关于等周型不等式的探索

Exploration on the Isoperimetric Inequalities

摘要: 等周不等式是最古老的几何不等式之一并且被广泛地应用于学术研究和日常生活中。本文探索了等周型不等式的历史发展过程，以及近年来国内外关于等周型不等式的发展情况。此外，本文还对等周型不等式的未来发展趋势进行了合理的展望和探讨。

Abstract: The isometric inequality is one of the oldest geometric inequalities and is widely used in academic research and our daily life. This paper explores the historical development process of the iso-type inequalities and the development of the iso-type inequalities in recent years. In addition, this paper also makes a reasonable outlook and discussing on the future development trend of the iso-type inequalities.

1. 引言

不等式是数学中非常重要的组成部分，很多复杂的数学问题需要借助不等式进行简化才能得以顺利求解。作为不等式家族的重要成员，几何不等式一直备受关注。一方面是由于很多几何不等式的证明都颇具挑战性，建立需要较强的数学技巧，另一方面是由于几何不等式往往都具有非常优美的表现形式和直观的几何意义。

20世纪80年代杨路、张景中等教授对几何不等式研究的一系列开创性的工作成果，将我国几何不等式的研究推向高潮，涌现出一大批高产高水平的作者群，如杨学枝、陈计、王振等等。无论是就数量而言还是就研究水平而言，在国际上都可以说是处于领先地位。特别是中国科学院成都计算机研究所杨路研究员研究开发的不等式型机器证明软件BOTTEMA问世以来，借助这种软件可以发现并证明上千个新的几何不等式。这些开拓性的工作，更是在国际上处于领先地位 [1] 。

最早的几何不等式应该是著名的等周不等式，该不等式具有悠久的历史。等周问题最早由著名数学家Joham Beynoulli在1679年提出，从等周定理的提出到现在，人们关于等周问题的研究与讨论从未停止过，研究成果不断的推陈出新，使得等周型不等式的研究领域欣欣向荣，可以说等周定理是数学史上被证明次数最多的定理之一。

等周不等式还被广泛地应用于学术研究和生产生活中。一方面，20世纪数学已经确认具有几何背景的不等式的力量已经上升到了一个全新的高度。等周型不等式作为几何不等式的一个重要分支，在几何问题的研究中，贯穿于二维欧式平面、n维欧式空间、非欧平面、常曲率平面、黎曼流形空间以及仿射空间等其他情形，其形式的灵活性为几何不等式的研究注入源源不断的养分，使得人们对于等周问题的研究绵延不绝。另一方面，积分几何的发展使得等周型不等式成了为概率论、积分学、几何学等学科分支的联系纽带，对加强数学研究工作的整体性具有不可忽视的作用。

从实用性的角度来看，在数学家正式提出等周定理之前，人类乃至动物界已经在不自觉地使用这个定理了，比如：人们使用定长的绳子圈地的过程中，当绳子以圆形的方式圈地时，得到的土地面积最大 [2] ；在寒冷的冬季，人类或者动物会缩成一团，为的就是在体积一定的情况下，尽量缩小自己的表面积，减小热量的损失 [3] ；在物理中，等周不等式问题和跟所谓的最小作用量有关，一个直观的表现就是水珠的形状，在没有外力的情况下(如失重的太空舱里)，水珠的形状是完全对称的球体，这是因为当水珠体积一定时，表面张力会迫使水珠的表面积达到最小值，根据等周不等式的原理，最小值在水珠形状为球状时达到……

因此，等周型不等式的研究对于数学和物理学等领域的发展均具有重要的研究意义。

2. 经典等周不等式介绍

2.1. 平面情形

在几何问题的研究中，我们非常关心一些几何元素的几何不变量，如体积、表面积、周长、曲率等之间的关系。通常这些几何不变量满足一些等式或不等式关系，我们称之为几何等式或几何不等式。等周不等式是几何不等式的重要分支，其经典等周不等式可以表述为：

定理2.1.1 若 $\gamma$ 是二维欧氏平面上一简单严格闭凸曲线， $\gamma$ 的周长为L，曲线所围区域的面积为A，则有

$L^2-4\text{π}A\ge \text{0}$

等号成立当且仅当曲线 $\gamma$ 为圆。

2.2. 高维欧式空间情形

在平面等周不等式发展的过程中，人们将其推广到n维欧式空间中。空间等周不等式可表述为：在一切具有相同体积的立体形状中，球体具有最小的面积或者欧式空间 $R^n$ 中表面积固定的域中，球所包围的体积最大。严格的表述为：

定理 2.2.1 设K为欧式空间 $R^n$ 中表面积为A，体积为V的域，则有不等式

$A^n-n^n{\omega }_n{V}^{n-1}\ge 0$

等号成立的充分必要条件是K为 $R^n$ 中标准球。其中 ${\omega }_n$ 为 $R^n$ 中单位球的体积，其计算公式为

${\omega }_n=\frac{2{\text{π}}^{n/2}}{n\Gamma (n2)}$

3. 等周型不等式发展现状

等周问题是几何中一类最大最小值问题。早在古希腊时期，经典的等周不等式就已经被人们所知晓，等周问题最早由著名的数学家Joham Beynoulli在1679年提出，人们经历两千年的时间才完成它的证明，以经典等周不等式为中心，它的推广工作到如今还在不断地进行。

十九世纪时，Steiner从直观上提出了平面等周不等式问题解的存在性 [4] 。直到1870年，Weistrass才用变分法给出了等周定理的第一个完整严格的数学证明 [5] 。1902年时，A. Hurwitz利用Fourier级数和Green定理给出了等周不等式的第一个纯解析证明。1939年，由E. Schmidt给出了等周不等式的一个简化证明。上世纪，等周不等式已经有了许多精巧的证明(参见 [6] [7] [8] [9] )，等周不等式还被推广到曲面上的曲线和区域、以及非欧平面上(参见 [9] [10] )。

数学研究者们最初借助微积分和变分学，建立平面等周不等式的一些严格的数学证明，其证明方法的复杂性使得学者们在将等周不等式从平面推广到空间时也存在一定的缺陷。上个世纪三十年代，德国数学家Blaschke等人首次提出了“积分几何”这一术语，“积分几何”的提出为等周不等式的研究打开了新的思路(参见 [6] [11] )。以周家足、任德麟为代表的中国几何学者，利用包含测度的思想，研究欧式空间中一域包含另一域的包含测度，在后来的研究中，该思想成为积分几何不等式的一个重要思想方法，并在二维以及高维欧式空间的情形得到了等周不等式和一系列重要的不等式 [12] 。

3.1. Bonnesen-型等周不等式

在研究经典等周不等式的同时，几何不等式的研究者们已经不再仅满足于对经典等周不等式的简化证明的探索，在1920年前后，Bonnesen得到一系列具有下列性质的不等式：

其中B是与 $\gamma$ 相关的几何不变量且满足：1) $B\ge 0$ ；2) $B=0$ 当且仅当 $\gamma$ 为圆。平面中，最著名的Bonnesen-型不等式为：

$L^2-4\text{π}A\ge {\text{π}}^{\text{2}}{\left(r_e-r_i\right)}^2$

其中 $r_e$ 和 $r_i$ 分别为曲线的最小外接圆半径和最大内接圆半径。

在过去的一个多世纪里，一系列的Bonnesen-型等周不等式已经被发现 [12] [13] [14] [15] 。很久之后，学者们将Bonnesen-型等周不等式推广到了n维欧式空间中，即数学家们对以下形式的不等式更感兴趣：

${\Delta }_n\left(K\right)=A^n-n^n{\omega }_n{V}^{n-1}\ge B_K$

其中 $B_K$ 非负且 $B_K$ 为零时当且仅当K为球。 ${\Delta }_n\left(K\right)$ 称为区域K的等周亏格， ${\Delta }_n\left(K\right)$ 刻画了区域K与标准球的差别程度。在n维情况下，Hadwiger和Dinghas [16] 得到了如下结果：

${\left(\frac{A}{A_r}\right)}^{\frac{n}{n-1}}-\frac{V}{V_r}\ge {\left({\left(\frac{A}{A_r}\right)}^{\frac{1}{n-1}}-1\right)}^n$

其中和 $V_r$ 分别为域K的内切球表面积和内切球体积。

自上世纪以来，数学家们已经得到了很多的不变量 $B_K$ ，且如今对Bonnesen-型等周不等式的研究仍在继续(平面情形参见文献 [17] [18] [19] ；高维情况参见文献 [20] [21] [22] )。

3.2. 逆Bonnesen-型等周不等式

与Bonnesen-型等周不等式相对应，人们自然而然会考虑如下形式的逆Bonnesen-型等周不等式，即

对于K为二维欧式平面上的严格闭凸曲线所围成的区域的情形，Bottema于1933年得到如下著名的结果 [23] ：

${\Delta }_{\text{2}}\left(K\right)=L^2-4\text{π}A\le {\text{π}}^2{\left({\rho }_M-{\rho }_m\right)}^2$

其中 ${\rho }_M$ 和 ${\rho }_m$ 分别为曲率半径 $\rho$ 的最大值和最小值，等号成立当且仅当 ${\rho }_M={\rho }_m$ ，即K为圆域。

1955年，Pleijel加强了Bottema的结果 [24] ：

${\Delta }_{\text{2}}\left(K\right)=L^2-4\text{π}A\le \text{π}\left(4-\text{π}\right){\left({\rho }_M-{\rho }_m\right)}^2$

近年来，逆Bonnesen-型等周不等式的结果日益丰富，如潘生亮，周家足，Howard，Klain等 [12] [25] [26] [27] [28] [29] 致力于逆向Bonnesen-型等周不等式的研究，已经得到了很多有价值的结果。此外，国内还有大量学者，如高翔 [30] [31] [32] [33] ，何刚 [34] ，戴勇 [35] [36] [37] ，张增乐 [38] 等还在继续不懈努力地寻求那些未知的逆向Bonnesen型等周不等式，其中高翔，徐慧平等人还利用Fourier级数等相关性质对等周型不等式的稳定性进行了深入的探讨和研究。n维空间中的逆向Bonnesen-型等周不等式的研究在今年也得到了一定的发展，但结果相对较少，该研究方向在未来有待进一步的研究。

3.3. Gage-型等周不等式

在等周不等式的研究初期，对于很多经典等周不等式的加强和推广形式都没有涉及曲线的曲率。发展到20世纪80年代时，Gage证明了一个涉及平面凸曲线曲率平方积分的不等式 [39]

${\displaystyle {\int }_{\gamma }{k}^2\text{d}s}\ge \frac{\text{π}L}{A}$

我们将其称为Gage等周不等式。该不等式对于人们理解平面曲线缩短流以及研究平面曲线的其他演化问题起这重要的作用。在后续的研究中，几何不等式的研究者们推广和加强了该类不等式，得到一系列的Gage型-等周不等式和逆Gage型-等周不等式(如 [40] )。此类等周型不等式在数学物理，力学中应用广泛。

3.4. Ros-型等周不等式

与Gage等周不等式相对应，可得到平面 ${ℝ}^{\text{2}}$ 上的Ros定理：

${\displaystyle {\int }_{\gamma }\frac{\text{1}}{k}\text{d}s}\ge 2A$

近年来，周家足，马磊等人对Ros-型等周不等式进行了深入地研究(参见 [12] [41] )。同样得到了一些强化结果，如 [12] ：

${\displaystyle {\int }_{\gamma }\frac{\text{1}}{k}\text{d}s}\ge \frac{L^2}{2\text{π}}$ , ${\displaystyle {\int }_{\gamma }\frac{\text{1}}{k}\text{d}s}\ge \frac{7L^2-20\text{π}A}{4\text{π}}$

3.5. 离散型等周不等式

对于等周不等式，我们通常讨论的都是它的连续形式，几何不等式的研究学者们对于由经典等周不等式问题衍生出来的更为基础的问题，“关于多边形或多面体的等周不等式问题”也充满了兴趣，该问题实际上可以看作是经典等周问题的离散形式。研究多面体的等周问题时有一定的难度，在1884年时，R. Sturm给出了关于四面体的等周问题的解 [5] ，最近由马磊，戴勇等在 [15] [42] 中得到了一些新的结果。

4. 等周型不等式发展趋势

现如今，等周不等式已经推广到了常曲率平面(例： [29] [43] [44] )、黎曼流形空间以及仿射空间[46]等其他情形，同时数学家们也期望将等周不等式继续推广到高维欧式空间和非欧空间中，进一步加强对欧氏平面上等周亏格的上界估计和欧式空间 $R^n$ 中等周亏格上界的估计。

此外，目前对于大多数等周型不等式而言，无论是在二维平面还是在高维空间中，都是在凸域的前提下进行的，对于非凸区域中等周不等式的研究结果相对较少，现已有部分学者致力于研究星形区域以及Gauss曲率星体上的等周问题 [45] ，得到了一些研究结果。在未来的研究进程中，这一研究思路也为等周型不等式的研究注入了新鲜的血液。

基金项目

本文由山东省自然科学基金(ZR2018MA006)及山东省研究生导师指导能力提升项目(SDYY17009)支持。

NOTES

^*通讯作者。