一种新非Lipschitz条件下倒向随机微分方程的L2
L2 Solutions of BSDEs with a New Kind of Non-Lipschitz
DOI: 10.12677/AAM.2019.88155, PDF, HTML, XML, 下载: 1,213  浏览: 1,524  国家自然科学基金支持
作者: 李师煜, 但李萍, 杨璐帆:江西理工大学理学院,江西 赣州
关键词: 倒向随机微分方程连续局部鞅非Lipschitz条件存在性唯一性Backward Stochastic Differential Equation Continuous Local Martingale Non-Lipschitz Existence Uniqueness
摘要: 经典的倒向随机微分方程是由布朗运动驱动的,但布朗运动是一种非常特殊的随机过程,致使倒向随机微分方程的应用受到相当大的限制。本文研究了以连续局部鞅为干扰源的一维倒向随机微分方程,在生成元满足一种新非Lipschitz条件下,证明了其L2解存在且唯一。
Abstract: The classical backward stochastic differential equation (BSDE) is driven by the Brownian motion, but Brownian motion is a very special stochastic process, so the application of backward stochastic differential equation is quite limited. In this paper, we are interested in solving one-dimensional backward stochastic differential equations (BSDEs) with a new kind of non-Lipschitz coefficients. We establish an existence and uniqueness result of solutions in L2.
文章引用:李师煜, 但李萍, 杨璐帆. 一种新非Lipschitz条件下倒向随机微分方程的L2解[J]. 应用数学进展, 2019, 8(8): 1321-1326. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.88155

1. 引言

倒向随机微分方程在金融数学、最优控制、随机决策和偏微分方程等领域中有着广阔的应用前景。经典的倒向随机微分方程是由布朗运动驱动的,1990年Pardoux和Peng [2] 给出了Lipschitz条件下解的存在唯一性结果。然而Lipschitz条件太强,布朗运动太过于理想化,致使倒向随机微分方程的应用受到相当大的限制。因此,一方面,许多学者开始研究各种非Lipschitz条件下的倒向随机微分方程来改进Pardoux和Peng的关于解的存在唯一性,例如,Fan [1] ,Mao [3] ,Lepeltier和Martin [4] ,Kobylanski [5] 分别给出了非Lipschitz条件下解的存在唯一结果。另一方面,有相当多的学者研究了其他干扰源驱动的倒向随机微分方程,其中,李娟 [6] 研究了连续局部鞅驱动的Lipschitz条件下的倒向随机微分方程,王湘君 [7] 研究过由连续半鞅驱动的Lipschitz条件下的倒向随机微分方程。本文中,我们研究了由连续局部鞅驱动的倒向随机微分方程在Fan [1] 中非Lipschitz条件下解的存在唯一性。

2. 主要结果

( Ω , , F , { F t } t 0 , P ) 为一个带信息流的完备的概率空间,其中流 { F t } t 0 满足通常条件,记 P 为可料 σ 域。 M = { M t , F t : 0 t < } 为一个连续局部鞅,并且 M 0 = 0 M 为M的平方变差过程。 T > 0 为一个任意固定的数,称为时间区间。

首先给出几个相关记号:

1) 用 L M ( 0 , T ; R n ) 表示所有使得 x M 2 = E 0 T | y ( s ) | 2 d M s < + F t -适应的 R n 值的过程 x = x ( s ) 的集合。当 n = 1 时简记为 L M

2) 用 L M ( 0 , T ; R n × d ) 表示所有使得 y M 2 = E 0 T | z ( s ) | 2 d M s < + F t 可料的 R n × d 值的过程 y = y ( s ) 的集合。当 n = d = 1 时简记为 L M

3) 用 L 2 ( Ω , F T , P ; R n ) 表示所有满足 F T -可测的 R n 值的随机变量 ξ 的集合。当 n = 1 时简记为 L 2 ( Ω , F T , P )

以下,我们将讨论如下形式的一维倒向随机微分方程:

(1)

其中, y ( s ) F t 适应的过程, z ( s ) F t 可料的过程, ξ L 2 ( Ω , F T , P ) { M t , F t ; 0 t < + } 为具有零初值的连续局部鞅,具有可料表示性,且 M T 为有界的,即存在正常数 C 1 ,使得 M T C 1 ,a.s.,函数 g : Ω × [ 0 , T ] × R × R R P Β ( R ) Β ( R ) 可测的。

假设方程(1)满足以下条件:

(H1) g ( , 0 , 0 ) L M

(H2) 存在一个单调不减凹函数 ρ ( ) : R + R + ,使得 y 1 , y 2 R , z R , d P × d t a . e .

| g ( w , t , y 1 , z ) g ( w , t , y 2 , z ) | 2 ρ ( | y 1 y 2 | 2 )

其中 ρ ( 0 ) = 0 u > 0 0 + d u ρ ( u ) = +

(H3)存在一个常数 C 0 ,使得 y R , z 1 , z 2 R , d P × d t a . e .

| g ( w , t , y , z 1 ) g ( w , t , y , z 2 ) | 2 C ( | z 1 z 2 | 2 )

(H4) E [ ( 0 T | g ( t , 0 , 0 ) | d M t ) 2 ] < +

注1: ρ ( ) 是一个单调不减凹函数,且 ρ ( 0 ) = 0 ,即 ρ ( ) 几乎处处是线性增长的,存在一个常数 A > 0 ,使得对 x 0 ,有 ρ ( x ) A ( x + 1 )

定理1 设函数g满足(H1)—(H4), ξ L 2 ( Ω , F T , P ) ,则倒向随机微分方程(1)在 L 2 中有唯一的解。

3. 引理

为了证明定理1,我们还需要用到下面的引理。我们首先来构造倒向随机微分方程(1)的Picard逼近序列,由如下的倒向随机微分方程所定义:

y t 0 = 0 ; y t n = ξ + t T [ g ( s , y s n 1 , z s n ) ] d M s t T z s n d M s , 0 t T (2)

其中,生成元 g ( s , y s n 1 , z s n ) 满足(H3)和(H4),由文献 [8] 定理4.2得,对 n 1 ,方程(2)在 L 2 中有唯一的解 ( y t n , z t n ) t [ 0 , T ]

由注1和(H2),容易得

| g ( s , y s n 1 , 0 ) | | g ( s , 0 , 0 ) | + ρ 1 2 ( | y s n 1 | 2 ) | g ( s , 0 , 0 ) | + A 1 2 ( | y s n 1 | + 1 )

E [ ( 0 T | g ( s , y s n 1 , 0 ) | d M s ) 2 ] 4 E [ ( 0 T | g ( s , 0 , 0 ) | d M s ) 2 ] + A ( 2 T ) 2 ( E [ sup s [ 0 , T ] | y s n 1 | 2 ] + 1 )

引理1 在定理1的假设下,存在一个常数 c 1 > 0 和常数 K > 0 ,且 c 1 只依赖于C,K只依赖于C和T,

使得对任意的 t [ 0 , T ] , n,m ≥ 1 ,有

E [ sup s [ t , T ] | y s n + m y s n | 2 ] 1 2 e c 1 ( T t ) t T ρ ( E [ | y s n + m 1 y s n 1 | 2 ] ) d M s (3)

E [ sup s [ t , T ] | z s n + m z s n | ] K { E [ sup s [ t , T ] | y s n + m y s n | 2 ] + t T ρ ( E [ | y s n + m 1 y s n 1 | 2 ] ) d M s } (4)

证明:由方程(2),得 ( y t n + m y t n , z t n + m z t n ) t [ 0 , T ] 是如下方程(5)在 L 2 中的解

y t = t T [ f n , m ( s , z s ) ] d M s t T z s d M s , 0 t T (5)

其中 f n , m ( s , z s ) = g ( s , y s n + m 1 , z + z s n ) g ( s , y s n 1 , z s n )

由(H2)和(H3),得

| f n , m ( s , z s ) | ρ 1 2 ( | y s n + m 1 y s n 1 | 2 ) + C | z | (6)

(6)式意味着方程(5)的生成元 f n , m ( s , z s ) 满足文献 [1] 命题1中的假设(A),即 ψ ( ) 0 λ = C f t 0 φ t = ρ 1 2 ( | y s n + m 1 y s n 1 | 2 ) 。又因为 ρ ( ) 是一个凹函数,所以由文献 [1] 命题1和命题2,应用Fubini定理和

Jensen不等式,即可得(3)式和(4)式。 证毕。

引理2 在定理1的假设下,存在一个不依赖于 ξ T 1 [ 0 , T ] ,常数 M 0 ,使得对 t [ T 1 , T ] , n 1 ,有 E [ sup r [ t , T ] | y r n | 2 ] N

证明:由定理1的假设,得

| g ( s , y s n 1 , z ) | | g ( s , y s n 1 , z ) g ( s , 0 , 0 ) | + | g ( s , 0 , 0 ) | ρ 1 2 ( | y s n 1 | 2 ) + C | z | + | g ( s , 0 , 0 ) |

即方程(2)的生成元 g ( s , y s n 1 , z s n ) 满足文献 [1] 命题1中的假设(A)。

又因为 ρ ( ) 是一个凹函数,所以由文献 [1] 命题2,应用Fubini定理和Jensen不等式,存在两个只依

赖于C的正常数 c 2 c 3 ,使得对 t [ 0 , T ] , n 1 ,有

E [ sup r [ t , T ] | y r n | 2 ] μ t + 1 2 e c 3 ( T t ) t T ρ ( E [ | y s n 1 | 2 ] ) d M s (7)

其中 μ t = c 2 e c 3 ( T t ) { E | ξ | 2 + E [ ( t T | g ( s , 0 , 0 ) | d M s ) 2 ] } 0

N = 2 μ 0 + 2 A T T 1 = max { T ln 2 c 1 , T ln 2 c 3 , T 1 2 A , 0 } ,其中 c 1 是引理1中的,A是注1中的,则对,有

1 2 e c 1 ( T t ) 1 , 1 2 e c 3 ( T t ) , A ( T t ) 1 2 (8)

由(7)和(8),得

E [ sup r [ t , T ] | y r n | 2 ] μ 0 + 1 2 e c 3 ( T t ) t T ρ ( E [ | y s n 1 | 2 ] ) d M s , t [ T 1 , T ] (9)

又因为 ρ ( ) 是一个单调不减函数,由(9)式,注1和(8)式,得 t [ T 1 , T ]

E [ sup r [ t , T ] | y r n | 2 ] N ,证毕。

4. 定理1的证明

先证存在性。先定义一个函数列 { φ n ( t ) } n 1 如下:

φ 0 ( t ) = t T ρ ( N ) d M s ; φ n + 1 ( t ) = t T ρ ( φ n ( s ) ) d M s (10)

t [ T 1 , T ] ,由引理2,得

φ 0 ( t ) = t T ρ ( N ) d M s M

φ 1 ( t ) = t T ρ ( φ 0 ( s ) ) d M s t T ρ ( N ) d M s = φ 0 ( t ) M

φ 2 ( t ) = t T ρ ( φ 1 ( s ) ) d M s t T ρ ( φ 0 ( s ) ) d M s = φ 1 ( t ) M

由数学归纳法,可得

0 φ n + 1 ( t ) φ n ( t ) φ 1 ( t ) φ 0 ( t ) M

因此,对 t [ T 1 , T ] ,函数列 { φ n ( t ) } n 1 极限存在,记为 φ ( t )

因为 ρ ( ) 是一个连续函数,且 ρ ( φ n ( s ) ) ρ ( N ) ,令 n ,对(10)式取极限,由Lebesgue收敛定理,对 t [ T 1 , T ] ,有

E [ sup r [ t , T ] | y r n | 2 ] N

E [ sup r [ t , T ] | y r 1 + m y r 1 | 2 ] t T ρ ( E [ | y s m | 2 ] ) d M s t T ρ ( N ) d M s = φ 0 ( t ) M

E [ sup r [ t , T ] | y r 2 + m y r 2 | 2 ] t T ρ ( E [ | y r 1+ m y r 1 | 2 ] ) d M s t T ρ ( φ 0 ( s ) ) d M s = φ 1 ( t ) M

由数学归纳法,可得

E [ sup r [ T 1 , T ] | y r n+ m y r n | 2 ] φ n 1 ( T 1 ) 0 , n

{ y t n } n 1 是cauchy序列,又因为 ρ ( ) 是一个连续函数,由引理1中的(4)式知, { z t n } n 1 也是cauchy序列,它们的极限分别记为 { y t } t [ T 1 , T ] { y t } t [ T 1 , T ] 。令 n ,对(2)式取极限,可得 { y t , z t } 是具有参数 ( ξ , T , g ) 的BSDE在 [ T 1 , T ] L 2 解。

可以通过迭代可得, l ,方程(1)在有解,因此可得,方程(1)在 [ 0 , T ] 上解的存在性。

再证唯一性:设 { y t 1 , z t 1 } t [ 0 , T ] { y t 2 , z t 2 } t [ 0 , T ] 都是方程(1)的 L 2 解,则

是如下方程(11)的 L 2 解。

y t = t T [ g ^ ( s , y s , z s ) ] d M s t T z s d M s , 0 t T (11)

其中, g ^ ( s , y s , z s ) = g ( s , y + y s 2 , z + z s 2 ) g ^ ( s , y s 2 , z s 2 )

由(H2)和(H3),可得 | g ^ ( s , y s , z s ) | ρ 1 2 ( | y | 2 ) + C | z | ,即方程(11)的生成元满足文献 [1] 命题

1中的假设(A)。

由文献 [1] 命题1和命题2,存在一个只依赖于C的正常数 c 4 和一个只依赖于C和T的正常数 c 5 ,使

得对 t [ 0 , T ] ,有

E [ | y t 1 y t 2 | 2 ] 1 2 e c 4 ( T t ) t T ρ ( E [ | y s 1 y s 2 | 2 ] ) d M s (12)

E [ ( t T | z s 1 z s 2 | 2 d M s ) ] c 5 { E [ sup s [ t , T ] | y s 1 y s 2 | 2 ] + ρ ( E [ sup s [ t , T ] | y s 1 y s 2 | 2 ] ) } (13)

对(12)式应用Bihari’s不等式,得 E [ | y t 1 y t 2 | 2 ] = 0 , t [ 0 , T ] ,因此 y t 1 = y t 2 , t [ 0 , T ] , a . s . ,再由(13)式,又可得 z t 1 = z t 2 , t [ 0 , T ] , a . s . ,唯一性得证。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(11561028,11801238),江西省教育厅青年科学基金资助项目(GJJ170566,GJJ170567,GJJ170525),江西理工大学大学生创新创业训练项目(DC2018-072),江西理工大学本科教学工程项目(XZG-16-01-05)。

参考文献

[1] Fan, S.J. and Jiang, L. (2014) Lp Solutions of BSDEs with a New Kind of Non-Lipschitz Coefficients. Mathematics, arXiv: 1402.6773.
[2] Pardoux, E. and Peng, S. (1990) Adapted Solution of a Backward Stochastic Differential Equation. Systems Control Letters, 14, 55-66.
https://doi.org/10.1016/0167-6911(90)90082-6
[3] Mao, X. (1995) Adapted Solution of Backward Stochastic Differential Equations with Non-Lipschitz Coefficients. Stochastic Processes and Their Applications, 58, 281-292.
https://doi.org/10.1016/0304-4149(95)00024-2
[4] Leltier, J.P. and Martin, J.S. (1997) Backward Stochastic Differential Equation with Continuous Coefficient. Statistics & Probability Letters, 32, 425-430.
[5] Kobylanski, M. (2000) Backward Stochastic Differential Equations and Partial Differential Equations with Quadratic Growth. The Annals of Probability, 18, 259-276.
[6] 李娟. 一般鞅驱动的倒向随机微分方程[J]. 山东大学学报(理学版), 2005, 40(4): 70-76.
[7] 王湘君. 由连续半鞅驱动的倒向随机微分方程[J]. 数学杂志, 1999, 19(1): 45-50.
[8] Briand, P., Delyon, B., Hu, Y., Pardoux, E. and Stoica, L. (2003) Lp Solutions of Backward Stochastic Differential Equations. Stochastic Processes and Their Applications, 108, 109-129.
https://doi.org/10.1016/S0304-4149(03)00089-9