1. 引言
记IN为自然数集,Z为整数集。定义D是复平面C上的开单位圆盘。dA表示D上正规化的面积测度,即
是D上关于dA平方可积的函数全体构成的Hilbert空间,可表示为:
对任意的
,
空间中内积为:
Bergman空间
为
上由全体解析函数构成的闭子空间。定义D上由关于dA的本性有界可测函数全体构成的Banach空间为
,P是从
到
上的正交射影,则有
为
的再生核,令
为正规化的再生核。
定义1.1:设
,以
为符号的Toeplitz算子定义如下:
说明:设
,则Toeplitz算子具有以下性质:
1)
,
,
2)
。
记
为C上的
矩阵的全体。定义
为D上关于dA平方可积的向量值函数空间。
为D上的向量值Bergman空间,其中“
”为Hilbert张量积。以
为符号的Toeplitz算子定义为
其中
是从
到
的正交射影。
“
”表示直和
,
,那么块Toeplitz
有下列矩阵表示:
其中
块Toeplitz算子和块Toeplitz算子的截断行列式存在于在数学和物理学的各个分支中,并有着重要的应用,尤其是在量子力学的理论研究中。例如,经典的二聚体模型 [1] 和不相交行走模型 [2] 的研究应用了块Toeplitz算子的截断行列式理论;盖尔芬德迪基层次的研究 [3] 应用了块算子理论等。
Brown与Halmos证明在单位圆周上的Hardy空间上,若有
,则符号f或g必定有一个为零 [4] 。1984年,美国数学家Axler访问四川大学时提出一个问题,若Hardy空间上n个Toeplitz算子的乘积为零,是否必定有其中一个为零? 1994年,郭坤宇 [5] 证明了
时结论是对的。Gu证明结论对于
也对 [6] 。
的情况后来也被解决 [7] 。Bergman空间上的函数论与Hardy空间不一样,因此Bergman空间上的算子理论与Hardy空间上的算子理论也不一样。即使在D上的Bergman空间上,有些看来非常简单的问题解决起来也很困难。例如具有有界调和函数符号的两个Toeplitz算子的乘积为零是否必有一个为零?这个问题就悬置了很长时间。直到2001年才由Ahern和Čučković解决并发表在文 [8] 中。文 [8] 证明了若f和g是有界调和函数,使得
,则f或g恒等于零。近年来,许多学者开始研究多圆盘和单位球上的Bergman空间。例如,卢玉峰等 [9] [10] 分别研究了多圆盘和单位球Bergman空间上的有界Toeplitz和Hankel乘积。于涛和朱若卫研究了单位球向量值Bergman空间上的Toeplitz乘积有界的充要条件 [11] 。
本文通过Mellin变换研究Bergman空间上两个Toeplitz算子乘积的有限和为零问题,并以此为基础研究向量值Bergman空间上两个块Toeplitz算子的零积问题。
定义1.2:对
是
上的可积函数,可定义Mellin变换:
此时,它是半平面
上的有界解析函数。其中
可分解为:
因此对任意
,都有
引理1.1 [8] :若
,对
,则可定义f的Berezin变换
:
引理1.2 [12] :若
为
上的有界解析函数,若存在自然数序列
使得
且
则
2. Bergman空间上两个Toeplitz算子乘积的有限和
定理2.1:假设
,
,
,
,且满足
那么有
当且仅当
。
证明:必要性。因为
,所以
令
,
。由
,有
由引理1.1,上式可变成
即
(1)
由引理1.1得
再次运用引理1.1,
对比式(1)两边
的系数,得
(2)
对
都成立。
当
时,式(2)变成
令
代n,等式右边变成
上式两边都是关于
的函数,故当
时,对
有
因此有界解析函数
在几何级数
上为零,由引理1.2,进而在
上等于零,所以有
(3)
对
成立。
若
,则有下面的等式成立:
(4)
证明:假设m时成立,下证
时成立。
令
,此时有
由归纳假设,
,得到
(5)
因为
,所以(5)式等于
作变量替换,
,此时上式变形为
运用(3),
,得到
证毕。
在(4)式中令
,有
对任意自然数m成立,
。固定非负整数k,
在几何级数上为零,由引理1.2,故恒为零。于是得到
即对任意
,有
都为零。
当
时,此时(2)式为
, (6)
用
等替换上式(6)式中的n,得
对比(6)式左右两端关于R的系数得当
时,
整理得
又由
,得到
又因为
,运用
时的结论得,
为零。
当
时,此时式(2)为
于是得到当
时,有
再次运用
,有
运用
时,
,得
为零。
如此循环下去,
进而
充分性。因为
,由
,得到
。那么有
由Toeplitz算子的性质,等式右边变为
即
所以
。
3. 向量值Bergman空间上两个块Toeplitz算子的零积
定理3.1:假设
,
,其中
,
,
,
,且满足
那么则有
当且仅当
(
表示矩阵A的转置)。
证明:必要性。由
得
于是有
进而,对
,有
由
,得
,运用定理1.1的结论得
对
成立。即
充分性。由
,得
,又
,得到
于是
所以
故
,定理证毕。