正相协相依样本下分布函数的经验似然统计推断

Empirical Likelihood Statistic Inference for Distribution Function for PA Dependent Samples

摘要: 本文将在正相协相依样本下，利用分组经验似然比方法，构造分布函数的置信区间。

Abstract: This paper studies distribution function by group empirical likelihood method under strongly sta-tionary PA random sample. And we develop empirical likelihood ratio method to construct ap-proximate confidence regions for distribution function.

1. 引言

Joag-Dey和Proschan (1983, [1] )提出了PA (positive associate)随机变量在可靠性理论和多元统计分析中有广泛的应用。经验似然是由Owen (1988)提出的一种非参数推断方法 [2] [3] ，其有类似Bootstrap的抽样特性。这一方法与传统的统计方法比较有很多优点。比如：用经验似然方法构造置信区间拥有域保持性，变换不变性，置信域的形状由数据自行决定，以及Bartlett纠偏性和无需构造轴统计量等等。因而在相依情形下，经验似然方法研究成果少见 [4] - [10] ，尤其在PA相依样本见之甚少。目前，关于分布函数的研究多数局限于非参数核方法。本文将尝试在PA相依样本下，攻克普通经验似然方法的缺陷，重新利用分组经验似然方法，构造未知的分布函数置信区间。首先给出PA序列概念。

定义1： [1] 称随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ ( $n\ge 2$ )是PA的，如果对于集合 $\left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ 的任何两个不相交的非空子集 $A_1$ 和 $A_2$ ，都有

$Cov\left(f_1\left(X_i,i\in A{}_1\right),f_2\left(X_j,j\in A{}_2\right)\right)\ge 0$

此处， $f_1$ 与 $f_2$ 是任何两个使得协方差存在的对每个变量均非降(或非升)的函数。称随机变量序列 $\left\{X_i,i\in N\right\}$ 是PA序列，如果对任何 $n\ge \text{2}$ ，随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ ( $n\ge 2$ )都是PA (正相协)的。

若 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为来自总体 $X$ 的正相协样本，由于 $E{I}_{\left\{X_i\le x\right\}}=F\left(x\right)$ ，

经验似然 $R\left(F\left(x\right)\right)=\sup \left\{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}n{w}_i,w_i\ge 0,{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i=1,{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i{I}_{\left\{X_i\le x\right\}}=F\left(x\right)}}}\right\}$

对数经验似然为 $l\left(F\left(x\right)\right)=-2\log R\left(F\left(x\right)\right)=2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\log \left(1+s\left[I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right]\right)}$ 。

此处 $s\in R^1$ ，且满足 $K\left(s\right)=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)}{1+s\left[I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right]}}=0$ 。

2. 主要的结论及其证明

条件：

1) $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是来自总体的强平稳PA样本；

2) 令 $u_n=\underset{k}{\sup }{\displaystyle \underset{j:|j-k|\ge n}{\sum }Cov}\left[\left(I_{\left\{X_j\le x\right\}}-F\left(x\right)\right),\left(I_{\left\{X_k\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)\right]<\infty$ ，若对某个 $r>2$ ，满足 $u_n=O\left(n^{\frac{-\left(r-2\right)}{2}}\right)$ ，

3) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{\infty }{\sum }}Cov}\left[\left(I_{\left\{X_1\le x\right\}}-F\left(x\right)\right),\left(I_{\left\{X_{1+}{}_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)\right]<\infty$ ；

定理1：如果上述条件成立，我们有

$l\left(F\left(x\right)\right){\to }_d\frac{A^2}{{\sigma }^2}{\chi }_{\left(1\right)}^2,n\to \infty$ 。

此处 $A^2=Var\left[I_{\left\{X\le x\right\}}-F\left(x\right)\right]+2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{\infty }{\sum }}Cov}\left[\left(\left(I_{\left\{X_1\le x\right\}}-F\left(x\right)\right),\left(I_{\left\{X_{1+}{}_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)\right)\right]$ ， ${\sigma }^2=Var\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)$ 。

然而 $A^2$ 和 ${\sigma }^2$ 未知，定理1的结果不能应用，为了攻克这一缺陷，下面利用分组经验似然方法，重新构造经验似然比函数。

记 $m=\left[n^{\alpha }\right],g=\left[\frac{n}{2m}\right]$ ，其中 $[\cdot ]$ 表示取整， $0<\alpha <\frac{1}{2}$ 为简单起见，使 $n=2mg$ 。

令 ${\xi }_i={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\left[I_{\left\{X_{{}_{2\left(i-1\right)m+j}}\le x\right\}}-F\left(x\right)\right]}$ ${\eta }_i={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\left[I_{\left\{X_{{}_{\left(2i-1\right)m+j}}\le x\right\}}-F\left(x\right)\right]}$ $Y_{2i-1}=\frac{{\xi }_i}{m},Y_{2i}=\frac{{\eta }_i}{m}$ (对任意的 $i=1,2,\cdots ,g$ )

由于 $\left\{X_i|i\ge 1\right\}$ 的强平稳性， $Y_i\left(i=1,\cdots ,2g\right)$ 有共同分布函数 $G$ ，对应经验分布函数 $G_{2g}$ 。分组经验似然比为 $R^{\prime }\left(F\left(x\right)\right)=\sup \left\{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2g}{\prod }}2g{P^{\prime }}_i|{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2g}{\sum }}{P^{\prime }}_i=1,{P^{\prime }}_i\ge 0,{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2g}{\sum }}{P^{\prime }}_i\sqrt{m}{Y}_i=0}}}\right\}$ 。

对数经验似然比为 $l^{\prime }\left(F\left(x\right)\right)=-2\log R^{\prime }\left(F\left(x\right)\right)=2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2g}{\sum }}\log \left(1+\lambda \sqrt{m}{Y}_i\right)}$ 。

此处 $\lambda \in R^1$ 且满足 $K^{\prime }\left(\lambda \right)=\frac{1}{2g}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2g}{\sum }}\frac{\sqrt{m}{Y}_i}{1+\lambda \sqrt{m}{Y}_i}}=0$ 。

定理2：在定理1的条件下，我们有 $l^{\prime }\left(F\left(x\right)\right){\to }_d{\chi }_{\left(1\right)}^2$ ， $n\to \infty$ 。

利用定理2，当样本 $n$ 比较大时，可构造未知的分布函数 $F\left(x\right)$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的渐近置信区域： $P\left(F\left(x\right)|l^{\prime }\left(F\left(x\right)\right)\le C_{\alpha }\right)\approx 1-\alpha$ ，其中 $C_{\alpha }$ 为 ${\chi }_{\left(1\right)}^2$ 分布的上 $\alpha$ 分位点，例如 $\alpha$ 取0.05或0.01。

引理1：记 $Z_n=\underset{1\le i\le n}{\max }\left|\left[E{I}_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right]\right|$ ，有 $Z_n=o_p\left(n^{\frac{1}{2}}\right)$ 。

证明：由于 $\left[E{I}_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right]$ 有界，易得

$Z_n=\underset{1\le i\le n}{\max }\left|\left[E{I}_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right]\right|=o_p\left(n^{\frac{1}{2}}\right)$ 。

引理2： [7] 若 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为PA变量，有 $\left|X_j\right|\le C$ ，且 $E{X}_j=0$ ， $j=1,\cdots ,N$ 。令 $S_n={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{X}_j}$ ， $u_n=\underset{k}{\sup }{\displaystyle \underset{j:\left|j-k\right|\ge n}{\sum }Cov\left(X_j,X_k\right)}$ ，假设对某个 $r>2$ ， $u_n=O\left(n^{\frac{-\left(r-2\right)}{2}}\right)$ ，则

$\underset{m\in N\cup \left\{0\right\}}{\sup }E{\left|S_{m+n}-S_n\right|}^r\le C{n}^{\frac{r}{2}}$ 。

引理3： [11] 设 $\left\{X_i|i\ge 1\right\}$ 是强平稳PA序列，并且 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{\infty }{\sum }}Cov}\left(X_1,X_{1+i}\right)<\infty$ ，假定 $E{X}_1=0$ ， $E{\left|X_1\right|}^2<\infty$ ，则 $A_0{}^2=E{X}_1^2+2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{\infty }{\sum }}E\left(X_1{X}_{1+i}\right)}$ 收敛，且有

$\underset{-\infty <x<\infty }{\sup }\left|P\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{n}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{X}_i}}{A_0}<x\right)-\Phi \left(x\right)\right|\to 0$ ，其中 $\Phi \left(x\right)$ 为标准正态分布。

引理4：设 $\left\{X_i|i\ge 1\right\}$ 是强平稳PA序列，则有 $\frac{1}{2g}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2g}{\sum }}m{\left(Y_i\right)}^2=A^2}+o_p\left(1\right)$ 。

其中 $A^2=Var\left[I_{\left\{X\le x\right\}}-F\left(x\right)\right]+2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{\infty }{\sum }}Cov}\left[\left(I_{\left\{X_1\le x\right\}}-F\left(x\right)\right),\left(I_{\left\{X_{1+}{}_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)\right]$ 。

证明：令 $S_2=\frac{1}{2g}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2g}{\sum }}m{\left(Y_i\right)}^2}$ ，利用引理2和条件2有

$\begin{array}{c}E{\left(S_2{}^{\prime }-E{S}_2{}^{\prime }\right)}^2={\left(\frac{m}{2g}\right)}^{2}E{\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2g}{\sum }}\left({\left(Y_i{}^{\prime }\right)}^2-E{\left(Y_i{}^{\prime }\right)}^2\right)}\right]}^2\\ \le C\left(\frac{m^2}{2g}\right)E{\left(Y_i\right)}^4\\ \le C\frac{m^2}{2g}\frac{E{\left|I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right|}^4}{m^2}\\ \le \frac{C}{2g}E{\left|I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right|}^4\to 0\end{array}$

此处 $C$ 为某个正常数，不同的地方 $C$ 取值可不同。

因此有 $S_2=E{S}_2+o_p\left(1\right)$ 。

由于 $\begin{array}{c}E{S}_2=\frac{m}{2g}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2g}{\sum }}E{\left(Y_i\right)}^2}=mE{\left(Y_i\right)}^2=\frac{1}{m}E{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{I}_{\left\{X_i\pounds x\right\}}-F\left(x\right)}\right)}^2\\ =\frac{1}{m}\left\{\begin{array}{l}mVar\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)+2m{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m-1}{\sum }}Cov\left[\left(I_{\left\{X_1\le x\right\}}-F\left(x\right)\right),\left(I_{\left\{X_{1+i}\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)\right]}\\ -2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m-1}{\sum }}iCov\left[\left(I_{\left\{X_1\le x\right\}}-F\left(x\right)\right),\left(I_{\left\{X_{1+i}\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)\right]}\end{array}\right\}\\ =Var\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)+2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m-1}{\sum }}Cov\left[\left(I_{\left\{X_1\le x\right\}}-F\left(x\right)\right),\left(I_{\left\{X_{1+i}\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)\right]}\\ -\frac{2}{m}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m-1}{\sum }}i}Cov\left[\left(I_{\left\{X_1\le x\right\}}-F\left(x\right)\right),\left(I_{\left\{X_{1+i}\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)\right]\end{array}$

利用引理3和文献 [12] 知 $E{S}_2=A^2+o\left(1\right)$ 。

综上可得 $S_2=E{S}_2+o_p\left(1\right)=A^2+o\left(1\right)+o_p\left(1\right)=A^2+o_p\left(1\right)$ 。

定理1的证明：

由于

$P\left\{\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)<0\right\}\ge \epsilon >0,P\left\{\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)>0\right\}\ge \epsilon >0$ ， (3.1)

这表明0是集合 $\left\{I_{\left\{X_1\le x\right\}}-F\left(x\right),1\le i\le n\right\}$ 所构成的凸包的内点，

因此 $R\left(F\left(x\right)\right)=\sup \left\{R\left(F\right)|{\displaystyle \int I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\text{d}F=0,F\ll F_n}\right\}$ 存在为正。 (3.2)

观察到 $R\left(F\left(x\right)\right)=\sup {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}n{w}_i}$ ， (3.3)

对上式右端对 $w_i$ 求上确界时，满足 $w_i\ge 0,{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i}=1,且{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i}\left[I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right]=0$ 。

利用拉格朗日乘子法，可得 $w_i=\frac{1}{n\left(1+s\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)\right)},1\le i\le n$ 。 (3.4)

此处 $s\in R^1$ ，且满足

$h\left(s\right)=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)}{1+s\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}}=0$

$\begin{array}{c}0=\left|h\left(s\right)\right|=\frac{1}{n}\left|{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(I_{\left\{X_{ii}\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{s{\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}^2}{1+\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}}}\right|\\ \ge \frac{\left|s\right|\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}^2}}{1+\left|s\right|Z_n}-\left|\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}\right|\end{array}$ (3.5)

再利用引理3知： $\frac{\left|s\right|}{1+\left|s\right|Z_n}={{\rm O}}_p\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ ，利用引理2得 $s={{\rm O}}_p\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ 。(3.6)

令 ${\gamma }_i=s\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right),s$ 满足 $h\left(s\right)=0$ ，

利用(3.6)式及引理1知： $\underset{1\le i\le n}{\max }\left|{\gamma }_i\right|={{\rm O}}_p\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)o_p\left(\sqrt{n}\right)=o_p\left(1\right)$ 。 (3.7)

则有 $\begin{array}{c}0=h\left(s\right)=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}{1+s\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}}\\ =\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}{1+{\gamma }_i}}\\ =\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}\left(1-{\gamma }_i+\frac{{\gamma }_i^2}{1+{\gamma }_i}\right)\\ =\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)-s\frac{1}{n}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}^2}\\ +\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}\frac{{\gamma }_i^2}{1+{\gamma }_i}\end{array}$ 。

令 $s=\frac{\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}}{\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}^2}}+\beta ,$ 利用(3.6)，(3.7)式和引理4可得

$\beta =\frac{\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}^3{s}^2}}{\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}^2\left(1+{\gamma }_i\right)}}=o_p\left(\sqrt{n}\right){{\rm O}}_p\left(\frac{1}{n}\right)=o_p\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ 。

借助Taylor展开，我们有 $\log \left(1+{\gamma }_i\right)={\gamma }_i-\frac{{\gamma }_i^2}{2}+{\eta }_i$ ，对某正数 $G$ 有

$P\left\{\left|{\eta }_i\right|\le G{\left|{\gamma }_i\right|}^3,1\le i\le n\right\}\to 1,n\to \infty$ 。

则有

$\begin{array}{c}l\left(F\left(x\right)\right)=-2\log R\left(F\left(x\right)\right)=2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\log \left(1+{\gamma }_i\right)}=2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\gamma }_i}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\gamma }_i^2}+2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\eta }_i}\\ =2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(\frac{\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}}{\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}^2}}+\beta \right)}\left(\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)\right)\\ -{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(\frac{\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}}{\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}^2}}+\beta \right)}}^2{\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}^2+2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\eta }_i}\\ =\frac{\frac{2}{n}\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}^2}\right)}{\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}^2}}+2\beta {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}-\frac{\frac{1}{n}{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}\right)}^2}{\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}^2}}\\ -2\beta {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)-{\beta }^2}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}^2}+2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\eta }_i}\end{array}$

$=\frac{n{\left(\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}\right)}^2}{\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}^2}}-n{\beta }^2\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)}^2+2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\eta }_i}}\stackrel{\wedge}{=}{I}_1+I_2+I_3$ 。 (3.8)

再利用引理3知： $I_1{\to }_d\frac{A^2}{{\sigma }^2}{\chi }_{\left(1\right)}^2$ ， $n\to \infty$ 。 (3.9)

由条件得： $I_2=o_{{}_p}\left(1\right)$ 。 (3.10)

又由(3.6)和引理2得 $\left|2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\eta }_i}\right|\le 2B{\left|s\right|}^3{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left|\left(I_{\left\{X_i\le x\right\}}-F\left(x\right)\right)\right|}^3}=o_p(1)$

其中 $B$ 为某个正数，故有 $I_3=o_p\left(1\right)$ 。 (3.11)

综合(3.9)~(3.11)式便得 $l\left({\theta }_0\right){\to }_d\frac{A^2}{{\sigma }^2}{\chi }_{\left(1\right)}^2$ ， $n\to \infty$ 。 (3.12)

定理2的证明：

只需证明 $l^{\prime }\left(F\left(x\right)\right)=-2\log R^{\prime }\left(F\left(x\right)\right){\to }_d{\chi }_{\left(1\right)}^2$ $n\to \infty$ 。 (3.13)

观察到 $R^{\prime }\left(F\left(x\right)\right)=\sup {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2g}{\prod }}2g}{P}_i{}^{\prime }$ ，对上式右端对 $P_i{}^{\prime }$ 求上确界时，

满足 ${P^{\prime }}_i\ge 0,{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2g}{\sum }}{P}_i{}^{\prime }}=1,{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2g}{\sum }}{P}_i{}^{\prime }}\sqrt{m}{Y}_i=0$ 。

借助拉格朗日乘子法得 $P_i=\frac{1}{2g\left(1+\lambda \sqrt{m}{Y}_i\right)},1\le i\le 2g$ ， (3.14)

此处，且满足。

利用引理1证明得。 (3.15)

有。 (3.16)

。 (3.17)

展开得 (3.18)

此处。

利用引理4得。 (3.19)

利用(3.18)及(3.19)式得。 (3.20)

又由引理1，引理2，(3.17)及(3.20)式知。记。

利用(3.17)和(3.18)式得：。 (3.21)

又展开可得

。

记，有。 (3.22)

利用引理4和(3.18)式得

。 (3.23)

又利用(3.21)，(3.22)和(3.24)式得

。 (3.24)

利用(3.23)式并利用Taylor展开式，则有

(3.25)

此处。

利用引理3及引理4，得，。 (3.26)

利用(3.24)式得。 (3.27)

利用(3.18)和(3.24)式得，

从而可得。 (3.28)

综上(3.25)~(3.28)式得，。 (3.29)

基金项目

本论文得到广东省自然科学基金项目资助(2016A030313812; 2018A030307070)。