一类特殊亚纯函数的唯一性

Unique Range Sets for a Kind of Special Meromorphic Functions

摘要: 在亚纯函数唯一性研究方面，一个未彻底解决的问题就是：关于亚纯函数CM型唯一性象集的最小基数到底是多少。本文对该问题作了进一步研究，证明了：在附加一定限制条件的一类特殊亚纯函数的唯一性象集的基数可以是5或4。

Abstract: In the study of uniqueness of meromorphic functions, an unsolved problem is: what is the minimum cardinality of CM-type unique image set of meromorphic functions? In this paper, the problem of modification is further studied, and it is proved that the cardinality of the unique image set of a special meromorphic function can be 5 or 4 under certain restrictions.

1. 引言及主要结果

设S是 $\hat{C}$ 的非空子集。如果复平面上的非常数亚纯函数 $f\left(z\right)$ 与 $g\left(z\right)$ 满足条件：对 $\forall a\in S$，若 $z^{*}$ 为方程 $f\left(z\right)-a$ 的p重根，则相应 $\exists b\in S$ 使 $z^{*}$ 亦是方程 $g\left(z\right)-b$ 的p重根，反之亦然。则称S是 $f\left(z\right)$ 与 $g\left(z\right)$ 的CM型分担值集。

Frank G.和Rainders M.证明了如下结果：

定理A [1] 设n为不小于11的整数，c是异于0和1的有限复数，

$S=\left\{z\in C|\frac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{2}{z}^n-n\left(n-2\right)z^{n-1}+\frac{n\left(n-1\right)}{2}{z}^{n-2}-c=0\right\}$,

则S是亚纯函数的CM型唯一性象集。

同年，仪洪勋在文 [2] 中也得到了一个含有11个元素的亚纯函数的CM型唯一性象集，并在该文中提出如下问题：

问题2 [2] 是否存在小于11个元素的亚纯函数的CM型唯一性象集？

在考虑亚纯函数极点“极少”的情况下，方明亮和华歆厚在文 [3] 中证明了下述结果：

定理B [3] 设 $f\left(z\right)$ 和 $g\left(z\right)$ 为非常数亚纯函数，且满足 $\Theta \left(\infty ,f\right)>\frac{11}{12},\Theta \left(\infty ,g\right)>\frac{11}{12}$，则存在含有7个元素的集合S，只要 $f\left(z\right)$ 和 $g\left(z\right)$ CM分担S,就一定有 $f\left(z\right)\equiv g\left(z\right)$。

2001年，王新利改进了定理B并得到如下结论：

定理C [4] 设 $f\left(z\right)$ 和 $g\left(z\right)$ 为非常数亚纯函数，且 $\Theta \left(\infty ,f\right)>\frac{3}{4},\Theta \left(\infty ,g\right)>\frac{3}{4}$。则含有7个元素的集

合S为这类亚纯函数的CM型唯一性象集。

2003年徐炎在文 [5] 中推广并改进了定理B和定理C得到：

定理D [5] 设 $f\left(z\right)$ 和 $g\left(z\right)$ 为非常数亚纯函数，且满足 $\Theta \left(\infty ,f\right)+\Theta \left(\infty ,g\right)>\frac{3}{2}$，则存在含有7个元素

的集合S为这类函数的CM型唯一性象集。

本文对上述问题做了进一步研究，证明了：

定理1 设正数 $\lambda >\frac{\text{13}}{\text{8}}$， $f\left(z\right)$ 和 $g\left(z\right)$ 为开平面C上的非常数亚纯函数，且 $\Theta \left(\infty ,f\right)+\Theta \left(\infty ,g\right)>\lambda ,\Theta \left(0,f\right)+\Theta \left(0,g\right)>\lambda$，如果 $f\left(z\right)$ 和 $g\left(z\right)$ 以 $S=\left\{z|z^5+z^4+1=0\right\}$ 为CM型分担值集，则 $f\left(z\right)=g\left(z\right)$。

推论1 设n为不小于5的整数,若非常数亚纯函数 $f\left(z\right)$ 和 $g\left(z\right)$ 以 $S=\left\{\omega |{\omega }^n+{\omega }^{n-1}+1=0\right\}$ 为CM分担值集，且 $\Theta \left(\infty ,f\right)+\Theta \left(\infty ,g\right)>\frac{\text{13}}{\text{8}},\Theta \left(0,f\right)+\Theta \left(0,g\right)>\frac{\text{13}}{\text{8}}$，则 $f\left(z\right)=g\left(z\right)$。

定理2 设正数 $\lambda >\frac{\text{7}}{\text{4}}$， $f\left(z\right)$ 和 $g\left(z\right)$ 为开平面C上的非常数亚纯函数，且 $\Theta \left(\infty ,f\right)+\Theta \left(\infty ,g\right)>\lambda ,\Theta \left(0,f\right)+\Theta \left(0,g\right)>\lambda$，如果 $f\left(z\right)$ 和 $g\left(z\right)$ 以 $S=\left\{z|z^4+z^3+1=0\right\}$ 为CM型分担值，则 $f\left(z\right)=g\left(z\right)$。

推论2 设n为不小于4的整数，若非常数亚纯函数 $f\left(z\right)$ 和 $g\left(z\right)$ 以 $S=\left\{\omega |{\omega }^n+{\omega }^{n-1}+1=0\right\}$ 为CM分担值集，且 $\Theta \left(\infty ,f\right)+\Theta \left(\infty ,g\right)>\frac{\text{13}}{\text{8}},\Theta \left(0,f\right)+\Theta \left(0,g\right)>\frac{\text{13}}{\text{8}}$，则 $f\left(z\right)=g\left(z\right)$。

2. 几个辅助引理

引理1 [6] 设 $f\left(z\right)$ 为开平面C上的非常数亚纯函数， $a_k\left(z\right)\left(k=1,2\cdots ,p\right)$ 均为 $f\left(z\right)$ 的不恒等于∞的亚纯函数， $Q\left(f\left(z\right)\right)=f^p\left(z\right)+a_1\left(z\right)f^{p-1}\left(z\right)+\cdots +a_p\left(z\right)$，则

$T\left(r,Q\left(f\right)\right)=pT\left(r,f\right)+S\left(r,f\right)$.

引理2 [6] 设 $f\left(z\right)$ 和 $g\left(z\right)$ 为两个非常数亚纯函数，且它们以1为其CM分担值。若

$N_2\left(r,\frac{1}{f}\right)+N_2\left(r,\frac{1}{g}\right)+N_2\left(r,f\right)+N_2\left(r,g\right)<\left(\mu +o\left(1\right)\right)T\left(r\right)\left(r\in I\right)$,

其中 $\mu <1$， $T\left(r\right)=\max \left\{T\left(r,f\right),T\left(r,g\right)\right\}$，I为 $\left(0,\infty \right)$ 的一个具有无穷线性测度的子集合，则 $f\left(z\right)\equiv g\left(z\right)$ 或 $f\left(z\right)\cdot g\left(z\right)\equiv 1$。

引理3 [6] 设 $f\left(z\right)$ 为C上的非常数亚纯函数，p与q都为非负整数， $R\left(f\left(z\right)\right)=\frac{P\left(f\left(z\right)\right)}{Q\left(f\left(z\right)\right)}$，其中系数 $a_k\left(z\right)\left(k=0,1,\cdots ,p\right)$ 和 $a_k\left(z\right)\left(k=0,1,\cdots ,p\right)$ 均为 $f\left(z\right)$ 的不恒等于 $\infty$ 的亚纯小函数，且 $a_p\left(z\right)\ne 0$， $b_q\left(z\right)\ne 0$。 $P\left(w\right)={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{p}{\sum }}{a}_k\left(z\right)w^k}$ 和 $Q\left(z\right)={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{q}{\sum }}{b}_j\left(z\right)w^j}$ 关于w是互质的，则 $T\left(r,R\left(f\right)\right)=\max \left\{p,q\right\}T\left(r,f\right)+S\left(r,f\right)$。

3. 主要结果的证明

定理2的证明：令

$F\left(z\right)=-f^{\text{3}}\left(z\right)\left(f\left(z\right)+1\right)$, $G\left(z\right)=-g^{\text{3}}\left(z\right)\left(g\left(z\right)+1\right)$. (3.1)

则 $F\left(z\right)$ 与 $G\left(z\right)$ 为开平面C上以1为CM分担值的非常数亚纯函数。于是由引理1、定理条件及(3.1)式可得

$T\left(r,F\right)=\text{4}T\left(r,f\right)+S\left(r,f\right)$ (3.2)

$T\left(r,G\right)=\text{4}T\left(r,g\right)+S\left(r,g\right)$ (3.3)

$N_2\left(r,\frac{1}{F}\right)\le 2\bar{N}\left(r,\frac{1}{f}\right)+N\left(r,\frac{1}{f+1}\right)$, $N_2\left(r,F\right)=2\bar{N}\left(r,f\right)$ (3.4)

$N_2\left(r,\frac{\text{1}}{G}\right)\le \text{2}\bar{N}\left(r,\frac{1}{g}\right)+N\left(r,\frac{1}{g+1}\right)$, $N_2\left(r,G\right)=\text{2}\bar{N}\left(r,g\right)$ (3.5)

又由 $\Theta \left(0,f\right)+\Theta \left(0,g\right)>\lambda$

得

$\bar{N}\left(r,\frac{\text{1}}{f}\right)+\bar{N}\left(r,\frac{1}{g}\right)<\left(2-\lambda +o\left(1\right)\right)\left(T\left(r,f\right)+T\left(r,g\right)\right)$ (3.6)

$\Theta \left(\infty ,f\right)+\Theta \left(\infty ,g\right)>\lambda$

得

$\bar{N}\left(r,f\right)+\bar{N}\left(r,g\right)<\left(2-\lambda +o\left(1\right)\right)\left(T\left(r,f\right)+T\left(r,g\right)\right)$ (3.7)

由(3.2)至(3.7)诸式和已知条件得

$\begin{array}{l}{N}_2\left(r,F\right)+N_2\left(r,\frac{1}{F}\right)+N_2\left(r,G\right)+N_2\left(r,\frac{1}{G}\right)\\ \le 2\bar{N}\left(r,f\right)+2\bar{N}\left(r,\frac{1}{f}\right)+N\left(r,\frac{1}{f+1}\right)+2\bar{N}\left(r,g\right)+2\bar{N}\left(r,\frac{1}{g}\right)+N\left(r,\frac{1}{g+1}\right)+S\left(r,f\right)+S\left(r,g\right)\\ \le \text{4}\left(2-\lambda \right)\left(T\left(r,f\right)+T\left(r,g\right)\right)+T\left(r,f\right)+T\left(r,g\right)+S\left(r,f\right)+S\left(r,g\right)\\ <\left(\frac{18-8\lambda }{\text{4}}+o\left(1\right)\right)T\left(r\right)\end{array}$ (3.8)

其中 $T\left(r\right)=\max \left\{T\left(r,F\right),T\left(r,G\right)\right\}$。由于 $\lambda >\frac{\text{7}}{\text{4}}$，所以 $\frac{18-8\lambda }{\text{4}}<1$。于是由(3.8)式和引理2得 $F\left(z\right)\cdot G\left(z\right)\equiv 1$ 或 $F\left(z\right)\equiv G\left(z\right)$。

若 $F\left(z\right)\cdot G\left(z\right)\equiv 1$，则有

$f^{\text{3}}\left(z\right)g^{\text{3}}\left(z\right)\left[f\left(z\right)+1\right]\left[g\left(z\right)+1\right]\equiv 1$. (3.9)

设 $z_1$ 为 $f\left(z\right)+1$ 的零点，则由(3.9)式知 $z_1$ 至少为 $f\left(z\right)+1$ 的4重零点，从而有

$\bar{N}\left(r,\frac{1}{f+1}\right)\le \frac{1}{\text{4}}N\left(r,\frac{1}{f+1}\right)\le \frac{1}{\text{4}}T\left(r,f\right)+O\left(1\right)$, (3.10)

同理可得

$\bar{N}\left(r,\frac{1}{g+1}\right)\le \frac{1}{\text{4}}N\left(r,\frac{1}{g+1}\right)\le \frac{1}{\text{4}}T\left(r,g\right)+O\left(\text{1}\right)$, (3.11)

再由Nevanlinna第二基本定理、(3.10)和(3.11)及定理条件得

$\begin{array}{l}T\left(r,f\right)+T\left(r,g\right)\\ <\bar{N}\left(r,f\right)+\bar{N}\left(r,\frac{1}{f}\right)+\bar{N}\left(r,\frac{1}{f+1}\right)+\bar{N}\left(r,g\right)+\bar{N}\left(r,\frac{1}{g}\right)+\bar{N}\left(r,\frac{1}{g+1}\right)+S\left(r,f\right)+S\left(r,g\right)\\ \le \left(\text{4}-2\lambda \right)\left(T\left(r,f\right)+T\left(r,g\right)\right)+\frac{1}{\text{4}}\left(T\left(r,f\right)+T\left(r,g\right)\right)+S\left(r,f\right)+S\left(r,g\right)\\ =\left(\frac{\text{17}}{\text{4}}-2\lambda \right)\left(T\left(r,f\right)+T\left(r,g\right)\right)+S\left(r,f\right)+S\left(r,g\right)\\ <\frac{\text{3}}{\text{4}}\left(T\left(r,f\right)+T\left(r,g\right)\right)+S\left(r,f\right)+S\left(r,g\right)\end{array}$

这是一个矛盾。

若 $F\left(z\right)\equiv G\left(z\right)$，则有

$f^{\text{4}}\left(z\right)+f^{\text{3}}\left(z\right)=g^{\text{4}}\left(z\right)+g^{\text{3}}\left(z\right)$, (3.12)

令 $h\left(z\right)=\frac{f\left(z\right)}{g\left(z\right)}$，则(3.12)式可变形为

$\left(h^{\text{4}}\left(z\right)-1\right)g\left(z\right)+\left(h^{\text{3}}\left(z\right)-1\right)\equiv 0$. (3.13)

若 $h\left(z\right)\equiv const\ne 1$，则 $g\left(z\right)\equiv const$，这与 $g\left(z\right)$ 是非常数亚纯函数矛盾。从而 $h\left(z\right)$ 为常数函数时，必有 $h\left(z\right)\equiv 1$，即 $f\left(z\right)\equiv g\left(z\right)$。

若 $h\left(z\right)$ 不恒为常数函数，则由(3.13)式得

$g\left(z\right)\equiv -\frac{h^{\text{3}}\left(z\right)-1}{h^{\text{4}}\left(z\right)-1}=-\frac{\left(h\left(z\right)-u\right)\left(h\left(z\right)-u^2\right)}{\left(h\left(z\right)-v\right)\left(h\left(z\right)-v^2\right)\left(h\left(z\right)-v^3\right)}$ (3.14)

同理可得

$f\left(z\right)\equiv -\frac{\frac{1}{h^{\text{3}}}-1}{\frac{1}{h^{\text{4}}}-1}=-\frac{\left(\frac{1}{h\left(z\right)}-u\right)\left(\frac{1}{h\left(z\right)}-u^2\right)}{\left(\frac{1}{h\left(z\right)}-v\right)\left(\frac{1}{h\left(z\right)}-v^2\right)\left(\frac{1}{h\left(z\right)}-v^3\right)}$ (3.15)

其中(3.14)、(3.15)式中 $u=\exp \left(\frac{2\pi i}{3}\right),v=\exp \left(\frac{2\pi i}{4}\right)$。

由(3.14)、(3.15)式和引理3可得

$T\left(r,g\right)=\text{3}T\left(r,h\right)+S\left(r,h\right)$, (3.16)

$\bar{N}\left(r,g\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\text{3}}{\sum }}\bar{N}\left(r,\frac{1}{h-v^j}\right)}$, (3.17)

$T\left(r,f\right)=\text{3}T\left(r,\frac{1}{h}\right)+S\left(r,h\right)=\text{3}T\left(r,h\right)+S\left(r,h\right)$,(3.18)

$\bar{N}\left(r,f\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\text{3}}{\sum }}\bar{N}\left(r,\frac{1}{\frac{1}{h}-v^j}\right)}$, (3.19)

由Nevanlinna第二基本定理及(3.16)至(3.19)诸式得

$T\left(r,h\right)<{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\text{3}}{\sum }}\bar{N}\left(r,\frac{1}{h-v^j}\right)}+S\left(r,h\right)=\bar{N}\left(r,g\right)+S\left(r,h\right)$ (3.20)

$T\left(r,\frac{1}{h}\right)<{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\text{3}}{\sum }}\bar{N}\left(r,\frac{1}{\frac{1}{h}-v^j}\right)}+S\left(r,h\right)=\bar{N}\left(r,f\right)+S\left(r,h\right)$ (3.21)

于是由(3.20)和(3.21)诸式及定理条件得

$\begin{array}{c}\text{2}T\left(r,h\right)<\bar{N}\left(r,f\right)+\bar{N}\left(r,g\right)+S\left(r,h\right)\\ \le \left(2-\lambda \right)\left(T\left(r,f\right)+T\left(r,g\right)\right)+S\left(r,h\right)\\ \le \left(1\text{2}-\text{6}\lambda \right)T\left(r,h\right)+S\left(r,h\right)\\ \le \frac{\text{3}}{\text{2}}T\left(r,h\right)+S\left(r,h\right)\end{array}$

这是一个矛盾。

综上所述，可得 $f\left(z\right)\equiv g\left(z\right)$。定理2.2证毕。

定理2.1的证明与定理2.2的证明类似。

推论1的证明：

由于n为不小于5的整数，非常数亚纯函数 $f\left(z\right)$ 和 $g\left(z\right)$ 以 $S=\left\{{\omega }^n+{\omega }^{n-!}+1=0\right\}$ 为CM分担值集，且 $\Theta \left(\infty ,f\right)+\Theta \left(\infty ,g\right)>\frac{\text{13}}{\text{8}},\Theta \left(0,f\right)+\Theta \left(0,g\right)>\frac{\text{13}}{\text{8}}$。则非常数亚纯函数 $F\left(z\right)=f^n\left(z\right)+f^{n-1}\left(z\right)$ 与 $G\left(z\right)=g^n\left(z\right)+g^{n-1}\left(z\right)$ 以1为CM分担值，同定理2.2的证明类似，可推出 $f\left(z\right)\equiv g\left(z\right)$。

推论2同推论类似。