1. 模型简介及基本假设
Chemostat系统是一种连续培养微生物的实验装置,可看作简单的湖泊系统或废水处理系统,在研究微生物群落的演变中扮演着十分重要的角色。关于不同类型的Chemostat数学模型的局部稳定性,一些专家 [1] [2] [3] [4] 做了研究。然而,Chemosetat系统的全局稳定性却鲜有专家进行研究。Chemosetat系统的全局稳定性可用来研究系统中营养物质和微生物、微生物之间的相互影响和演化,在微生物培养模型的理论和实验观察中作用显著。非自治单种群Chemostat数学模型描述如下:
(1)
t表示时刻,
表示营养液的浓度,
表示培养皿中微生物的浓度,
表示培养皿中营养液的输入率,
表示培养皿中营养液的稀释率和微生物的移除率,
表示培养皿中微生物对营养液的消耗率。
分别表示初始时刻培养皿中营养液的浓度和微生物的浓度。不难看出,模型中的参数随着时刻t的改变而变化,因此该数学模型为非自治常微分方程组。结合其生物学的实际意义,对于模型中的参数我们给出一些基本要求:
,
关于
连续有界,函数
连续且
。为了确定模型(1)的动力学行为,我们给出如下条件。
(H1) 存在正常数
,使得
. (2)
(H2) 对任意给定的常数M,存在
,使得对任意的
和
和
有
。
(H3) 对任意
,
关于s在
上单调不减。
(H4)
在
上存在,且存在常数
和连续函数
使得
. (3)
其中,
和
关于s和t连续并满足
(4)
(H5)
,使得
。
本文假定营养稀释率与移除率相同,将二维的微分方程降低为一维微分方程,利用微分不等式,最终给出Chemostat系统稳定性的充分条件。
2. 平凡解的局部渐近稳定性和不稳定性
为考察系统(1)的局部渐近稳定性和不稳定性的充要条件,首先给出两个引理。
引理1
是系统(1)的正不变集,其中
。
证明:由
,
,所以
是系统(1)的正不变集。
下面给出关于非自治线性方程的一个很有用的引理。
(5)
引理2 如果(H1)、(H2)、(H3)成立,那么
1) 若
是系统(5)任意初值大于零的解,则存在常数
使得
.
2) 若
是系统(5)任意两个初值大于零的解,则满足
。
定义
,取
为系统(5)满足初值
的一个特解。由引理2知:
定理1如果
,则
(6)
证明:由于
满足微分方程
,根据引理2结论成立。
定理2 如果(H1)、(H2)、(H3)成立,那么系统(1)的满足初始条件
的解
的每个分量以
为上界。
证明:由(6)可知,对任意
,存在
,当
时,
。又由引理2可知
。由
的任意性和引理1可得
。同理可证
。
显然,
是系统(1)的一个平凡解。
下面我们将给出此平凡解局部稳定和不稳定的判据。
定理3 如果(H1)成立,那么
1) 如果
(7)
那么
是系统(1)的渐近稳定的解。
2) 如果
(8)
那么
是系统(1)的不稳定解。
证明:考虑系统(1)的关于平凡解
的变分方程,在不引起混淆的情况下我们仍然沿用原来的记号,
.
该线性方程的基解矩阵可以表示如下:
,
其中
部分是微分方程
的解,注意到
,利用微分方程比较原理可得
.
由假设(H1)可知,再依据条件(7)可知,平凡解是系统的局部稳定的解。显然,当条件(8)成立时,该平凡解是不稳定的。证毕。
3. 非平凡正解的全局部渐近稳定性
为研究在假设(H1)~(H5)和条件(8)成立的情况下,系统(1)有全局渐近稳定的正解,我们引入辅助方程
(9)
显然
是系统(9)的一个不变集。
由条件(8)可知,存在充分小的
的和充分大的
,使得,当
时,有
成立。
即
。
由假设(H4)以及微分中值定理进而可得
,从而
令
,只要选取
,有
. (10)
引理3设
是系统(9)的解,那么存在
使得
。
证明:假设命题不成立,那么对于所有的
有
。从
到t进行积分可得
由(10)式可知
,这与
矛盾。证毕。
引理4 设
是系统(9)的满足初始条件
的解,那么存在
,使得,对所有的
,有
。
证明:由引理(3)可知,存在
,使得
。假设命题不成立,那么存在
,使得
。取
,那么
,而且对所有的
有
。同时,不难发现,
。事实上,如果
,那么对所有的
,有
。于是我们有
这是一个矛盾。于是
。由此进而可得
证毕。
定理4 如果(H1)~(H5)和条件(8)成立,那么系统(9)全局渐近稳定。
证明:设
和
是系统(9)的两个满足初值
的解,记
。于是
这里
介于
和
之间,由引理4可知存在
,使得当
时,
。
介于
和
之间,由引理2可知,
,令
,于是
。
由比较原理可得:
.
利用假设可知,
,于是我们有,
。从而证明了系统(9)的全局吸引性。
方便起见,我们设
为系统(9)的一个满足初始条件
的特解。于是,我们有如下引理。
引理5 如果(8)成立,那么对于充分大的
下列不等式成立
.
证明:我们首先证明不等式
不成立。事实上,如果这个不等式成立,那么,
利用微分不等式和假设(H1),我们可以得到
于是,
,然而,另一方面,
,这和
,矛盾。于是存在充分大的
使得
成立。我们说,对于所有t满足
都有
成立。不然,存在
使得
。于是存在
,使得
且
然而,另一方面,我们有
矛盾。证毕。
定理5
是系统(1)全局渐近稳定的解,即:
,
.
证明:显然,
是系统(1)的正解。
由定理1可知,
,因此只需要证明
即可。事实上,令
,系统(1) 可等价于如下系统
(11)
显然,
是上述系统第一个方程的一个特解,把
代入第二个方程可得,
(12)
由定理3可知
。证毕。
4. 结论与讨论
Chemosetat系统的全局稳定性可用来研究系统中营养物质和微生物、微生物之间的相互影响和演化,对微生物培养模型的理论和实验观察意义明显。本文首先研究了一类非自治单种群Chemostat系统的动力学行为,并假定营养稀释率与移除率相同,从而将二维的微分方程降低为一维微分方程,最后利用微分不等式等工具得到了Chemostat系统全局吸引的充分条件。
在实际的工作和应用中,营养稀释率和移除率相同的假设有时并不满足。如果两者不相同,系统的稳定性仍有进一步研究的价值,感兴趣的学者可以研究如下系统(13)的全局渐近稳定性。
(13)
此外,两种群竞争Chemostat系统的动力学行为也是一个值得进一步研究的问题。
近年来,很多学者 [5] - [14] 开始考虑随机微分方程的建模方法。本文的研究方法和结论是否可以推广到随机模型,随机模型和确定型模型结论的一致性等问题都十分值得研究。而本文的研究将对上述几个问题的研究提供有益的参考。
基金项目
新疆维吾尔自治区青年科技创新人才培养项目(2017Q087),新疆维吾尔自治区高校科研计划自然科学项目(XJEDU2021Y048)。
NOTES
*通讯作者。