1. 引言
设C是亏格为
的光滑射影曲线,令
是C上秩为r次数为d且具有固定行列式
的稳定向量丛的模空间。已知模空间M是一个光滑的拟射影Fano簇,且有
,
[1],此处
是一个丰沛除子。
作为Fano簇,模空间M里的一条有理曲线是指一个非常值态射
,若
,则称该曲线为k次有理曲线。Narasimhan和Ramanan [2] 研究了Hecke闭链的基本性质及秩为2的向量丛模空间中的Hecke曲线。Sambaiah Kilaru [3] 研究了亏格
的光滑射影曲线上秩为2且具有固定行列式的模空间中的1次和2次曲线空间。Ana-Maria Castravet [4] 研究了秩为2、次数为1且具有固定行列式的
模空间中任意k次有理曲线空间。Hwang [5] 根据 [2] 指出了Hecke曲线的次数为
,并提出了问题:
Hecke曲线是否是过M一般点的极小有理曲线?反之,一条过M一般点的极小有理曲线是否必为Hecke
曲线?孙在 [6] 中证明了当
时,模空间M中任意过一般点的有理曲线次数至少为
,且除
且d为偶数的情形外,次数为
当且仅当有理曲线为Hecke曲线。当
且d为偶
数时,刘敏 [7] 证明了对于M中的每一点
,都有过
点的不同于Hecke曲线的直线通过。Mok Ngaiming和孙 [8] 给出了Hecke曲线的一般的构造方式,对任意r和任意d确定了M中的全部直线。
孙在 [6] 中证明了任意一条有理曲线
都可由直纹面
上的一个向量丛E所定义,并给出了
的次数与E的陈类之间的关系
。
设有理曲线
由向量丛E所定义,
,
为自然投射。如果E在一般纤维
上为半稳定的,与
上某个合适线丛的拉回作张量,我们可假设E在一般纤维上的限制形如
。对于有理曲线
的定义向量丛E,必
使得
不同构于
,称
为跳跃直线,且只有有限多条 [6],从而存在C的有限子集S和向量丛V满足正合列
,
其中
是
上的向量丛,这样定义的有理曲线称为Hecke型曲线( [6] [9])。特别地,当S只含一个点p且
时,即向量丛E满足正合列
,
称由这样的向量丛E所定义的有理曲线为Hecke曲线。
代数簇上的有理曲线是代数几何的一个重要研究课题,稳定向量丛的模空间是一类非常重要的代数簇,研究模空间里的有理曲线不仅有助于研究模空间的性质,也可为研究一般代数簇里的有理曲线提供启发。本文第二节研究了Hecke型有理曲线的次数与其定义向量丛E在跳跃直线上的分裂情况的关系。对只有一条跳跃直线的情况证明了:
命题2.5 若直纹面X上向量丛E仅有一条跳跃直线
,且
,则其定义的有理曲线的次数为
。
并对有多条跳跃直线的情况进一步得到了一般结论(推论2.6)。同时研究了Hecke型有理曲线的次数与其
跳跃直线数量之间的关系,得到了当
时,向量丛E至多有a条跳跃直线(命题2.7)。第
三部分给出了一些Hecke型有理曲线的例子。
2. Hecke型有理曲线
令
,
为投射,曲线
由X上的向量丛E所定义。设E在一般纤维
上的形式为
,
该n元数组
称为E的一般分裂型。
引理 [6] 2.1 直纹面
上任意具有一般分裂型
的秩为r的局部自由层
,有
,且
当且仅当
,其中V为C上的局部自由层。
引理2.2 若直纹面X上向量丛E的一般分裂型为
,则有
。
证明首先,E作为
上的向量丛,有
。
因为E的一般分裂型为
,所以存在线丛
使得
。
于是有
。□
设
为E的一条跳跃直线,
,则有
不同于
。对向量丛E沿其跳跃直线
作初等变换,取F为态射
的核,则有正合列
。 (1)
注2.3 若
时,有
。
引理 [6] 2.4
,
。
证明对(1)式,由正合列上陈类多项式的计算有
,
。□
若向量丛E仅有一条跳跃直线
,且
,对向量丛E沿其跳跃直线
作初等变换,取
为自同态
的核,则有下正合列
,
此时
。继续对向量丛
沿
作初等变换,有
,
此时
。不断对其沿
进行初等变换直至
,
则有一系列正合列
(2)
其中V为C上的局部自由层。
命题2.5 若直纹面X上向量丛E仅有一条跳跃直线
,且
,则其定义的有理曲线的次数为
。
证明 通过对向量丛E沿
进行初等变换可得一系列正合列,即(2)式,由引理2.4,有
。
再由引理2.2,有
,
。□
推论2.6 设
为E的所有跳跃直线,且
,则由E定义的有
理曲线的次数为
。 (3)
特别地,对
次Hecke型有理曲线,此时有
,仅有一条跳跃直线
,若
,此时不妨取
,对向量丛E沿其跳跃直线
作初等变换至
,该过程向量丛E的二阶陈类减小,必有
,因为
,必有
,即向量丛E满足正合列
,
其定义的曲线
为Hecke曲线,与 [6] 中Hecke曲线的次数一致。
命题2.7 设E为
上的向量丛且一般分裂型为
,若
,
,则向量丛E至多有a条跳跃直线,且若E恰有a条跳跃直线
,则
。
证明 因为
,所以可设
为向量丛E的所有跳跃直线,且设
。由推论2.6,可得
。
由引理2.1,必有
,
(否则,若存在
使
,不妨取
,沿着
作初等变换直至得到向量丛
,使得对
,
,则有
,与引理2.1矛盾)。当
时,有
,
因此
,即至多有a条跳跃直线。且若有a条跳跃直线,即
时,
,即
。□
命题2.7’ 设
是一条Hecke型有理曲线,若其定义向量丛E有a条跳跃直线,则该曲线的次数至少为
。
3. Hecke型有理曲线的例子
由推论2.6可知模空间M上Hecke型有理曲线的次数k满足
。 (4)
例3.1 对
的情况,下述其仅有一条跳跃直线
时在其跳跃直线上的分裂情况。由推论2.6,向量丛有下列分裂形式:
A.
,
B.
,
C.
。
对情形A,
,其中
,
,
。
对情形B,
,其中
,
,
。
对情形C,
,其中
,
,
。
定义3.2 C上的向量丛V称为
半稳定的(
稳定的),若对任意的真子丛
,有
。
回忆Hecke型曲线的构造,对任意
稳定的向量丛
,令
为包含过每个纤维原点的直线的射影丛,对
,
,有正合列
,
其中
为
的一维子空间。通过下列正合列定义向量丛
, (5)
其中
表示
中被
零化的
维子空间,且
。令
为内射
在p处的纤维所诱导,
的核
为
的一维子空间。对
,通过下列正合列定义向量丛
, (6)
这里
表示零化l的超平面。由
且
稳定及(5) (6)式,
为秩为r次数为
的稳定向量丛,即
为秩为r次数为d的稳定向量丛。因为
及(5)式有
,即
为一族被
参数化的秩为r次数为d且具有固定行列式
的稳定向量丛,给出了态射
。 (7)
由 [2] 知
为闭浸入且
。当
时,
,若有理曲线
过点
,则
在
下的像为M中过点
的有理曲线。
命题3.3 如果
为一条k次有理曲线,则
为M中的一条
次有
理曲线。
证明 因为
为k次有理曲线,所以
,记
,则
,
即
为M中
次有理曲线。□
引理3.4 令
为P中
次有理曲线的
次覆盖,则
满足
,其中
。
证明 令
为P的具有诱导概型结构的子簇,
为其正规化,
为
次有理曲线,
为
次态射满足
。因此
,
即有
。□
由引理我们得到下边更一般的结论。
命题3.5 若
为一条
次有理曲线的
次覆盖,则
为M中的一条
次有理曲线,其中
。