所有阶子群在中是-可补充的，则为-幂零群。
证明：设结论不成立并设为极小阶反例，即所有满足定理条件且阶小于的群为-幂零群。我们通过以下步骤完成证明。
(1)
显然有正规子群满足，且为的一个Sylow-子群。由引理2.1，的所有阶子群在中是-可补充的。另一方面，显然成立。因此，由的选择，为为-幂零群，而由此又立即可得出为幂零群，矛盾于的选择。(1)成立。
(2)可解且.
因为且为奇素数，知与2互素，即为奇阶群。由Feit-Thompson奇阶群定理得可解。进而由(1)得 (参见[2] ，第V章，定理1.5(4))。
(3) 设为的一个极小正规子群且。则为阶循环群且。
因为，所以为交换-群。若，则为的主因子。但为-幂零群，因此为阶循环群。设。如果，则由引理2.3知。由为的一个极小正规子群得为阶循环群且。设，则有真子群使得，并且由群性质(参见[2] ，第IV章，定理5.4)可设为的Sylow-子群的正规子群。由定理条件，在中是-可补充的。因此存在的子群，使得且，其中在中有-性质。由于，。显然。另一方面，由于为交换群，。因此。如果，则，从而。于是，矛盾。因此且进而有在中有-性质。由引理2.2，得，矛盾。(3)成立。
(4) 最后的矛盾
由为奇数且，知为奇数阶群。由Feit-Thompson奇阶群定理知为可解群。由(1)及[2] ，第V章，定理1.6，。令为的一个极小正规子群且。由(3)，。因此由引理2.1，的Sylow-子群的所有阶子群在中-可补充的。由于当时，显然成立。因此由归纳，此时有为-幂零群。又由(3)，，所以为-幂零。若，则由引理2.4可得为-幂零，与的选择(非-幂零)矛盾。这一是最后一个矛盾，定理证明完成。
由命题2.1；2.2和引理2.1以及定理3.1，我们可以得到以下推论：
推论3.1：设为一个群为奇素数且。又设为的一个正规子群满足为-幂零群，为的一个Sylow-子群。如果的所有满足以下条件之一，则为-幂零群：
(1) 在中是正规；
(2) 在中拟正规；
(3) 在中是-拟正规；
(4) 在中是与的所有Sylow子群-可置换的，其中是的一个可解正规子群；
(5) 是的一个-子群；
(6) 含于的超可解超中心中。
基金项目
国家自然科学基金资助项目(批准号11071229)。
参考文献