1. 引言
在过去的30年里,随机过程在数学金融的应用中得到了广泛的研究,除了随机过程的随机性外,还具有波动不确定性,这意味着波动率不是精确已知的,2007年,Peng [1] 引入了特殊的新的次线性期望——G-期望,G-期望是由生成元函数为G的非线性抛物型偏微分方程的解定义的,他在G-期望框架下定义了G-正态分布和G-布朗运动,G-布朗运动非平凡地推广了经典运动。简而言之,G-布朗运动是在给定次线性期望下,具有独立且平稳增量的连续过程,可来模拟这种波动不确定性。自2007以来,G-期望和G-布朗运动相关理论取得了重大进展。2008年,Peng [2] 证明了次线性期望下的大数定律和中心极限定理,并定义了关于G-布朗运动的伊藤积分。之后,Peng [3] 得到了G-伊藤公式,证明了G-布朗运动驱动的随机微分方程(简称G-SDEs)和G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程(简称G-BSDEs)解的存在唯一性。此后,G-期望空间和G-伊藤积分的应用得到了许多研究者的广泛研究。Yang和Zhao [4] 介绍了G-期望下的G-布朗运动和G-正态分布的模拟,Chai [5] 研究了G-框架下随机微分方程的期权定价问题。虽然G-布朗运动解决了许多金融问题,但一些依赖莱维过程的金融模型仍然没有解决。因此,Peng和Hu [6] 研究了G-莱维过程,这是G-布朗运动的推广。Krzysztof [7] 对G-莱维过程引入了G-伊藤公式和G-鞅表示。王 [8] 研究了G-期望下的G-Jensen不等式。王 [9] 研究比较定理与G-期望下的亚洲期权定价。康 [10] 研究了G-期望下的布朗运动鞅表示定理。
20世纪70年代,随着金融市场的飞速发展,金融领域的定价问题广泛引起人们的兴趣。而期权定价问题的研究更是受人关注,特别是Black和Scholes得出欧式看涨期权的显示解。布莱克–斯科尔斯定价公式得到广泛应用,但是定价公式本身的一些假设与现实存在一定出入。随后,著名的布莱克–斯科尔斯公式受到了许多学者的重视。1976年,在假设利率为常数的条件下,Merton [11] 提出了股票价格的对数跳扩散模型,该模型被描述为布朗运动和复合泊松过程的结合。自此,关于带跳扩散的其它期权方面的研究也屡见不鲜。而随着G-期望的迅速发展,G-框架下的欧式期权定价公式也得到了众多学者的关注,2010年,Xv [12] 等人给出了G-几何布朗运动描述的资产价格变动,得到了欧式看涨期权定价公式。2014年,Lu和Liu [13] 利用G-几何布朗运动描述的资产价格变动,进而得到G-框架下的欧氏幂期权的定价公式。2021年,Xin和Zheng [14] 给出了G-莱维下的布莱克–斯科尔斯定价公式,并给出相关模拟。关于G-期望下的数值模拟的更多细节可参考 [15] 及其参考文献。
本文主要对G-期望下的相关理论做了进一步的研究,我们考虑股票价格
,令:
其中
是利率,
是波动率,
是资产价格的跳跃范围,在G-框架下,
是G-布朗运动,
是G-Lévy过程。
本文其它部分构成如下:在第二节中,我们给出G-期望框架下的相关概念,第三节中我们对G-Lévy过程下提出的Black-Scholes方程定理,并进行证明,最后,我们对我们的成果进行了总结。
2. 预备知识
G-随机分析
本章中,主要给出G-随机分析的一些基本相关知识,设
为给定集合,设
为
上定义的实值函数的线性空间,假设对于任意的常数C满足
,如果
,则
,空间
被看作是一个随机变量组成的线性空间。
定义2.1.1 [3] (次线性期望)一个非线性期望
是定义在随机变量空间
上,并满足以下条件的一个泛函
单调性:
,如果
且
。
保常性:
。
次可加性:
,
。
正齐次性:。
被称为次线性期望空间。
定义2.1.2 [3] (分布函数)设
。在
上设
:
其中
,我们称
为随机变量X的分布函数。
定义2.1.3 [3] (同分布)设
和
,当且仅当
记作
。
定义2.1.4 [3] (相互独立)设
,
,称X与Y独立,当且仅当
定义2.1.5 [3] (G-正态分布)在
上,记随机变量X服从标准G-正态分布,其中
,若满足
这里
是独立于X的随机变量. 其中
,并且
。
这里字母G表示函数
其中是单调的线性泛函,
表示由d维对称矩阵构成的集合,则存在有界闭凸子集
,使得
下面我们给出G-布朗运动的定义。
定义2.1.6 [3] (G-布朗运动)设
是定义在
上的一个d维过程,满足下列性质
1)
;
2)
,
和
是同分布的,
独立于
,
;
3)
和
;
则
为G-布朗运动。
注:记新的G-布朗运动
,其中
,
定义2.1.7 [3] (G-Lévy过程)设
为次线性期望空间
上的d维可料过程。如果
满足以下性质,则称
为G-Lévy过程。
;
独立增量:
,增量
是独立的;
平稳增量:增量
的分布是稳定的,不依赖于t;
对于每个
,
,
是个连续过程,
是个跳过程;
两个过程
和
满足以下条件
,
,对所有的
。
引理2.1.1 [3] (G-伊藤公式)假设
是m维G-布朗运动。设
是有界的,导数也是有界的,并且
是一致的Lipschitz函数。
是给定的,
是
的第i个分量
其中
是
的第i个元素,
和
分别是是
和
的第i行、第j列元素。设
是m维G-布朗运动和
是G-Lévy跳过程,我们有
3. G-Lévy过程下的Black-Scholes公式
在本节中,我们考虑以下股票价格
,使:
(1)
其中
是利率系数,
是波动率系数,
是资产价格的跳跃系数,
是G-布朗运动,
是G-框架下的G-Lévy过程。
在本小节中,将结合G-伊藤公式和泰勒公式,证明得到G-Lévy过程下的Black-Scholes偏微分方程。
定理3.1 (Black-Scholes公式):假设
是期权价格,
是股票价格。对于式(1),我们可以得到G-Lévy过程下的积分偏微分方程(integral-PDE)过程
其中
,
。
证明:我们在
上定义时间分割,
,
。令函数
是足够光滑的,
和
,利用G-伊藤公式,可以得到式(1)的显式解:
(2)
在G-期望空间中,我们有以下乘积法则:
那么,期权定价公式如下形式:
(3)
接下来,我们介绍G-Lévy过程下的布莱克–斯科尔斯模型。用泰勒公式对
进行展开,我们有
(4)
将式(2)代入式(4)可得
(5)
其中
对
在
处进行泰勒展开得
由
的泰勒展开和(5)可得
因为对
,我们有
所以
将上式代入方程(3),我们可得
将上式代入(5)得
其中
和
是无风险利率,根据G-期望的性质和
和
,可得
其中
.由此,得到积分偏微分方程:
定理即证。
4. 总结
本文考虑在G-期望框架下,利用G-伊藤公式和G-期望等性质,对于G-布朗运动和G-莱维过程共同驱动的线性随机微分方程,严格得到了Black-Scholes公式并给出了证明,和从传统的期权定价公式相比较,考虑在更一般的非线性期望(G-期望)理论下,能够更好的描述复杂的金融市场,利用G-伊藤公式和Taylor公式,结合G-Lévy过程(G-布朗运动和G-跳过程)的随机分析理论,得到G-布朗运动和G-跳过程共同驱动的随机微分方程的Black-Scholes公式,对于后续在金融期权等相关领域具有重要的研究意义和应用价值。