1. 引言
在本文中,假设读者熟知Nevanlinna值分布理论的相关基础知识以及常见符号 [1] [2] 。设a为开平面内的亚纯函数,若
,则称a为f小函数。设f与g为复平面上非常数亚纯函数,a为f与g的公共小函数,如果
与
的零点相同且每个零点重级也相同,则称f与g CM分担a。如果
与
的零点相同,不计零点重级,则称f与g IM分担a。
设k为正整数。记
为
的重级
的零点密指量,计重数。
为
的重级
的零点密指量,计重数。记
为
的重级
的零点精简密指量,不计重数。
为
的重级
的零点精简密指量,不计重数。记
为
的重级为k的零点精简密指量,不计重数。
接下来,我们需要定义一些差分算子的符号。设
为非常数亚纯函数,
为
的小函数,
为判别的有穷复数。令
为
的差分多项式。最近,许多人做了关于复差分唯一性的问题。2014年,Liu-Fang [3] 证明了:
定理A 设
为开平面有穷级的超越整函数,
为非零有穷复数,n为正整数。设
为
的两个判别的小函数。若
与
CM分担
与
,则
。
2017年,Li-Duan-Chen [4] 证明了:
定理B 设
为开平面有穷级整函数,
为非零有穷复数,n为正整数,a为有穷复数。若
与
CM0,IM分担a,则
。
本文推广并改进上述定理,证明了:
定理1 设
为开平面有穷级整函数,
为
的差分多项式,其中
为f的整小函数,
k个判别的有穷复数。又设
为
的一个小函数,若
与
分担0,IM分担
,则
。
2. 几个引理
引理1 [5] [6] [7] 设f为非常数有穷级亚纯函数,
为非零有穷复数。则
,
其中
,除去r的一个集合E,且集合E的对数测度为有穷的。
引理2 设f为非常数亚纯函数,
为阶数为p的多项式,且系数
为有穷复数。又设
为q个判别的复数,则
.
引理3 设
与
均为
上的非常数亚纯函数,则
,
其中
。
引理4 [8] 设f为有穷级
的超越亚纯函数,f是形式为方程
的一个解,其中
为f的差分多项式满足全阶
于
与
中,且
。又设所有的系数
,且对于所有的
有
。
恰好含有全阶中最大一项。则
.
引理5 设
为非常数亚纯函数,
为
的一个小函数,
。
为
的差分多项式,其中
为
的整小函数,
k个判别的有穷复数。则
i)
与
。
ii)
,与
,其中
。
证
i) 只证
。若不然,有
,即
。上式两边积分可得
,其中D为非零常数。由特征函数关系明显有
,这显然不可能。故
。同理可证
。
ii) 显然有
,故
。因为
,从而根据上式可证得
。
引理6 设f为非常数亚纯函数,
为f的三个判别的小函数。则
.
3. 定理1的证明
假设
。因为f与g CM分担0,IM分担a,则由引理1与引理6可得
,
即
。 (1)
设
, (2)
, (3)
其中
与
为引理5中所定义的。注意到f为非常数有穷级整函数,f与g CM分担0,IM分担a,我们可以知道
的极点只能为a的极点,所以有
。同理也有
。由对数导数引理以及引理5可得
, (4)
即
。设
,根据引理5有
, (5)
. (6)
因为f与g CM分担0,于是我们有
, (7)
其中
与H为整函数,且H的零点为g的极点。由引理1可得
. (8)
由引理6,(1)与(8)可得
,
即
。 (9)
由Nevanlinna第一基本定理,引理1,引理3,(5),(6),(8),(9)以及f为有穷级整函数,我们有
.
因此
。 (10)
(3)又可写成
,则由(10)可得到
. (11)
设
,其中
为正整数。接下来我们分为以下几种情形讨论。
情形1
。通过简单计算可得
,
这可推出
,其中A为非零常数。若
,则从上式恒等式可得到
,
这与(8)矛盾。因此
,于是
, (12)
其中B为非零常数。若
,明显有
,这与我们假设矛盾。故
。从(12)容易得到
. (13)
注意到
与
均为f的全阶为k的差分多项式。由引理4与(13)得
, (14)
即
。这可推出
,显然矛盾。
情形2
对任意正整数
都成立。不妨设
,即
分别为
的n重零点与
的m重零点。由(2)和(3)可推出
。所以对于所有正整数
,我们有
. (15)
于是根据引理6,(1)和(15)可以得到
(16)
即
。矛盾。于是定理1得证。
基金项目
国家自然科学基金(NO. 11701188)资助。