1. 引言
对于李代数的结构来说，单凭李代数的定义有时很难看清它的结构。李代数的导子代数可以帮助我们更好的了解李代数的结构。导子的重要性还在于它与低维上同调群的密切关系，由导子的结构往往能洞察出从李代数定义中看不出的李代数的一些结构特性。因此，导子代数是李代数结构理论的重要组成部分。文献[1] -[4] 分别研究了广义Witt代数、有限生成阶化李代数、无限维Heisenberg代数、扭Heisenberg- Virasoro algebra的导子代数结构。最近，在文献[5] 中，S. EswaraRao等人给出了这类李代数的定义，并对其不可约权模进行了分类。本文将利用同调代数理论研究李代数的导子代数的结构。本文中C表示复数域，Z表示全体整数的集合。
2. 李代数
设是域上的李代数，是一个。从到的一个线性映射叫做导子，若对于任意的，都有
映射叫做內导子。
用表示所有导子的向量空间，表示所有內导子的向量空间。令
.
本文中，分别用来表示。
令是任意矩阵，其中对于所有的，满足是非零复数，且，是单位根。考虑非交换罗朗多项式环。令是中由元素生成的理想。令，则称为伴随矩阵q的量子环。矩阵q称为量子环矩阵。
对于，令。定义映射，
对，则有如下的结论：
(1)
(2)
(3)
(4)
定义集合。
易知是的一个子群。由于是-分次的，定义导子满足
內导子
注意到对于。对，记。令为的所有导子组成的空间。则有
性质2.1 [3]
1) , (5)
. (6)
2) 以如下的基之间的李积运算使得成为一个李代数：
, (7), (8), (9)
这里。
考虑空间，将其元素表示为，其中，，。则是一个满足如下李积关系的李代数：
(10)
(11)
(12)
显然李代数是一个-分次代数，即
(13)
3. 导子代数
令，并记，。Hilton和Stammbach (1997) [6] 给出了如下由诱导的-分次向量空间的正合序列：
. (14)
其右边可以通过计算关于AHochschild-Serre spectral序列
的5项序列
(15)
的各项得到。而该正合序列中这一项可嵌入。因此，要得到，只需计算、和。
命题3.1 若则，若，则。
证明 由和的定义以及(1)式可直接得到。
引理3.2 设是一个交换群，若是一个有限生成的-分次李代数，则也是-分次李代数。
证明 事实上，其中
引理3.3 若，则。
证明 令，由引理2.2，可设
由李积关系分别计算可分别得到
其中。
取。令，由式(16)得
(20)
令由式(16)得
(21)
令，由式(16)得
(22)
(23)
将(20)、(21)、(23)代入(22)得
(24)
为了简便，将(24)式记为
(25)
分别用替换；替换，重复上述(20)~(24)的过程可得到类似于(25)式的一组式子：
(*)
其中为到复数域的映射。
取，由式(16)得
(26)
将(*)、(20)式代入(26)得
(27)
将(27)记为
(28)
其中
(29)
将(28)、(*)代入(29)得
. (30)
将(30)式记为
(31)
重复以上过程最终将得到
(32)
由(17)、(19)得
(33)
(34)
由命题3.1知，，由(32)知可由所决定，故可由所决定。由此可知，因此只有內导子。
引理 3.4，这里
。
引理3.5，当且仅当是一个从到满足下列关系的线性映射：
(35)
(36)
(37)
(38)
其中为到复数域的线性映射。
证明 假设是一个满足上述条件从到的线性映射，显然，也容易验证是一个从到的导子。
反过来，令，假设。对于，且，有
得。
对于，假设。有
假设，则
若令，那么。
对于有
得
由李积关系知。但由假设，故。
对于，假设，则
即，代入，有
，
故，不妨设。证毕。
引理3.6
证明 由(4)式可知，即
记满足(35)~(38)的导子为，则有
定理3.7
证明 根据引理3.6，，由引理3.3知，故由正合列(15)知。所以，根据引理3.5和正合列(14)知。
而，故定理得证。
参考文献