对一类包含广义欧拉函数的数论方程的讨论

Discussion on a Class of Number Theory Equations Containing Generalized Euler’s Totient Function

摘要: 令φ_e（n）为广义欧拉函数，其中n与e都是正整数。利用初等方法，研究讨论了与广义欧拉函数有关的数论方程φ₂（m）=2^x⋅3^y，φ₂（m）=p^x⋅q^y以及 的可解性。基于广义欧拉函数的性质，利用初等数论的一些结论以及分类、分段的讨论方式，获得以上方程的正整数解的相关结论。

Abstract: Let φ_e（n） be generalized Euler function, where n and e are positive integers. Using elementary methods, the solvability of equations φ₂（m）=2^x⋅3^y，φ₂（m）=p^x⋅q^y and related to generalized Euler’s totient function is studied and discussed. Based on the properties of generalized Euler’s totient function and Euler’s totient function, the partial solution of the equation is obtained by the discussion of classification and segmentation.

1. 引言与主要结论

Euler函数φ(n)是数论中非常重要而有意义的一类函数，定义为 $1,2,\cdots ,n$ 中与n互素的个数。为了将Lehmer同余式从模素数的平方推广到模任意整数的平方，蔡天新 [1] 等对广义Euler函数的作出了如下定义。

定义：广义欧拉函数φ_e(n)

${\phi }_e\left(n\right)={\displaystyle \underset{\underset{\left(i,1\right)=1}{i=1}}{\overset{\left[\frac{n}{e}\right]}{\sum }}1},$ (1.1)

即序列 $1,2,\cdots ,\left[\frac{n}{e}\right]$ 中与n互素的数的个数。显然，当e = 1时，广义欧拉函数φ_e(n)就是欧拉函数φ(n)。

当e = 2时，由广义欧拉函数定义，容易验证， ${\phi }_1\left(n\right)=0$， ${\phi }_{\text{2}}\left(n\right)=\text{1}$，对 $n\ge 3$，有

${\phi }_{\text{2}}\left(n\right)=\frac{1}{2}\phi \left(n\right)$ (1.2)

关于Euler函数φ(n)以及广义Euler函数φ_e(n)的性质以及与广义Euler函数相关的数论方程的研究非常活跃。文献 [2] [3] 对广义Euler函数的性质有一定的研究。同时，对于包含广义Euler函数的方程也有所讨论，如文献 [4] - [14] 对包含广义Euler函数φ_e(n)以及ω(n)和Ω(n)的方程的可解性；文献 [15] [16] [17] [18]

讨论了形如 ${\phi }_e\left(n\right)=\frac{n}{d}$ 方程的可解性；文献 [19] [20] 对包含Euler函数和广义Euler函数的方程的正整数解进行了研究；文献 [21] - [28] 给出了形如 $\phi \left(xy\right)=k\phi \left(x\right)\phi \left(y\right)$， $\phi \left(xy\right)=k\left(\phi \left(x\right)+\phi \left(y\right)\right)$ 这种形式的方程的可解性。

本文将研究更一般的方程，即方程

${\phi }_{\text{2}}\left(m\right)=2^x\cdot 3^y$ (1.3)

${\phi }_2\left(m\right)=p^x\cdot q^y$ (1.4)

以及

${\phi }_2\left(m\right)=p_{\text{1}}^{{\alpha }_{\text{1}}}\cdot p_{\text{2}}^{{\alpha }_{\text{2}}}\cdot p_{\text{3}}^{{\alpha }_{\text{3}}}\cdot \cdot \cdot p_v^{{\alpha }_v}$ (1.5)

的可解性，其中 $p,q,p_1,p_2,\cdots ,p_v$ 是给定的素数。求出了一些方程的全部解，并获得了一些一般性的结论。本文的主要结论是：

定理1：方程(1.3)的所有非负整数解(m, x, y) (表1所示)为

Table 1. All nonnegative integer solutions of Equation (1.3) (m, x, y)

表1. 方程(1.3)的所有非负整数解(m, x, y)

定理2：方程(1.4)的所有非负整数解(m, x, y) (表2和表3所示)为

1) 若 $p=\text{2}$ 时， $q\ge \text{5}$，有

Table 2. In the case of p = 2, q > 5, the nonnegative integer solutions of Equation (1.4) (m, x, y)

表2. 在p = 2，q > 5的情况下，方程(1.4)的非负整数解(m, x, y)

2) 若 $p\ne \text{2}$， $q\ne \text{3}$，即 $p,q\ge \text{5}$，有

Table 3. In the case of p, q ≥ 5, the nonnegative integer solutions of Equation (1.4) (m, x, y)

表3. 在p，q ≥ 5的情况下，方程(1.4)的非负整数解(m, x, y)

定理3：方程(1.5)的解(m, x, y)满足

1) $t=v$，当 $q_t=p_v$ ( $v=t+\text{1}$ )时， ${\alpha }_{\text{1}}={\beta }_{\text{1}}-\text{2}$，， ${\alpha }_i={\beta }_i$ ( $i=\left[2,v\right]$ )，且 $q_i=2^{a_i}+1$ ( $a_i\ge 0$ )。

2) $t>v$，必有 $q_t>p_v$， $q_j=p_j$， $j=\left[1,u\right]$，其中 $u<v$，则 ${\beta }_{u+1},{\beta }_{u+2},\cdots ,{\beta }_v=1$，且 $q_i=2^{s_{i_1}}\cdot p_2^{s_{i_1}}\cdot p_3^{s_{i_1}}\cdot \cdot \cdot p_v^{s_{i_1}}+1$， $i=\left[u+1,v\right]$ 。

2. 方程φ₂(m) = 2^x3^y的解

本节讨论方程(1.3)的解，由于

${\phi }_{\text{2}}\left(m\right)=\frac{1}{2}\phi \left(m\right)$ , ${\phi }_2\left(m\right)=2^x\cdot 3^y$

故令 $$ 其中且均为质数，则

$q_1^{{\beta }_1-1}\cdot q_2^{{\beta }_2-1}\cdots q_t^{{\beta }_t-1}\cdot \left(q_1-1\right)\cdot \left(q_2-1\right)\cdots \left(q_t-1\right)=2^{x+1}\cdot 3^y$ (2.1)

2.1. 情况1：t = 1

当 $t=1$ 时，有

$q_1^{{\beta }_1-1}\cdot \left(q_1-1\right)=2^{x+1}\cdot 3^y$ (2.2)

情况1.1：当 ${\beta }_{\text{1}}=\text{1}$ 时，可得 $m=q_{\text{1}}$， $q_1=2^s{3}^t+1$ ( $s\ge 0,t\ge 0$ )，故 $x=s-\text{1}$， $y=t$ 。

情况1.2：当 $$ 时，。

情况1.2.1：当 $q_{\text{1}}=\text{2}$ 时， $2^{{\beta }_1-1}=2^{x+1}\cdot 3^y$，可得 $m={\text{2}}^a$ ( $a\ge \text{2}$ )， $q_1=2^s{3}^t+1$ ( $s=0,t=0$ )，故 $x=s+a-2$， $y=t$ 。

情况1.2.2：当 $q_{\text{1}}=\text{3}$ 时， $2\cdot 3^{{\beta }_1-1}=2^{x+1}\cdot 3^y$，可得 $$ ( $b\ge \text{2}$ )， $q_1=2^s{3}^t+1$ ( $s=1,t=0$ )，故 $x=s-\text{1}$， $y=t+b-\text{1}$ 。

2.2. 情况2：t = 2

当 $t=\text{2}$ 时，有

$q_1^{{\beta }_1-1}\cdot \left(q_1-1\right)\cdot q_{\text{2}}^{{\beta }_{\text{2}}-1}\cdot \left(q_{\text{2}}-1\right)=2^{x+1}\cdot 3^y.$ (2.3)

情况2.1：当 ${\beta }_{\text{1}}={\beta }_{\text{2}}=\text{1}$ 时，有 $\left(q_1-1\right)\cdot \left(q_{\text{2}}-1\right)=2^{x+1}\cdot 3^y$，可得 $m=q_{\text{1}}{q}_{\text{2}}$， $q_1=2^{s_1}{3}^{t_1}+1$， $q_2=2^{s_2}{3}^{t_2}+1$ ( $s_{\text{1}}\ge 0,t_{\text{1}}\ge 0$ ； $s_2\ge 1,t_2\ge 0$ )。故 $x=s_1+s_2-1$， $y=t_{\text{1}}+t_{\text{2}}$ 。

情况2.2：当 ${\beta }_{\text{1}}\ge \text{2}$， ${\beta }_{\text{2}}=\text{1}$ 时，有 $q_1^{{\beta }_1-1}\cdot \left(q_1-1\right)\cdot \left(q_2-1\right)=2^{x+1}\cdot 3^y$ 。

情况2.2.1：当 $q_{\text{1}}=\text{2}$， $q_{\text{2}}=q$ ( $q\ge \text{3}$，且为质数)时， $2^{{\beta }_1-1}\cdot \left(q-1\right)=2^{x+1}\cdot 3^y$，可得 $m={\text{2}}^{a}q$ ( $a\ge \text{2}$ )， $q_1=2^{s_1}\cdot 3^{t_1}+1$ ( $s_{\text{1}}=0,t_{\text{1}}=0$ )， $q_2=2^{s_2}\cdot 3^{t_2}+1$ ( $s_2\ge 1,t_2\ge 0$ )，故 $x=s_1+s_2+a-2$， $y=t_{\text{1}}+t_{\text{2}}$ 。

情况2.2.2：当 $$， $q_{\text{2}}=q$ ( $q\ge \text{5}$，且为质数)时， $3^{{\beta }_1-1}\cdot 2\cdot \left(q-1\right)=2^{x+1}\cdot 3^y$，可得 $m={\text{3}}^{b}q$ ( $b\ge \text{2}$ )， $q_1=2^{s_1}\cdot 3^{t_1}+1$ ( $s_{\text{1}}=\text{1},t_{\text{1}}=0$ )， $q_2=2^{s_2}\cdot 3^{t_2}+1$ ( $s_2\ge 2,t_2\ge 0$ )，故 $$， $y=t_{\text{1}}+t_{\text{2}}+b-\text{1}$ 。

情况2.3：当， ${\beta }_{\text{2}}\ge \text{2}$ 时，有 $q_1^{{\beta }_1-1}\cdot q_2^{{\beta }_2-1}\cdot \left(q_1-1\right)\cdot \left(q_2-1\right)=2^{x+1}\cdot 3^y$ 。

当 $q_{\text{1}}=\text{2}$， $q_{\text{2}}=\text{3}$ 时， ${\text{2}}^{{\beta }_{\text{1}}-\text{1}}\cdot {\text{3}}^{{\beta }_2-1}\cdot \text{2}=2^{x+1}\cdot 3^y$，可得 $m=2^a{3}^b$ ( $a\ge 2,b\ge 2$ )， $q_1=2^{s_1}\cdot 3^{t_1}+1$ ( $s_1=0,t_1=0$ )， $q_2=2^{s_2}\cdot 3^{t_2}+1$ ( $s_2=1,t_2=0$ )。故 $x=s_1+s_2+a-2$， $y=t_1+t_2+b-1$ 。

2.3. 情况3：当t ≥ 3时，有

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\prod }}{q}_i^{{\beta }_i-1}\cdot \left(q_i-1\right)}=2^{x+1}\cdot 3^y.$ (2.4)

情况3.1：当 ${\beta }_i=1$ ( $i\in N^{+}$ )时，有 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\prod }}\left(q_i-1\right)}=2^{x+1}\cdot 3^y$ 可得， $m={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\sum }}{q}_i}$， $q_i=2^{s_i}{3}^{t_i}+1$ ( $s_i\ge 0,t_i\ge 0$ )，故 $x={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\sum }}{s}_i-1}$， $y={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\sum }}{t}_i}$ 。

情况3.2：当 ${\beta }_{\text{1}}\ge \text{2}$， ${\beta }_i=1$ ( $i\ge 2,i\in N^{+}$ )时，有 $q_1^{{\beta }_1-1}\cdot {\displaystyle \underset{i=2}{\overset{t}{\prod }}\left(q_i-1\right)}=2^{x+1}\cdot 3^y$ 。

情况3.2.1：当 $q_{\text{1}}=\text{2}$， $q_i=q_i$ ( $q_i\ge 3$ 且为质数， $i\ge 2$ )时 ${\text{2}}^{{\beta }_{\text{1}}-1}\cdot {\displaystyle \underset{i=2}{\overset{t}{\prod }}\left(q_i-1\right)}=2^{x+1}\cdot 3^y$，则可得 $m=2^a{\displaystyle \underset{i=2}{\overset{t}{\prod }}{q}_i}$， $q_i=2^{s_i}{3}^{t_i}+1$ ( $s_i\ge 1,t_i\ge 0$ )，故 $x={\displaystyle \underset{i=\text{2}}{\overset{t}{\sum }}{s}_i}+a-2$， $y={\displaystyle \underset{i=2}{\overset{t}{\sum }}{t}_i}$ 。

情况3.2.2：当 $q_1=3$， $q_i=q_i$ ( $q_i\ge 5$ 且为质数， $i\ge 2$ )时， $\text{2}\cdot {\text{3}}^{{\beta }_{\text{1}}-1}\cdot {\displaystyle \underset{i=2}{\overset{t}{\prod }}\left(q_i-1\right)}=2^{x+1}\cdot 3^y$，可得 $m={\text{3}}^b{\displaystyle \underset{i=2}{\overset{t}{\prod }}{q}_i}$， $q_i=2^{s_i}{3}^{t_i}+1$ ( $s_i\ge 1,t_i\ge 0$ )，故 $x={\displaystyle \underset{i=\text{2}}{\overset{t}{\sum }}{s}_i}$， $y={\displaystyle \underset{i=2}{\overset{t}{\sum }}{t}_i}+b-1$， $s=\text{1}$， $t=0$ 。

情况3.3：当 ${\beta }_1\ge 2$， ${\beta }_{\text{2}}\ge \text{2}$， ${\beta }_i=1$ ( $i\ge 3,i\in N^{+}$ )时，有 $q_1^{{\beta }_1-1}\cdot q_2^{{\beta }_2-1}\cdot {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\prod }}\left(q_i-1\right)}=2^{x+1}\cdot 3^y$ 。

情况3.3.1：当 $q_{\text{1}}=\text{2}$， $q_{\text{2}}=\text{3}$， $q_i=q_i$ ( $q_i\ge 5$ 且为质数， $i\ge 3$ )时， ${\text{2}}^{{\beta }_{\text{1}}}\cdot 3^{{\beta }_2-1}\cdot {\displaystyle \underset{i=\text{3}}{\overset{t}{\prod }}\left(q_i-1\right)}=2^{x+1}\cdot 3^y$，可得 $m={\text{2}}^a{\text{3}}^b{\displaystyle \underset{i=3}{\overset{t}{\prod }}{q}_i}$， $q_i=2^{s_i}{3}^{t_i}+1$ ( $s_i\ge 1,t_i\ge 0$ )，故 $x={\displaystyle \underset{i=3}{\overset{t}{\sum }}{s}_i}+a-1$， $y={\displaystyle \underset{i=3}{\overset{t}{\sum }}{t}_i}+b-1$，当 $s=\text{1}$ 时， $t\ne 0$ 。

于是定理1得证。

3. 方程 ${\phi }_2\left(m\right)=p^x{q}^y$ 的解

本节将在定理1： ${\phi }_2\left(m\right)=2^x{3}^y$ 的解的情况的基础上，对更一般的情况来作进一步的讨论，即 ${\phi }_2\left(m\right)=p^x{q}^y$ (其中p,q为质数，且)。当 $q=\text{2}$， $p=\text{3}$ 时，与定理1相同，下面，我们讨论 $q=\text{2}$，不同时成立的情况。

3.1. 情况A

$p=\text{2}$， $q\ge \text{5}$， ${\phi }_2\left(m\right)=2^x{q}^y$，则

$q_1^{{\beta }_1-1}\cdot q_2^{{\beta }_2-1}\cdots q_t^{{\beta }_t-1}\cdot \left(q_1-1\right)\cdot \left(q_2-1\right)\cdots \left(q_t-1\right)=2^{x+1}\cdot q^y.$ (3.1)

同样地，我们设

$m=q_1^{{\beta }_1}\cdot q_2^{{\beta }_2}\cdots q_t^{{\beta }_t}$

其中 $q_1<q_2<\cdots <q_t$ 且均为质数。

情况1：t = 1当 $t=\text{1}$ 时， $q_1^{{\beta }_1-1}\cdot \left(q_1-1\right)=2^{x+1}\cdot q^y$ 。

情况1.1：当 ${\beta }_1=\text{1}$ 时， $m=q_{\text{1}}$， $q_1=2^{s_1}\cdot q^{t_1}+1$ ( $s_{\text{1}}\ge 0,t_{\text{1}}\ge 0$ )，故 $x=s_{\text{1}}-\text{1}$， $y=t_{\text{1}}$ (当 $t_{\text{1}}=0$ 时， $s_{\text{1}}\ge \text{2}$ ； $s_{\text{1}}\ge \text{1}$ 时， $t_{\text{1}}\ge \text{1}$ )。

情况1.2：当时， $q_1^{{\beta }_1-1}\cdot \left(q_1-1\right)=2^{x+1}\cdot 3^y$ 。

情况1.2.1：当 $q_{\text{1}}=\text{2}$ 时， ${\text{2}}^{{\beta }_1-1}=2^{x+1}\cdot q^y$，可得 $m={\text{2}}^a$ ( $a\ge \text{2}$ )， $q_1=2^{s_1}\cdot q^{t_1}+1$ ( $s_{\text{1}}=0,t_{\text{1}}=0$ )，故 $x=s_{\text{1}}+a-\text{2}$， $y=t_1$ 。

情况1.2.2：当 $q_{\text{1}}=q$ 时， $q^{{\beta }_1-1}\cdot \left(q-1\right)=2^{x+1}\cdot q^y$，可得 $m=q^b$ ( $b\ge \text{2}$ )， $q_1=2^{s_1}\cdot q^{t_1}+1$ ( $s_{\text{1}}\ge \text{1},t_{\text{1}}=0$ )，故 $x=s_{\text{1}}-\text{1}$， $y=t_{\text{1}}+b-\text{1}$ 。

情况2：t = 2当 $t=\text{2}$ 时， $q_1^{{\beta }_1-1}\cdot \left(q_1-1\right)\cdot q_{\text{2}}^{{\beta }_{\text{2}}-1}\cdot \left(q_{\text{2}}-1\right)=2^{x+1}\cdot q^y$ 。

情况2.1：当 ${\beta }_1={\beta }_2=\text{1}$ 时，有 $\left(q_1-1\right)\cdot \left(q_{\text{2}}-1\right)=2^{x+1}\cdot q^y$，可得 $m=q_{\text{1}}{q}_{\text{2}}$， $q_1=2^{s_1}{3}^{t_1}+1$， $q_2=2^{s_2}{3}^{t_2}+1$ ( $s_{\text{1}}\ge 0,t_{\text{1}}\ge 0$ ; $s_{\text{2}}\ge \text{1},t_{\text{2}}\ge 0$ )，故 $x=s_1+s_2-1$， $y=t_1+t_2$ 。

情况2.2：当 ${\beta }_1\ge 2$， ${\beta }_2=1$ 时，有 $q_{\text{1}}^{{\beta }_1-1}\cdot \left(q_1-1\right)\cdot \left(q_{\text{2}}-1\right)=2^{x+1}\cdot q^y$ 。

情况2.2.1：当 $q_{\text{1}}=\text{2}$ ( $q_{\text{2}}\ge \text{5}$，且为质数)时， ${\text{2}}^{{\beta }_1-1}\cdot \left(q_2-1\right)=2^{x+1}\cdot q^y$，可得 $m={\text{2}}^a{q}_{\text{2}}$ ( $a\ge \text{2}$ )， $q_1=2^{s_1}\cdot q^{t_1}+1$ ( $s_{\text{1}}=0,t_{\text{1}}=0$ )， $q_2=2^{s_{\text{2}}}\cdot q^{t_{\text{2}}}+1$ ( $s_{\text{2}}\ge \text{1},t_{\text{2}}\ge 0$ )，故 $x=s_{\text{1}}+s_{\text{2}}+a-\text{2}$， $y=t_{\text{1}}+t_{\text{2}}$ 。

情况2.2.2：当 $q_{\text{1}}=q$ 时，( $q\ge \text{5}$，且为质数) $q^{{\beta }_1-1}\cdot \left(q-1\right)\cdot \left(q_2-1\right)=2^{x+1}\cdot q^y$，可得 $m=q^b{q}_2$ ( $b\ge \text{2}$ )， $q_1=2^{s_1}{q}^{t_1}+1$ ( $s_{\text{1}}\ge 0,t_{\text{1}}=0$ )， $q_{\text{2}}=2^{s_{\text{2}}}{q}^{t_{\text{2}}}+1$ ()，故 $x=s_{\text{1}}+s_{\text{2}}-\text{1}$， $y=t_{\text{1}}+t_{\text{2}}+b-1$ 。

情况2.3：当 ${\beta }_1=1$， ${\beta }_2\ge 2$ 时，有 $\left(q_1-1\right)\cdot q_2^{{\beta }_2-1}\cdot \left(q_2-1\right)=2^{x+1}\cdot q^y$，此时必定有 $q_{\text{2}}=q$，则有 $m=q_1{q}^b$ ( $b\ge \text{2}$ )， $q_1=2^{s_1}{q}^{t_1}+1$ ( $s_1\ge 0,t_1=0$ )， $q_{\text{2}}=2^{s_{\text{2}}}{q}^{t_{\text{2}}}+1$ ( $s_2\ge \text{2},t_2\ge 0$ )，故 $x=s_{\text{1}}+s_{\text{2}}-\text{1}$， $y=t_{\text{1}}+t_{\text{2}}+b-\text{1}$ 。

情况2.4：当 ${\beta }_1\ge 2$， ${\beta }_2\ge 2$ 时，有 $q_1^{{\beta }_1-1}\cdot q_2^{{\beta }_2-1}\cdot \left(q_1-1\right)\cdot \left(q_2-1\right)=2^{x+1}\cdot q^y$ 。

当 $q_{\text{1}}=\text{2}$， $q_{\text{2}}=q$ 时， ${\text{2}}^{{\beta }_{\text{1}}-\text{1}}\cdot q^{{\beta }_2-1}\cdot \left(q-1\right)=2^{x+1}\cdot q^y$，可得 $m={\text{2}}^a{q}^b$ ( $a\ge \text{2},b\ge \text{2}$ )， $2=2^{s_1}\cdot q^{t_1}+1$ ( $s_{\text{1}}=0,t_{\text{1}}=0$ )， $q_{\text{2}}=2^{s_{\text{2}}}{q}^{t_{\text{2}}}+1$ ( $s_2\ge \text{2},t_2=0$ )，故 $x=s_{\text{1}}+s_{\text{2}}+a-\text{2}$， $y=t_{\text{1}}+t_{\text{2}}+b-\text{1}$ 。

情况3：t = 3当t = 3时， $q_1^{{\beta }_1-1}\cdot \left(q_1-1\right)\cdot q_{\text{2}}^{{\beta }_{\text{2}}-1}\cdot \left(q_{\text{2}}-1\right)=2^{x+1}\cdot q^y$ 。

情况3.1：当 ${\beta }_{\text{1}}={\beta }_{\text{2}}={\beta }_{\text{3}}=\text{1}$ 时，有 $\left(q_1-1\right)\cdot \left(q_{\text{2}}-1\right)\cdot \left(q_{\text{3}}-1\right)=2^{x+1}\cdot q^y$，可得 $m=q_{\text{1}}{q}_{\text{2}}{q}_{\text{3}}$， $q_1=2^{s_1}{q}^{t_1}+1$ ( $s_{\text{1}}\ge 0,t_{\text{1}}\ge 0$ )， $q_{\text{2}}=2^{s_{\text{2}}}{q}^{t_{\text{2}}}+1$， $q_3=2^{s_3}{q}^{t_{\text{3}}}+1$ ( $s_i\ge \text{1},t_i\ge 0$ ) $i\ge \text{2}$ 当时，必有 $s\ge 2$ 且 $q_{\text{2}}\le q_{\text{3}}$，故 $x=s_1+s_2+s_{\text{3}}-1$， $y=t_1+t_2+t_{\text{3}}$ 。

情况3.2：当 $$， ${\beta }_2={\beta }_3=\text{1}$ 时，有 $q_1^{{\beta }_1-1}\cdot \left(q_1-1\right)\cdot \left(q_2-1\right)\cdot \left(q_3-1\right)=2^{x+1}\cdot q^y$ 。

情况3.2.1：当 $q_{\text{1}}=\text{2}$ 时， ${\text{2}}^{{\beta }_1-1}\cdot \left(q_2-1\right)\cdot \left(q_3-1\right)=2^{x+1}\cdot q^y$，可得 $m={\text{2}}^a{q}_{\text{2}}{q}_{\text{3}}$ ( $a\ge \text{2}$ )。

$2=2^{s_1}\cdot q^{t_1}+1$ ( $s_{\text{1}}=0,t_{\text{1}}=0$ )， $q_{\text{2}}=2^{s_{\text{2}}}{q}^{t_{\text{2}}}+1$， $q_3=2^{s_3}{q}^{t_{\text{3}}}+1$ ( $s_i\ge \text{1},t_i\ge 0$ )， $i\ge 2$ 当 $t=0$ 时，必有 $s\ge 2$ 且 $q_{\text{2}}\le q_{\text{3}}$，故 $x=s_1+s_2+s_{\text{3}}+a-\text{2}$， $y=t_1+t_2+t_{\text{3}}$ 。

情况3.2.2：当 $q_{\text{1}}=q$ 时，( $q\ge \text{5}$，且为质数) $q^{{\beta }_1-1}\cdot \left(q-1\right)\cdot \left(q_2-1\right)\cdot \left(q_{\text{3}}-1\right)=2^{x+1}\cdot q^y$，可得 $m=q^b{q}_{\text{2}}{q}_{\text{3}}$ ( $b\ge \text{2}$ )， $q_1=2^{s_1}{q}^{t_1}+1$ ( $s_{\text{1}}\ge \text{1},t_{\text{1}}=0$ )当 $t=0$ 时，必有 $s\ge 2$， $q_{\text{2}}=2^{s_{\text{2}}}{q}^{t_{\text{2}}}+1$， $q_3=2^{s_3}{q}^{t_{\text{3}}}+1$ ( $s_i\ge \text{1},t_i\ge 0$ )， $i\ge \text{2}$ 且 $q_{\text{1}}\le q_{\text{2}}\le q_{\text{3}}$，故 $x=s_{\text{1}}+s_{\text{2}}+s_{\text{3}}-\text{1}$， $y=t_{\text{1}}+t_{\text{2}}+t_{\text{3}}+b-1$ 。

情况3.3：当 ${\beta }_1=1$， ${\beta }_2\ge \text{2}$， ${\beta }_3=\text{1}$ 时，有 $$，可得 $m=q_{\text{1}}{q}^b{q}_{\text{3}}$ ( $b\ge \text{2}$ )， $q_1=2^{s_1}{q}^{t_1}+1$ ( $s_{\text{1}}\ge \text{1},t_{\text{1}}=0$ )， $q_{\text{2}}=2^{s_{\text{2}}}{q}^{t_{\text{2}}}+1$ ( $s_2\ge \text{2},t_2=0$ )， $q_3=2^{s_3}{q}^{t_{\text{3}}}+1$ ( $s_2\ge \text{2},t_2\ge 0$ )且，故 $x=s_{\text{1}}+s_{\text{2}}+s_{\text{3}}-\text{1}$， $y=t_{\text{1}}+t_{\text{2}}+t_{\text{3}}+b-\text{1}$ 。

情况3.4：当 ${\beta }_1={\beta }_2=\text{1}$， ${\beta }_3\ge \text{2}$ 时，有 $\left(q_1-1\right)\cdot \left(q_2-1\right)\cdot q_3^{{\beta }_3-1}\cdot \left(q_3-1\right)=2^{x+1}\cdot q^y$ 。

则 $q_{\text{3}}=q$，可得 $m=q_{\text{1}}{q}_{\text{2}}{q}^b$ ( $a\ge \text{2},b\ge \text{2}$ )， $q_1=2^{s_1}{q}^{t_1}+1$ ( $s_{\text{1}}\ge \text{1},t_{\text{1}}=0$ )， $q_{\text{2}}=2^{s_{\text{2}}}{q}^{t_{\text{2}}}+1$ ( $s_2\ge \text{2},t_2=0$ )， $q_3=2^{s_3}{q}^{t_{\text{3}}}+1$ ( $s_2\ge \text{2},t_2=0$ )且 $q_{\text{1}}\le q_{\text{2}}\le q_{\text{3}}$，故 $x=s_{\text{1}}+s_{\text{2}}+s_{\text{3}}-\text{1}$， $y=t_{\text{1}}+t_{\text{2}}+t_{\text{3}}+b-\text{1}$ 。

情况3.5：当 ${\beta }_1\ge \text{2}$， ${\beta }_2\ge \text{2}$， ${\beta }_3=\text{1}$ 时，有 $q_1^{{\beta }_1-1}\cdot q_2^{{\beta }_2-1}\cdot \left(q_1-1\right)\cdot \left(q_2-1\right)\cdot \left(q_3-1\right)=2^{x+1}\cdot q^y$ 。

则 $q_{\text{1}}=\text{2}$， $q_{\text{2}}=q$ ( $q\ge \text{5}$，且为质数)时， $2^{{\beta }_1-1}\cdot q^{{\beta }_2-1}\cdot \left(q-1\right)\cdot \left(q_3-1\right)=2^{x+1}\cdot q^y$，可得， $m={\text{2}}^a{q}^b{q}_{\text{3}}$ ( $a\ge \text{2},b\ge \text{2}$ )， $2=2^{s_1}\cdot q^{t_1}+1$ ( $s_{\text{1}}=0,t_{\text{1}}=0$ )， $q_{\text{2}}=2^{s_{\text{2}}}{q}^{t_{\text{2}}}+1$ ( $s_2\ge \text{1},t_2=0$ )当 $t=0$ 时，必有 $s\ge 2$， $q_3=2^{s_3}{q}^{t_{\text{3}}}+1$ ( $s_2\ge 1,t_2\ge 0$ )当 $t=0$ 时，必有 $s\ge \text{2}$ 且 $q_{\text{2}}\le q_{\text{3}}$，故 $x=s_1+s_2+s_{\text{3}}+a-\text{2}$， $y=t_1+t_2+t_{\text{3}}+b-\text{1}$ 。

情况4： $t\ge \text{4}$ 时， ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\prod }}{q}_i^{{\beta }_i-1}\cdot \left(q_i-1\right)}=2^{x+1}\cdot q^y$ 。

情况4.1：当 ${\beta }_i=\text{1}$ ( $i\in N^{+}$ )时，有 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\prod }}\left(q_i-1\right)}=2^{x+1}\cdot q^y$ 可得 $m={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\sum }}{q}_i}$， $q_i=2^{s_i}{q}^{t_i}+1$ ( $s_i\ge 0,t_i\ge 0$ )，故 $x={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\sum }}{s}_i-1}$， $y={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\sum }}{t}_i}$ 。

情况4.2：当 ${\beta }_1\ge \text{2}$， ${\beta }_i=\text{1}$ ( $i\ge \text{2},i\in N^{+}$ )时，有 $q_1^{{\beta }_1-1}\cdot {\displaystyle \underset{i=2}{\overset{t}{\prod }}\left(q_i-1\right)}=2^{x+1}\cdot q^y$ 。

情况4.2.1：当 $q_{\text{1}}=\text{2}$， $q_i=q_i$ ( $q_i\ge \text{5}$ 且为质数， $i\ge \text{2}$ )时， ${\text{2}}^{{\beta }_{\text{1}}-1}\cdot {\displaystyle \underset{i=2}{\overset{t}{\prod }}\left(q_i-1\right)}=2^{x+1}\cdot q^y$，可得 $m=2^a{\displaystyle \underset{i=2}{\overset{t}{\prod }}{q}_i}$， $q_i=2^{s_i}{3}^{t_i}+1$ ( $s_i\ge \text{1},t_i\ge 0$ )，故 $x={\displaystyle \underset{i=\text{2}}{\overset{t}{\sum }}{s}_i}+a-2$， $y={\displaystyle \underset{i=2}{\overset{t}{\sum }}{t}_i}$ 。

情况4.2.2：当 $q_{\text{1}}=q$ ( $q_i\ge \text{5}$ 且为质数， $i\ge \text{2}$ )时， $q^{{\beta }_{\text{1}}-1}\cdot {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\prod }}\left(q_i-1\right)}=2^{x+1}\cdot q^y$，可得 $m=q^b{\displaystyle \underset{i=2}{\overset{t}{\prod }}{q}_i}$， $q_i=2^{s_i}{3}^{t_i}+1$ ( $s_i\ge \text{1},t_i\ge 0$ )，当 $t=0$ 时， $s\ge 2$，故 $x={\displaystyle \underset{i=\text{2}}{\overset{t}{\sum }}{s}_i}-1$， $y={\displaystyle \underset{i=2}{\overset{t}{\sum }}{t}_i}+b-1$ 。

情况4.3：当 ${\beta }_j\ge \text{2}$， ${\beta }_1=\cdots ={\beta }_{j-1}={\beta }_{j+1}=\cdots =1$ ( $j\ge \text{2},i\in N^{+}$ )时，有 $q_j^{{\beta }_1-1}\cdot {\displaystyle \underset{i=\text{1}}{\overset{t}{\prod }}\left(q_i-1\right)}=2^{x+1}\cdot q^y$ 。

当 $q_j=q$ ( $q_i\ge \text{7}$ 且为质数， $i\ge \text{3}$ )时， $q^{{\beta }_{\text{1}}-1}\cdot {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\prod }}\left(q_i-1\right)}=2^{x+1}\cdot q^y$，可得 $m=q^b{\displaystyle \underset{i=2}{\overset{t}{\prod }}{q}_i}$， $q_i=2^{s_i}{3}^{t_i}+1$ ( $s_i\ge \text{1},t_i\ge 0$ )，当 $t=0$ 时， $s\ge 2$，故 $x={\displaystyle \underset{i=\text{2}}{\overset{t}{\sum }}{s}_i}-1$， $y={\displaystyle \underset{i=2}{\overset{t}{\sum }}{t}_i}+b-1$ 。

情况4.4：当 ${\beta }_1\ge 2$， ${\beta }_2\ge 2$， ${\beta }_i=1$ ( $i\ge 3,i\in N^{+}$ )时，有 $q_1^{{\beta }_1-1}\cdot q_2^{{\beta }_2-1}\cdot {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\prod }}\left(q_i-1\right)}=2^{x+1}\cdot q^y$ 。

情况4.4.1：当 $q_1=2$， $q_2=q$， $q_i=q_i$ ( $q_i\ge \text{7}$ 且为质数， $i\ge \text{3}$ )时， ${\text{2}}^{{\beta }_{\text{1}}}\cdot q^{{\beta }_2-1}\cdot {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\prod }}\left(q_i-1\right)}=2^{x+1}\cdot q^y$，可得 $m={\text{2}}^a{q}^b{\displaystyle \underset{i=3}{\overset{t}{\prod }}{q}_i}$， $q_i=2^{s_i}{3}^{t_i}+1$ ( $s_i\ge 0,t_i\ge 0$ )，故 $x={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\sum }}{s}_i}+a-2$， $y={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\sum }}{t}_i}+b-1$ 。其中 $s=1$， $t=0$ 不能同时取。

3.2. 情况B

由于当 $q=\text{3}$ 时，必有 $p=\text{2}$，与定理1相同，故下面讨论 $p\ne 2$， $q\ne 3$ 时的情况

当 $p\ne 2$， $q\ne 3$ 时， $p,q\ge \text{5}$， ${\phi }_2\left(m\right)=p^x{q}^y$，则

$q_1^{{\beta }_1-1}\cdot q_2^{{\beta }_2-1}\cdots q_t^{{\beta }_t-1}\cdot \left(q_1-1\right)\cdot \left(q_2-1\right)\cdots \left(q_t-1\right)=2\cdot p^x\cdot q^y$ (3.2)

情况1：t = 1：当 $t=\text{1}$ 时， $q_1^{{\beta }_1-1}\cdot \left(q_1-1\right)=2\cdot p^x\cdot q^y$

情况1.1：当 ${\beta }_{\text{1}}=\text{1}$ 时， $m=q_{\text{1}}$， $q_1=2\cdot p^{s_1}\cdot q^{t_1}+1$ ( $s_{\text{1}}\ge \text{1},t_{\text{1}}\ge 0$ )，故 $x=s_{\text{1}}$， $y=t_{\text{1}}$ (当 $t=0$ 时， $s\ge 2$ ； $s\ge 1$ 时， $t\ge 1$ )。

情况1.2：当 ${\beta }_{\text{1}}\ge \text{2}$ 时， $q_1^{{\beta }_1-1}\cdot \left(q_1-1\right)=2\cdot p^x\cdot q^y$ 。通过分析易知 $q_{\text{1}}\ne \text{2}$，则 $q_{\text{1}}=p$ 或者 $q_{\text{1}}=q$ 。

情况1.2.1：当 $q_{\text{1}}=p$ 时， $p^{{\beta }_1-1}\cdot \left(p-1\right)=2\cdot p^x\cdot q^y$，可得 $p=\text{3}$， $m=3^a$ ( $a\ge \text{2}$ )，此时只有在 $a=\text{2}$ 下有解。

$p=2\cdot p^{s_1}\cdot q^{t_1}+1$ ( $s_{\text{1}}=0,t_{\text{1}}=0$ )，故 $x=s_{\text{1}}$， $y=t_1$ 。

情况1.2.2：当 $q_{\text{1}}=q$ 时， $q^{{\beta }_1-1}\cdot \left(q-1\right)=2\cdot p^x\cdot q^y$，可得 $m=q^b$ ( $b\ge \text{2}$ )， $q=2\cdot p^{s_1}\cdot q^{t_1}+1$ ( $s_{\text{1}}\ge 0,t_{\text{1}}=0$ )，故 $x=s_{\text{1}}$， $y=t_1+b-1$ 。

情况2：t = 2当 $t=\text{2}$ 时， $q_1^{{\beta }_1-1}\cdot \left(q_1-1\right)\cdot q_{\text{2}}^{{\beta }_{\text{2}}-1}\cdot \left(q_{\text{2}}-1\right)=2\cdot p^x\cdot q^y$ 。

情况2.1：当 ${\beta }_1={\beta }_2=\text{1}$ 时，有 $\left(q_1-1\right)\cdot \left(q_{\text{2}}-1\right)=2\cdot p^x\cdot q^y$，由于 $q_{\text{1}}\ne \text{2}$，易知 $\text{2}|\left(q_{\text{1}}-\text{1}\right)$， $\text{2}|\left(q_{\text{2}}-\text{1}\right)$ 方程不成立，无解。

情况2.2：当 ${\beta }_1\ge 2$， ${\beta }_2=1$ 时，有 $q_1^{{\beta }_1-1}\cdot \left(q_1-1\right)\cdot \left(q_2-1\right)=2\cdot p^x\cdot q^y$，无解。

情况2.3：当 ${\beta }_1=1$， ${\beta }_2\ge 2$ 时，有 $\left(q_1-1\right)\cdot q_2^{{\beta }_2-1}\cdot \left(q_{\text{2}}-1\right)=2^{x+1}\cdot q^y$，无解。

情况2.4：当 ${\beta }_1\ge 2$， ${\beta }_2\ge 2$ 时，有 $q_{\text{1}}^{{\beta }_1-1}\cdot q_{\text{2}}^{{\beta }_2-1}\cdot \left(q_1-1\right)\cdot \left(q_{\text{2}}-1\right)=2^{x+1}\cdot q^y$，无解。

情况3：t ≥ 3当 $t\ge \text{3}$ 时， ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\prod }}{q}_i^{{\beta }_i-1}}\cdot \left(q_1-1\right)=2\cdot p^x\cdot q^y$，无解。

于是定理2得证。

4. 方程 ${\phi }_2\left(m\right)=p_1^{{\alpha }_1}\cdot p_2^{{\alpha }_2}\cdot p_3^{{\alpha }_3}\cdot \cdot \cdot p_v^{{\alpha }_v}$ 的解

本节将在前面两个定理的基础上，延申到更加一般的情况：即 ${\phi }_2\left(m\right)=p_{\text{1}}^{{\alpha }_{\text{1}}}\cdot p_{\text{2}}^{{\alpha }_{\text{2}}}\cdot p_{\text{3}}^{{\alpha }_{\text{3}}}\cdot \cdot \cdot p_v^{{\alpha }_v}$ (令 $p_1\le p_2\le \cdot \cdot \cdot \le p_v$ 且均为质数)，由分析知，必有 $p_{\text{1}}=\text{2}$ 。则 ${\phi }_2\left(m\right)=2^{{\alpha }_1+1}\cdot p_{\text{2}}^{{\alpha }_{\text{2}}}\cdot p_{\text{3}}^{{\alpha }_{\text{3}}}\cdot \cdot \cdot p_v^{{\alpha }_v}$ ( ${\alpha }_1\ge -1$ )。由 $m=q_1^{{\beta }_1}\cdot q_2^{{\beta }_2}\cdot \cdot \cdot q_t^{{\beta }_t}$，其中 $q_1<q_2<\cdots <q_t$ 且均为质数，则可得，

$q_1^{{\beta }_1-1}\cdot q_2^{{\beta }_2-1}\cdot \cdot \cdot q_t^{{\beta }_t-1}\cdot \left(q_1-1\right)\cdot \left(q_2-1\right)\cdot \cdot \cdot \left(q_t-1\right)=2^{{\alpha }_1+1}\cdot p_{\text{2}}^{{\alpha }_{\text{2}}}\cdot p_{\text{3}}^{{\alpha }_{\text{3}}}\cdot \cdot \cdot p_v^{{\alpha }_v}$ (4.1)

其中必有 $t\le v$，因为当 $t>v$ 时，方程(4.1)无解。

4.1. 情况1

当 $t=\text{1}$ 时， $q_1^{{\beta }_{\text{1}}-1}\cdot \left(q_1-1\right)=2^{{\alpha }_1+1}\cdot p_{\text{2}}^{{\alpha }_{\text{2}}}\cdot p_{\text{3}}^{{\alpha }_{\text{3}}}\cdot \cdot \cdot p_v^{{\alpha }_v}$ (令 $p\le q$ )

情况1.1.1：当 ${\beta }_1=\text{1}$ 时，由 $q_1-1=2^{{\alpha }_1+1}\cdot p_{\text{2}}^{{\alpha }_{\text{2}}}\cdot p_{\text{3}}^{{\alpha }_{\text{3}}}\cdot \cdot \cdot p_v^{{\alpha }_v}$，可得 $m=q_{\text{1}}$， $q_1=2^{s_{1_1}}\cdot p_{\text{2}}^{s_{{\text{2}}_1}}\cdot p_{\text{3}}^{s_{{\text{3}}_1}}\cdot \cdot \cdot p_v^{s_{v_1}}+1$ (其中 $s_{v_i}\ge 0$ )， $i=\left[1,t\right]$， ${\alpha }_{\text{1}}=s_{1_1}-1$， ${\alpha }_j=s_{v_i}$， $j=\left[\text{2},t\right]$ 。

情况1.1.2：当 ${\beta }_{\text{1}}\ge \text{2}$ 时，由 $q_1^{{\beta }_1-1}\cdot \left(q_1-1\right)=2^{{\alpha }_1+1}\cdot p_{\text{2}}^{{\alpha }_{\text{2}}}\cdot p_{\text{3}}^{{\alpha }_{\text{3}}}\cdot \cdot \cdot p_v^{{\alpha }_v}$，易知 $q_1=p_u$， $u\in \left[2,t\right]$，可得 $m=q_1^{b_1}$， $q_1=2^{s_{1_1}}\cdot p_{\text{2}}^{s_{{\text{2}}_1}}\cdot p_{\text{3}}^{s_{{\text{3}}_1}}\cdot \cdot \cdot p_v^{s_{v_1}}+1$， $s_{u_1}$ (其中 $s_{1_1}\ge -1$，且不包含 $p_u$ 这一素数)， ${\alpha }_{\text{1}}=s_{1_1}-1$， ${\alpha }_j=s_{j_1}$， $j=\left[\text{2},t\right]$ ${\alpha }_u=s_{u_1}+b_1-1$ ( $s_{u_1}=0$ ) $s_{u_1}$ 之后也为0。

4.2. 情况2

当 $t=\text{2}$ 时， $q_1^{{\beta }_1-1}\cdot \left(q_1-1\right)\cdot q_2^{{\beta }_2-1}\cdot \left(q_1-1\right)=2^{{\alpha }_1+1}\cdot p_{\text{2}}^{{\alpha }_{\text{2}}}\cdot p_{\text{3}}^{{\alpha }_{\text{3}}}\cdot \cdot \cdot p_v^{{\alpha }_v}$ (令 $p\le q$ )

情况2.1.1：当 ${\beta }_1=\text{1}$ 时，由 $\left(q_1-1\right)\cdot \left(q_{\text{2}}-1\right)=2^{{\alpha }_1+1}\cdot p_{\text{2}}^{{\alpha }_{\text{2}}}\cdot p_{\text{3}}^{{\alpha }_{\text{3}}}\cdot \cdot \cdot p_v^{{\alpha }_v}$，可得 $m=q_{\text{1}}{q}_{\text{2}}$， $q_1=2^{s_{1_1}}\cdot p_{\text{2}}^{s_{{\text{2}}_1}}\cdot p_{\text{3}}^{s_{{\text{3}}_1}}\cdot \cdot \cdot p_v^{s_{v_1}}+1$， $q_{\text{2}}=2^{s_{{\text{1}}_{\text{2}}}}\cdot p_{\text{2}}^{s_{{\text{2}}_{\text{2}}}}\cdot p_{\text{3}}^{s_{3_2}}\cdot \cdot \cdot p_v^{s_{v_2}}+1$， ${\alpha }_1=s_{1_1}+s_{1_2}-1$， ${\alpha }_j=s_{2_1}+s_{2_2}$， $j=\left[\text{2},t\right]$ 。

情况2.1.2：当 ${\beta }_1\ge \text{2}$， ${\beta }_2=1$ 时，有 $q_1^{{\beta }_1-1}\cdot \left(q_1-1\right)\cdot \left(q_{\text{2}}-1\right)=2^{{\alpha }_1+1}\cdot p_{\text{2}}^{{\alpha }_{\text{2}}}\cdot p_{\text{3}}^{{\alpha }_{\text{3}}}\cdot \cdot \cdot p_v^{{\alpha }_v}$，当 $q_1=p_u$ 时， $u\in \left[\text{2},t\right]$，可得 $m=q_1^{b_1}\cdot q_2$ ( $b_{\text{1}}\ge \text{2}$ )， $q_1=2^{s_{1_1}}\cdot p_{\text{2}}^{s_{{\text{2}}_1}}\cdot p_{\text{3}}^{s_{{\text{3}}_1}}\cdot \cdot \cdot p_v^{s_{v_1}}+1$， $q_{\text{2}}=2^{s_{{\text{1}}_{\text{2}}}}\cdot p_{\text{2}}^{s_{{\text{2}}_{\text{2}}}}\cdot p_{\text{3}}^{s_{3_2}}\cdot \cdot \cdot p_v^{s_{v_2}}+1$， ${\alpha }_1=s_{1_1}+s_{1_2}-1$， ${\alpha }_j=s_{j_1}+s_{j_2}$，其中 $j=\left[\text{2},t\right]$， ${\alpha }_u=s_{u_1}+b_1-1$ ( $s_{u_1}=0$ ) $s_{u_1}$ 之后也为0。

情况2.1.3：当 ${\beta }_1\ge \text{2}$， ${\beta }_2\ge \text{2}$ 时，由 $q_1^{{\beta }_1-1}\cdot \left(q_1-1\right)\cdot q_2^{{\beta }_2-1}\cdot \left(q_{\text{2}}-1\right)=2^{{\alpha }_1+1}\cdot p_{\text{2}}^{{\alpha }_{\text{2}}}\cdot p_{\text{3}}^{{\alpha }_{\text{3}}}\cdot \cdot \cdot p_v^{{\alpha }_v}$，易知 $q_1=p_{u_{\text{1}}},q_2=p_{u_2}$，可得 $m=q_1^{b_1}\cdot q_2^{b_2}$， $q_1=2^{s_{1_1}}\cdot p_{\text{2}}^{s_{{\text{2}}_1}}\cdot p_{\text{3}}^{s_{{\text{3}}_1}}\cdot \cdot \cdot p_v^{s_{v_1}}+1$， $q_{\text{2}}=2^{s_{{\text{1}}_{\text{2}}}}\cdot p_{\text{2}}^{s_{{\text{2}}_{\text{2}}}}\cdot p_{\text{3}}^{s_{3_2}}\cdot \cdot \cdot p_v^{s_{v_2}}+1$， ${\alpha }_{\text{1}}=s_{1_1}+s_{1_2}-1$， ${\alpha }_j=s_{j_1}+s_{j_2}$， $j=\left[\text{2},t\right]$， ${\alpha }_u{}_{\text{1}}=s_{u_1}+b_1-1$ ( $s_{u_1}=0$ ) $s_{u_1}$ 之后也为0， ${\alpha }_{u\text{2}}=s_{u_{\text{2}}}+b_2-1$ ( $s_{u_1}=0$ ) $s_{u_{\text{2}}}$ 之后也为0。

4.3. 情况3

当 $t\ge \text{3}$ 时， ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\prod }}{q}_i{}^{{\beta }_i-1}\cdot \left(q_i-1\right)}=2^{{\alpha }_1+1}\cdot p_{\text{2}}^{{\alpha }_{\text{2}}}\cdot p_{\text{3}}^{{\alpha }_{\text{3}}}\cdot \cdot \cdot p_v^{{\alpha }_v}$ 。

情况3.1.1：当 ${\beta }_1=\text{1}$ 时，由 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\prod }}\left(q_i-1\right)}=2^{{\alpha }_1+1}\cdot p_{\text{2}}^{{\alpha }_{\text{2}}}\cdot p_{\text{3}}^{{\alpha }_{\text{3}}}\cdot \cdot \cdot p_v^{{\alpha }_v}$，可得 $m=q_1{q}_2\cdots q_t$， $q_i=2^{s_{i_1}}\cdot p_{\text{2}}^{s_{i_1}}\cdot p_{\text{3}}^{s_{i_1}}\cdot \cdot \cdot p_v^{s_{i_1}}+1$， ${\alpha }_{\text{1}}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\sum }}{s}_{i_1}}-1$， ${\alpha }_j={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{v}{\sum }}{s}_{j_1}}$， $j=\left[\text{2},t\right]$ 。

情况2.1.2：当 ${\beta }_1\ge \text{2}$， ${\beta }_2={\beta }_3=\cdots ={\beta }_t=\text{1}$ 时，有 $q_1^{{\beta }_1-1}\cdot {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\prod }}\left(q_1-1\right)}=2^{{\alpha }_1+1}\cdot p_{\text{2}}^{{\alpha }_{\text{2}}}\cdot p_{\text{3}}^{{\alpha }_{\text{3}}}\cdot \cdot \cdot p_v^{{\alpha }_v}$，当 $q_1=p_u$ 时， $u\in \left[\text{2},t\right]$，可得 $m=q_1^{b_1}\cdot q_2\cdot \cdot \cdot q_t$ ( $b_{\text{1}}\ge \text{2}$ )， $q_i=2^{s_{i_1}}\cdot p_{\text{2}}^{s_{i_1}}\cdot p_{\text{3}}^{s_{i_1}}\cdot \cdot \cdot p_v^{s_{i_1}}+1$， ${\alpha }_{\text{1}}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\sum }}{s}_{i_1}}-1$， ${\alpha }_j={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{v}{\sum }}{s}_{j_1}}$， $j=\left[\text{2},t\right]$， ${\alpha }_u=s_{u_1}+b_1-1$ ( $s_{u_1}=0$ )， $s_{u_1}$ 之后也为0。

情况2.1.3：当 ${\beta }_1\ge \text{2}$， ${\beta }_2\ge \text{2}$， ${\beta }_3={\beta }_4=\cdots ={\beta }_t=\text{1}$ 时，由 $q_1^{{\beta }_1-1}\cdot q_2^{{\beta }_2-1}\cdot {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\prod }}\left(q_1-1\right)}=2^{{\alpha }_1+1}\cdot p_{\text{2}}^{{\alpha }_{\text{2}}}\cdot p_{\text{3}}^{{\alpha }_{\text{3}}}\cdot \cdot \cdot p_v^{{\alpha }_v}$，易知 $q_1=p_{u_{\text{1}}}$， $q_2=p_{u_2}$，可得 $m=q_1^{b_1}\cdot q_2^{b_2}\cdot q_3\cdot \cdot \cdot q_t$ ( $b_{\text{1}}\ge \text{2},b_{\text{2}}\ge \text{2}$ )， $q_i=2^{s_{i_1}}\cdot p_{\text{2}}^{s_{i_1}}\cdot p_{\text{3}}^{s_{i_1}}\cdot \cdot \cdot p_v^{s_{i_1}}+1$， ${\alpha }_1={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\sum }}{s}_{i_1}}-1$， ${\alpha }_j=s_{j_1}+s_{j_2}$， $j=\left[\text{2},t\right]$， ${\alpha }_u{}_{\text{1}}=s_{u_1}+b_1-1$ ( $s_{u_1}=0$ ) $s_{u_1}$ 之后也为0。 ${\alpha }_{u\text{2}}=s_{u_{\text{2}}}+b_2-1$ ( $s_{u_1}=0$ ) $s_{u_{\text{2}}}$ 之后也为0。

情况2.1.4：当 ${\beta }_1\ge \text{2}$， ${\beta }_2\ge \text{2}$， ${\beta }_3\ge \text{2}$， ${\beta }_4={\beta }_5=\cdots ={\beta }_t=1$ 时，由 $q_1^{{\beta }_1-1}\cdot q_2^{{\beta }_2-1}\cdot q_3^{{\beta }_{\text{3}}-1}\cdot {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\prod }}\left(q_1-1\right)}=2^{{\alpha }_1+1}\cdot p_{\text{2}}^{{\alpha }_{\text{2}}}\cdot p_{\text{3}}^{{\alpha }_{\text{3}}}\cdot \cdot \cdot p_v^{{\alpha }_v}$，易知 $q_1=p_{u_{\text{1}}},q_2=p_{u_2},q_{\text{3}}=p_{u_{\text{3}}}$，可得 $m=q_1^{b_1}\cdot q_2^{b_2}\cdot q_3^{b_3}\cdot \cdot \cdot q_t$ ( $b_{\text{1}}\ge \text{2},b_{\text{2}}\ge \text{2},b_{\text{3}}\ge \text{2}$ )， $q_i=2^{s_{i_1}}\cdot p_{\text{2}}^{s_{i_1}}\cdot p_{\text{3}}^{s_{i_1}}\cdot \cdot \cdot p_v^{s_{i_1}}+1$， ${\alpha }_{\text{1}}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\sum }}{s}_{i_1}}-1$， ${\alpha }_j=s_{j_1}+s_{j_2}$， $j=\left[\text{2},t\right]$， ${\alpha }_u{}_{\text{1}}=s_{u_1}+b_1-1$ ( $s_{u_1}=0$ )， $s_{u_1}$ 之后也为0。 ${\alpha }_{u\text{2}}=s_{u_{\text{2}}}+b_2-1$ ( $s_{u_1}=0$ )， $s_{u_{\text{2}}}$ 之后也为0。

${\alpha }_{u\text{3}}=s_{u_{\text{3}}}+b_{\text{3}}-1$ ( $s_{u_1}=0$ ) $s_{u_{\text{2}}}$ 之后也为0。

由此可得，当 ${\beta }_i\ge \text{2}$ 时， $m=q_1^{b_1}\cdot q_2^{b_2}\cdot q_3^{b_3}\cdot \cdot \cdot q_t^{b_t}$ 。

将以上讨论概括为以下两个情况：

情况1： $t=v$，当 $q_t=p_v$ ( $v=t+\text{1}$ )时， ${\alpha }_1={\beta }_1-2$， $q_{\text{1}}=\text{2}$， ${\alpha }_i={\beta }_i$ ( $i=\left[2,v\right]$ )，且 $q_i=2^{a_i}+1$ ( $a_i\ge 0$ )。

情况2： $t>v$，必有 $q_t>p_v$， $q_j=p_j$， $j=\left[1,u\right]$，其中 $u<v$，则 ${\beta }_{u+1},{\beta }_{u+2},\cdots ,{\beta }_v=1$，且 $q_i=2^{s_{i_1}}\cdot p_{\text{2}}^{s_{i_1}}\cdot p_{\text{3}}^{s_{i_1}}\cdot \cdot \cdot p_v^{s_{i_1}}+1$， $i=\left[u+1,v\right]$ 。

于是定理3得证。

致谢

作者衷心感谢阿坝师范学院杨仕椿教授的悉心指导与无私教诲！

基金项目

全国大学生创新训练项目(201810646012)，阿坝师范学院教学科研项目(201805087, 20170203, 20171510, 20171515)。