1. 引言
传染病动力学主要通过建立相应的数学模型,研究传染病的传播规律进而开展传染病的预防和控制,特别是对于像麻疹、乙肝、结核等传染病来说,采用脉冲免疫接种是一种非常有效的控制策略。Auger等人 [1] 首先提出脉冲免疫接种的控制措施,随后被应用到不同类型的传染病模型中,并获得了不少有意义的成果。文 [2] 研究一类SIR传染病模型的脉冲免疫控制,分析了系统的周期解及稳定性,并发现混沌复杂行为;文 [3] 研究了脉冲免疫接种SIRS模型的一致持续生存和周期解,并得到正周期解存在的分支参数。文 [4] 研究了一类具有
传染率的脉冲免疫接种SIRS模型,得到了无病周期解的全局稳定性和系统一致持续生存性。文 [5] 研究了饱和发生率的SIRS脉冲模型,并与不带有接种的模型进行比较,得到选择适当的接种周期才会对疾病的消除有显著作用。文 [6] 建立并分析一类具有饱和接触率、隔离项和脉冲预防接种的SIQRS传染病模型,给出无病周期解全局渐近稳定的阈值条件。文 [7] 研究脉冲预防接种的SEIR传染病模型,给出无病周期解的稳定性。近年来,考虑到传染病的潜伏期和治疗的滞后因素,脉冲接种传染病模型的时滞效应已引起不少学者关注。文 [8] 建立了脉冲接种下的双时滞的SIRS模型并给出系统稳定性与持久性,文 [9] 给出一类时滞的脉冲接种SEIRS传染病模型的阈值动力学行为,文 [10] 建立平行感染期的时滞传染病模型的脉冲免疫控制策略。但是,这些脉冲接种传染病模型对分布时滞情形结果较少,而模型的分布时滞效应研究是有现实意义的 [11] [12]。
本文考虑一类新的具有脉冲免疫接种和分布时滞的SIR传染病模型:
(1)
其中
,
,
为易感者、感染者和移出者的比例,
是种群出生率和死亡率,
是染病者进入移出者的速率,
是分布时滞传染率,
是传染病潜伏期,
是非负核函数且满足
,
,T是脉冲免疫接种周期,p是脉冲接种比率。
本文主要利用脉冲型比较原理和分析技巧,并借助线性分布时滞微分方程的渐近性质,获得系统的灭绝性,即无病周期解的存在性及其全局稳定性,并获得系统持久性的充分条件。
2. 基本准备
我们记
。容易得到,
,即
。我们不妨设
,为此我们考虑系统解的不变集为:
将
代入系统(1),我们主要研究下列二维时滞系统:
(2)
设系统初始函数为:
。不失生物意义,我们只考虑系统(2)的解所在区域:
。
根据线性脉冲微分方程的解的表示,我们不难得到:
引理1:设线性脉冲系统:
其中
,则系统存在全局渐近稳定的T周期正解:
类似于文 [11] 定理3的证明,我们有
引理2:设具有分布时滞的线性微分方程
如果
,则
是全局渐近稳定的。
3. 系统的灭绝性和持久性
为了考虑系统(2)中感染种群的灭绝性,我们让
,有
根据引理1可知,系统无病周期解为
(3)
我们首先得到无病周期解的全局吸引性。
定理1:如果
那么系统(2)的无病周期解
是全局吸引的。
证明:由系统(2)的第一个方程得
设辅助微分方程为
(4)
由脉冲微分方程的比较定理,可知
,其中
为满足方程(4)具初值
的解。利用引理1,有则当
时,
,这里
为(4)的全局吸引的正周期解。注意到
那么对,使得当
时,有
。又由系统(2)的第二个方程得
令
利用脉冲型比较定理有
,其中初值
。由
和
任意小,不难看出
。根据引理2,有
成立。再由
非负性知
。从而对
,存在
,使得
时,有
。注意到
利用系统(2)的第一个方程可知,当
时
可得
,其中
为满足下列方程的周期解
再次利用引理1,可知当
时,我们有
对任意小的
,当t充分大时,我们有
让
,可得
。从而得无病周期解全局吸引性。证毕。
下面,我们将研究系统(2)的持久性。
定理2:系统(2)是持久的,如果下面条件成立
证明:假设
是系统(2)满足初始条件
的任意一个正解。我们首先将证明
有正的下确界,由系统(2)的第一、三个方程,得
对
,使得当
时,有
,其中
为下述系统
全局吸引的正周期解。
在
上的最小值为
从而,当
时,有
故
。
下面我们将证明
有正的下确界。否则,对于任意充分小的
,存在
,使得
满足:(i)
时,使得
成立;(ii)
时,使得
关于
振荡。
如果(i)成立,那么
利用比较原理和引理1
根据引理1,得上面系统的全局稳定周期正解
,它在
上的最小值为
从而,对任意给定
,当
时(T1为充分大的常数),有
构造函数:
根据方程(2),我们计算
导数
(5)
将
代入得
令
,则对于所有
,
成立。否则存在
,使得当
时,有
且
。由系统(2)有
矛盾。故对于所有
,有
。由于
,且
任意小,我们不妨设
,那么
从而这与
的有界性矛盾。故情况(i)不成立。
若(ii)成立,即
在
处震荡,即存在无穷序列
有:
(7)
(8)
如果
,即对任意大的
,存在k,使得
利用情形(i)的证明思路,不难得到矛盾。因此,
,注意到
那么对任意k,有:
再结合(8)式,我们有
。这与系统解不存在正的下确界矛盾。
注意到上述
的选取与系统(2)的正解选取无关。故存在充分大的t和
使得
成立。因此,当
时,系统(2)是持久的。
致谢
本文受国家自然科学基金面上项目(No.11971081)、重庆市基础与前沿研究计划一般项目(No.cstc2018jcyjax0144)、重庆市研究生科研创新项目(No.CYS19290)资助。