1. 引言
趋化性亦被称为化学趋向性,是细胞或有机体对外界环境中的化学刺激所产生的趋向性反应,在诸如免疫系统反应、胚胎发育、肿瘤生长、种群动力学等生物学现象中起着至关重要的作用 [1] [2]。20世纪70年代初,Keller和Segel研究粘液菌落的趋化现象时,基于生物细胞和化学物质的质量守恒定律,提出了标准的Keller-Segel模型 [3]:
(1)
其中
表示细胞密度,
表示化学信号浓度。第二个方程表示,细胞既消耗化学物质,又会产生化学物质。对于方程(1)的Neumann初边值问题,Osaki,Nagai,Winkler [4] [5] [6] 等人证明了空间维数
时,对于任意充分光滑的初值,都存在全局有界经典解;
时,对于任意小的初值,经典解是全局存在的;当
时,在球形区域中,对于任意充分光滑的初值,其径向对称解会在有限时刻爆破。
由于细胞可以根据多种趋化诱因调整运动,许多学者开始关注经典Keller-Segel模型的各种变体。其中一类典型的模型是只含信号消耗机制而没有产生机制:
(2)
此模型的第二个方程表明,氧气在与细菌接触后,按照固定的速率降解,并且不再产生额外的氧气。若
为有界凸区域,Tao和Winkler [7] [8] 对解的适定性问题做了大量的工作。
Issa和Shen [9] 考虑了以下一类具有logistic源项的趋化模型
(3)
其中
,
表示趋化敏感性。
表示logistic生长源项,
表示种群的增长,
表示物种的内部竞争,
表示物种的总质量对物种增长的影响。作者证明了非负经典解在一定条件下的全局存在性和有界性。
受上述工作的启发,若模型(3)的第二个方程变为只含信号消耗项而没有信号产生项,那么改变后的方程组是否还具有类似的性质是值得研究的问题。更准确地说,我们将考虑:
(4)
其中
是一个具有光滑边界的有界区域,
,
。本文的初值
满足
(5)
定理1 设
是一个具有光滑边界的有界区域,
,
,若初值
满足(5)式,则存在常数
,使得当
时,初边值问题(4)的经典解整体存在且有界,即存在常数
,使得对任意的
有
(6)
其中
,而
,
为极大Sobolev正则性中相应的常数。
论文的其余部分组织如下:第二节介绍经典解的局部存在性和一些基本的性质。第三节给出主要结果的证明。
2. 经典解的局部存在性和一些基本的性质
引理1 ( [10] [11] )设
是一个具有光滑边界的有界区域,初值
满足(5)式,
,
,
,则存在
,使得初边值问题(4)有唯一的经典解
,满足
且当
时,有
(7)
引理2 ( [12] )设
是一个具有光滑边界的有界区域,
,
,v是下列初边值问题的解
(8)
其中
,且
,那么存在一个常数
,使得
(9)
引理3 ( [13] [14] [15] )设
是一个具有光滑边界的有界区域,
是初边值问题(4)的解,
,
,初值
满足(5)式,则对任意的
有
(10)
3. 经典解的全局存在性和有界性
引理4 设
是一个具有光滑边界的有界区域,
为初边值问题(4)在
内的解,初值
满足(5)式,
,
。设
,则存在
及常数
,使得对任意的
有
(11)
其中
,而
为(10)式中所给定的常数,
为(9)式中令
时的常数。
证明:将方程组(4)的第一个方程两边同时乘以
,再在
上对x积分并利用u的非负性得
(12)
又因为
故
(13)
由Young不等式知:对任意的
,都有
(14)
其中
。由(13)与(14)式知
(15)
再利用Young不等式可知:对任意的
有
(16)
其中
。将(16)式带入(15)式得
(17)
取定
且
,由引理1可知存在常数
,使得
(18)
设y为常微分方程
(19)
的解,其中
。
由(17)和(19)式,并结合抛物型方程的比较原理和常数变易法,对任意的
有
再结合(18)式有
(20)
由引理2可知,对任意的
有
(21)
其中
为引理2所对应给定的常数。结合(18),(20)和(21)式,对任意的
有
(22)
其中
,
为引理3中所给定的常数。令
则
因此
则对任意的
有
所以
其中
,那么
(23)
其中
。因此
(24)
由(23)和(24)式可得
最后,再结合(22)式可得
(25)
由于
(
),则由实数的连续性可知,存在
,使得
令
,则
,在(25)式中,取
,那么
即对任意的
,(11)式成立。
引理5 设
是一个具有光滑边界的有界区域,
为初边值问题(4)在
内的解,初值
满足(5)式,
,
,且
,
。则对任意的
,存在常数
,使得对任意的
有
(26)
其中
为引理4中所给定的常数。
证明:由方程组(4)中的第二个方程和常数变易法知,
(27)
由[ [16] 引理1.3]以及Hölder不等式知,对任意的
有
(28)
其中常数
。因为
,所以
。由(5)和(11)式可得(26)式。
引理6 设
是一个具有光滑边界的有界区域,
为初边值问题(4)在
内的解,初值
满足(5)式,
,
,
,则对任意的
,存在常数
,使得对任意的
有
(29)
其中
为引理4中所给定的常数。
证明:由于
,那么
,由引理4和引理5可知
(30)
(31)
(i) 如果
,则
↪
,那么存在常数
,使得
由(30)式可得(29)式。
(ii) 如果
,将方程组(4)的第一个方程两边同时乘以
,再在
上对x积分得
(32)
由Young不等式可得
(33)
其中常数
。由Hölder不等式和(31)式有
(34)
其中常数
。由Gagliardo-Nirenberg不等式知,存在一个正常数
,使得
其中
,由于
,故
。再利用Young不等式可得
(35)
再将(35)式带入(33)式,
(36)
其中常数
,故(29)式成立。
定理1的证明 由引理6可知,对任意的
,
是有界的,由Neumann热半群的性质 [17] [18] 可知,存在常数
,使得
(37)
另一方面,由Moser-Alikakos迭代理论 [12] 可知,存在一个常数
,使得
(38)
由(37)和(38)式及引理1可知
,定理1得证。
致 谢
感谢审稿人的审阅及对文章的意见和建议。